Contenido de la Unidad 3

Contenido de la Unidad 3
DISTRIBUCIONES DISCRETAS..................................................................................................... 2
3.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. ............................................................ 2
3.2 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN, VALOR ESPERADO, VARIANZA Y
DESVIACIÓN. .................................................................................................................................. 2
Función de Probabilidad. .......................................................................................................... 2
Media o valor esperado de una variable aleatoria discreta. ..................................................... 3
Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta. ........................................ 3
3.3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ....................................................................................................... 3
3.4 DISTRUBUCIÓN HIPERGOEMÉTRICA. .................................................................................. 7
3.5 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA. ............................................................................................. 10
3.6 DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL. ............................................................................................ 11
3.7 DISTRIBUCIÓN DE POISSON............................................................................................... 12
3.8. APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA DE POISSON. ............................................... 15
3.9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA ................................................................................ 16
3.10 DISTRIBUCIÓN UNIFORME (DISCRETA) ........................................................................... 18
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
3.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
Variable aleatoria discreta. Es una variable aleatoria con un rango finito o infinito
contable.
Función. Es el comportamiento de una variable.
Distribuciones
Discretas
Distribuciones
de
Probabilidad
Distribuciones
Continuas
Binomial
Multinomial
Poisson
Geométrica
Hipergeométrica
Normal (z)
t
Chi cuadrada (x2)
F
Exponencial
Uniforme
Gamma
Beta
Erlang
Logarítmicas
3.2 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN, VALOR
ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIÓN.
Función de Probabilidad.
La función f(x)= P(X=x) que va del conjunto de los valores posibles de una variable
aleatoria discreta X al intervalo [0,1] recibe el nombre de función de
probabilidad.1
Para una variable aleatoria X, f(x) satisface las propiedades siguientes:
1) f(x)= P(X=x)
2) f(x)≥ 0 para toda x
3) Σ f(x)=1
1MONTGOMERY,
Douglas C. Op. Cit.Pág. 105
Media o valor esperado de una variable aleatoria discreta.
Si X es una variable aleatoria, el experimento aleatorio que determine el valor de X
se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X.
Puede emplearse un resumen de estos valores, tal como el promedio (media),
para identificar el valor central de una variable aleatoria.
La función de probabilidad de X puede interpretarse como la porción de ensayos
en los que X=x en secuencia, en realidad no es necesario realizar el experimento
muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X. La media de X
puede calcularse como el promedio ponderado de los valores posibles de X,
asignando al resultado x un factor de ponderación f(x)=P(X=x).
La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta2 X, denotado por
µ o E(X), es:
  x   x f x
Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
La varianza de una variable aleatoria discreta3 X, denotada por σ2 o V(X), es
 2  v x     x    f  x    x 2 f  x    2
2
La varianza de una variable aleatoria discreta es similar a la varianza muestral
utilizada anteriormente. La varianza de una variable aleatoria se calcula
ponderando el cuadrado de cada desviación con respecto a la media, con la
probabilidad asociada de la desviación. La probabilidad asociada con una
desviación representa la proporción de un grande de repeticiones del experimento
aleatorio en los que se obtiene dicha desviación.
La desviación estándar de una variable aleatoria4 X, denotada por σ, es la raíz
cuadrada positiva deσ2.
  v x    2
3.3 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL5
Ensayo de Bernoulli._ Es un experimento aleatorio que contiene solo dos
resultado posible, denotados por “éxito” y “fracaso”. La probabilidad de un éxito se
denota por p.
Un experimento aleatorio que consiste en n ensayos repetido tales que:
1) Los ensayos son independientes.
2Ibid.
Pág. 113
Pág. 116
4Ibid. Pág. 117
5Ibid.Pág. 125
3Ibid.
2) Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles denominados “éxito” y
“fracaso”.
3) La probabilidad de “éxito” de cada ensayo, denotado por p, permanece
constante.
Recibe el nombre de experimento binomial.
La variable aleatoria X que es igual al de ensayos donde el resultado es un éxito,
tiene una distribución binomial con parámetros p y n =1,2,…
La función de probabilidad de la distribución binomial es:
n
n x
f x     p x 1  p  , x  0,1,2,...
 x
Ejemplo:
Suponga que la probabilidad de recuperar un automóvil robado en cierta ciudad es
de 0.40.
a) ¿Cuál es la probabilidad de 2 automóviles de los 10 robados?
b) ¿Cuál es la probabilidad de recuperar cuando mucho 3 de los 10
automóviles robados?
c) ¿Cuál es la probabilidad de recuperar por lo menos 7 de los 10
automóviles robados?
n= 10
P= 0.40
X= 2
a)
10
2
10  2
8
f (2)   .40 1  .40
 450.160.60  0.12093
2 
b)

