Métodos alternativos de multiplicación

Métodos alternativos de multiplicación
Como multiplicar por 5
Pares
Veamos algunos ejemplos introductorios
Cuanto es 4 por 5?
20
Claro. Por que la mitad de 4 es 2 y anotamos un cero al final
Cuanto es 12 por 5?
60
También es verdad, por que la mitad de 12 es 6 y anotamos un cero al final
Expliquemos en palabras más simples
Multiplicar un número PAR por 5 es equivalente a multiplicar por 10 y calcular la mitad ó,
dicho en otras palabras, anotar la mitad del número y un cero al final.
Traspasando estas palabras a lenguaje algebraico
x ⋅5 = x ⋅
10 x
= ⋅10
2 2
Apliquemos
Cuánto es… ?
26 ⋅ 5
48 ⋅ 5
64 ⋅ 5
82 ⋅ 5
442 ⋅ 5
126 ⋅ 5
Conclusión
Para multiplicar por 5 un número PAR bastara anotar la mitad del número y un cero al final
Nota: en el caso del último ejemplo la mitad de 126 se puede considerar como la mitad de
120 y de 6, es decir 60 y 3
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¿Y los Números impares?
Veamos algunos ejemplos
7 ⋅5
35
13 ⋅ 5
65
Analicemos lo obtenido
Los múltiplos terminan en 5 y la cifra anterior corresponde a la mitad del número
disminuido en 1
Probemos
27 ⋅ 5
27 menos uno quedara en 26, cuya mitad es 13, y si anotamos un 5 al final tendremos 135
83 ⋅ 5
83 menos uno quedara en 82, cuya mitad es 41, y si anotamos un 5 al final tendremos 415
Desarrollemos la idea basados en lo que entendemos
Sabemos que
Impar = par + 1
Entonces,
Impar ⋅ 5 =
( par
+ 1) ⋅ 5 = par ⋅ 5 + 1⋅ 5
En palabras simples, bastara restar uno al número y operar con el par usando el método
anterior
Apliquemos
Desarrolle los siguientes casos
47 ⋅ 5
83 ⋅ 5
29 ⋅ 5
Veamos las complicaciones. ¿Qué pasa cuando las cifras son impares en si?
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En realidad la solución es bastante sencilla; Descomponga de acuerdo a partes pares.
Por ejemplo
97 ⋅ 5 = ( 80 + 17 ) ⋅ 5 = ( 80 + 16 ) ⋅ 5 + 1 ⋅ 5 = 485
59 ⋅ 5 = ( 40 + 19 ) ⋅ 5 = ( 40 + 18) ⋅ 5 + 1⋅ 5 = 295
Solo para optimizar el proceso, recuerde anotar un 5 al final y pruebe.
Algunos ejercicios
65437
5
resultado
327185
74834
5
374170
63976
5
319880
81598
5
407990
25987
5
129935
27529
5
137645
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Métodos alternativos de multiplicación
Como multiplicar por 11?
Verifiquemos inicialmente el proceso tradicional
Que hizo aquí?
Claramente el cuatro se mantiene. (Cifra de las unidades)
Luego, el 7 se obtiene al sumar el 4 y el 3. (Cifra de las decenas)
El 5 se obtiene al sumar el 3 y el 2. (Cifra de las centenas)
Y el 2 se obtiene al sumar el 2 y un cero. (Cifra de las unidades de
mil)
234 ⋅11
234
234
2574
Ahora generalicemos
Primero anotaremos un cero a al izquierda del ponderado y luego mantendremos la unidad
0234*11
4
Luego adicionemos unidad y decena 4 +3
0234*11
74
Ahora adicionaremos decena y centena 3 +2
0234*11
57 4
Y finalmente, adicionaremos centena y millar 2 + 0
0234*11
2 57 4
Este método será particularmente interesante cuando tengamos que dividir por 11
Apliquemos inmediatamente la técnica
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658756
11
7246316
378659
11
4165249
76465907
11
841124977
5474849
11
60223339
586585659
11
6452442249
247274
11
2720014
7653610865
11
84189719515
6514095151
11
71655046661
51575104501
11
567326149511
76053761365
11
836591375015
76916061600653
11
846076677607183
Un detalle interesante. La diferencia entre las sumas de las cifras de posición par y las
sumas de las cifras de posición impar de un múltiplo de 11 siempre será o un cero ó un
múltiplo de 11
Ejemplo
25362 ⋅11
278982
18
278982
18 − 18 = 0
18
Esto es particularmente útil para determinar si la multiplicación está bien realizada.
