P: Ejercicios cálculo vectorial

CÁLCULO VECTORIAL
1.- Calcula el vector resultante de dos vectores de módulos 9 y 12, respectivamente, aplicados en un punto O si forman un
ángulo de: a) 30°; b) 60°; c) 90°.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Rtdo.: a ) 19,8 i + 4,5 j ; 19,4 i + 6 j ; b) 16,5 i + 4,5 3 j ; 15 i + 6 3 j ; c ) 12 i + 9 j ; 9 i + 12 j
2.- Descomponer un vector de módulo 100 en dos componentes rectangulares tales que sus módulos sean iguales.
r
r
Rtdo.: ± 50 2 i ; ± 50 2 j
r
r
r
3.- Dados los vectores A = 3 i − 4 j y
módulo del vector diferencia.
r
r
Rtdo.: a) − 5 i − 10 j ; b) 11,18
r r
r
r
r
B = 8 i + 6 j , halla gráfica y numéricamente la diferencia A − B y calcula el
r
r
r r
4.- Representa gráficamente el vector A = 2 i − 3 j + k y calcula: a) Su módulo; b) sus cosenos directores.
2
3
1
; cos β = −
; cos γ =
Rtdo.: a) 14 ; b) cos α =
14
14
14
r
r
r
5.- Dados los vectores A = 3 i − 2 j
que forman.
Rtdo.: a )
r
r
r v
y B = 5 i + j − 2 k , calcula: a) Sus módulos; b) su producto escalar; c) el ángulo
13 ; 30 ; b ) 13 ; c ) cos α = 0 ,6583 ; α = 48,83 o = 48 o 49 ' 52 ' '
r
r
r r
6.- Comprueba que los vectores V = 3 i + 4 j + k
r
v
r
r
y W = 4 i − 5 j + 8 k son perpendiculares.
r
r
r
r
7.- ¿Qué valor debe tener el escalar t para que el módulo del vector U = (t + 1) i + (2t + 3) j − t k sea igual a 6 ?
Rtdo.: −2; −1/3
r
r
r
8.- Dada la función vectorial V = (t 2 + 5) i + (5t − 9) j , calcula:
a) Los vectores que se obtienen para t =1 y t = 3.
r
∆V
.
b) El cociente incremental
∆t
c) Representa gráficamente el cociente incremental.
r
r
r
r
r
r
Rtdo.: a) 6 i − 4 j ; 14 i + 6 j ; b) 4 i + 5 j
r
r
r
r
9.- Calcula el coseno del ángulo formado por el vector F = 3 i + t 2 j + (4t − 3) k y su derivada
Rtdo.: 0,9
para t = 2.
r
r
r
10.- Halla el vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector M = 8 i − j + 4 k .
8r 1 r 4 r
Rtdo.: i − j + k
9
9
9
r
r
r
r
11.- Halla un vector de módulo 4 de igual dirección y sentido contrario que el vector E = 14 i + 2 j − 5 k .
56 r 8 r 20 r
Rtdo.: − i −
j+
k
15
15
15
r
r
r
12.- Dado el vector S = 5 cos 2t i + 5 sen 2t j , calcula:
a) Su módulo.
b) Su derivada.
c) El módulo de dicha derivada.
r
r
dS
son perpendiculares.
d) Comprueba que S y
dt
r
r
Rtdo.: a) 5 ; b) −10 sen 2t i + 10 cos 2t j ; c) 10
1