PROBLEMAS PROPUESTOS.

PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Determinar los vectores velocidad y aceleración del movimiento descrito por la curva
→
dada por el vector de posición −
r (t) = (3t cos t, 3t sen t, 4t) en el punto correspondiente
a t = 0. Calcular la curvatura de dicha curva en el punto dado.
→
→
Resp.: −
v (0) = (3, 0, 4), −
a (t) = (0, 6, 0), κ(0) = 6/25.
Z
2. Calcular
y dx + z dy + x dz, siendo C el arco de elipse limitado por las superficies
√
x + z = 1, x + y 2 + z 2 = 1, entre los puntos P (0, 0, 1) y Q(1/2, − 2/2, 1/2).
√
−1 − 2(π + 2)
Resp.:
.
8
C
2
−
→
3. Dado el campo vectorial F (x, y, z) = (ex sen y, ex cos y, z 2 ), calcular
√
√
( t, t3 , exp t), 0 ≤ t ≤ 1.
→
−
x
3
Resp.:
Z Como F = ∇f , con f (x, y, z) = e sen3 y + z /3, entonces
→
−
e −1
F = f (σ(1)) − f (σ(0)) = e · sen 1 +
.
3
σ
Z
−
→
F , donde σ(t) =
σ
x dy − y dx
= 2π, donde C es la circunferencia unidad.
x2 + y 2
−y
x b) Concluir que el campo vectorial asociado
, 2
no es conservativo.
2
2
x + y x + y2
Z
4. a) Mostrar que
C
c) Comprobar, sin embargo, que
∂P
∂Q
=
. ¿Por qué no contradice esto ningún
∂y
∂x
teorema?
Resp.:
5. Encontrar, caso de que exista, el campo vectorial cuyo rotacional es el que se indica:
→
−
a) F = (x, y, z).
→
−
b) F = (x2 + 1, z − 2xy, y).
→
−
c) F = (xz, −yz, y).
→
−
d) F = (x cos y, − sen y, sen x).
Resp.:
→
−
→
−
→
−
6. Dado el campo vectorial F (x, y, z) = (2xyz+sen x) i +x2 z j +x2 y k , hallar una función
f tal que F = ∇f . Calcular ∇ × F .
Resp.: f (x, y, z) = x2 yz − cos x; ∇ × F = ∇ × (∇f ) = 0.
1
7. Contestar verdadero o falso a los siguientes planteamientos, justificando su respuesta:
a) Si D es una región elemental en el plano y f es un campo escalar sobre D de
modo que ∇2 f = 0, entonces
Z
∂f
∂f
dx −
dy = 0.
∂x
∂D ∂y
Z
b)
zy dx + xz dy + xy dz =
√
2, si σ es el borde de la región limitada por y = x2 ,
σ
y = x + 2, recorrida en sentido antihorario.
c) No hay ningún campo vectorial cuyo rotacional sea (x, y, z).
∂f
∂f Resp.: a) Verdadero (el campo vectorial
es conservativo y ∂D es una curva
,−
∂y
∂x
cerrada).
b) Falso (el campo vectorial (zy, xz, xy) es conservativo).
c) Cierto (div(rot F ) = 0 pero div(x, y, z) = 3).
8. Hallar el área de la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 interior a la superficie
x2 + z 2 = r2 /4.
√
Resp.: A = 2 · (2 − 3)πr2 .
9. Hallar el área de la porción del cilindro x2 + y 2 = 6y, situado dentro de la esfera
x2 + y 2 + z 2 = 36.
Resp.: A = 144.
x2 + y 2
dS, donde S es la parte de la superficie cónica z 2 = x2 +y 2 limitada
z2
S
por x2 + y 2 + z 2 − 2x ≤ 0, z ≥ 0.
√
Resp.: π 2/4.
ZZ
10. Hallar
ZZ
11. Calcular
(xy+yz+zx) dS, donde S es la parte de la superficie cónica z =
p
x2 + y 2
S
recortada por la superficie x2 + y 2 = 2ax (a > 0).
√
Resp.: −56a4 2/15.
ZZ
12. Calcular
R.
z2
p
x2 + y 2 dS donde S representa la esfera de centro el origen y radio
S
Resp.: I = π 2 R5 /4.
13. Encontrar el área de la superficie definida como intersección de x + y + z = 1 y
x2 + 2y 2 ≤ 1.
2
ZZ
Resp.: A =
Z
1 dS =
S
1
Z
du
0
2π
u
p
3/2 dv = π
0
3
p
3/2.