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Técnica 1x
Esta técnica es particularmente valida cuando tengamos que multiplicar por números que
estén entre 11 y 19. Se basa en multiplicar la unidad por cada cifra y sumar la cifra derecha,
con la reserva según corresponda.
Veamos con ejemplos específicos.
Para multiplicar por 12.
02346 12
6 es 12. Anotamos el
02346 12 22yporanotamos
una reserva
2
2 por 4 son 8. Sumados con 6 son 14. y con la reserva son 15. Anotamos el 5 y anotamos la
reserva
02346 12
52
2 por 3 son 6. Sumado con 4 es 10, y con la reserva son 11. Anotamos el 1 y notamos la
reserva
02346 12
152
2 por 2 son 4. Sumado con3 son 7, y con la reserva son 8. Anotamos el 8 y no hay reserva
02346 12
8152
en el ultimo paso, consideramos 2 por 0, que es cero. Sumado con 2 es 2 y, como no había
reserva, terminamos anotando.
02346 12
28152
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Métodos alternativos de multiplicación
Siguiendo la misma operatoria, se puede multiplicar por 13, 15, 1x…
Ejercicios. Desarrolle las siguientes multiplicaciones usando la técnica mostrada. Las
soluciones se agregan para que compare sus resultados.
2456645
12
Resultado
29479740
6788663
14
95041282
7886543
13
102525059
6789543
12
81474516
7638546
15
114578190
5734234
17
97481978
546732
16
8747712
254257
13
3305341
6547640865
18
117857535570
8586587059
12
103039044708
850784546
16
13612552736
857474379
12
10289692548
764425143121
14
10701952003694
659659749439
16
10554555991024
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Técnica de los dos dedos
$
Este procedimiento simplifica la multiplicación de de cualquier numero por números de dos
cifras. Se basa en multiplicar y sumar ordenadamente.
Ejemplo
2345 ⋅ 23
Inicialmente se deberá anotar un cero a la derecha del multiplicando
Luego multiplicamos 3 por 5 y anotamos
02345 ⋅ 23
012345*23
5
Ahora multiplicaremos 4 por 3 y 5 por 2 y
sumamos, es decir 12 mas 10, lo que da 22.
Adicionando la reserva obtenemos 23. Lo
cual anotamos de la siguiente forma
012345*23
35
Nuevamente procedemos a multiplicar, esta
vez 3 por 3 y 4 por 2, y adicionamos. Es
decir 9 mas 8, 17, mas la reserva, 19
012345*23
935
Repitiendo este proceso se multiplicaran 2
por tres y 3 por dos, para adicionar la
reserva, obteniendo 13, lo cual se anotara de
la siguiente forma
012345*23
3935
Procedemos a repetir el mismo proceso con
1 por 3 y 2 por 2, que adicionado con la
reserva suma 8
Y ahora podemos adicionar el último
producto, que es 0 por 3 y 1 por 2, que es 2
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012345*23
83935
012345*23
283935
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Métodos alternativos de multiplicación
Ejercicios. Desarrolle las siguientes multiplicaciones usando la técnica mostrada. Las
soluciones se agregan para que compare sus resultados.
Resultado
2456645
32
78612640
6788663
24
162927912
7886543
43
339121349
6789543
24
162949032
7638546
23
175686558
5734234
35
200698190
546732
53
28976796
254257
52
13221364
6547640865
45
294643838925
8586587059
54
463675701186
850784546
65
55300995490
857474379
62
53163411498
764425143121
63
48158784016623
659659749439
64
42218223964096
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Métodos alternativos de multiplicación
Técnica M
Usada principalmente para multiplicar números de dos cifras por números de dos cifras. Se
basa en productos y adiciones continuas.