10
0
10  0
10
 110.60  0.00604
 px  0 0.40 1  0.40
0
 


10
 px  1 0.401 1  0.4010 1  100.400.609  0.04031

1 
px  3  
 px  2100.402 1  0.4010 2  450.160.608  0.12093
2 

 


10
3
10 3
7
 1200.0640.60  0.21499
 px  3 0.40 1  0.40
3 

px  3  px  0  px  1  px  2  px  3  0.3822
c)

10
10
10 10
 10.00011  0.0001
 px  10 0.40 1  0.40
10


10
 px  9 0.409 1  0.4010 9  100.000260.6  0.00156

9 
px  7 
 px  8100.408 1  0.4010 8  450.0006536  0.01053
8 

 


10
7
10  7
 1200.001630.216  0.04224
 px  7  0.40 1  0.40
7



px  7   px  10  px  9  px  8  px  7   0.0544
EJERCICIO 1:
Al probar cierto tipo de neumáticos para camión en un terreno escabroso se
encuentra que el 25% de los camiones no completaban la prueba si ponchaduras.
a) Dentro de los siguientes 15 camiones encuentre las probabilidades que de
3 a 6 tengan ponchaduras.
b) De que menos 4 tengan ponchaduras.
c) De que más 5 tengan ponchaduras.
P=0.25
n= 15
a)

15
3
15 3
 4550.015620.03167  0.22508
 px  3 0.25 1  0.25
3




15
 px  4 0.254 1  0.2515 4  13650.003900.04223  0.22481

4 
p3  x  6
 px  5150.255 1  0.25155  30030.000970.05631  0.16402
5 

 


15
6
15  6
 50050.000240.07508  0.09018
 px  6 0.25 1  0.25
6 

p3  x  6  px  3  px  4  px  5  px  6  0.70409
b)

15
3
12
 P( x  3)   (0.25) (1  0.25)  0.225199
3 


15
 P( x  2)   (0.25) 2 (1  0.25)13  0.155907

2 
P( X  4)  
 P( x  1)  15(0.25)1 (1  0.25)14  0.066817
1 

 


15
0
15
 P( x  0)   (0.25) (1  0.25)  0.03363
0
 

P( X  4)  0.4612
c)

 p( x


 p( x


 p( x


p ( X  5)  
 p( x



 p( x


 p( x


15
 0)   (0.25) 0 (1  0.25)15  0.013363
0 
15
 1)   (0.25)1 (1  0.25)14  0.066817
1 
15
 2)   (0.25) 2 (1  0.25)13  0.155907
2 
15
 3)   (0.25) 3 (1  0.25)12  0.225199
3 
15
 4)   (0.25) 4 (1  0.25)11  0.225199
4 
15
 5)   (0.25) 5 (1  0.25)10  0.165145
5 
p ( X  5)  0.8516
p ( X  5)  1  p ( X  5)  1  0.8516  0.1484
EJERCICIO 2:
La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de
corazón es 0.90.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los pacientes
intervenidos sobrevivan?
P=0.90
n= 7
7
5
7 5
px  5 0.90 1  0.90  210.590490.01  0.1240029
5
3.4 DISTRUBUCIÓN HIPERGOEMÉTRICA.
Si se selecciona una muestra sin reemplazo de una población finita conocida y
contiene una proporción relativamente grande de la población, de manera que la
probabilidad de éxito sea perceptiblemente alterada de una selección a la
siguiente, debe utilizarse la distribución hipergeométrica.6
Un conjunto de N objetos contienen
R objetos clasificados como éxitos y
N-R objetos clasificados como fallas
Se toma una muestra de tamaño n, al azar (sin reemplazo) de entre N objetos,
donde R N y n .
Sea la variable aleatoria X el de éxitos en la muestra. Entonces, X tiene
una distribución hipergeométrica y7
 r  N  r 
 

x  n  x 

f x  
 para0  x  r , r  N , n  N
N
 
n 
f(x): Probabilidad de x éxitos en n intentos.
n: La cantidad de intentos.
r: La cantidad de elementos identificados como éxitos en la probabilidad.
N: La cantidad de intentos de la población.
x: elementos identificados como éxitos.
EJEMPLO 1:
Supongamos que en un establo de caballos de carrera hay N = 10 caballos, y r = 4
de ellos son del dueño Y. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de
n = 3 en la cual x = 2 sean del dueño Y?
6
WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los negocios y la economía, Pag. 115.
Douglas C. Op. Cit. Pág. 140
7MONTGOMERY,
 4 10  4 
 6
 
