monografia-Iunidad-matematica

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“AÑO DEL CENTENARIO DE MACHU PICCHU PARA
EL MUNDO”
 ASIGNATURA:
MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS.
 ALUMNA:
TEJADA RAMIREZ, ERIKA.
VILLA DEZA, EDDY POOL.
SANTAMARÍA CALLE, RUTH.
PORTILLA VASQUEZ, GABY.
PACHERREZ CAJUSOL, ESTEBAN.
 DOCENTE:
GONZALES PISCOYA, AMADOR.
 ESCUELA:
ECONOMÍA.
 CICLO:
II.
CHICLAYO-PERÚ
2011
LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
DEDICATORIA:
Este trabajo está dedicado a nuestro
profesor Amador Gonzales Piscoya,
quien nos ha guiado en nuestra primera
unidad, a través de sus enseñanzas y nos
ha ayudado a desarrollar y aprovechar
los talentos de cada uno de nosotros.
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
INTRODUCCIÓN
Este estudio está relacionado con los cinco elementos de la matemática: funciones
oferta, demanda, límites, derivada y costo marginal, que son fundamentales en la
economía de nuestra vida, para poder distribuir, calcular y economizar nuestro
dinero.
En primer lugar veremos que la demanda es la cantidad, calidad de bienes y
servicios que pueden ser adquiridos en los diferentes precios del mercado, y la
oferta, es cantidad de bienes y servicios que los productores venden a los distintos
precios de mercado; incluyendo el costo marginal, que mide la tasa de variación del
coste dividida por la variación de la producción.
Presentamos el concepto de límite. Propiedades de los límites. Límites y
manipulación algebraica. Límites laterales. Límites infinitos. Límites al infinito.
Continuidad: esencial y evitable. Continuidad aplicada a desigualdades. Asíntotas:
horizontales, verticales y oblicuas.
Siendo la derivada de una función, una medida de la rapidez con la que cambia el
valor de dicha función, según cambie el valor de su variable, independiente. En
segundo lugar definiremos la diferenciabilidad y continuidad. Técnicas de
derivación. La derivada como razón de cambio. Aproximación por diferenciales.
Análisis marginal: Costo e ingreso marginal. Propensión marginal al consumo y al
ahorro. Regla de la cadena y de la potencia.
Aplicaciones de la Derivada: Extremos relativos: trazado de una curva con la
primera derivada. Concavidad. Criterio de la primera y segunda derivada.
Elasticidad de la demanda.
Todo esto ya anunciado conforma lo que es el cálculo diferencial en la matemática
para economistas.
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
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OFERTA Y DEMANDA
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LÍMITES
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DERIVADAS
12
EJERCICIOS RESUELTOS
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BIBLIOGRAFÍA
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
CAPÍTULO I: OFERTA Y DEMANDA.
1. OFERTA: En economía, se define la oferta como aquella cantidad de bienes
o servicios que los productores están dispuestos a vender a los distintos
precios de mercado.
a) LA LEY DE LA OFERTA: Cuando los precios de un bien suben, la cantidad
ofertada también sube:


Los costes aumentan cuando aumenta la producción.
Mayores precios implican mayores beneficios: las empresas ajustan la
producción.
Aparecerán nuevos productores: la oferta total aumentará.

b) LA CURVA DELA EFERTA
c) OTROS DETERMINANTES DE LA OFERTA: Estos determinantes son:


Coste producción.
Existencia y rentabilidad de otros productos alternativos (sustitutos en
oferta)
Existencia y rentabilidad de otros productos complementarios en oferta.


Objetivos de los productores (aumentar/reducir margen; inundar el
mercado...)
Expectativas de los productores.

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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
2. DEMANDA: En economía se define como la cantidad, calidad de bienes y
servicios que pueden ser adquiridos en los diferentes precios del mercado
por un consumidor o por el conjunto de consumidores, en un momento
determinado.
a) LEY DE LA DEMANDA: Cuando el precio de un bien (normal) se eleva, la
cantidad demandada disminuye.
b) LA CURVA DE LA DEMANDA
c) OTROS FACTORES INFLUYEN EN LA DEMANDA: Estos factores son:






