Teorıa de Galois. Curso 2015-16 1. Sea E/F cuerpo de

Teorı́a de Galois.
Curso 2015-16
Hoja 5.
1. Sea E/F cuerpo de descomposición de un polinomio de F [X]. Sea p(X) ∈ F [X] irreducible. Demuestra que si p(X)
se descompone en E[X] entonces Gal(E/F ) actúa transitivamente sobre X = {α ∈ E | p(α) = 0}.
2. Halla una cadena de extensiones de cuerpos que demuestre que X 4 − 10X 2 + 1 = 0 es resoluble por radicales
(X 4 − 10X 2 + 1 ∈ Q[X]).
3. Sean F, F1 y E cuerpos tales que F ⊆ F1 ⊆ E y F1 /F es el cuerpo de descomposición de un polinomio de F [X].
Demuestra que Gal(E/F1 ) E Gal(E/F ) y que Gal(E/F )/Gal(E/F1 ) es isomorfo a un subgrupo de Gal(F1 /F ).
4. Se considera el polinomio X 3 − 2 ∈ Q[X]. Se considera la siguiente cadena de extensiones puras
√
3
F = Q ⊆ F1 = Q( 2) ⊆ E = F1 (ω).
¿Es Gal(E/F1 ) E Gal(E/F )?
√
5. Se considera la extensión radical Q( 12 5)/Q. Demuestra que existe una una cadena de extensiones
√
12
Q ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ · · · ⊆ Ft = Q( 5),
cada una de ellas pura de tipo un número primo.
6. Sea E/F una extensión radical con F ⊂ E. Demuestra que existe una una cadena de extensiones
F ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ · · · ⊆ Ft = E,
tal que cada Fi−1 ⊆ Fi (i = 1, . . . , t) es pura de tipo un número primo.
7. Sean E1 /F y E2 /F extensiones radicales. Demuestra que E1 E2 /F es radical.
8. Sea F ⊆ F1 ⊆ E extensiones de cuerpos. Sea σ ∈ Gal(E/F ). El cuerpo σF1 := {σ(α) | α ∈ F1 } se llama cuerpo
conjugado de F1 (con respecto a E/F ).
Demuestra lo siguiente:
(i) para todo σ ∈ Gal(E/F ), Gal(E/σF1 ) = σGal(E/F1 )σ −1 ;
(ii) Si F1 tiene un único cuerpo conjugado entonces Gal(E/F1 ) E Gal(E/F ).
√
9. Halla los cuerpos conjugados de Q( 3 2) del ejercicio 4.