ALGUNAS EXPRESIONES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y

ALGUNAS EXPRESIONES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
Consideremos un sistema de coordenadas cilı́ndricas (r, θ, z), donde r es la coordenada radial, θ la angular y z la axial.
Consideremos también un sistema de coordenadas esféricas (r, θ, ϕ), donde r es la coordenada radial, θ la polar y ϕ la
azimutal. En esta nota se proporcionan algunas expresiones relevantes, utilizando estos dos sistemas de coordenadas.
1. Lı́neas de corriente
En coordenadas cilı́ndricas, las ecuaciones de una lı́nea de corriente son
dvr
dθ
dz
=r
=
,
vr
vθ
vz
(1)
dθ
dϕ
dvr
=r
= r senθ .
vr
vθ
vϕ
(2)
mientras que en coordenadas esféricas es
2. Derivada sustancial
La derivada sustancial en coordenadas cilı́ndricas es
∂
vθ ∂
d
∂
∂
=
+ vr
+
+ vz ,
dt
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
(3)
d
∂
∂
vθ ∂
vϕ ∂
=
+ vr
+
+
.
dt
∂t
∂r
r ∂θ r senθ ∂ϕ
(4)
mientras que en coordenadas esféricas es
3. Aceleración de una partı́cula fluida
En coordenadas cilı́ndricas, la aceleración de una partı́cula fluida es
(
)
(
)
dvr
vθ2
dvθ
vr vθ
dvz
a=
−
ur +
+
uθ +
uz ,
dt
r
dt
r
dt
donde la derivada sustancial viene dada por la relación (3). En coordenadas esféricas, la aceleración es
(
)
(
)
(
)
vθ2 + vϕ2
vϕ2 cotθ
dvr
dvθ
vr vθ
dvϕ
vr vϕ
vθ vϕ cotθ
a=
−
ur +
+
−
uθ +
+
+
uϕ ,
dt
r
dt
r
r
dt
r
r
(5)
(6)
donde la derivada sustancial viene dada por la relación (4).
4. Divergencia
En coordenadas cilı́ndricas, la divergencia es
1 ∂(rvr ) 1 ∂vθ
∂vz
+
+
,
r ∂r
r ∂θ
∂z
(7)
1
∂
1 ∂vϕ
1 ∂(r2 vr )
+
(vθ sen θ) +
.
2
r
∂r
r sen θ ∂θ
r sen θ ∂ϕ
(8)
∇·v =
mientras que en coordenadas esféricas es
∇·v =
5. Operador Laplaciano
En coordenadas cilı́ndricas, el operador laplaciano es
(
)
1 ∂
∂
1 ∂2
∂2
2
∇ =
r
+ 2 2 + 2,
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
mientras que en coordenadas esféricas es
(
)
(
)
1 ∂
∂
1
∂
∂
1
∂2
∇2 = 2
r2
+ 2
sen θ
+ 2
.
2
r ∂r
∂r
r sen θ ∂θ
∂θ
r sen θ ∂ϕ2
(9)
(10)