Gustos, publicidad, temperatura,…
Número y precio de los bienes sustitutivos
Número y precio de los bienes complementarios
Renta (nivel de ingresos; distribución…)
Expectativas
Población.
3. EL EFECTO DE LA RENTA: Al incrementar el precio de un bien, el consumidor
tiene relativamente menos renta.
Como reacción, el consumidor RACIONAL disminuirá la proporción de renta
gastado en este bien.
4. EL EFECTO SUSTITUCIÓN: Al incrementar el precio de un bien, el resto de los
bienes similares se hacen "relativamente" más baratos.
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
CAPÍTULO II: LÍMITES.
1. CONCEPTO: En matemática, el límite es un concepto que describe la
tendencia de una sucesión o una función, a medida que la función se
acercan a determinado valor.
Se determina:
Lim f(x)=L
x
a
Se lee: límite cuando “x” tiende al “a” de la función f(x) es igual a “L”.
Ejemplo:
𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
𝑓(𝑜) =
𝑠𝑒𝑛(𝑜)
𝑜
𝑓(𝑥0) =
0
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
0
0 ∄ 𝑑𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
No es necesario que a ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓(𝑥)
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2. CLASES DE LÍMITES
a) FUNCIÓN CONTINUA: Una función es continua en un punto x0 cuando existe
el límite de la función en x0 y coincide con el valor que toma la función en x0.
Para que una función sea continua en x0, se tienen que cumplir tres
condiciones:
Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.
Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en
todos los puntos del intervalo.
 PROPIEDADES
Si una función es continua en un punto x0, entonces es convergente en x0, es
decir, existe el límite de la función cuando x tiende a x0.
Si f(x) es continua en x0 ↔
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f(x) = f(x0)
LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
b) FUNCIÓN DISCONTINUA: Aquella que no puede dibujarse de un solo trazo. Es decir,
existen puntos donde de una pequeña variación de la variable independiente
produce un salto en los valores de la variable dependiente. Estos puntos reciben el
nombre de puntos de discontinuidad de la función.
c) FUNCIÓN RACIONAL: cuando tiene variables en el denominador y tiene
asíntota vertical.
Cuando es -∞, +∞ el límite tiene punto de discontinuidad.
𝑓(𝑥) =
Asíntota vertical
𝑥2 − 5 = 0
𝑥2 = 5
𝑥 = ±5
9
5𝑥
−5
𝑥2
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d) FUNCIONES PARTICIONADAS
e) FUNCIÓN ESCALONADA
𝑓(𝑥) = ⟦𝑥 − 6⟧ = 𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ≤ 𝑥 − 6 < 𝑛 + 1
𝑓(𝑥) = ⟦𝑥 − 6⟧ = 𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 + 6 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 7
−5; 1 ≤ 𝑥 < 2
−4; 2 ≤ 𝑥 < 3
−3; 3 ≤ 𝑥 < 4
𝑓(𝑥) =
−2; 4 ≤ 𝑥 < 5
−1; 5 ≤ 𝑥 < 6
{ 0; 6 ≤ 𝑥 < 7
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
𝑒𝑛 𝑥 = 3
3. TIPOS DE ASÍNTOTAS
En: 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 −1
𝑥 2 +2
a) Asíntota vertical
𝑥2 + 2 = 0
−2 = 𝑥 2 Absurdo
no existe asíntota vertical
b) Asíntota horizontal
No existe asíntota horizontal
c) Asíntota oblicua
𝑥3 − 1
(−2𝑥 − 1)
=𝑥+
2
𝑥 +2
𝑥2 + 2
𝑦 = 𝑥 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
CAPÍTULO III: DERIVADAS:
1. CONCEPTO: es un límite el cual es la pendiente de la recta tangente.
dy
dx
Se define: lim .
f ( x0  x)  f ( x0)
∆𝑥→0
x
∆𝑦
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = ∆𝑥 Tasa promedio de variación de y respecto al x (T.V.M)
1ℎ𝑢𝑒𝑣𝑜
T.V.M= 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
T.V.M=
10𝐾𝑚
ℎ𝑜𝑟𝑎
La derivada de f(x) evaluada en un punto (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) es la Razón de cambio
de la variable dependiente por cada unidad de cambio.
2. LA DERIVA Y SUS APLICACIONES
a) CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Sea: f(x)=y una función
Y
dy
su derivada
dx
Hallamos puntos críticos de f(x) a aquellos 𝑥0 , 𝑥1, … 𝑥𝑛 tal que
dy
(xi)=0 v
dx
dy
(xi)= ∞
dx
Para calcular el punto crítico: debemos igualar a cero
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dy
(x)= 0
dx
LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
Los puntos críticos son candidatos a puntos extremos que pueden ser máximos
o mínimos.
La función puede ser creciente o decreciente.
La derivada puede ser positiva o negativa.
b) CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Es posible que existan puntos de inflexión.
La función puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
La derivada puede ser positiva o negativa.
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
EJERCICIOS
Sea p=100-q2 la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la
razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan
rápido está cambiando con respecto a q cuándo q=5?
p=100-q2
p=-q2 +100=0
∆𝑦 = ∆𝑥 𝑃(5)
∆𝑦 = −10∆𝑥
Un sociólogo está estudiando varios programas que pueden ayudar en la educación
de niños de edad preescolar en cierta unidad. El sociólogo cree que x años después
de iniciado un programa particular, f(x) miles de niños estarán matriculados, donde
10(12𝑥−𝑥 2 )
f(x)=
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 12, ¿A qué razón cambiará la matricula (a)después de 3
9
años de iniciado el programa y (b) después de 9 años ?
10(12𝑥−𝑥 2 )
f(x)=
9
f′(x)=
10
f′(3)=
10
9
9
10
=
10
9
𝑥(12 − 𝑥)
(12 − 𝑥)
(6) =
60
9
= 6,33
f′(9)= 9 (12 − 18) = −6,33
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LÍMITES, DERIVADA Y COSTO MARGINAL 2011
BIBLIOGRAFÍA.
J, Ernest Hueussler, S. Richard, Wood, Richard. “Matemática para administración y
economía”. Décimasegunda edición.
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