Lista de ejercicios - Departamento de matemáticas

Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
Grado de Matemáticas
Método de Diferencias Finitas
Lista de ejercicios: Ecuación del calor
Problema 1. Sean b > 0, ε > 0, T > 0 y u0 : R → R. Suponemos que existe una única solución
u ∈ C 4 ([0, 1] × [0, T ]) del problema
∂t u(x, t) + b ∂x u(x, t) − ε ∂xx u(x, t) = 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0,
x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ]
t ∈ (0, T ]
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ [0, 1].
Sean h = 1/(N + 1) y τ = T /M con N, M ∈ N \ {0}.
1. Utilizamos el siguiente esquema explı́cito centrado para aproximar u:
Para k = 0, · · · , M − 1 hacemos
uk − uki−1
uk − 2uki + uki−1
uk+1
− uki
i
+ b i+1
− ε i+1
τ
2h
h2
= 0
i = 1, · · · , N
= uk+1
uk+1
0
N +1 = 0
uki = u0 (ih) i = 0, · · · , N + 1.
(a) Demostrar que el esquema es consistente de orden dos en h y orden uno τ .
(b) ¿Bajo qué condiciones sobre los pasos h y τ podemos asegurar que
max max ku(ih, kτ )| ≤ C(h2 + τ )
k
i
con una constante C > 0 que solo depende de u, T , b y ε.
2. Cambiamos en el esquema anterior b
uki+1 − uki−1
uk − uki−1
por b i
.
2h
h
(a) Demostrar que el esquema es ahora consistente de orden uno tanto en h como en τ .
(b) Retomar la pregunta del apartado 1 sobre la convergencia del método.
Problema 2. Sean b > 0, ε > 0, T > 0 y u0 : R → R. Suponemos que existe una única solución
u ∈ C 4 ([0, 1] × [0, T ]) del problema
∂t u(x, t) + b ∂x u(x, t) − ε ∂xx u(x, t) = 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0,
x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ]
t ∈ (0, T ]
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ [0, 1].
Sean h = 1/(N + 1) y τ = T /M con N, M ∈ N \ {0}.
1. Utilizamos el siguiente esquema implı́cito centrado para aproximar u:
Para k = 0, · · · , M − 1 hacemos
uk+1 − uk+1
uk+1 − 2uk+1
+ uk+1
uk+1
− uki
i−1
i
i−1
i
+ b i+1
− ε i+1
τ
2h
h2
= 0
i = 1, · · · , N
uk+1
= uk+1
0
N +1 = 0
uki = u0 (ih)
i = 0, · · · , N + 1.
(a) Demostrar que el esquema es consistente de orden dos en h y orden uno τ .
(b) ¿Bajo qué condiciones sobre los pasos h y τ podemos asegurar que
max max ku(ih, kτ )| ≤ C(h2 + τ )
i
k
con una constante C > 0 que solo depende de u, T , b y ε.
2. Cambiamos en el esquema anterior b
k+1
uk+1 − uk+1
uk+1
i−1
i+1 − ui−1
por b i
.
2h
h
(a) Demostrar que el esquema es ahora consistente de orden uno tanto en h como en τ .
(b) Retomar la pregunta del apartado 1 sobre la convergencia del método.
Problema 3. Consideramos el problema
∂t u(x, t) − ∂xx y(x, t) = 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0,
x ∈ (0, 1), t ∈ (0, T ]
t ∈ (0, T ]
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ [0, 1].
1. Buscamos una solución aproximada del problema considerando el siguiente esquema:
Para k = 0, · · · , M − 1 hacemos
uk+1
− uk−1
i
i
2τ
=
uki+1 − 2uki + uki−1
h2
i = 1, · · · , N
uk+1
= uk+1
0
N +1 = 0
donde h = 1/(N + 1), τ = T /M y asumimos que {u0i ,
1, · · · , N } son conocidos.
i = 1, · · · , N } y {u1i ,
(a) Demostrar que el esquema es consistente de orden dos en h y τ .
i =
(b) Evitamos las condiciones de contorno suponiendo que el esquema anterior se cumple
para todo i ∈ Z. Determinar αk para que el modo de Fourier discreto:
ukj = αk eıpxj ,
xj = jh,
j ∈ Z,
k ∈ N,
ı2 = −1
sea solución del esquema para todo p ∈ R. Decimos que el esquema es estable en el
sentido de Von Neumann si la sucesión (αk )k es acodada para todo p ∈ R.
(c) Demostrar que el esquema es incondicionalmente inestable en el sentido de Von Neumann.
2. Modificamos ahora el esquema anterior del modo siguiente: (esquema de Dufort-Frankel)
Para k = 0, · · · , M − 1 hacemos
uk+1
− uk−1
i
i
2τ
=
uki+1 − 2(uk+1
+ uk−1
) + uki−1
i
i
h2
i = 1, · · · , N
= uk+1
uk+1
0
N +1 = 0
(a) Demostrar que el nuevo esquema es consistente cuando h → 0 y τ → 0 bajo la
condición hτ → 0.
(b) Demostrar que el esquema modificado es incondicionalmente estable en el sentido de
Von Neumann.