 6 
2 4 1 
1
6*6
px  2  
  
 0.30
10
10 120
 
 
3 
3 
Existe un 30% de probabilidad de seleccionar tres caballos de carreras, dos de los
cuales están enfermos.
EJEMPLO 2:
Un grupo de segundo semestre está formado por treinta alumnos de los cuales 6
son mujeres y el resto hombres. Determine la probabilidad de seleccionar por lo
mucho 3 mujeres.
N= 30
r= 6
n= 3

 6  30  6 
 24
 
 1 

 p  x  0   0  3  0    3   2024  0.49852

 30
 30 4060
 
 

3


3 


 6  30  6 
 24

 
 6 

1  3  1    2   1656  0.40788
 p  x  1
 30
 30 4060

 
 

3 
3 
p  x  3  
 6  30  6 
 24

 
 15 

2 32 
1
360
  
 0.08866
 p  x  2   
4060
 30
 30

 
 

3 

3 


 6  30  6 
 24
 
 20 

 p  x  3  3  3  3    0   20  0.00492

4060
 30
 30
 
 

3 
3 

p  x  3  p  x  0   p  x  1  p  x  2   p  x  3  0.99998
EJERCICIO 1:
Una población consiste de 10 artículos 4 de los cuales son defectuosos y los 6
restantes no lo son, ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de
tamaño 3 contenga 2 artículos defectuosos?
N= 10
r= 4
n= 3
 4 10  4   4  6 
 
   
2  3  2   2 1  36

px  2 


 0.30
120
10
10
 
 
2 
3 
EJERCICIO 2:
Como subgerente de una empresa de materias primas, usted debe contratar 10
personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos universitarios. ¿Cuál
es la probabilidad de que 5 de los que usted contrate tengan un título?8
N=20, r=22, n=10, x=5
F(x)= 0.049083151 = 4.9 %
EJERCICIO 3:
De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se
seleccionan 12 para ser enviados al Japón a estudiar un nuevo proceso de
producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso.
¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento
sobre el proceso antes de partir para el lejano oriente?9
N=15, r=8, n=12, x=5
F(x)= 0.123076923 = 12.3 %
EJERCICIO 4:
Cuarenta trabajadores han recibido en su oficina nuevos computadores.
Veintisiete tienen la nueva tecnologíaMMX. Si se seleccionan 10 aleatoriamente,
¿cuál es la probabilidad de que 3 estén equipados con MMX? 10
N=40, r=27, n=10, x=3
F(x)= 0.005921356= 0.59 %
8
WEBSTER, Allen L. Op. Cit, Pag. 115.
Pág. 115.
10Ibid. Pág. 115.
9Ibid.
3.5 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.
Considere un experimento aleatorio que está muy relacionado con el que se
empleó para definir una distribución binomial, suponga una serie de ensayos
Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de éxitos, sea la
variable aleatoria X el número de ensayos realizados hasta la obtención del
primer éxito, entonces X tiene una distribución geométrica con parámetro p.11
Función de Probabilidad.
g x  p1  p , x  1,2,3,...
x 1
EJEMPLO:
Se sabe que en cierto proceso de fabricación en promedio uno de cada
100 artículos, esta defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que 5 artículos que se
inspeccionan sea el primer defectuoso en hallarse?
p
1
 0.01
100
g 5  0.011  0.01
51
 0.010.99  0.009605
4
0.0096*100  0.96%
EJERCICIO I:
En tiros repetidos de un dado equilibrados, la probabilidad de que el primer 6
ocurra en el tercer tiro es.
p
1
 0.16
6
g 3  0.161  0.16  0.1157
ó
2
 1  1  1 
g 3   

 6  6 
31
2
 1  5 
 1  25  25
        
 0.1157
 6  6 
 6  6  216
%  0.1157*100  11.57%
11MONTGOMERY,
Douglas C. Op. Cit. Pág. 132
3.6 DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL.
Una importante y útil variable aleatoria de mayor dimensión tiene una distribución
conocida como distribución multinomial.12 Supóngase que en un experimento X
con espacio muestra z se particiona en K eventos mutuamente excluyentes,
digamos B1, B2,…,Bk. Consideremos n repeticiones independientes de X y
dejemos que p1=p(Bi) sea constante de ensayo a ensayos de Bernoulli como los
descritos anteriormente. El vector aleatorio, [X1, X2,…,Xk ], tiene la siguiente
distribución donde X1 es el número de veces que B1 ocurre en las n repeticiones
de X,1= 1,2,…,K.

