Ecuaciones Algebraicas. Curso 2006/7. Hoja de problemas 10. 1

Ecuaciones Algebraicas. Curso 2006/7. Hoja de problemas 10.
1. Sea L un cuerpo, G un subgrupo del grupo de automorfismos de L y K = LG = {x ∈ L : σ(x) =
x, para todo σ ∈ G}. Demostrar que L/K es una extensión de Galois y G = Gal(L/K).
2. Sean X1 , . . . , Xn variables independientes sobre K y S1 , . . . , Sn los polinomios simétricos elementales
en las variables X1 , . . . , Xn . Sea K(X1 , . . . , Xn ) el cuerpo de fracciones de K[X1 , . . . , Xn ]. Para
cada permutación σ ∈ Sn sea σ la extensión canónica de σ a un automorfismo de K[X1 , . . . , Xn ].
Demostrar
(a) Para cada σ ∈ Sn , σ se extiende de forma única a un automorfismo de K(X1 , . . . , Xn ), que
también denotaremos por σ.
(b) K(X1 , . . . , Xn )/K(S1 , . . . , Sn ) es una extensión de Galois.
(c) El homomorfismo Sn → Gal(K(X1 , . . . , Xn )/K(S1 , . . . , Sn )) que asocia cada permutación σ ∈
Sn , con σ es un isomorfismo.
3. Sea L/K una extensión finita de Galois y sean E y F subextensiones de L/K. Demostrar que
Gal(L/EF ) = Gal(L/E) ∩ Gal(L/F )
4. Sea α =
p
Gal(L/E ∩ F ) = hGal(L/E) ∪ Gal(L/F )i.
√
5 + 2 5.
(a) Calcular Irr(α, Q).
p
√
(b) Demostrar que 5 − 2 5 ∈ Q(α) y deducir que Q(α)/Q es una extensión de Galois.
(c) Calcular Gal(Q(α)/Q).
(d) Calcular las subextensiones de Gal(Q(α)/Q) y decir cuales de ellas son de Galois sobre Q.
5. Sea n un número entero libre de cuadrados, es decir, n no es divisible por el cuadrado de un entero.
(a) Calcular el cuerpo de descomposición L de X 4 − n sobre Q.
(b) Demostrar que Gal(L/Q) es isomorfo al grupo diédrico de orden 8.
(c) Calcular todas las subextensiones de L/Q y decir cuales de ellas son de Galois sobre Q.
(d) Calcular Gal(L/K) y Gal(K/Q) para cada subextensión K de L/Q.
6. Calcular el grupo de Galois del cuerpo de descomposición de X 4 − 2 sobre F3 y F7 .
7. Calcular todas las subextensiones de Gal(Q(ξn )/Q), donde ξn es una raı́z n-ésima primitiva de la
unidad, para n = 3, 5, 7, 8, 11 y 16.
8. Sea K un cuerpo finito de caracterı́stica p y cardinal q = pn . Demostrar
(a) La aplicación σ : K → K dada por σ(x) = xp es un automorfismo de K. Este automorfismo se
llama automorfismo de Frobenius de K.
(b) Gal(K/Fp ) es cı́clico de orden n, generado por el automorfismo de Frobenius.
(c) Si L/K es una extensión finita, entonces Gal(L/K) es cı́clico generado por el automorfismo de
L dado por σ(x) = xq .
(d) Si α es algebraico sobre K y [K(α) : K] = m, entonces
Irr(α, K) = (X − α)(X − αq ) · · · (X − αq
1
m−1
).
(e) Describir las subextensiones de L/K donde L es una extensión de grado m de K.
(f) Demostrar que la aplicación x 7→ xp es un endomorfismo no inyectivo de Fp (X).
9. Sea L una subextensión de una extensión ciclotómica K(ξ)/K. Demostrar
(a) L/K es una extensión de Galois.
(b) Gal(L/K) es abeliano.
(c) Si ξ p = 1, con p primo, entonces Gal(L/K) es cı́clico.
10. Sea p ∈ K[X] de grado n y L el cuerpo de descomposición de p sobre K. Demostrar que Gal(L/K)
es isomorfo a un subgrupo G de Sn , el grupo simétrico en n sı́mbolos. Demostrar que G es transitivo
si y sólo si p es irreducible y separable. (Un subgrupo G de Sn se dice que es transitivo si para todo
1 ≤ i, j ≤ n existe σ ∈ G tal que σ(i) = j.)
11. Dos subgrupos H1 y H2 de un grupo G se dice que son conjugados en G si existe g ∈ G tal que
H2 = g −1 H1 g. Dos cuerpos intermedios F1 y F2 de una extensión L/K se dice que son conjugados
en la extensión L/K si existe g ∈ Gal(L/K) tal que g(F1 ) = F2 . Sea L/F una extensión de Galois y
sean F1 y F2 dos cuerpos intermedios de L/K. Demostrar que F1 y F2 son conjugados en L/K si y
sólo si F10 y F20 son conjugados en G.
12. Sean L/K y E/K dos extensiones admisibles y supongamos que la primera es finita y de Galois.
Demostrar que LE/E y L/L ∩ E son extensiones de Galois finitas y el homomorfismo de restricción
Res : Gal(LE/E) → Gal(L/L ∩ E) es un isomorfismo de grupos.
13. Sea L/K es una extensión de Galois con Gal(L/K) es abeliano. Demostrar que F/K es de Galois
para todo cuerpo intermedio F de la extensión L/K y que Gal(F/K) también es abeliano. Demostrar
también que si E/K es una extensión admisible con L/K entonces LE/E es de Galois con grupo de
Galois abeliano.
14. Sea L/K una extensión de Galois finita y sean F1 y F2 cuerpos intermedios tales que F1 F2 = L.
Demostrar que si F1 /K es de Galois entonces L/F2 es de Galois y Gal(L/F2 ) es isomorfo a un
subgrupo de Gal(F1 /K). Deduce de aquı́ que si F1 ∩ F2 = F entonces Gal(L/F2 ) es isomorfo a
Gal(F1 /K).
15. Sean L1 /K y L2 /K extensiones admisibles de Galois finitas y consideremos la aplicación
Φ : Gal(L1 L2 /K) → Gal(L1 /K) × Gal(L2 /K)
σ 7→ (σL1 , σL2 )
Demostrar
(a) Φ es un homomorfismo inyectivo de grupos.
(b) Si L1 ∩ L2 = K, entonces Φ es un isomorfismo de grupos.
√
√
(c) Calcular el grupo de Galois de L = Q( p1 , . . . , pn )/Q, donde p1 , . . . , pn son primos diferentes.
√ √ √
(d) Calcular todas las subextensiones de Q( 2, 3, 5).
√ √
(e) Calcular el grupo de Galois de L = Q(i, 4 2, 4 3)/Q(i) = K.
(f) Calcular las subextensiones de L/K.
(g) Demostrar que Gal(L/Q) es isomorfo a un subgrupo de D4 × D4 , donde D4 es el grupo diédrico
de orden 8.
16. Dar extensiones de Galois L/Q para las que Gal(L/Q) sea isomorfo a cada uno de los siguientes
grupos: C6 , C10 , C15 , C2 × C30 .
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