Veamos con un ejemplo gráfico
ab
cd
Primero multiplicamos las decenas y las anotamos ordenadamente
ab
cd
ac
Luego multiplicamos cruzado, decena por unidad, en este caso a por d, y lo anotamos
corriéndonos un espacio
ab
cd
ac
ad
Nuevamente multiplicamos cruzado, es decir la otra decena por la otra unidad, y volvemos
a anotar lo obtenido. Dado que el producto tiene las mismas condiciones anteriores se
mantendrá el orden de posición
ab
cd
ac
ad
cb
Y ahora procedemos a desarrollar la última ponderación, al multiplicar las unidades. Dado
el nuevo nivel de trabajo, procedemos a desplazarnos nuevamente.
ab
cd
ac
ad
cb
bd
Finalmente solo deberemos sumar por orden de posición.
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Métodos alternativos de multiplicación
Veamos algunos ejemplos numéricos
56
35
15
25
18
30
67
43
1960
24
18
28
21
2881
Ejercicios. Aplica la técnica para los siguientes productos
37
1702
46
76
3648
78
4465
87
3626
37
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45
3510
78
2832
48
84
8352
96
98
95
4992
64
47
59
5590
86
48
95
65
64
6208
97
7980
65
4095
63
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Métodos alternativos de multiplicación
Una de las aplicaciones básicas, de los productos, es el cálculo de áreas. Veamos entonces
algunos problemas tipo y apliquemos en forma directa lo estudiado
Dado un rectángulo cualquiera, de tal que la medida de su base sea A y la medida de su
altura sea B, la superficie de dicho rectángulo se obtendrá multiplicando la base por la
altura
2,7 cm
En este caso particular, al superficie del objeto estará
dada por el producto de 2,7 y 4,5
4,5 cm
Procedamos según M
27
45
08
10
28
35
1215
Sin embargo aparece una duda. ¿Qué pasa con los decimales?
La respuesta salta a la vista. Bastara con contar las cifras decimales y considerarlas en la
respuesta. Luego la superficie del objeto es 12,15 cm2.
Dado un triangulo cualquiera, de tal que la medida de su base sea A y la medida de su
altura sea B, la superficie de dicho triangulo se obtendrá multiplicando la base por la altura
y considerando su mitad
Precediendo según M se tendrá
5,1 cm
33
51
15
03
15
03
1683
¿y la mitad?
Piensa en el par inferior, determina la mitad y anota un
cinco al final
16,82 → 8, 41 → 8, 415
3,3 cm
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Métodos alternativos de multiplicación
¿Listo para ejercitar?
6,5 cm
2,9 cm
Determina la superficie de las siguientes figuras
3,8 cm
6,1 cm
65
61
36
06
30
05
3965
38
29
06
27
16
72
1102
Sea criterioso con los decimales
39, 65 + 11, 02
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Métodos alternativos de multiplicación
5,7 cm
4,0 cm
4,1 cm
9,2 cm
Este problema presenta, al menos, dos alternativas de desarrollo
En cada una de las posibilidades es recomendable que tire
algunas líneas para definir el camino a seguir. Siempre que
usted enfrente un problema busque tranquilamente diversos
ángulos antes de iniciar el proceso.
Es mucho más importante que usted entienda el problema.
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Primera opción
5,7 cm
5,7 cm
5,1 cm
4,0 cm
4,1 cm
4, 0 ⋅ 5, 7
4,1 ⋅ 5, 7
+ ( 9, 2 − 4,1) ⋅ 5, 7 +
2
2
Equivalente a
4, 0 ⋅ 5, 7
4,1 ⋅ 5, 7
+ ( 5,1 ⋅ 5, 7 ) +
2
2
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Segunda opción
5,7 cm
5,7 cm
9,2 cm
9,1 cm
9, 2 ⋅ 5, 7 ( 4, 0 + ( 9, 2 − 4,1) ) ⋅ 5, 7
+
2
2
O , lo que es equivalente
9, 2 ⋅ 5, 7 ( 4, 0 + 5,1) ⋅ 5, 7
+
2
2
Desarrolle las guías de cálculo de área que se encuentran en el crisol
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