 X1 X 2
n!
XK
p X 1 , X 2 ,..., X K   
 p1 P2 ...PK
X
!
,
X
!
,...,
X
!
2
k 
 1
Con.

k
i n
Xi  n ó i 1 Pi  1
k
X= El número de veces que se descarta cuando ocurra un evento.
P= La probabilidad de que ocurra cada evento.
n= el total de veces de todos los eventos.
EJEMPLO:
Se lanza 6 veces un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de
7 u 11 en dos ocasiones, un par igual una vez o cualquier otra combinación
diferente de las 2 anteriores 3 veces?
n= 6
X1= 2
X2= 1
X3= 3
12Ibid.



Pág. 186.
E1: 7 u 11.
E2: Par o igual.
E3: Combinación diferente.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4 5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10
9 10 11
10 11 12
P1= 8/36 = 2/9
P2= 6/36 = 1/6
P3=22/36 = 11/18

 2   1   11 
6!
 654  2   1   11 
       
Pm ultinom ial   
     
2

 9   6   15 
 2!1!3!  9   6   15 
2
1
3
2
1
3
 4  1  1331  319.440
 60  
 0.1125

 81 6  2834352 2834352
3.7 DISTRIBUCIÓN DE POISSON.
Distribución de Poisson Ideada por el matemático francés Simeon Poisson
(1781 -1840), la distribución de Poisson mide la probabilidad de un evento
aleatorio sobre algún intervalo de tiempo o espacio13.
La distribución de Poisson puede desarrollarse de dos maneras, y ambas son
instructivas en lo que respecta a que indican las circunstancias en las que esta
variable aleatoria puede esperarse que se aplique en la práctica. El primer
desarrollo implica la definición de un proceso de Poisson. El segundo desarrollo
muestra la distribución de Poisson como una forma límite de la distribución.14
La primera suposición es que el número de llegadas durante intervalos de tiempo
que no se traslapen, son variables aleatorias independientes. Segundo, hacemos
la suposición de que existe una cantidad positiva  tal que para cualquier intervalo
pequeño de tiempo, t, se cumplen los siguientes postulados.
1) La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es mayor a
cero.
2) La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo en la misma para todos
los subintervalos y es proporcional a la longitud de estos.
3) El conteo de la ocurrencia en cada subintervalo es independiente de los
demás subintervalos.
13WEBSTER,
Allen L. Op. Cit, Pag. 115.
Douglas C. Op. Cit.. Pág.189
14MONTGOMERY,
Función de Probabilidad:
e  
f X ,   

X
X!
= El número promedio de ocurrencias en un rango.
X= El número de veces que se busca ocurra el evento promedio.
EJEMPLO:
A menudo el de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela
como una variable aleatoria de Poisson, suponga que en promedio se reciben 10
llamadas por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 1 hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 3 o menos llamadas en una
hora?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en 2
horas?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30min?
a) .
0.00004539993100000  0.03783
e 10 10
Px  5 f 5,10 

5!
120
5
%  0.03783100  3.78%
b) = 10 llamadas / hora
0

e 10 10


p
x

0

 0.0000453999
3

0!

1

e 10 10
 0.0000453999
3
 p x  1 

1!
p X  3
2
10
 p x  2   e 10  0.0002269996
4

2!

