Simplificación de fracciones

Simplificación de fracciones
Ejercicios de Simplificación a de fracciones
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
[email protected]
c 2007-2008
MathCon °
Contenido
1. Introducción
2
2. Suma de fracciones
3
3. Multiplicación de fracciones
5
4. División de fracciones
7
5. Simplificación de fracciones
9
Introducción
El problema de simplificación de fracciones algebraicas reúne varias habilidades algebraicas, como la
suma y resta de polinomios, la división de polinomios y la multiplicación de polinomios o expresiones
algebraicas.
Simplificar una expresión algebraica significa diferentes cosas, dependiendo del objetivo particular.
Sin embargo, casi siempre se entiende que simplificar significa realizar las operaciones escritas.
Se hacen uso de las siguientes fórmulas:
1.
2.
3.
a
c
ad + bc
+ =
b
d
bd
a c
ac
· =
b d
bd
a
ad
b
c = bc
d
1
Suma de fracciones
1. Simplificar
n
3
2
+
+
m2 mn m
Paso 1 Obtener el producto de los denominadores o el mcm de los mismos.
n
3
2
+
+
= 2
m2
mn m
m n
Paso 2 Se divide el denominador del resultado por cada uno de los denominadores de los términos de
la izquierda y se multiplica por los numeradores.
n
3
2
n2 + 3m + 2mn
+
+
=
m2
mn m
m2 n
Paso 3 Por lo tanto.
n
3
2
n2 + 3m + 2mn
+
+
=
2
m
mn m
m2 n
2. Simplificar
x+y x−y
+
x−y x+y
Paso 1 Obtener el producto de los denominadores o el mcm de los mismos.
x+y x−y
+
=
x−y x+y
(x + y)(x − y)
Paso 2 Se divide el denominador del resultado por cada uno de los denominadores de los términos de
la izquierda y se multiplica por los numeradores.
(x + y)2 + (x − y)2
x+y x−y
+
=
x−y x+y
(x + y)(x − y)
Paso 3 Simplificando.
(x + y)2 + (x − y)2
(x + y)(x − y)
=
=
x2 + 2xy + y 2 + x2 − 2xy + y 2
(x + y)(x − y)
2(x2 + y 2 )
x2 − y 2
2
2. Suma de fracciones
4
Paso 4 Por lo tanto.
x+y x−y
2(x2 + y 2 )
+
=
x−y x+y
x2 − y 2
Multiplicación de fracciones
1. Simplificar
7a
3m
5n4
·
·
6m2 10n2 14ax
Paso 1 Multiplicamos todos los numeradores y denominadores.
7a
3m
5n4
7a · 3m · 5n4
·
·
=
2
2
6m 10n 14ax
6m2 · 10n2 · 14ax
Paso 2 Simplificando.
7a · 3m · 5n4
6m2 · 10n2 · 14ax
=
=
=
=
(7 · 3 · 5)amn4
(6 · 10 · 14)m2 n2 ax
(7 · 3 · 5)n2
(3 · 2 · 5 · 2 · 7 · 2)mx
1 · n2
(2 · 2 · 2)mx
n2
8mx
Paso 3 Por lo tanto.
3m
5n4
n2
7a
·
·
=
2
2
6m 10n 14ax
8mx
2. Simplificar
1−x
a2
x2
·
·
a + 1 x − x2 a
Paso 1 Multiplicamos todos los numeradores y denominadores.
1−x
a2
x2
1 − x · a2 · x2
·
·
=
2
a+1 x−x
a
a + 1 · x − x2 · a
Paso 2 Simplificando.
3
3. Multiplicación de fracciones
6
1 − x · a2 · x2
a + 1 · x − x2 · a
=
=
=
=
1 − x · a2 · x2
a + 1 · x(1 − x) · a
(1 − x)(a2 )(x2 )
(a + 1)x(1 − x)(a)
(a)(x)
(a + 1)
ax
a+1
Paso 3 Por lo tanto.
1−x
a2
x2
ax
·
·
=
2
a+1 x−x
a
a+1
División de fracciones
5m2
3
1. Simplificar 7n 4
10m
14an4
Paso 1 Aplicando la fórmula de la división.
5m2
2
4
7n3 = 5m · 14an
4
3
4
7n · 10m
10m
14an4
Paso 2 Simplificando.
5m2 · 14an4
7n3 · 10m4
=
=
=
5m2 · 14an4
7n3 · 10m4
(5)(7 · 2)(an)
(7)(5 · 2)(m2 )
an
m2
Paso 3 Por lo tanto.
5m2
7n3 = an
m2
10m4
4
14an
x3 − x
2x2 + 6x
2. Simplificar
5x2 − 5x
2x + 6
4
4. División de fracciones
8
Paso 1 Aplicando la fórmula de la división.
x3 − x
3
2x2 + 6x = (x − x) · (2x + 6)
2
2
(2x + 6x) · (5x2 − 5x)
5x − 5x
2x + 6
Paso 2 Simplificando.
(x3 − x) · (2x + 6)
(2x2 + 6x) · (5x2 − 5x)
=
=
=
=
x(x2 − 1)(2x + 6)
x(2x + 6)5x(x − 1)
(x2 − 1)
5x(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
5x(x − 1)
x+1
5x
Paso 3 Por lo tanto.
x3 − x
2x2 + 6x = x + 1
5x
5x2 − 5x
2x + 6
Simplificación de fracciones
a
b
1. Simplificar
1
b−
b
a−
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
a
ab − a
a−
b =
b
1
b2 − 1
b−
b
b
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
ab − a
b
b2 − 1
b
=
=
=
=
b(ab − a)
b(b2 − 1)
(ab − a)
(b2 − 1)
a(b − 1)
(b − 1)(b + 1)
a
b+1
Paso 3 Por lo tanto.
a
b = a
1
b+1
b−
b
a−
1
x
2. Simplificar
1
1−
x
x2 −
5
5. Simplificación de fracciones
10
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
1
x3 − 1
x2 −
x =
x
1
x−1
1−
x
x
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
x3 − 1
x
x−1
x
=
=
=
=
x(x3 − 1)
x(x − 1)
(x3 − 1)
(x − 1)
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x − 1)
x2 + x + 1
Paso 3 Por lo tanto.
1
x = x2 + x + 1
1
1−
x
x2 −
a b
−
a
3. Simplificar b
b
1+
a
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
a
b
a2 − b2
−
b
a =
ba
b
a+b
1+
a
a
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
a2 − b2
ba
a+b
a
=
=
=
Paso 3 Por lo tanto.
a(a2 − b2 )
ba(a + b)
(a + b)(a − b)
b(a + b)
a−b
b
5. Simplificación de fracciones
11
a
b
−
b
a = a−b
b
b
1+
a
1
1
+
n
4. Simplificar m
1
1
−
m n
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
1
1
n+m
+
m n = mn
n−m
1
1
−
mn
m n
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
n+m
mn
n−m
mn
=
mn(n + m)
mn(n − m)
=
(n + m)
(n − m)
Paso 3 Por lo tanto.
1
1
+
m n = n+m
1
1
n−m
−
m n
x y
−
y
x
5. Simplificar
y
1+
x
Paso 1 Simplificando numerador y denominador.
x y
x2 − y 2
−
y
x
yx
y = x+y
1+
x
x
Paso 2 Dividiendo y simplificando.
5. Simplificación de fracciones
12
x2 − y 2
yx
x+y
x
=
=
=
x(x2 − y 2 )
yx(x + y)
(a + b)(a − b)
b(a + b)
a−b
b
Paso 3 Por lo tanto.
a
b
−
b
a = a−b
b
b
1+
a