3
10
 p x  3  e 10  0.015133309

3!
pP  3  0.01033
%  0.01033100  1.03%
c) = 20 llamadas / 2 horas



e  20 20
2.06115x104 302768x1019
px  15 


2!
1.307667x1012
6753988190
0.1

 0.05164
1.30767x1012
%  0.05164100  5.16%
15
d) .  = 5 llamadas /hora
5
e 5 5
p  x  5 
 0.17546
5!
%  0.17546100  17.54%
3.8. APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA DE POISSON.
Se demostrara ahora que cuando el valor de n es grande y el valor de p es
cercano a 0, la distribución binomial con parámetros n y p se puede aproximar por
una distribución de Poisson con media np. Supóngase de una variable aleatoria X
tiene una distribución binomial con parámetros n y p y sea Pr(X = x) = f (x|n, p)
para cualquier valor dado de x. Entonces de la ecuación (6) de la sección 5.2, para
x=1,2,…., n.
15
𝑛(𝑛 − 1) ∙∙∙ (𝑛 − 𝑥 + 1) 𝑥
𝑝 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥
𝑥!
Si definimos λ= np, entonces 𝑓(𝑥|𝑛, 𝑝) se puede reescribir de la siguiente forma:
𝜆𝑥 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 𝑥 + 1
𝜆 𝑛
𝜆 −𝑥
𝑓(𝑥|𝑛, 𝑝) =
∙
∙∙∙
(1 − ) (1 − )
𝑥! 𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Supóngase ahora que 𝑛 − ∞ y 𝑝 − ∞ de forma que el valor del producto np
permanezca igual al valor fijo λ a través de este proceso de límites. Puesto que los
valores de λ y x permanecen fijos cuando 𝑛 − ∞, entonces
𝑛 𝑛−1 𝑛−𝑥+1
𝜆 −𝑥
lim ∙
⋯
(1 − ) = 1
𝑛−∞ 𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Además se sabe de cálculo elemental que
𝜆 𝑛
lim (1 − ) = 𝑒 −𝜆
𝑛−∞
𝑛
Por la ecuación (8), resulta ahora que para cualquier entero positivo fijo x,
𝑒 −𝜆 𝜆𝑥
𝑓(𝑥|𝑛, 𝑝) →
𝑥!
Por último para 𝑥 = 0,
𝜆 𝑛
𝑛
𝑓(𝑥|𝑛, 𝑝) = (1 − 𝑝) = (1 − )
𝑛
𝑓(𝑥|𝑛, 𝑝) =
Ejemplos:
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10
cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco
en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3,….., etc., etc.
l = 6 cheques sin fondo por día
e = 2.718
15Probabilidad
y Estadística, Morris H DeGroot, págs. 243, 244
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco
en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ……, etc., etc.
l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos
Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe
“hablar” de lo mismo que x.
2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo,
se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las
probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos
imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
Solución:
a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada
3 minutos = 0, 1, 2, 3,…., etc., etc.
l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada
5 minutos = 0, 1, 2, 3,…., etc., etc.
l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416
c) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada
15 minutos = 0, 1, 2, 3,….., etc., etc.
l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata
3.9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Si Repetidos intentos independientes pueden resultar en existo con una
probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad 𝑞 = 1 − 𝑝, entonces la
distribución de la probabilidad de la variable x, el número de intentos en el cual
ocurre el k-èsimo éxito es:16
𝑥 −1 𝑘 𝑥−𝑘
𝑏 ∗ (𝑥; 𝑘, 𝑝) = (
)𝑝 𝑞
,
𝑘 −1
𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, ….
Ejemplo 1
16
Probabilidad y Estadística, Walpole Myers, 4a edición, págs. 134, 135.
Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas
obtenga ya sea solo caras o solo cruces por segunda ocasión en el quinto
lanzamiento.
Solución
tiene:
1
Utilizando la distribución binomial negativa con 𝑥 = 5, 𝑘 = 2 𝑦 𝑝 = 4, se
1
4 1 2 3 3
𝑏 ∗ (5; 2, ) = ( ) ( ) ( )
4
1 4
4
4! 33
27
∙ 5=
1! 3! 4
256
La distribución binomial negativa toma su nombre del hecho que cada termino en
expansión de 𝑝𝑘 (1 − 𝑞)−𝑘 corresponde a los valores de 𝑏 ∗ (𝑥; 𝑘, 𝑝) para 𝑥 = 𝑘, 𝑘 +
1, 𝑘 + 2, … … ..
Si se considera el caso especial de la distribución binomial negativa donde k=1, se
tiene una distribución de probabilidad para el numero de intentos requeridos para
un solo éxito. Un ejemplo seria el lanzamiento de una moneda hasta que ocurriera
una cara. Se podría estar interesado en la probabilidad de que la primera cara
ocurriera en el cuarto lanzamiento. La distribución binomial negativa se reduce a la
forma 𝑏 ∗ (𝑥; 1, 𝑝) = 𝑝𝑞 𝑥−1 , 𝑥 = 1,2,3, …. dado que los términos sucesivos
constituyen una progresión geométrica, se acostumbra referirse a este caso
especial como la distribución geométrica y sus valores se representan por 𝑔(𝑥; 𝑝).
=
Ejemplo 2
La solución es:
Ejemplo 3
1) Esperanza: E(X) =r ´ q/p
2) Varianza: V(X) =r ´ q/p2
3) Se cumplen las siguientes propiedades respecto la función de densidad:
4) Este modelo se ajusta bien a contajes (números de individuos por unidad de
superficie) cuando se produce una distribución contagiosa (los individuos tienden a
agruparse).
5) La distribución Binomial negativa puede definirse con mayor generalidad si
tomamos r como un número real positivo cualquiera (no necesariamente entero).
Pero, en dicho caso, se pierde el carácter intuitivo del modelo y se complican
ligeramente los cálculos. Por dichas razones, se ha excluido dicha posibilidad en
esta presentación.
3.10 DISTRIBUCIÓN UNIFORME (DISCRETA)
Si una variable aleatoria puede tomar n valores distintos con iguales
probabilidades, decimos que esta tiene una distribución uniforme discreta; en
forma simbólica se tiene:
Definición
Una variable X tiene una distribución uniforme discreta, y se conoce como
variable aleatoria uniforme discreta, si y solo si su distribución de probabilidad está
dada por 17
1
𝑓(𝑥) = 𝑛 Para 𝑋 = x1, x2, x3,….., xn
La media y la varianza de esta distribución son, respectivamente:
1
1
1
1
𝜇 = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ∙ 𝑛 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 y𝜎 2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇)2 ∙ 𝑛 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇)2
La desviación estándar, por tanto, está dada por la siguiente expresión:
2
∑𝑛
𝑖=1(𝑥𝑖 −𝜇)
𝜎=√
𝑛
.
En la mayoría de las calculadoras científicas de bolsillo existe una modalidad
estadística con la cual estos dos parámetros se pueden calcular oprimiendo una
tecla. Pero la obtención de la media y la desviación estándar de una variable
aleatoria por medio de la calculadora en general solo funciona para la distribución
uniforme discreta, la cual la calculadora la asume por default.de hecho, la media
de la variable aleatoria con distribución uniforme discreta es el promedio aritmético
común, denotado en las calculadoras por el símbolo x (x testada).
Ejemplo:
Se lanza un dado ordinario. Para 𝑖 = 1,2, … . . ,6. definimos la variable aleatoria 𝑋 =
17
Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias, Gabril Velasco Sotomayor, págs. 107, 109.
𝑥𝑖 como la cara del dado que sale hacia arriba. Obtenga la distribución de
probabilidad de esta variable aleatoria, así como su media y su desviación
estándar.
Solución. Naturalmente, si el dado no está cargado, entonces cualquiera de las
seis caras tiene la misma probabilidad de salir, así que la función de distribución
de probabilidad de este ejemplo está dada por
1
𝑓(𝑥𝑖 ) = ,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … … , 6.
6
La media y la desviación estándar son, por lo tanto:
6
∑6 (𝑥𝑖 − 3.5)2
1
1+2+3+4+5+6
𝜇 = ∑ 𝑥𝑖 =
= 3.5; 𝜎 = √ 𝑖=1
= 1.707825
6
6
6
𝑖=1
Ejemplos: Si lanzamos un dado de seis caras, jugamos a la ruleta francesa,
jugamos a la lotería, la función de masa es:
1
P(X = i) =𝑛
i = 1, ..., n
y la esperanza matemática es:
1
E [X]=∑𝑛!=1 𝑖 p(x=i) =𝑛 ∑𝑛1 𝐼 =
1𝑛+1
𝑛+1
𝑛2
2
n=
Sea una variable aleatoria que puede tomar n valores distintos, x1,..., xn, cada uno
de ellos con la misma probabilidad, es decir, con probabilidad uniforme. La
distribución de probabilidad o función de masa de esta variable aleatoria es:
1
P(X = xi) =𝑛
para i = 1,..., n
Comprobemos que es función de masa:
P(X = xi) ≥ 0 ∀ i.
1
∑𝑛𝑖=1 𝑝(X = xi) =∑𝑛𝑖=1 𝑥 =1
𝑛
Sin pérdida de generalidad, suponemos ahora que los valores están ordenados de
menor a mayor. La función de distribución es:
1
F(x){
1
𝑛
𝑛
0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑥1
sin 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2
𝑠𝑖 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥 + 1