Apunte Matemática 2015 - UTN
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL LA RIOJA
SEMINARIO
DE
MATEMÁTICA
Lic. Prof. Marcela I. Silva
Año 2014
UTN
FACULTAD REGIONAL LA RIOJA
Este Seminario de Matemática es de nivelación. El sentido de este curso es favorecer la
incorporación del aspirante a la vida universitaria, revisar e integrar los conocimientos matemáticos adquiridos en el nivel medio, apuntando a la nivelación de dichos conocimientos previos,
proporcionando herramientas metodológicas que propicien su mejor adecuación, facilitando la
transición de la Enseñanza Media a la Educación Universitaria.
OBJETIVOS:
Proyectar y llevar adelante una enseñanza que permita a los alumnos construir el sentido de
los conocimientos matemáticos.
Orientar el trabajo didáctico-pedagógico para que los alumnos se sientan seguros en su capacidad de construcción de conocimientos matemáticos, desarrollen su autoestima y sean perseverantes en la búsqueda de las soluciones.
Comprender los conceptos y forma de razonamiento matemáticos básicos para el estudio
de las asignaturas subsiguientes de las carreras de Ingeniería de esta Facultad.
Apropiarse y dominar procedimientos, estrategias y tareas propias del quehacer matemátco como son la modelización de situaciones, las prácticas de argumentación basadas en
conocimientos matemáticos, la elaboración de conjeturas y de pruebas, la validación de
resultados, la generalización y el razonamiento deductivo.
PROGRAMA DE CONTENIDOS CONCEPTUALES
UNIDAD N°1: Conjuntos o campos numéricos. Operaciones hasta números reales. Propiedades.
UNIDAD N°2: Expresiones algebraicas. Operaciones con expresiones algebraicas enteras.
Factorización.
UNIDAD N°3: Medición de ángulos. Trigonometría. Funciones trigonométricas. Resolución
de problemas.
UNIDAD N°4: Relaciones. Funciones. Clasificación. Aplicaciones.
UNIDAD N°5: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones. Inecuaciones. Problemas de aplicación.
BIBLIOGRAFÍA
Seminario de Matemática de la Universidad Tec. Nac. Facultad Regional La Rioja.
Matemática de 1° a 5° Año de Nivel Medio Editorial Estrada. Autor: Carlos A. Tapia
Matemáticas Polimodal I, II y III. Editorial Santillana.
Matemáticas Polimodal I, II y III. Editorial Puerto de Palos.
Matemáticas Polimodal I, II y III. Editorial Longseller.
Matemáticas Polimodal I, II y III. Editorial Aique.
www.vitutor.com/ejercicio.html.
www.sectormatematica.cl/educmedia.htm.
www.ematematicas.net/trigonometria.php?a=5
www.frlr.utn.edu.ar
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MODALIDAD DEL CURSO
Clases teóricas y prácticas.
Autoevaluaciones por unidad.
ACREDITACIÓN DEL CURSO
Asistencia de un 80%.
Presentación de carpeta de actividades prácticas.
Aprobación de cuatro parciales o sus instancias de recuperación.
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Índice
Símbolos matemáticos……………………………………………………………………………………….7
1.Conjuntos numéricos y calculatoria ........................................................................................... 8
1.1. Conjuntos numéricos .................................................................................................................... 8
1.1.1. Introducción ............................................................................................................................ 8
1.1.2. Números naturales ................................................................................................................. 9
1.1.3. Números naturales negativos ................................................................................................ 9
1.1.4. Números enteros .................................................................................................................... 9
1.1.5. Números fraccionarios ......................................................................................................... 10
1.1.6. Números racionales .............................................................................................................. 10
1.1.7. Números irracionales ........................................................................................................... 11
1.1.8. Números reales ..................................................................................................................... 12
1.1.9. Números complejos............................................................................................................... 12
1.2. Calculatoria ................................................................................................................................ 13
1.2.1. Adición................................................................................................................................... 13
1.2.2. Sustracción............................................................................................................................ 13
1.2.3. Multiplicación ....................................................................................................................... 13
1.2.4. División ................................................................................................................................. 14
1.2.5. Potenciación .......................................................................................................................... 15
1.2.6. Radicación ............................................................................................................................. 16
1.2.6.1. Suma y resta de radicales .............................................................................................. 17
1.2.6.2. Reducción de radicales a común índice ......................................................................... 17
1.2.6.3. Simplificación de radicales ............................................................................................ 18
1.2.6.4. Multiplicación de radicales ............................................................................................ 18
1.2.6.5. División de radicales ...................................................................................................... 18
1.2.6.6. Extracción de factores de un radical ............................................................................. 18
1.2.6.7. Introducción de factores dentro del radical .................................................................. 18
1.2.6.8. Raíces como potencias de exponente fraccionario ........................................................ 19
1.2.6.9. Racionalización de denominadores................................................................................ 19
1.2.7. Logaritmación ....................................................................................................................... 19
1.3. Ejercicios de aplicación .............................................................................................................. 21
2. Expresiones algebraicas.............................................................................................................. 25
2.1. Introducción ................................................................................................................................ 25
2.2. Clasificación de las expresiones algebraicas ............................................................................ 25
2.2.1. Monomios .............................................................................................................................. 26
2.2.2. Polinomios ............................................................................................................................. 26
2.2.2.1. Polinomio ordenado ........................................................................................................ 27
2.2.2.2. Polinomio completo ......................................................................................................... 27
2.2.2.3. Forma de general de expresar los polinomios............................................................... 27
2.2.2.4. Polinomios idénticos ....................................................................................................... 27
2.2.2.5. Polinomios opuestos ....................................................................................................... 28
2.2.2.6. Polinomio normalizado ................................................................................................... 28
2.2.2.7. Valor numérico de un polinomio .................................................................................... 28
2.3. Operaciones entre expresiones algebraicas enteras ................................................................ 28
2.3.1. Suma de monomios............................................................................................................... 28
2.3.2. Suma de polinomios ............................................................................................................. 29
2.3.3. Resta de monomios ............................................................................................................... 30
2.3.4. Resta de polinomios .............................................................................................................. 30
2.3.5. Producto de monomios ......................................................................................................... 30
2.3.6. Producto de polinomios ........................................................................................................ 30
2.3.7. Cociente de monomios .......................................................................................................... 30
2.3.8. Cociente de polinomios ......................................................................................................... 30
2.3.9. Regla de Ruffini .................................................................................................................... 32
2.3.10. Teorema del resto ............................................................................................................... 33
2.4. Factoreo de expresiones algebraicas ......................................................................................... 33
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2.4.1. Primer caso: Factor común .................................................................................................. 33
2.4.2. Segundo caso: Factor común por grupos ............................................................................. 34
2.4.3. Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto ............................................................................ 34
2.4.4. Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto ............................................................................. 35
2.4.5. Quinto caso: Diferencia de cuadrados ................................................................................. 36
2.4.6. Sexto caso: Suma o diferencia de potencias de igual grado ............................................... 36
2.4.6.1. Suma de dos potencias de igual grado .......................................................................... 36
2.4.6.2. Diferencia de potencia de igual grado ........................................................................... 37
2.4.7. Descomposición factorial de un polinomio .......................................................................... 37
2.5. Ejercicios de aplicación .............................................................................................................. 39
3. Trigonometría ................................................................................................................................ 43
3.1. Introducción ................................................................................................................................ 43
3.2. Sistemas de medición de ángulos .............................................................................................. 44
3.2.1. Sistema sexagesimal ............................................................................................................ 45
3.2.2. Sistema circular .................................................................................................................... 45
3.2.3. Sistema centesimal............................................................................................................... 46
3.3. Razones trigonométricas ............................................................................................................ 46
3.3.1. Seno de un ángulo agudo ..................................................................................................... 47
3.3.2. Coseno de un ángulo agudo ................................................................................................. 47
3.3.3. Tangente de un ángulo agudo.............................................................................................. 47
3.3.4. Cotangente de un ángulo agudo .......................................................................................... 47
3.3.5. Secante de un ángulo agudo ................................................................................................ 48
3.3.6. Cosecante de un ángulo agudo ............................................................................................ 48
3.3.7. Cómo utilizar la calculadora ................................................................................................ 48
3.3.8. Identidades trigonométricas ................................................................................................ 49
3.4. Resolución de triángulos ............................................................................................................ 50
3.4.1. Teorema de Pitágoras .......................................................................................................... 50
3.4.2. Teorema del seno .................................................................................................................. 50
3.4.3. Teorema del coseno .............................................................................................................. 51
3.4.4. Ángulos internos de un triángulo ........................................................................................ 51
3.4.5. Área de un triángulo ............................................................................................................ 51
3.5. Ejercicios de aplicación .............................................................................................................. 52
4. Relaciones y funciones ................................................................................................................ 55
4.1. Introducción ................................................................................................................................ 55
4.2. Relaciones ................................................................................................................................... 55
4.2.1. Dominio y recorrido de una relación ................................................................................... 56
4.2.2. Relaciones funcionales ......................................................................................................... 56
4.2.3. Clasificación de funciones .................................................................................................... 57
4.3. Estudio de funciones .................................................................................................................. 59
4.3.1. Función lineal ....................................................................................................................... 59
4.3.2. Función cuadrática ............................................................................................................... 60
4.3.3. Función racional ................................................................................................................... 61
4.3.4. Función exponencial ............................................................................................................. 62
4.3.5. Función logarítmica ............................................................................................................. 62
4.3.6. Funciones trigonométricas ................................................................................................... 63
4.4. Ejercicios de aplicación .............................................................................................................. 65
5. Ecuaciones ...................................................................................................................................... 69
5.1. Introducción ................................................................................................................................ 69
5.2. Ecuaciones en una variable ....................................................................................................... 69
5.2.1. Ecuación lineal con una incógnita ....................................................................................... 69
5.2.2. Ecuación de segundo grado en una variable ....................................................................... 70
5.3. Sistemas de ecuaciones lineales ................................................................................................ 72
5.3.1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas .................................................... 73
5.3.2. Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales ........................................ 74
5.3.2.1. Método de sustitución .................................................................................................... 74
5.3.2.2. Método de igualación ...................................................................................................... 75
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5.3.2.3. Método de reducción por suma y resta o de eliminación gaussiana ............................ 75
5.3.2.4. Método de los determinantes ......................................................................................... 76
5.4. Inecuaciones ............................................................................................................................... 77
5.5. Interpretación geométrica de las ecuaciones…………………………………………………...….77
5.5.1 Ecuaciones de segundo grado ................................................................................................. 77
5.5.2. Sistemas de 2 Ecuaciones con 2 incógnitas . …………….……………………………………… 77
5.6. Ejercicios de aplicación .............................................................................................................. 79
6. Autoevaluaciones
6.1 Unidad Nº 1 …….…………………………………….…………………….…………………...…….. .81
6.2 Unidad Nº 2.……..…………………………………………………………………………………...... 82
6.3 Unidad Nº 3 ………………………………………..……………………………………………….……83
6.4 Unidad Nº 4 ……………………………………..………………………………………………….……84
6.5 Unidad Nº 5 …………………………………………..…………………………………………….……85
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Símbolos Matemáticos
Es menor que
Es igual a
Es mayor que
Es menor o igual que
No es igual a
Es equivalent e a
Es mayor o igual que
Es igual aproximado a
Es perpendicu lar a
Es aproximado a
// Es paralelo a
Pertenece
Ángulo
Existe
Incluye a
No pertenece
Está incluido en
Unión
Para todo
Inter sec ción
Im plica
Infinito
Sí y solo sí
Por lo tan to
Incremento
y
Vacío
ó
/ Tal que
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Sumatoria
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1
CONJUNTOS NUMÉRICOS Y CALCULATORIA
1.1. Conjuntos numéricos
1.1.1 Introducción
La matemática, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las
operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En
el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes
(como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como
en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX la matemática se empezó a considerar como la ciencia
de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la
lógica matemática o simbólica.
La matemática es casi tan antigua como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del
interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en
el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas
numéricos en los que las bases son los números 5 y 10. Un aspecto interesante es el caso de los fenicios, que utilizando ambas manos, podían contar hasta 60 (ver figura 1.1): todos los dedos de la mano
(a excepción del pulgar) están compuestos por tres falanges, es decir, cada dedo «está dividido en
tres». Como cada dedo «vale 3», y hay 4 dedos con tres falanges cada uno, con la ayuda del dedo
pulgar pueden contarse hasta 12 falanges en una sola mano, por ejemplo la izquierda; cuando no
quedan falanges por contar, se levanta un dedo de la mano derecha. Como hay 5 dedos en la mano
derecha y cada uno «vale» 12 falanges, puede contarse así, hasta 60.
Falanges
Figura 1.1 Mano izquierda.
La única finalidad de exponer esta curiosidad, es la de ver cómo ha ido desarrollándose la matemática, a medida que era necesario. Los primeros cálculos eran muy simples, ya que sólo se requería
saber contar.
Los números se agrupan en conjuntos. Cada conjunto está perfectamente definido y posee características que les son propias. Hay 8 conjuntos numéricos, y a continuación, estudiaremos cada uno de
ellos.
1.1.2 Números naturales
Los número naturales (identificados con la letra N) aparecen con la necesidad del hombre de contar,
y con ellos la suma. Pueden ser representados en una semirrecta del siguiente modo:
1
2
3
4
5
6
7
Infinito
Figura 1.2 Representación de los números naturales.
El conjunto N de los números naturales, no contiene al cero y su primer elemento es el 1. Podemos
indicar al conjunto de los números naturales de la siguiente manera:
(1.1)
N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7...}
Los números naturales se interpretan como «algo a favor»; se utilizan para cuantificar lo que tenemos.
Cuando «no tenemos nada» en matemática utilizamos el número cero. Para incluir al cero dentro de
los números naturales, definimos al conjunto N0 como:
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{
}
(1.2)
N 0 = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7...
Algunas propiedades de los números naturales son las siguientes:
El conjunto N es un conjunto infinito, porque siempre se puede hallar el siguiente de un número natural por
grande que este sea, sumándole 1.
El conjunto N tiene al número 1 como primer elemento.
El conjunto N0 tiene al número 0 como primer elemento.
En el conjunto N, entre un número y su siguiente no hay ningún número natural.
1.1.3 Números naturales negativos
Los números naturales negativos aparecen con el trueque. Estos números son representados de la
misma manera que los números naturales, pero anteponiendo el signo «menos». Se interpretan como
una deuda, o bien, como el resultado contrario al que se había supuesto en un principio. Los números
naturales negativos también pueden representarse en una semirrecta de manera similar a los números naturales, tal como se muestra en la figura 1.3.
–Infinito
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
Figura 1.3 Representación de los números naturales negativos.
Los números negativos no presentan mayor dificultad que los números naturales, salvo que no debemos confundirnos sobre «qué número negativo es más grande que otro». Por ejemplo, en los números
naturales el 4 es «más grande» que el 1 y no tenemos ninguna duda. Pero en los números negativos,
el –1 es «más grande» que el –4 y la respuesta es simple: como los números negativos representan
una deuda (no tan solo algo que no tenemos sino además, algo que debemos) es preferible «deber
poco» a «deber mucho». Si debemos $1 vamos a tener más dinero que si debemos $4, por eso decimos que el –1 es «más grande» que el –4.
Para comenzar a hablar con propiedad, cuando un número es «más grande» que otro, decimos que
es mayor, y cuando es «más chico» decimos que es menor. Para escribir mayor utilizamos el símbolo
> y para escribir menor, utilizamos el símbolo <. Así tenemos entonces:
4 > 1 (4 mayor que 1)
3 < 10 (3 menor que 10)
(1.3)
- 10 < - 2 ( - 10 menor que - 2)
Cuando dibujamos la recta numérica, los números mayores van siempre a la derecha. Por eso, en la
figura 1.2 el 5 está a la derecha del 4, el 3 a la derecha del 2, etcétera. Igualmente, en la figura 1.3, el
–1 está a la derecha del –2, el –3 está la derecha del –4, etcétera. Como vemos, el número –1 es el
«mayor» de los números naturales negativos.
Representamos al conjunto de los números naturales negativos como:
(1.4)
Nat urales Negat ivos = {... - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1}
1.1.4 Números enteros
El conjunto de los números enteros (que vamos a designar con la letra Z) es la unión de los números
naturales (N), el cero, y los números naturales negativos, es decir:
(1.5)
Z = {... - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7...}
En este conjunto son posibles las operaciones de suma, resta, multiplicación y la división sólo es posible sí el dividendo es múltiplo del divisor (cociente exacto).
La adición, la sustracción y la multiplicación de números enteros siempre tienen soluciones en Z, es
decir, son operaciones cerradas en Z. Esto quiere decir que si sumamos dos números enteros, el resultado va a ser otro número entero.
Los números enteros se representan en una recta numérica de la manera siguiente:
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–Infinito
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
Infinito
Figura 1.4 Representación de los números enteros.
Nuevamente, los números mayores van siempre a la derecha, de lo que podemos obtener una importante conclusión: el cero es mayor que todos los negativos (es preferible no tener nada a tener cualquier deuda).
Algunas propiedades de los números enteros son las siguientes:
Z es un conjunto infinito.
Cada número entero tiene un único antecesor y un único sucesor.
Entre dos números enteros existe un conjunto finito de números enteros: Z es un conjunto discreto.
Cada número entero le podemos hacer corresponder un único punto en la recta numérica, es decir, hay una
función de Z en el conjunto de puntos de la recta.
1.1.5 Números fraccionarios
Los números fraccionarios aparecen cuando tenemos en cuenta «un número entero y parte de otro»,
o bien «sólo una parte o porción de un número entero». Los números fraccionarios aparecen cuando
la división no es exacta. Por ejemplo, si dividimos 1 en 2, el resultado es 0,5. El 0,5 es un número que
está entre el 0 y el 1.
Un número fraccionario queda representado por un par ordenado, con la condición de que el segundo
número no sea cero. Un par ordenado son dos números que tienen un orden establecido; para nosotros ese orden es tal, que el primer elemento del par es el número que queremos dividir (el 1) y el segundo elemento es el número por el cual vamos a dividirlo (el 2). Así, el número fraccionario 0,5 queda
representado por el par ordenado (1; 2). Como esta forma es un poco «incómoda» para trabajar, lo
escribimos así:
(1;2) =
1
2
(1.6)
Al «número de arriba» lo llamamos numerador, y al número de abajo, denominador. Una fracción,
representa entonces, una división, en la cual el numerador es dividido por el denominador. Podemos
tener cualquier numerador, pero el denominador no puede ser cero (haga la prueba: escriba en la
calculadora 4 dividido 0 y vea qué ocurre).
8
2
Cualquier número entero puede obtenerse como resultado de un número fraccionario. Por ejemplo .
Como el 8 se divide en el 2, el resultado es 4, es decir:
8
= 4. ¿Qué ocurre cuando el denominador es
2
1? Sabemos que al dividir cualquier número en 1, el resultado es el mismo número, por ejemplo:
6 : 1 = 6.
Si lo escribimos como fracción:
6
= 6. Esto es muy importante: cualquier número siempre
1
tiene denominador 1, aunque no lo escribamos. Esta propiedad nos va a ayudar a resolver ejercicios
con fracciones.
Los números fraccionarios pueden ser expresados como fracción (½ por ejemplo) o como número
decimal (0,5 que es igual a ½, por ejemplo). Pero veamos lo que ocurre cuando intentamos dividir 1 en
3. El resultado es 0,33333333333333333333333… nunca terminaríamos la división. Cuando un grupo
de números distinto de cero se repite indefinidamente después de la coma en un número decimal,
decimos que éste es periódico. Las cifras periódicas se representan tildadas con un arco, de la forma
siguiente (Siempre marcamos con el arco únicamente las cifras que se repiten.)
(1.7)
0,3333... 0,3
0,2727... 0,27
0,151444.. 0,1514
1.1.6 Números racionales
El conjunto de números racionales (que vamos a indicar con Q) resulta de la unión del conjunto de
números enteros (Z) y de los números fraccionarios. Es decir, el conjunto Q contiene a todos los conjuntos anteriores. Así, el 9 es un número racional, al igual que ½.
Algunas propiedades del conjunto Q son las siguientes:
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Q es un conjunto infinito.
Entre dos números racionales existe un conjunto de infinitos números racionales: Q es un conjunto denso.
A cada numero racional le podemos hacer corresponder un único punto en la recta numérica, es decir, que
hay una función de Q en el conjunto de puntos de la recta.
En la práctica, es más fácil trabajar con fracciones que trabajar con decimales. Además, trabajar con
fracciones es un método exacto, mientras que con los decimales, al tener que redondear o truncar,
perdemos exactitud.
Para transformar un decimal no periódico a una fracción, escribimos todo el número (sin coma) como
numerador; el denominador será un 1 con tantos ceros como cifras tenga el número después de la
coma. Por ejemplo, el número 25,68 puede ser transformado como fracción de la forma siguiente:
25, 38 =
2538 1269
=
100
50
(1.8)
Si dividimos 1269 en 50 nos vuelve a dar 25,38. Los números periódicos también pueden convertirse
en fracción de forma similar. En estos casos, escribimos en el numerador el número sin comas; a este
número, le restamos las cifras no periódicas. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras periódicas existan, y tantos ceros como cifras no periódicas existan después de la coma. De esta
manera, el número 13,123 puede convertirse a fracción de la forma siguiente:
13123 131 12992 6496
13,123
990
990
495
(1.9)
Si dividimos 6496 en 495 nos vuelve a dar 13,12323232323… De todo esto podemos deducir que,
todo número racional puede ser expresado como el cociente de dos números naturales, es decir, todo número racional puede expresarse como fracción.
1.1.7 Números irracionales
Los números irracionales son un conjunto de números muy importantes para la ingeniería. Los primeros en descubrir los números irracionales fueron los griegos, cuando se toparon con el siguiente problema. Cuando estudiaban la circunferencia, querían determinar cuántas veces mayor era el perímetro
al diámetro (ver figura).
Entonces, construyeron una circunferencia con una cuerda y luego la cortaron. Después, estiraron la
cuerda y midieron su longitud (que es el perímetro de la circunferencia). Siempre que ellos dividían el
perímetro en el diámetro les daba el mismo número: 3,141592654… (Esto significa que el perímetro
de una circunferencia es tres veces el diámetro más la cantidad x mostrada en la figura.)
Cuerda que rodea la circunferencia de diámetro D
D
Cuerda estirada de longitud L que se fracciona en D
Figura 1.5 Origen del número
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Al hacer el cociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, siempre se obtiene el mismo resultado o constante y es un número decimal con diferente (no periódico) e infinitos dígitos en la
parte decimal. A este número en particular (3,141592654…) se lo llamó (pi, que es la letra «p» en el
alfabeto griego).
Un número como éste, donde las cifras decimales jamás se repiten, y la división no puede terminarse
con exactitud, es un número irracional, es decir, que no pertenece al conjunto de los números racionales.
Los números irracionales no pueden convertirse en fracción, y generalmente se los designa con
una letra (como al número ) o mediante la operación matemática que los produce. Los siguientes,
son ejemplos de números irracionales:
3,141592654.....
2 1,414213562
(1.10)
e 2,718281828459....
(El número e es la base de los logaritmos neperianos o naturales, que veremos más adelante.)
1.1.8 Números reales
El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales (Q) y el conjunto de los números irracionales. Es decir, el conjunto de los reales (que vamos a designar con R)
abarca a todos los conjuntos anteriores. Es con este conjunto numérico con el cual vamos a trabajar.
Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. Cualquier número puede ser
ubicado en la recta real ¡aún un número irracional! La adición, la sustracción, la multiplicación y la división entre números reales, siempre dan como resultado otro número real.
Algunas propiedades del conjunto R son las siguientes:
R es un conjunto infinito.
R es un conjunto denso.
A cada número real le corresponde un único punto en la recta, y a todo punto de la recta le corresponde un
número real.
El conjunto de los números reales puede representarse de la manera siguiente:
Reales (R)
Racionales (Q)
Enteros (Z)
Irracionales
Naturales
(N)
Cero (0)
Fraccionarios
Naturales
negativos
Figura 1.6 Conformación de los conjuntos numéricos.
1.1.9 Números complejos
Los números complejos completan los conjuntos numéricos. Se denominan así, por que están compuestos de una parte real (es decir, un número real) y una parte imaginaria. Existen como respuestas
a ecuaciones matemáticas y son de gran utilidad en el estudio de circuitos eléctricos. Los números
complejos requieren de matemática avanzada para su manejo y no serán estudiados en este seminario.
A diferencia de los números reales, que se pueden representar en una recta, los números complejos
se representan en un plano, mediante un vector (segmento que tiene una dirección determinada, con
un sentido determinado).
No existe ningún número real que verifique
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a
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Se define así pues que i es un número imaginario tal que i 1 i 2 1
1.2. Calculatoria
Estudiaremos a continuación, todas las operaciones matemáticas que pueden realizarse con los números reales. Cada una de estas operaciones responde a una necesidad en particular, y con gran
frecuencia, están combinadas.
Cada operación matemática tiene sus propiedades y debe ser resuelta mediante reglas, las cuales, no
son arbitrarias sino que responden a una lógica. En general, podemos seguir diferentes caminos para
resolver ciertos cálculos, y siempre llegaremos al mismo resultado.
1.2.1 Adición
La adición o suma es el resultado de añadir números de igual signo. Un ejemplo de suma es:
3 + 4 + 2 + 1 = 10
(1.11)
También es un ejemplo de suma:
– 3 – 4 – 2 – 1 = - 10
(1.12)
Estaremos en presencia de una suma, cuando todos los elementos tienen el mismo signo. La suma
goza de propiedad conmutativa y propiedad asociativa. La propiedad conmutativa implica que podemos conmutar («cambiar de lugar») los elementos sin que varíe el resultado:
3 + 4 + 2 + 1 = 1 + 3 + 2 + 4 = 10
(1.13)
La propiedad asociativa implica que los elementos pueden asociarse en grupos y sumarse en forma
parcial, sin que el resultado varíe:
3 + 4 + 2 + 1 = ( 3 + 4 ) + ( 2 + 1 ) = 7 + 3 = 10
(1.14)
1.2.2 Sustracción
La sustracción o resta es la suma de números de diferente signo. Por ejemplo:
10 – 4 = 6
(1.15)
En este caso, al 10 le estamos sumando –4. Como la resta es en realidad una suma, goza de las
mismas propiedades, sólo que debemos tener mucho cuidado con los signos: el signo del 10 es «+» y
el signo del 4 es «--», cuando cambiemos de lugar el 10 y el 4 debemos cambiarlos con su propio
signo. Así, aplicando la propiedad conmutativa resulta:
10 – 4 = - 4 + 10 = 6
(1.16)
Un ejemplo de la propiedad asociativa en la resta es el siguiente:
10 – 4 + 2 – 7 = (10 + 2) + (- 4 – 7 ) = 12 – 11 = 1
(1.17)
O bien:
10 – 4 + 2 – 7 = (10 - 4) + (2 – 7 ) = 6 – 5 = 1
(1.18)
1.2.3 Multiplicación
La multiplicación goza de las mismas propiedades de la suma. Un ejemplo de la propiedad conmutativa es el siguiente:
2x3=3x2=6
(1.19)
También se verifica en la multiplicación, la propiedad asociativa:
3 x 2 x 4 = ( 3 x 2 ) x 4 = 3 x ( 2 x 4 ) = 24
(1.20)
En cuanto a la simbología, es muy frecuente reemplazar el símbolo “x” por el símbolo “·” o bien, omitirlo por completo, por ejemplo:
3 ( 2 . 4) = 24
(1.21)
Cada uno de los números que se están multiplicando se denomina factor. El signo de los factores debe analizarse con cuidado. El caso más simple, es cuando todos los factores son positivos. Este tipo
de multiplicación representa una ganancia. Analicemos los signos con ejemplos sencillos:
1) Todos los signos positivos. Esto representa una ganancia. Por ejemplo, si tenemos 10 tanques, y
cada tanque tiene una capacidad de 1.000 litros, hemos ganado una capacidad de almacenaje total de
10 x 1000 =10.000 litros.
2) Un signo positivo y un signo negativo. Esto representa una pérdida. Por ejemplo, si tenemos 10
acreedores, y a cada uno le debemos $1.000, tendremos una deuda total $10.000. Como las deudas
se representan con números negativos, la operación será:
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10 . (-1.000)= - 10.000
(1.22)
Utilizamos los paréntesis para no escribir dos signos consecutivos (el + y el - ).
3) Dos signos negativos. Esto representa una ganancia. Por ejemplo, si 2 bombas hidráulicas salen
de servicio (perdemos 2 bombas) y cada bomba consumía una potencia de 10.000 W, habremos dejado de consumir 20.000 W, es decir, habremos ganado 20.000 W. La operación será:
(-2) . (-10.000) = 20.000
(1.23)
En la multiplicación, los signos siempre se analizan de a pares, y según lo indicado anteriormente, la
regla de los signos puede expresarse de la manera siguiente:
“si los factores tienen signos iguales, el producto será positivo; si los factores tienen signos diferentes,
el producto será negativo”.
La multiplicación también goza de la propiedad distributiva respecto de la suma y de la resta. Consideremos, por ejemplo, el siguiente cálculo:
( 2 + 3 ) . ( 5 – 1 ) = 5 . 4 = 20
(1.24)
Otra forma de resolver el mismo cálculo es multiplicando cada término de uno de los paréntesis, por
todos los términos del segundo paréntesis, respetando siempre, la regla de los signos:
2 3. 5 1 2 . 5 2. 1 3 . 5 3. 1
10 2
15
3 20
(1.25)
Esta propiedad se basa en distribuir a todos los términos de uno de los paréntesis, todos los términos
del otro. Siempre que resolvamos cálculos como éste, debemos tener en cuenta la separación de términos, como se indica en la expresión (1.25).
1.2.4 División
Existen diferentes formas de expresar una división. La forma clásica, por ejemplo, para indicar que 4
está dividido por 2 es 4÷2. También podemos indicar esta división como 4:2, pero quizás la forma más
conveniente de expresar una división sea en forma de fracción. Tenemos pues:
42 4:2
4
2
2
Los elementos de una división son los siguientes:
(1.26)
Dividendo
Divisor
Resto
Cociente
(1.27)
Siempre debe verificarse:
Dividendo = Cociente x Divisor + Resto
(1.28)
Por ejemplo:
7
2
1
3
(1.29)
De forma que:
(1.30)
7 = 2 . 3 +1
El resultado exacto de esta división es 3,5. Si transformamos este valor en fracción:
3, 5 =
35 7
=
10 2
(1.31)
Por un camino diferente, podemos comprobar una vez más, que una división puede expresarse como
una fracción. Ahora vamos a transformar esta división en una multiplicación, aprovechando la forma
en la que operamos con fracciones: 7 7 . 1
(1.32)
2
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De esta manera, cualquier división puede ser expresada como:
Dividendo Dividendo
1
x
Divisor
1
Divisor
(1.33)
Como hemos transformado una división en una multiplicación, podemos concluir que todas las propiedades aplicables a la multiplicación, son también, aplicables a la división. La división goza entonces, de propiedad conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y de la resta. La regla de
los signos se aplica exactamente igual que en la multiplicación. A continuación vemos un ejemplo:
(1.34)
12 4 2 8 2 4
Aplicando las propiedades vistas:
12 4 2 12 4 . 1 12 . 1 4 . 1 12 4 4 (1.35)
1
2
1 2 1 2
2
2
Las propiedades de las cuatro operaciones fundamentales resultan muy útiles en operaciones algebraicas, en las cuales trabajamos con letras en vez de números. Al aplicar las propiedades, podemos
simplificar considerablemente una expresión originalmente compleja.
1.2.5 Potenciación
Se llama potencia enésima de un número «a» al producto de n factores iguales a «a»:
(1.36)
a n a . a . . . a ( n veces)
3
Así, por ejemplo, si tenemos 2 significa que tenemos que multiplicar al 2, 3 veces por sí mismo, es
decir: 23 2 . 2 . 2 8
Al número que escribimos «abajo» lo llamamos base y al número que escribimos arriba lo llamamos exponente. Así, a es la base y n el exponente en la expresión (1.36).
Las propiedades de la potenciación son:
1) Cualquier número elevado a la potencia 1 da como resultado el mismo número. Por ejemplo:
1
a1 a
31 3
3
3
5
5
(1.37)
2) La potencia es distributiva respecto del producto y del cociente: a .b an . bn
n
3 . 42 32 . 42 9.16 144
4: 22 42 :22 16: 4 4
o también 3 . 4 122 144
2
o también 4: 2 22 4
2
(1.38)
3) La potencia no es distributiva respecto de la suma o la resta:
3 42 7 2 49
Esto
3 42 3 2 4 2 9 16 25
es CORRECTO
a bn an bn
(1.39)
Esto es INCORRECTO
4) El producto de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente
es la suma de los exponentes de las potencias dadas: an . am anm
a 2 . a 3 . a 4 a.a . a.a.a . a.a.a.a a9 a 234
(1.40)
5) El cociente de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base que las dadas, y
cuyo exponente es la resta de los exponentes dados: an :am anm
a5 : a3
a 5 a.a.a .a .a
a.a a 2 a 53
a .a .a
a3
(1.41)
6) Todo número distinto de cero elevado a una potencia negativa, es igual a la potencia positiva de su
recíproco.
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a
b
n
b
n
a
Por ejemplo:
(1.42)
7) Todo número distinto de cero, elevado a la potencia cero, da por resultado 1
a0 1
a 0 a n n
a 0 a n . a n
a0
(1.43)
an
1
an
8) La potencia de otra potencia da como resultado la misma base, elevada a un exponente que resulta
de multiplicar los exponentes dados:
(1.44)
(an ) m an .m
En la potenciación también debemos tener en cuenta los signos. El signo del resultado también
puede verse afectado por la paridad del exponente. Tenemos los cuatro casos posibles:
a) Potencia de exponente par y base positiva. Por ejemplo 22. Si escribimos los signos + tenemos:
( +2 )2 = (+2) . (+2) = +4
(1.45)
Si la base es positiva y el exponente es par, el resultado es positivo.
b) Potencia de exponente par y base negativa. Por ejemplo (-2)2:
( -2 )2 = (-2) . (-2) = +4
(1.46)
Si la base es negativa, pero el exponente es par, el resultado también es positivo.
c) Potencia de exponente impar y base positiva. Por ejemplo 23:
( +2 )3 = (+2) . (+2) . (+2)= +8
(1.47)
Si la base es positiva y el exponente es impar, el resultado es positivo.
d) Potencia de exponente impar y base negativa. Por ejemplo (-2)3:
( -2 )3 = (-2) . (-2) . (-2)= - 8
(1.48)
Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.
De estos ejemplos podemos deducir fácilmente que si el exponente es PAR, el resultado será
SIEMPRE positivo, pero si es impar el signo del resultado será igual al signo de la base.
Debemos tener cuidado con lo siguiente:
5 2 5
2
(1.49)
25 25
1.2.6 Radicación
Se llama raíz enésima de un número «a» a otro número «b», tal que «b» elevado a la potencia enésima dé por resultado el número «a», es decir:
n
a b bn a
(1.50)
Dicho de una manera más sencilla, la radicación es una de las operaciones recíproca de la potenciación. Los elementos de la radicación son los siguientes:
Ejemplos:
5
32 2 2 5 32
3
índice
Radicando raiz
8 2 2 8
3
4 2 2 2 4 2 4
2
(1.51)
Observe que, nuevamente, la paridad (en este caso del índice) influye en el signo del resultado. Si el
índice es impar, el signo de la raíz será igual al signo del radicando. Si el índice es par, el radicando
debe ser cero o un número positivo.
Por ejemplo, si tendríamos 4 16 no existe ningún número real que cumpla x4= -16 y además
(+2)4=+16 y también es (-2)4=+16. Decimos entonces, que en estos casos, no existe la raíz real:
Como ya habíamos expuesto, para solucionar estos inconvenientes se han desarrollado los números
imaginarios que junto a los reales conforman los números complejos. A partir de la definición.
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1 i i 2 1
a
1.a
(1.52)
1. a i.b
Estas raíces son imaginarias. Y serán de estudio posterior.
A pesar de que las raíces de índice par y radicando positivo admiten dos resultados (uno positivo y
otro negativo), generalmente adoptamos en los cálculos el valor positivo. A este valor se lo denomina
raíz aritmética o valor aritmético de una raíz.
La radicación goza de las siguientes propiedades:
1) No existen raíces de índice cero.
2) La raíz de índice 1 es igual al radicando.
3) La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente:
n
a .b n a . n b
n
a : b n a :n b
(1.53)
4) La radicación NO es distributiva respecto de la suma ni de la resta:
n
a b n a n b
(1.54)
5) La raíz enésima de la raíz emésima de un número, es igual a la raíz de índice nxm de ese número:
n m
a n.m a
(1.55)
6) La raíz no se altera si se multiplican el índice de la misma y el exponente del radicando por un
mismo número.
n
am n..k am.k
(1.56)
7) Se dice que dos o más radicales son semejantes, cuando las raíces tienen el mismo índice y el
mismo radicando, independientemente del número que las preceda.
xn a ; yn a
x, y
(1.57)
Aplicando las diferentes propiedades de la radicación, los cálculos con radicales pueden simplificarse
enormemente. En muchos casos, la única opción de cálculo es la aplicación de las propiedades. Las
operaciones con radicales que se detallan a continuación derivan de las propiedades vistas.
1.2.6.1 Suma y resta de radicales
Para que sea posible la suma y la resta los radicales deben ser semejantes, es decir, las raíces deben
tener igual índice e igual radicando. Cuando esto ocurre, el resultado se obtiene sumando o restando
los factores que preceden a dichas raíces, por ejemplo:
13
5
5
5
1
x 3 x 3 x 1 3 x 3 x
4
4
4
2
4
(1.58)
Cuando no se pueden reducir a radicales semejantes la operación no se realiza, solo queda indicada.
(1.59)
x 5 3 y 2 x 3 3 y 2 z 3 x 2 3 y 2 z
1.2.6.2 Reducción de radicales a común índice
Reducir dos o más radicales a común índice es encontrar otros tantos radicales que tengan todos el
mismo índice, y sean respectivamente iguales a los dados. El índice común es el mínimo común múltiplo de los índices dados. Por ejemplo:
6
a 5 ; 4 2; 3 x 2
(1.60)
Los índices son 6, 4 y 3. Para hallar el mínimo común múltiplo, descomponemos factorialmente a los
índices, de la manera siguiente:
62
42
33
22
1
1
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33
1
6 2.3
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4 22
(1.61)
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El mínimo común múltiplo se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes siempre con el
mayor exponente. En este caso, resulta 2 2 . 3 12 Este 12 será el índice de las nuevas raíces. El
radicando se elevará a un exponente que resultará de dividir el nuevo índice de la raíz (12, en este
caso) en el índice de la raíz original. Es decir:
6
a 5 ; 4 2; 3 x 2
12
a
5
12
12
12
6
; 24 ;
12
x
12
3
2
(1.62)
Simplificando las fracciones y resolviendo:
2
12 a 5 ; 12 23 ; 12 x 2
4
12 a10 ; 12 8 ; 12 x 8
(1.63)
Ahora, todas las raíces tienen el mismo índice (12).
1.2.6.3 Simplificación de radicales
Simplificar un radical es encontrar otro radical de igual valor pero de menor índice. Para simplificar una
raíz se dividen el índice y el exponente del radicando por el mismo número. Por ejemplo:
4
625 4 5 4 4:2 5 4:2 5 2 5
(1.64)
1.2.6.4 Multiplicación de radicales
Para poder efectuar la multiplicación de dos o más radicales, éstos deben tener igual índice. Cuando
esto ocurre, la multiplicación resulta de aplicar la propiedad recíproca de la distributiva (se introducen
todos los factores dentro de un mismo signo radical y se multiplican). Por ejemplo:
3
(1.65)
2 . 3 a . 3 b 3 2 .a . b
Cuando las raíces no tienen el mismo índice, se las reduce a un índice común. Una vez que todas las
raíces poseen el mismo índice, se procede como se explicó anteriormente. Por ejemplo:
3
x3 y .
4
x. y 2 12 x12 y 4 .
12
x 3 y 6 12 x15 y10
(1.66)
1.2.6.5 División de radicales
Siendo la división la operación inversa de la multiplicación, las consideraciones anteriores son análogas:
2a 3 x 2 y
6a
b
2
6
5
x y
2
b6 3 3 x 6 y 3
5
6
3a x y
2
b 6
27xy
3a
(1.67)
1.2.6.6 Extracción de factores de un radical
Los factores pueden extraerse fuera del signo radical aplicando la propiedad distributiva:
4
x 4 y 6k 12 z 3 4 x 4 . 4 y 6 . 4 k 12 . 4 z 3 x . y.
4
y 2 .k 3 . 4 z 3
(1.68)
Los factores que figuran en el radicando con un exponente de valor absoluto mayor o igual al índice,
pueden extraerse fuera del radical, con un exponente del radicando y el índice de la raíz, y queda dentro de la raíz con un exponente igual al resto de la división.
3
x 4 3 x . x . x . x. 3 x 3 .
3
x x.3 x
(1.69)
Para evitar estos pasos, simplemente dividimos el exponente del radicando en el índice de la raíz. El
cociente (resultado de la división) será el exponente del factor fuera de la raíz, y el resto de la división,
será el exponente del factor dentro de la raíz. Por ejemplo:
3
x7 x2 .3 x
(1.70)
1.2.6.7 Introducción de factores dentro del radical
Para introducir un factor dentro de un radical se escribe dicho factor con un exponente igual al producto del exponente que tenía fuera del radical por el índice de la raíz.
2 . x 3 . b 4 . a . b 2 2. x 6 . b 8 . a . b 4 . x 6 . b 9 . a
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(1.71)
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Si dentro de la raíz se encontrara el mismo exponente (para una base dada), dichos exponentes se
suman (es lo que ocurre con los exponentes de b).
1.2.6.8 Raíces como potencias de exponente fraccionario
a a
a a
2
2
x 2
2. x 1 a a
a 2.x
1
2
Toda raíz puede ser transformada en una potencia de exponente fraccionario, donde el numerador, es
el exponente del radicando y el denominador, es el índice de la raíz. Por ejemplo:
8
5 8
t = t5
(1.72)
1
a = a2
1.2.6.9 Racionalización de denominadores
Dada una fracción en cuyo denominador hay una raíz, racionalizar el denominador es encontrar otra
fracción equivalente a la dada en cuyo denominador no figure la raíz. Por ejemplo:
3
2
3
2
2
.
2
3 2
2,121320344 . . .
2
(1.73)
Existen dos casos que pueden presentarse a la hora de racionalizar los denominadores.
a)
El denominador es un único radical. En este caso, para eliminar la raíz, se multiplica numerador y
denominador por una raíz del mismo índice que la dada, pero el radicando estará elevado a un
exponente que resulta de la diferencia entre el índice de la raíz, y el exponente del radicando dado. Por ejemplo:
a
5
b)
x
a
5
x
.
5
x4
5
x4
a. 5 x 4
5
x5
a.5 x 4
x
(1.74)
El denominador es un binomio con un término racional y otro irracional cuadrático, o con ambos
términos irracionales cuadráticos. En estos casos, se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador (el conjugado de un binomio es el mismo binomio dado, pero con el
signo del segundo miembro invertido). Por ejemplo:
7
a 3
7
a
a 3 7 . a 3 7 . a 3
a 3
3 a 3 a 3
.
2
2
2
(1.75)
Es importante que en este caso, no existan raíces con índice superior a 2, es decir, sólo
pueden existir raíces cuadradas.
1.2.7 Logaritmación
Si a y b son dos números reales positivos, siendo b ≠ 1, existe un único número x tal que:
log b a x b x a
(1.76)
Este número x se llama logaritmo en base b del número a. Por ejemplo:
(1.77)
log 2 8 3 23 8
Los logaritmos gozan de las siguientes propiedades:
a) El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero:
log b 1 0 b 0 1
b)
(1.78)
El logaritmo de la base es 1:
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log b b 1 b1 b
(1.79)
c) La logaritmación NO es distributiva respecto de la suma, la resta, la multiplicación ni la división.
d)
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
log b (r . s ) log b r log b s
(1.80)
log 2 (4 .16 ) log 2 4 log 2 16
Ejemplo:
log 2 64
6
e)
2
4
(1.81)
6
El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor:
log b (r : s ) log b r log b s
(1.82)
Ejemplo:
log 3 (81: 9 ) log 3 81 log 3 9
log 3 9
2
f)
4
2
(1.83)
2
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia:
log b an n. log b a
(1.84)
Ejemplo:
log 2 4 3 3 . log 2 4
log 2 64 3 . 2
(1.85)
6 6
g)
El logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
log b n a
1
log b a
n
(1.86)
Ejemplo:
1
log 2 64
3
1
log 2 4 . 6
3
2 2
log 2 3 64
h)
(1.87)
Los logaritmos admiten cambio de base. En la calculadora podemos ver dos teclas para calcular
logaritmos: la tecla «log» y la tecla «ln». Cuando la base de un logaritmo es 10, la base no se escribe (es decir, log10 = log). Dichos logaritmos se llaman logaritmos decimales o de Briggs. Cuando
la base del logaritmo es el número e (ya mencionado anteriormente) se dice que el logaritmo es
neperiano o natural (loge = ln). Estas son las únicas dos bases que las calculadoras poseen. Mediante el cambio de base, pueden calcularse logaritmos de cualquier base. Así, si b es una base
que no permite un cálculo directo, puede hacerse:
log b a
log base conocida a
log base conocida b
log a ln a
log b ln b
(1.88)
Ejemplo:
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log 128 2,10720997
3,0147359047
log 5
0,698900043
(1.89)
ln 128 4,852030264
log 5 128
3,0147359047
ln 5
1,609437912
Para verificar, aplicamos la definición:
log 5 128
log5 128 = 3, 014735907... porque 53,014735907... = 128 (1.90)
1.3 Ejercicios de aplicación
1. Resolver los siguientes cálculos:
a) 2.(3 9) (15 8).3 10
R:- 7
b) (11 22) : (3) (7 42).(1) (5) 2
c) 3 2 4 2 5 2
R:- 6
d)
2
2.
3.
3
2
4
2
5
3
27 : (3) 3 2.(1) 3 4 3
R:- 7
R:-16
Ordenar de mayor a menor los siguientes números racionales
4
0 2 3 2 6
; 2 ; ; ; , ;
5
3 3 4 7 7
Escribir:
4 5
y .
7 7
2 3
3 números racionales comprendidos entre y
5 4
a) 4 números racionales comprendidos entre
b)
Conviene que reduzcas a común denominador y apliques luego la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes.
4. Resolver las siguientes potencias:
2
2
a) 1
R:1/9 b) 0,25
3
31 2
e)
5.
f) 32
R:9
R:1/16
c) 51
R:1/25
R:1/9
g) 10
R:1
R: 64
3
2
1
b) 0,25 . 0,25 . 0,25 R: 1/256
Resolver de diferentes formas
a ) 0,52
3
2
2 5
c) :
5 2
1
2
d) 0,41
R:5/2
h) 0,2
R:25
2
2
R:2/5
1 7
d) .
7 5
R: 1/25
6. Resolver aplicando propiedades:
a)
2
2 3
5
:2 . 2
3
3 2
3
0
1 1 1
3 3 3
c) . .
R:128
b)
R:-1/3
d)
3
4 4
2 7
. 2 : 1
3 3
3
2
16 .5 32 3 0,1
3
R:(4/3)
6
R:-6
7. Calcula las siguientes raíces cuando sea posible:
a)
4
9
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d)
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b)
4
16
81
c)
3
27
125
e)
5
1
32
f)
3
1
729
8. Transformar en fracciones ordinarias y realizar las siguientes operaciones:
a)
0,333...
0,022020... 0,377...
1
.1,6 d)
0,111... c)
5
0
,
58787
....
0,3
b)
2
3
0,22 0,0444...
9. Resolver los siguientes cálculos:
a)
b)
c)
3
337 : 5 2 23 5 2 5 6.5 12
1
6
R:0
12 14 : 21 3 2.52 2 . 2725 1 1 : 6
3 : 3 3.3 0 0,5
2.33
2.2 2 : 3 5
R:-43/6
R:-1/9
Nota: Cuidado el punto “ . ” significa producto y la coma “ , “ en el número separa la parte entera
de la parte decimal
10. Ordenar de mayor a menor los números reales siguientes y ubicarlos en el diagrama de conjuntos:
1,9ˆ ; 2
1
; 0,019 ; 0,9 ; 10 ; 0,019ˆ ; 0,9ˆ ; 2 ; 1,41 ; 3,14 ; 2,9 ;
9
11. Indicar si es verdadero o falso y justificar la respuesta enunciando las propiedades aplicadas:
d)
8.3 8 . 3
…………….
e)
9 16 9 16
…………….
f)
100 36 100 36
…………….
g)
h)
i)
3
25 : 8
273
63
3
25 : 3 8
27
2 9 2
3
…………….
…………….
…………….
12. Extraer factores del signo radical:
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a) a5
d) 3 125x 6b3c 2
b) 12a 3 .b 2
e)
c)
4
3
9 9 3 5
x y z
64
f) 4 48 x 9 y 4 z5
48 9 5 4
.x y .z
5
13. Introducir en el radical todos los factores que se encuentren fuera de él:
a) 5 3 4
5.a x
.
x2 5
2
5
3 2
e) x 3 y 4 z
x
4
5
d)
b) a.x. 2.x
1
f) a 3 b 4ab
2
c) 3.x 2 .y 4 9.x 3 .y 2
14. Reducir el índice de los siguientes radicales, simplificando:
a)
4
d)
10
x2y4
b)
3
125x12 z3
c)
1 5 15
am
32
e)
4
9 2
z
100
f)
0.01
6
64x18 y12
15. Resolver, adición y sustracción de radicales:
1
75a 180a
2
1
f) 2x 3 8x
16x
3
1
1
12
27
g)
2
4
1
3 5 3
h) 2.3 x.y 2
2
e) 4 5a
a) 2 50 5 18
b)
c)
d)
1
27 5 3 300
2
2 x 4 18.x 2 x 3
1
1
12 x
27 x
4
2
16. Reducir a común índice
a) 2a ; 3 b ; 6 c
b) 2 ; 3 3 ; 6 6
c )3 5 ; 4 5 ; 6 5
d )3 2a ; 9
1 2
y
2
e)4 0,1a 2 ; 8 5a ; 2 3a
f )55 x 3 ; 2 3x ; 5 x 1
17. Multiplicar los radicales:
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a)
1
2 x. 5
2
b)
c)
4
xy
d)
2. 3. 6
e)
x 3 y 2 . xy .3 x 2
f)
3.
5
2a 2 . 4 6a 3
2 3ab 3 . 6 3a 5b . 3 3a 2 b
3
2a 3bx 2 . 4 2b 4 x 2
18. Dividir los radicales:
4x 5 y : 3 x 2 y 2
d)
3
2a 3b 4 x 6 : 4 b 4 x 2
2x 5 : 10 4x 2
e)
4
x 2 y : xy
2x 5 y 4 z2 : 23 x 2 yz
f)
a)
b)
10
c)
6
3
2x 2 y : 5 3 x 4 y 4
19. Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:
5
3
2a
a)
2
3
2x
c)
3 2x
b)
d)
2xy 2
6
x5 y8
ab
a2b
x
f)
x 2x
e)
3
g)
3 2
3 2
h)
4
4 5
20. Aplicando la definición de logaritmos, calcular:
a) log 2 32
b)
log15 1
c)
log 10 10000
d)
log 7
1
49
log 3 3
9
f) log 4 / 3
16
1
g) log 6
36
1
h) log1/ 3
81
e)
21. Aplicando las propiedades de logaritmos, calcular:
a) log 2 16.8
b)
log 3 27 : 3
e)
log 2 3 24.16
f)
log
5
2
1
.25
5
22. Desarrollar aplicando propiedades de logaritmos:
a) log
x2 4
b) log 3
x2
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2
u 3 .v
x9
x 1
x2 1
log
e)
c) log 3 2 d) log
2
w
x
x
x 1
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2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2.1 . Introducción
Tomemos el estudio de diferentes casos:
Cálculo de superficie chapas circulares:
y .x2
Ventas en función de gastos publicitarios: v = 4000 + 10 x .
Demanda en función de precios: q = 50 - 3 p.
Ingreso en función de precios: Y = 50 - 3p 2 .
Costo total en función de cantidades: CT = 75 + 10 q.
Costo unitario: CU =
75
+ 10.
q
En estas expresiones, el valor a la izquierda del signo igual, depende de los valores que tomen las
«letras» a la derecha del signo igual. Por ejemplo, en la expresión y . x 2 cuando x vale 1, y vale
3,1415… Si x vale 2, entonces y vale 12,56637… Como x no tiene un valor «fijo» decimos que es una
variable. Con letras, representamos valores numéricos variables. A las «letras» las denominamos indeterminadas o simplemente, variables. En este ejemplo, la variable y está en función de la variable
x, ya que depende de los valores que toma x; decimos entonces que y está en función de x. Como x
es la única variable independiente, decimos que y es una función de una variable. Podemos tener
funciones de varias variables, como por ejemplo, la función «probabilidad binomial» dada por
p = 500 x 4y 6 . En este ejemplo, p es una función de dos variables, ya que depende de x y de y. A este
tipo de expresiones matemáticas, que no poseen un valor determinado hasta tanto no se asignen valores a las variables independientes, las denominamos expresiones algebraicas.
2.2 . Clasificación de las expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas pueden clasificarse como:
Expresión algebraica entera: Una expresión algebraica es entera sí y solo sí las indeterminadas están sometidas a operaciones enteras: adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo.
Expresión algebraica fraccionaria: Una expresión algebraica es fraccionaria si y solo si hay en ella,
como mínimo, una indeterminada que figura como divisor en un cociente, o (su expresión equivalente), como base de una potencia de exponente entero negativo. Un ejemplo de expresión algebraica
es la expresión de costo unitario CU 75 10 Todas las demás expresiones expuestas, son enteras.
q
Expresión algebraica racional: Una expresión algebraica es racional si y solo si no hay en ella indeterminada alguna sometida a radicación. El conjunto de las expresiones algebraicas racionales, es la
unión de los conjuntos de las expresiones algebraicas enteras y fraccionarias.
Expresión algebraica irracional: Una expresión es irracional si y solo si hay en ella, como mínimo,
una indeterminada sometida a la operación de radicación. A su vez, las racionales e irracionales
forman el conjunto de expresiones algebraicas reales. Sintetizando, presentamos un cuadro sinóptico de la clasificación de las expresiones algebraicas que hemos analizado:
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Expresiones algebraicas
racionales
Expresiones algebraicas
reales
Expresiones algebraicas
enteras
Expresiones algebraicas
fraccionarias
Expresiones algebraicas
irracionales
Figura 2.1 Clasificación de las expresiones algebraicas.
Nosotros vamos a trabajar en el campo de las expresiones algebraicas enteras.
Las expresiones algebraicas enteras se clasifican en monomios y polinomios.
2.2.1. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica entera en la cual los números están vinculados entre sí por
multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo. Son ejemplos de monomios:
1)
3 2
z y
4
2) x 8
3) 8
En todo monomio reconocemos un coeficiente numérico y una parte literal o indeterminada. En el
monomio “ -
3
3 2
y la parte literal es z2 y.
z y ” el coeficiente es 4
4
Si observamos los monomios del ejemplo vemos que las variables que conforman la parte literal tienen distintos exponentes naturales; esto nos permitirá hablar de grado de un monomio.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables o indeterminadas. Así
para el monomio -
3 2
z y el grado es 3. A su vez, el grado de un monomio con respecto a una de sus
4
indeterminadas, lo da el exponente que tiene dicha indeterminada. Así, por ejemplo, el monomio
3x 4y 2z es un monomio de cuarto grado en x, de segundo en y, y de primero en z.
Cuando dos monomios tienen el mismo el grado se dicen homogéneos; por ejemplo: 2 x y 4 ; x 5 ; 2 x 2 y 3
son monomios homogéneos de grado 5.
Consideremos los siguientes monomios homogéneos: 3 y 4 x 2 ;
2 x 2y 4 ; - x 2y 4 . En ellos se observa que
tienen la misma parte literal. Cuando dos o más monomios homogéneos tienen la misma parte literal
se denominan monomios semejantes.
2.2.2. Polinomios
¿Qué obtenemos al sumar dos o más monomios? Una expresión algebraica llamada polinomio. Un
polinomio o expresión polinómica: es toda expresión algebraica entera, formada por la suma algebraica de monomios. Son ejemplos de polinomios:
P (x ) = 5 x 3 + 2 x y 2 -
3 z2 x4
R (x ) = 4 x 5 + 2 x 4 - 3 x + 2
(1.91)
Cada monomio se denomina término del polinomio y según la cantidad de términos, un polinomio se
denomina:
Binomio, si tiene dos términos,
Trinomio, si tiene tres términos,
Cuatrinomio, si tiene cuatro términos;
para los polinomios de más de cuatro términos, hablamos de polinomio de 5, 6,…, n términos.
Ya hemos definido que es grado de monomio. Ampliemos el concepto para determinar el grado de un
polinomio. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman, si
todos ellos son de distintos grados. Si todos son del mismo grado, el grado lo da el de uno cualquiera.
Cuando hay términos semejantes se deduce y se está en algunas de las situaciones planteadas anteSeminario de Matemática
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riormente. El grado de un polinomio con respecto a una de sus indeterminadas, lo da el mayor exponente de esa indeterminada, después de haber reducido términos semejantes, si los hubiese. Por
ejemplo, el polinomio 5 x 4 + 3 x 3 y 2 + x y 4 - 5 x 4 es de tercer grado en x, ya que el término 5 x 4 se cancela con el término - 5 x 4 y 3 es el mayor exponente de x en cualquier término. El polinomio 3 x 3 y 2 + x y 4
es de cuarto grado en y.
2.2.2.1 Polinomio ordenado
Un polinomio puede estar ordenado respecto al crecimiento o decrecimiento de los exponentes de una
de sus variables en los términos consecutivos. Por ejemplo, el polinomio 8 x 3 y - 5 x 2 y 2 + x y 3 está ordenado según las potencias crecientes de y, pero también lo está según las potencias decrecientes de
x. En general, decimos que un polinomio está ordenado según las potencias creciente de una de sus
letras, cuando el exponente de la misma en cada término es mayor o igual que en el término anterior.
(Enuncie usted cuando un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes de una de sus
variables.)
2.2.2.2 Polinomio completo
Un polinomio puede estar completo o incompleto. Un polinomio es completo con respecto a una de
sus indeterminadas, cuando en el mismo están todas las potencias de exponente natural menores que
el mayor exponente, figurando también un término de grado cero para dicha indeterminada. (Un término de grado cero es aquel para el cual la indeterminada está elevada a la potencia cero, es decir, la
indeterminada «no aparece», ya que cualquier valor elevado a la potencia cero es igual a la unidad.)
Por ejemplo:
3 x 3 + 2 x 2 y 4 + x + 5 y 2 es completo en x, pero incompleto en y.
5 x + 2 + 3 x 2 + x 4 es incompleto en x ¿Por qué?
4 x 4 y + x 3 y 2 + x 2 y 3 + x + 8 ¿Cómo cree usted que es este polinomio? ¿Por qué?
Cuando el polinomio es incompleto puede completarse incorporando los términos que faltan con coeficiente cero. En ciertos casos este artificio algebraico es de utilidad, sobre todo en la operatoria con
expresiones algebraicas. Por ejemplo, el polinomio x 5 + 3 x 2 puede completarse de la siguiente manera:
x 5 3 x 2 x 5 0 x 4 0x 3 3 x 2 0 x 0
(1.92)
2.2.2.3 Forma de general de expresar los polinomios
Un polinomio de grado n en la indeterminada x, se expresa en forma general como:
P (x ) = a 0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n (orden crecient e)
P (x ) = an x n + ... + a2 x 2 + a1 x + a 0 (orden decrecient e)
(1.93)
Donde los valores indicados con a y un subíndice no son indeterminadas, sino coeficientes numéricos,
donde el único valor que no puede ser nulo es an, ya que de ser así, el polinomio no sería de grado n.
2.2.2.4 Polinomios idénticos
Dos polinomios son idénticos, cuando son iguales los coeficientes de los términos semejantes. En
símbolos:
P(x) a0 a1x a2 x 2 ... an xn
y Q(x) b0 b1x b2 x 2 ...bn xn
(1.94)
P(x) Q( x) ai bii 0,1,2...n
Por ejemplo, determine el valor de b para que los dos polinomios siguientes sean idénticos:
5
Px b x 4 y Gx 10 x 4 La definición exige que los términos semejantes (es decir, con igual
2
5
parte literal) tengan coeficientes iguales; en nuestro caso: b = 10, de donde deducimos que b = 4.
2
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2.2.2.5 Polinomios opuestos
Dado
dos
polinomios
2
cualesquiera,
como
ser,
P(x) a0 a1x a2x2 ... anxn
y
n
Q(x)=b0+b1x+b2x +…bnx decimos que son opuestos si P(x)= - Q(x) o bien, -P(x)=Q(x) Por ejemplo,
calculemos los valores de g y h para que los polinomios siguientes sean opuestos:
p(x) 5 x 2 6 h x 1 ; q(x) 2 x 2 g 30 x 1
5
Según la definición, debe resultar: 2 g 5 g
; 6 h 30 h 5
2
2.2.2.6 Polinomio normalizado
Sabemos que el grado de un polinomio está dado por el mayor de los grados de los monomios o términos que lo forman. El coeficiente del término de mayor grado se denomina coeficiente principal, y si
es igual a 1, el polinomio se dice que es monómico o normalizado. Un ejemplo de polinomio normalizado es: x 5 - 8 x 4 + x .
2.2.2.7 Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a es el número que se obtiene reemplazando en el
polinomio la indeterminada x por a y resolviendo las operaciones indicadas. Se simboliza P(a). Por
ejemplo, el valor del polinomio P (x ) = - 3 x 3 + x 2 - 3 x + 1 en x = - 3 es:
P (- 3) = - 3(- 3)2 -
3 (- 3) + 1
= - 3(- 27) + 9 + 3 3 + 1
(1.95)
= 81 + 9 + 3 3 + 1
= 91 + 3 3
2.3
Operaciones entre expresiones algebraicas enteras
Cuando sumamos, restamos, multiplicamos, dividimos, calculamos potencias o raíces entre los elementos de los distintos conjuntos numéricos, estamos efectuando operaciones aritméticas. Las expresiones algebraicas son combinaciones de números expresados por letras y cifras y por lo tanto se
pueden realizar entre ellas las mismas operaciones.
Es muy fácil recordar la expresión polinómica de los números o sistemas de numeración, por ejemplo:
3.245 = 3.000 + 200 + 40 + 5 =
= 3 ×103 + 2 ×102 + 4 ×10 + 5
= 3 x 3 + 2 x 2 + 40 x + 5
2.3.1 Suma de monomios
Para efectuar esta operación debemos considerar si los monomios son o no semejantes. La suma de
dos o más monomios semejantes, es otro monomio semejante a los dados, cuyo coeficiente es la
suma de los coeficientes de los monomios. Por ejemplo, sean los monomios: - 2 x 2 y ; 4 x 2 y , su suma
es: - 2 x 2 y + 4 x 2 y = 2 x 2 y .
Si los monomios no son semejantes, su suma es un polinomio, donde cada monomio es un término
del mismo. Por ejemplo, sean los monomios: - 2 x 2 y ; 4 x y 2 , su suma es: - 2 x 2 y + 4 x y 2 .
En general, la suma de dos o más monomios cualesquiera, es un polinomio formado por la suma de
los monomios, reduciendo los semejantes, si los hubiese. Por ejemplo, la suma de los siguientes monomios 2 x y 2 ; 4 x 2 y ; - 3 x 2 y ; 4 x 2 y z es:
2x y2 + 4x2 y - 3x2 y + 4x2 y z = 2x y2 + x 2 y + 4x 2 y z
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(1.96)
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Actividad 2.1
Sume usted, los siguientes monomios:
- 3a 3 x;
a)
b)
1 3
a x; 2a 3 x.
10
3 a 2 b; - 5 x ; - 8 a 2 b;
6
3
x ; - 12 a 2 b; - x .
8
4
2.3.2 Suma de polinomios
La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio cuyos términos son los términos de los polinomios sumados, reduciendo previamente los semejantes. Reducirlo, implica reemplazar los términos
semejantes por suma. Para una mejor reducción conviene disponerlos uno debajo del otro, de modo
que al sumar los términos semejantes queden en una misma columna. Por ejemplo, sean los polinomios
1 3
x 2x 2 x 42
2
Q( x ) 5 x 3 2 x 4 4 x
P( x ) 4 x 4
y su suma es :
1
x 3 2x 2 x 42
2
5x 3
4x
P( x ) 4 x 4
Q( x) 2x 4
(1.97)
__________________________________
P ( x ) Q( x ) 2 x 4
9 3
x 2x 2 3 x 42
2
2.3.3 Resta de monomios
La diferencia, resta o sustracción de dos monomios se obtiene sumando al minuendo, el opuesto al
sustraendo. Por ejemplo, sean los monomios:
1
7 x 3 y ; x 3 y
2
su resta es :
1
7 x 3 y ( x 3 y )
2
1
_ 7x 3 y x 3 y
2
13
x3y
2
(1.98)
2.3.4 Resta de polinomios
La definición de diferencia entre monomios se hace extensiva a la diferencia de polinomios; P(x) –
Q(x) se obtiene sumando al minuendo P(x) el polinomio opuesto del sustraendo Q(x). Por ejemplo, si
los polinomios P(x) y Q(x) son los indicados anteriormente para la ejemplificar la suma de polinomios,
la resta de éstos es:
1
P( x) 4 x 4 x 3 2x 2 x 42
2
(1.99)
Q( x) 2x 4 5 x 3
4x
_____________________________________
P( x) Q( x) 6 x 4
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11 3
x 2x 2 5 x 42
2
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2.3.5 Producto de monomios
La multiplicación o producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los
coeficientes de los factores y la parte literal, el producto de las indeterminadas de los factores. Por
ejemplo, dedos los monomios 3x 4 y 2 ; 4x 3 yz 4 su producto es:
(3 x 4 y 2 ) . (4 x 3 yz 4 )
(1.100)
3(4) x 4 y 2 x 3 yz 4
12x 7 y 3 z 4
Al efectuar el producto de las indeterminadas se tuvo en cuenta que «el producto de potencia de igual
base es otra potencia de igual base cuyo exponente es la suma de los exponentes». El signo menos
del coeficiente, surge de la aplicación de la regla de los signos.
2.3.6 Producto de polinomios
Cuando se trata de la multiplicación de dos polinomios, el resultado es otro polinomio que se obtiene
sumando los productos parciales que surgen de aplicar la propiedad distributiva del producto respecto
de la suma y reduciendo términos semejantes. Por ejemplo, siendo los polinomios
P(x) 4x3 2x 1 y Q(x) 5x 2 4x su producto se calcula como:
P( x).5 x 2
20x 5
P( x).4 x
10x 3 5 x 2
16x 4
8x 2 4x
_____________________________________________________
Q( x).5 x 2 P( x).4 x
20x 5 16x 4 10x 3
(1.101)
3x 2 4x
2.3.7 Cociente de monomios
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y la
parte literal, el cociente de potencias de igual base. Si queremos obtener como cociente una expresión
entera, las indeterminadas que figuran en el denominador deben estar también en el numerador con
exponente natural mayor o la sumo igual. Quede claro que de no cumplirse esta condición no es que
sea imposible el cociente, lo único que decimos es que el resultado no es una expresión algebraica
entera. Por ejemplo:
2
a)
(
a)
(
)(
)
6x2 y3 : - 2x y2 =
)(
)
8x 3 y4 : 2x 4 y2 =
6x y 3
= - 3 x y . El resultado es una expresión algebraica entera.
- 2x y2
8x3 y4
2x 4 y2
= 4x- 1 y2 =
4y2
x
. En este caso, el cociente no es una expresión algebraica
entera.
2.3.8 Cociente de polinomios
El cociente de un polinomio por un monomio, es un polinomio cuyos términos son el cociente de cada
término del polinomio dividendo por el monomio divisor; se obtiene aplicando la propiedad distributiva
del cociente respecto de una suma algebraica. Por ejemplo:
(1.102)
(4x 2 6x 4 y 10x 3 y 2 ) : (2x) 2x 3x 3 y 5x 2 y 2
Interesa en particular el cociente de polinomios en una sola variable. Sean P(x) y Q(x) polinomios, tal
que el grado de P(x) es mayor o a lo sumo igual que el grado de Q(x) y Q(x) es no nulo. Bajo esa hipótesis, dividir P(x) por Q(x) es encontrar dos polinomios C(x) y R(x) tales que:
a)
P(x) Q(x) . Cx Rx
b)
El grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).
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Con P(x) nos estamos refiriendo al dividendo, con Q(x) al divisor, con C(x) al cociente y con R(x) al
resto de la división. Debe resultar pues:
P( x)
Rx
Cx
Q( x)
Q( x)
(1.103)
¿Cómo calculamos el cociente? Para dividir, primero debemos completar el dividendo (si no lo está) y
ordenar tanto el dividendo como el divisor según las potencias decrecientes de x (o la variable que
corresponda). Después de esto, el esquema es semejante al de dividir un numero por otro. Por ejemplo, consideremos dividir el polinomio P (x )= 5 x 4 + 2 x 2 + 4 - x 3 por el polinomio Q (x ) = x + x 2 - x 3 .
Luego de ordenar y completar, resulta:
P (x ) = 5 x 4 - x 3 + 2 x 2 + x + 4
(polinomio ordenado y complet o)
Q (x ) = - x 3 + x 2 + x
(polinomio ordenado)
La división se realiza de la manera siguiente:
5 x 4 x3 2 x2 0 x 4
5 x 4 5 x3 5 x2
x3 x2 x
5x 4
0 4 x3 7 x2 0 x 4
(1.104)
4 x3 4 x2 4 x
0 11x 2 4 x 4
Expliquemos por pasos la operación:
4
3
- 5 x surge de dividir 5x : (- x ).
- 5 x se multiplica por el divisor (- x 3 + x 2 + x ).
El producto (5 x 4 - 5 x 3 - 5 x 2 ) se resta del dividendo.
De lo anterior resulta, 4 x 3 + 7 x 2 + 0 x + 4, que constituye un resto parcial.
El procedimiento se repite pues el grado del resto parcial es igual al del divisor:
4x 3 : (- x 3 ) = - 4
- 4 (- x 3 + x 2 + x ) = 4 x 3 - 4 x 2 - 4 x ; que se rest a de 4x 3 + 7x 2 + 0x + 4, result ando:
11x 2 + 4x + 4.
Como el resto es de grado inferior al del divisor, hemos concluido el proceso y encontrado el cociente:
C(x) = – 5 x – 4
R(x) = 11 x2 + 4 x + 4
Veamos si los resultados son correctos. Si lo son deben verificar la definición
Tenemos entonces:
p( x) q( x) . c ( x) r ( x)
c ( x) . q( x) r ( x) ( x 3 x 2 x) . (5 x 4) (11x 2 4 x 4)
Además de verificarse la definición, también se verifica que el grado del dividendo [grado de P(x), 4]
es mayor que en grado del divisor [grado de Q(x), 3], el cual a su vez, es mayor al grado del cociente
[grado de C(x), 1]. En grado del divisor también es mayor al grado del resto [grado de R(x), 2]. Como
todas las definiciones se verifican, concluimos que la división se ha efectuado correctamente.
Cuando el resto de la división [R(x)] es cero, decimos que la división es exacta. Como R(x) = 0 en
este caso, resulta:
P(x) = Q(x) . C(x) (División exacta)
(1.105)
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2.3.9 Regla de Ruffini
La regla de Ruffini nos permite realizar las divisiones de polinomios, sólo cuando el divisor es un
binomio de la forma (x + a), donde x es la variable y a cualquier número distinto de cero. El número a
puede ser positivo o negativo, pero x NO debe estar precedida por el signo menos.
Para entender de qué manera nos ayuda la regla de Ruffini, primero efectuemos la división de dos
polinomios tal como lo hicimos anteriormente. Siendo el polinomio dividendo P(x)=x2 + 8 x4 – x3+2 y el
binomio divisor
Q(x)= x – 2 luego de completar y ordenar la división resulta:
8 x 4 x3 x2 0 x 2
x2
8 x 4 16 x 3
8 x 3 15 x 2 315 x 62
0 15 x 3 x 2 0 x 2
15 x 3 30 x 2
0 31x 2 0 x 2
31x 2 62 x 2
0 62 x 2
62 x 124
126 resto
El cociente que obtenemos es Cx 8x 3 15 x 2 315 x 62 y el resto es de 126. En esta división
notamos lo siguientes:
El cociente es de un grado menor al dividendo (el grado del dividendo es 4 y el del cociente es 3).
El primer coeficiente del cociente (8) es igual al primer coeficiente del dividendo (también 8).
El segundo coeficiente del cociente se obtiene multiplicando al anterior por 2 (que es igual al coeficiente
«–2» que acompaña a la x del divisor, pero cambiado de signo) más el coeficiente del segundo término del
polinomio dividiendo, es decir: 8 .2 – 1=15 Los siguientes coeficientes se obtienen de la misma forma.
El resto de la división se obtiene multiplicando el último coeficiente obtenido por 2 (nuevamente, el «–2» que
acompaña a la x del divisor, cambiado de signo) y sumando ese producto al término independiente del dividendo.
Esto se realiza con la ayuda del esquema mostrado en la figura. El «término independiente del binomio divisor cambiado de signo» es el número que acompaña a la x del divisor, con el signo contrario.
Como en este caso, el término independiente es –2, consideraremos +2 en la regla de Ruffini. En la
fila inferior del esquema, todos los números salvo el último, son los coeficientes del cociente; el último
número es el resto. Como el grado del divisor siempre es uno (en estos casos), el grado del cociente
será un grado menor al del dividendo.
Coeficientes del dividendo, completo y ordenado
Término independiente del
binomio divisor, cambiado
de signo
8
2
8
1
1
16
30
15
31 62 126
0
2
62 124
Coeficientes del cociente
resto
De esta manera, el cociente se obtiene completando con las indeterminadas correspondientes, los
coeficientes del cociente indicados en el esquema: Cx 8x 3 15 x 2 315 x 62 Como podemos
comprobar, es exactamente el mismo valor obtenido al efectuar la división anterior. El resto, igualSeminario de Matemática
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mente coincidente, es de 126. La regla de Ruffini simplifica notablemente el proceso de dividir dos
polinomios; sólo debemos recordar que es válida únicamente cuando el divisor es de la forma x ± a.
2.3.10 Teorema del resto
El resto de dividir un polinomio de grado n mayor o igual a 1, por otro de la forma x ± a, es el valor
numérico del polinomio dividendo, para x igual a cambiado de signo. Esto significa que si el divisor
es un binomio como el indicado, el resto se obtiene reemplazando x en el polinomio dividendo, por el
valor de a cambiado de signo. En el ejemplo anterior, el dividendo es P(x) = x2 + 8.x4 – x3 + 2 y el divisor es Q(x) = x - 2 El resto podrá calcularse entonces como:
R(x) = P(2) = 2.2+8.24 – 23 + 2 = 126
(1.106)
Calcular el resto nos permite comprobar de una manera sencilla si la división es exacta (recordemos
que para que una división sea exacta, el resto debe ser cero). También nos permite comprobar si hemos efectuado la división en forma correcta.
El teorema del resto sólo puede aplicarse a divisiones donde el divisor tiene la forma x ± a, es
decir, debe cumplir las mismas condiciones que exige la regla de Ruffini.
Si sólo deseamos calcular el resto, no es necesario ordenar ni completar el dividendo.
2.4
Factoreo de expresiones algebraicas
A fin de simplificar el proceso de resolución cuando operamos algebraicamente, resulta conveniente,
replantear las distintas expresiones algebraicas, presentándolas como el producto de dos o más
factores, esto es factorearlas.
Como su nombre lo indica entonces, factorear implica expresar un polinomio como el producto de dos
o más factores.
Veremos a continuación, los diferentes casos de Factoreo, comenzando con el más simple de ellos.
2.4.1 Primer caso: Factor común
Obtener un factor común a todos los términos de un polinomio implica aplicar la recíproca de la propiedad distributiva de un polinomio por un monomio. Todos los términos del polinomio contienen un
mismo factor numérico y/o literal; en otras palabras cada término es divisible por un mismo monomio
que multiplica a un nuevo polinomio que resulta de dividir cada término del polinomio original por ese
divisor máximo común. Analicemos el siguiente polinomio:
5x 4 y 2 10 x 2 y 3 15x 3 y 2
Todos los factores numéricos son divisibles por 5, las «x» son divisibles por x2 y las «y» son divisibles
por y2. Entonces, el máximo divisor común de P(x) es 5 x 2 y 2 . Si multiplicamos y dividimos a P(x) por
este monomio, el resultado no varía en absoluto, ya que podemos simplificar:
5x 2 y 2
Px; y (5x 4 y 2 10x 2 y 3 15x 3 y 2 ) . 2 2
5x y
Como podemos comprobar, al multiplicar y dividir por el mismo polinomio, el resultado no varía. Pero
en lugar de simplificar, distribuimos el denominador a cada uno de los términos del polinomio entre
paréntesis, y simplificamos:
5x 4 y 2 10x 2 y 3 15x 3 y 2 5x 2 y 2
.
Px; y 2 2
5x 2 y 2
5x 2 y 2 1
5x y
Nos queda entonces:
Px; y x 2 2y 3x . 5x 2 y 2
Si efectuáramos la propiedad distributiva en esta última expresión, regresaríamos al polinomio original.
Escribimos entonces:
Px; y (5x 4 y 2 10x 2 y 3 15x 3 y 2 ) . x 2 2y 3x . 5x 2 y 2 (1.107)
La ventaja de aplicar este caso de Factoreo, es que obtenemos factores (cada paréntesis es un factor) de orden menor al polinomio original, con los cuales puede resultar más fácil operar matemáticamente.
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Actividad 1.2
Obtenga usted factor común en cada uno de los siguientes polinomios:
a) 16 a 8 b t 4 64 a b 9 t 7 8 a 5 b 3 t 40 a 4 b t 5
b) 1,2 a 2 n 3 z 3 0,8 a 3 n 2 z 4 4,2 a n 5 z
c ) 2,4 b 5 z 3 1,2 b z 2 0,6 b 2 z 5
2.4.2 Segundo caso: Factor común por grupos
Obtener un factor común a todos los términos de un polinomio implica aplicar la recíproca de la propiedad distributiva de un polinomio por otro. A veces, el polinomio que se quiere factorear no contiene
un factor común en todos los términos, pero sí por grupos, como en el siguiente polinomio:
(
)
F a ;b; x ; y = 3 a x + b2 y + a y + 3 b2 x
En este polinomio, encontramos que el primer y último término contienen la variable x, mientras que
en los dos términos centrales contienen y. Podemos entonces, formar los grupos siguientes:
3 a x b 2 y a y 3 b 2 x (3 a x 3 b 2 x) ( b 2 y a y )
3 x (a b ) y (a b )
2
2
prop. conmut. y asoc.
fact . por grupos
(a b ) . (3 x y )
2
No hemos aplicado ningún caso de factoreo, simplemente aplicamos la propiedad asociativa de la
suma. En el primer paréntesis, podemos sacar a 3 x como factor común, mientras que en el segundo
paréntesis podemos sacar a y como factor común. Nos queda entonces:
(
) (
) (
)
F a;b; x ; y = 3 a x + 3 b2 x + a y + b2 y = 3 x (a + b2 ) + y (a + b2 )
1º Grupo
2ºGrupo
Como su nombre lo indica, obtener factor común por grupos consiste en: cada grupo es tratado como
si los demás no existieran, y se aplica a cada grupo, el primer caso de factoreo. Si analizamos el resultado obtenido, podemos ver que en los dos últimos términos existe el factor (a + b2 ), el cual puede
extraerse como factor común de todo el polinomio. Resulta finalmente:
(
)
(
)
F a;b; x ; y = 3 a x + b2 y + a y + 3 b2 x = 3 x + y (a + b2 )
Es frecuente que para factorear un polinomio deba combinarse varios casos de factoreo.
Tarea
Factorizar los siguientes polinomios:
65 a c + 26 c x - 14 x y - 35 a y .
9a c + 6c m - 3c x - 6a 2 + 4a m + 2a x.
16 p x z - 4 p x - 24 p y z + 6 p y + 8 q x z - 2 q x - 12 q y z + 3 q y .
Factorizar la siguiente expresión transformándola en el producto de tres binomios:
20 bm + 5 a bm + 20 c m + 5 a c m + 4 bt + a bt + 4 c t + a c t
2.4.3 Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto
Recordemos que el cuadrado de un binomio ( x + y ), es igual a la suma del cuadrado de las bases
más dos veces el producto de las mismas, es decir: (x + y )2 = x 2 + 2 x y + y 2 , ya que:
(x + y )2 = (x + y )(x + y )
= x2 + y x + x y + y2
2
= x + 2x y + y
(1.108)
2
Sabiendo esto, factorice el siguiente polinomio:
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9 6 2 25 2 4 5 4 3
p y +
p y - p y
36
16
4
Frente a la consigna de factorear, por ejemplo, 4 c a 2 + 4 c a b + c b2 , observe y analice:
¿Es un trinomio?
¿Es un trinomio cuadrado perfecto?
¿Tienen los términos algún factor común?
¿Cómo queda el polinomio después de una primera factorización?
Observe los factores para ver si es posible un nuevo factoreo.
Si trabajó correctamente, usted obtendrá la siguiente expresión:
(
4 c a 2 + 4 c a b + c b2 = c 2 a + b
2
)
2.4.4 Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto
Consideremos la expresión (x + y )3 . Esta potencia puede calcularse como:
(x + y )3 = (x + y )2 (x + y ); según lo vist o ant eriorment e:
(
)
= x 2 + 2 x y + y 2 (x + y ); aplicando propiedad dist ribut iva:
= x 3 + 2 x 2 y + x y 2 + x 2 y + 2 x y 2 + y 3 ; asociando y conmut ando:
= x 3 + 3x2 y + 3x y2 + y3
Puede generalizarse entonces:
(x + y )3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3
(1.109)
Esta expresión se conoce como cuatrinomio cubo perfecto, tiene cuatro términos, dos de los cuales
son cubos perfectos; otro término es el triple producto del cuadrado de la base del primero por la base
del segundo y el término restante es el triple producto de la base del segundo al cuadrado, por el primero.
De esta manera, si tenemos un cuatrinomio, quizás pueda ser factoreando como el cubo de un binomio. Lo primero es observar si se cumplen las condiciones detalladas arriba. Por ejemplo:
3 8b 3 2b
3 a 3 a
3
8b3 12ab2 6a 2b a3
8b 3 12ab2 6a 2b a 3 2b a
2
3. 2b . a 12b 2 a
2
2
3. a . 2b 6 a b
Como el cuatrinomio anterior está conformado por la suma de estos últimos cuatros monomios, concluimos que el polinomio puede ser expresado como el cubo del siguiente binomio:
(
8 b3 - 12 a b2 + 6 a 2 b - a = 2 b - a
3
)
Observe que cuando uno de los dos términos del binomio es negativo, los signos del cuatrinomio van
alternándose (positivo – negativo – positivo – negativo).
Para una mejor fijación de los conceptos, es conveniente que Ud. vaya enunciando las propiedades
que aplica u operaciones que realiza. Sólo «haciendo» se aprende matemática. La lectura no es suficiente además, debe completar su aprendizaje con mucha práctica.
Factorice los siguientes polinomios:
1
64 x 3 y 3 - 24 x 2 y 2 + 3 x y - .
8
27 3 6 9 2 3 5
8 9 3
a c - a b c + 2 a b6 c 4 b c .
8
2
27
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2.4.5 Quinto caso: Diferencia de cuadrados
Consideremos el caso del binomio x 2 - y 2 . Este binomio puede ser factoreado de la siguiente manera:
x 2 - y 2 = (x + y )(x - y )
2
(1.110)
2
El binomio x - y es la resta de dos factores elevados al cuadrado, y se lo denomina diferencia de
cuadrados (que no debe confundirse con una diferencia, al cuadrado). Si se efectúa la propiedad distributiva entre los paréntesis de la expresión (1.110) se obtendrá la diferencia de cuadrados.
Una diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las bases. En efecto:
(x + y )(x - y ) = x 2 - x y + x y - y 2
= x2 - y2
Factorice los siguientes polinomios:
4 4 6 9 2 2
x z p q .
25
16
1 4
a - 10000 x 16 .
256
2.4.6 Sexto caso: Suma o diferencia de potencias de igual grado
¿Qué sucede si en lugar de tener una diferencia de cuadrados tenemos una suma de cuadrados?
¿Cómo proceder si las bases no están elevadas al cuadrado sino a cualquier otro exponente? Consideremos cada caso por separado.
2.4.6.1 Suma de dos potencias de igual grado
n
n
Tenemos la suma de dos potencias de igual grado, como ser x + a ; donde vamos a considerar que x es la variable y a un coeficiente numérico determinado. Según la expresión (1.105), si la división es exacta, el polinomio dividendo puede ser expresado como el producto de dos factores: el
n
n
cociente y el divisor. Es decir, podemos factorear al polinomio x + a como el producto del cociente por el divisor. Elegimos como divisor al binomio x ± a, lo que nos da dos alternativas (una
con más y otra con menos).
Antes de efectuar la división, debemos verificar que ésta sea exacta, para lo cual empleamos el teorema del resto. Consideremos las dos alternativas:
Divisor
x + a.
(-a)n + an
n
n
n
Sabemos que si el exponente es par tendremos: resto = a + a = 2a ≠ 0
Según el teorema del resto, éste vale: resto =
Como no es cero, la división no es exacta y no podemos factorear.
Concluimos que:
No pueden factorizarse sumas de potencia de igual grado si el exponente es par, extrayendo como factor la suma de las bases.
Si, en cambio, el exponente es impar, al aplicar el teorema del resto tendremos:
n
resto = (-a)
+ an = 0
Como el resto es cero, la división es exacta y entonces podremos dividir el polinomio
binomio x + a . Es decir, la expresión podrá ser factorizada.
x n + an
Concluimos que:
Una suma de potencia de igual grado puede factorizarse extrayendo como
factor la suma de las bases, siempre que el exponente sea impar.
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Divisor
x - a.
n
n
Según el teorema del resto, éste vale: resto = a + a ≠ 0
Sin importar si el exponente es par o impar, nunca resto valdrá cero.
Entonces, concluimos que:
Las sumas de potencias de igual grado no pueden factorizarse extrayendo
como factor la diferencia de las bases.
n
n
En resumen, en el caso de tener un polinomio de la forma x + a , sólo puede ser factorizado si
los exponentes son impares. En tal caso, se divide por la suma de las bases, es decir, por x + a .
2.4.6.2 Diferencia de potencia de igual grado
x n - an .
En este caso, tratamos con polinomios del tipo
los posibles divisores:
Divisor
Con el mismo criterio anterior, buscamos
x - a.
El resto vale: resto =
an – an = 0
En este caso, el resto siempre valdrá cero, sin importar si el exponente es par o impar. Concluimos entonces, que:
Una diferencia de potencias de igual grado, con exponentes pares, puede
factorizarse extrayendo como factor tanto a la suma como a la diferencia
de las bases.
El quinto caso de factoreo es, en realidad, un caso particular de esto.
Divisor x + a .
El resto vale: resto =
(-a)n – an
Si n es par, el resto valdrá cero, caso contrario valdrá
- 2an .
Concluimos entonces, que:
Una diferencia de potencias de igual grado con exponentes impares admite como factor a la diferencia de las bases.
Las conclusiones obtenidas se indican en la tabla siguiente:
P (x ) = x n ± a n
Exponente impar
Exponente par
n
n
x
n
n
x
n
x + a
x n - an
- a
+ a
n
Divisor/es
x + a
x- a
x + a
y
x - a
No t iene divisores en la forma x ± a
2.4.7 Descomposición factorial de un polinomio
Se denomina raíz de un polinomio al valor de la variable independiente que lo anula. Todo polinomio
de grado n puede factorearse como el producto del coeficiente del término de grado n, (o sea, el factor
an) por n binomios cada uno de los cuales es la diferencia entre x y cada una de las raíces o ceros del
polinomio. Es decir:
P( x) an x n ..........a2 x 2 a1 x a0
an x x1 .x x2 ..........x xn
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Donde x1, x2,…, xn son cada una de las n raíces del polinomio. Desde ya, encontrar las raíces de un
polinomio no es tarea fácil; veremos cómo hacerlo para polinomios de segundo grado en otra unidad.
Aquí adelantamos algo: por ejemplo:
P (x ) = 4x 2 - 16 = 4 (x 2 - 4) = 4 (x - 2)(x + 2)
Si x toma los valores 2 ó –2, el polinomio vale cero. Decimos entonces que 2 y –2 son raíces de P(x).
¿Cómo factorear por ejemplo x2 + 5x + 6? Encontrar las dos raíces del polinomio exigiría tener presente la resolución de una ecuación de segundo, que veremos en otra unidad. Alternativamente, esas
raíces pueden ser obtenidas haciendo un el siguiente artificio algebraico:
(
)
x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
El polinomio obtenido puede ser factoreado por grupos:
x 2 + 2 x + 3 x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
La última expresión indica que las raíces son --2 y --3. Veamos otro ejemplo:
x 2 + x - 2 = x 2 + 2 x - x - 2 = x (x + 2) - (x + 2) = (x + 2)(x - 1)
Las raíces de este polinomio son +1 y –2. Sin aplicar la formula de resolución de ecuación de segundo grado, las hemos obtenido, expresando el término de primer grado (x en este ejemplo) como
una suma, de modo de poder factorear por grupos.
Con frecuencia será necesario realizar éstos y otros artificios algebraicos.
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2.5
Ejercicios de aplicación
1. Obtenga el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:
16 x 4 y 8 3z
11
a)
para x 1 / 4 , y (1 / 2) 1 , z 2
R
(4 xy 8 z )
7
b)
x( x z )
( x y )( x y )
para x 5
, y 2,
z 20
R
5
3
2. Calcular el valor numérico de P(x)= 3x 4 7x 9 para a) x1 = 1 y b) x2 =
1
7
3. Encontrar el valor de m en los siguientes polinomios para que se cumplan las condiciones indicadas en cada caso:
a) P( x) x 2 x m x para que P(-1)=3
3
Rta: m = 2
2
b) R( x) x
Rta: m = 10
2 3. 5 x m para que R( 5 )=0
c) Q( x) x mx 3 para que 3 sea una raíz de Q(x)
Rta: m = 4
2
4. Hallar las siguientes sumas y restas:
1
a) 3x 2 2x 3 2x x 2
2
3
1
3
1 2
b) 2x x 2 x x 2 2 x 2
2
5
5
2 3
1
1
3
4
c) 2m m 2 2 m 1 3 m 2 m
3
3
5
5
1
1
1
3
e) x 2 2x 2x 2 x
5
2
3
2
f)
1 3
1
s s 2 0,1 0,1s 3 0,9s 2 s
6
10
g) 0,32y 3y 2 0,7 0,2y 0,07 1,2y 2
5. Sumar y restar los siguientes polinomios:
4x
3
3 x 2 y 7 xy 2 6 y 3 2x 3 3 x 2 y 3 xy 2 5 y 3 3 x 3 7 x 2 y 9 xy 2 y 3
a)
Rta : 3 x 3 x 2 y xy 2 2y 3
x3 y
x2y2
xy 3
x3 y
x2y2
y4
b)
4
2
2
6
3
2
2
1
3
1
1
Rta :
5
7 3
3 2 2
3
5 4
x y
x y
xy 3
y
6
4
2
6
6. Efectuar las siguientes multiplicaciones:
a)
1 3
x 6x 3 4x 2 7x
2
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b)
3 2 3 3
4
x y 6x y x 2 y 2 2x y3
2
3
c) 4x 3 2x 2 5x 3 3x 2 6x
7. Resolver las siguientes potencias:
a) 2 3x 2
b) x 2 x 3
d) 2 3x
2
e)
g) 2 3x2
x
2
h)
x
3
3 3
c)
1 3 2 2
x x
2
3
4 3
f)
2 3x
i)
1 3 2
x y
3
3
3
x x
3
3
8. Multiplicando (x3+2 x –1) por cierto binomio, obtengo (x5+3x3 – x2 +2x –1) ¿Cuál es ese binomio?.
9. Calcular el cociente y el resto en las siguientes divisiones:
b) x
c) x
2x 2x 3 : x 2x 1
13x 17x 17 : x 4
a) 2x 3 9x 2 4x 10 : 2x 5
4
4
3
2
2
2
19 9 3 6 1 3 3 1
1
d) x12
x x x : x
6
2
6
3
2
1
1
1
e) x 3 x 2 x : x
2
8
2
10. Realizar las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini y corroborar con el teorema del
resto:
a) x 7x 14x 21 : x 2
d) x 2x 3 : x 1
5
1
25 2
b)
x 10x : x
2
5
2
2
e) a 3 1 : a
3
3
2
3
2
f) 2x 2x
c) 0,6x 3 0,5x 2 x : x 1
4
3
3x 2 10 : x 2
11. Sabiendo que x 2 . ax 2 bx c 3x 3 2x 2 7x 2 , hallar a, b y c.
Rta: a=3, b=4 y c=1
12. Completar:
.....
- 2x3
x4
.....
.....
.....
.....
.....
0
- 3x2
.....
.....
+ 9x
0
.....
0
.....
+x
४
.....
.....
+ 3x
- x2
.....
--3
+5
13. Señale cuál es el valor de b en cada caso. Justifique.
a) p(x) = -2.x4 + 3 b x – 1 , para p(x) divisible por (x – 2).
b) q(x) = 3.(x – b) . (x - 5) , si la suma de las raices es 3.
c) s(x) = 2.x2 + 4.x – b, si el resto de dividir s(x) por (x – 3) es –1
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14. Extraer factor común.
Rta: 6x 2 4x 3 3x 2 5
a) 24x 5 18x 4 30x 2
b)
15 4 21 3 9
x
x
x
16
40
28
c) 4 m 2 8 m3 16 m7 2 m5
3
9
15
3
Rta:
3 5 3
7 2 3
x x
x
4 4
10
7
Rta:
2 2
4
8
m 2 m m5 m3
3
3
5
15. Extraer factor común indicado.
a) 4 x 2 x 30 x 2 x..............................
3
2
1
3
1
1
a a 2 a 3 a.............................
2
4
18
8
2
1
4
2
c)
m m 2 m 3 m..............................
5
3
3
5
b)
16. Extraer factor común por grupos.
a) 3b 3 a x b x a
Rta: b a3 x
b) x 4 x 3 x 1
Rta: x 3 1 x 1
d) x 6 2x 5 x 4 2x 3 2x 4
Rta: 2x 3 2x 1
Rta: x x 2 x 2
2 3 2 2
1
x x n xn n 2
9
3
3
1
2
f) 3x 5 x 3 y 2 x 4 y 6x 2 y 3 y 5 2xy4
3
3
Rta: 2 x 2 n . 1 x n
3
3
1
Rta: x 3 2y 3 3x 2 y 2 x y
3
3
2
2
c) 4x 2x 6x 3
e)
5
3
17. Indicar cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, y en tal caso factorearlos como
tales.
a) x 2 10x 25
d) 16 8x x 2
b) m 2 2mn n 2
e)
c) x 2 6x 9
f)
p2
pq q 2
4
0,25x 2 xy2 z 3 y 4 z 6
18. Expresar cada cuatrinomio cubo perfecto como el cubo de un binomio.
a) x 3 15x 2 75x 125
c) x 3 12x 2 48x 64
1 3 3 2 3
x x x 1
8
4
2
3
3
1
d) x 3 x 2 x
2
4
8
b)
19. Transformar en producto las siguientes diferencias:
a) a 2 b 2
d) 1 0,0001a 8
b) 81 x 2
e)
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1 2 4
x y 0,81x 2
4
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c)
1 6
m 1
9
f)
2x 2 4
20. Factorear las siguientes sumas y diferencias de potencias de igual grado:
a) x 3 a 3
d) x 4 36
b) 27 y 3
e) x 5
c) 8a 3 27b 3
f)
1
32
x4 y 4
21. Factorear las siguientes expresiones, combinando los distintos casos de factores:
Rta: 5x y 2
a) 5x 2 10xy 5y 2
b)
3 3
9
9
a x a 2 x ax 3x
8
4
2
1
Rta: 3x a 1
2
3
c) 8x 3 1
Rta: x 2 x 1
d) x 3 8y 3 3x 6y
Rta: x 2 y
e) 3x 3 15x 2 24x 12
Rta: 3x 1x 22
Rta: aa 2a 2a x
a 4 4a 2 a 3 x 4ax
f)
3 x2 2 yx 4 y2
22. Simplificar las siguientes expresiones:
a)
x3 1
x 2 2x 1
5x 2 5
b)
x 1
2am 2 2m 2 x
c)
a 2 m 2 x 2 m 2 2axm2
d)
x 5 16x
x 2x
xy 3x 2y 6
e)
x 2y 3
f)
Rta:
x2 x 1
x 1
Rta: 5x 1
Rta:
2
ax
Rta: x 2 x 2 4
2
a 2 2ab b 2 x 2
2a b x
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Rta:1
Rta:
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ab x
2
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3 TRIGONOMETRÍA
3.1 Introducción
La trigonometría es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos
de los triángulos. Etimológicamente significa «medida de triángulos».
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia
y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir,
una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna.
Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las
ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente
alterna.
1m
Luminaria 2
1 ,5 m
Plano de visión
(1 m por encima
de la calzada)
Luminaria 1
h=9m
9m
d
8,1 m
x
L
0,6 m
X
Punto de cálculo
y
Y
30 m
Figura 3.1 Croquis para cálculo luminotécnico.
En la figura 3.1, por ejemplo, se muestra un croquis empleado para calcular la iluminación de una vía
pública; puede apreciarse la necesidad de saber cómo trabajar con ángulos.
En el análisis de vibraciones, la trigonometría nos ayuda a simplificar enormemente el proceso. Una
señal compleja, como la mostrada en la figura 3.2 (que ocurre, por ejemplo, cuando una parte estructural de una construcción se ve afectada por vibraciones mecánicas que tienden a producir roturas por
fatiga del material), puede descomponerse en señales parciales más fáciles de analizar.
La curva superior se obtiene «sumando» las tres curvas inferiores.
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Figura 3.2 Ejemplo de análisis de señales.
Una aplicación de la figura 3.2, conocida por todos nosotros, es la «ecualización de audio». El sonido
que sale de los parlantes está representado por la curva superior; las tres curvas inferiores son las
«componentes» de la curva total; cada una de estas tres curvas representa un sonido de una frecuencia determinada, que al sumarse entre sí, producen el sonido final.
Los ecualizadores no modifican la frecuencia de la curva (es decir, el «ancho» de la onda), sino que
modifican su amplitud (el volumen de cada onda, dado por su «altura»); de ahí la necesidad de poder
descomponer la onda, para lo cual utilizamos trigonometría.
3.2 Sistemas de medición de ángulos
Se define como ángulo a la figura geométrica formada en un plano por dos semirrectas que parten de
un mismo punto; o también la formada en el espacio por dos planos que parten de una misma recta.
En la figura 3.3 (a), las semirrectas X y X’ parten del mismo punto O, formando entre ellas el ángulo
(los ángulos se designan con letras griegas minúsculas; o mediante su vértice, que en este caso sería
Ô; o también, indicado de esta manera XOX’).
Los ángulos se consideran como engendrados por una semirrecta móvil al girar alrededor de su origen, que se supone fijo. Vamos a considerar que la semirrecta X permanece fija, mientras que la semirrecta X’ gira alrededor de O. Los ángulos pueden generarse de dos maneras, según la semirrecta
X’ gire en un sentido u otro.
Consideraremos positivos a los ángulos generados en sentido antihorario, es decir, cuando la semirrecta X’ gire en sentido contrario al de las agujas de reloj. Los ángulos pueden ser inferiores a una
vuelta [como el ángulo en la figura 3.3 (b)] o de más de una vuelta, como el ángulo en la misma
figura.
Todos los ángulos mostrados en las figuras 3.3 (a) y 3.3 (b) son positivos, por ser generados en sentido antihorario. Consideraremos negativos a los ángulos generados en sentido horario, es decir, en el
mismo sentido de las agujas del reloj. El ángulo mostrado en la figura 3.3 (c) es un ángulo negativo.
X’
X’
O
X
(a)
O
X
(b)
Figura 3.3 Generación de ángulos.
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X
O
(c)
X’
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Recordemos que medir un ángulo es compararlo con otro ángulo que se toma como unidad, o bien, es
la razón entre el ángulo dado y la unidad elegida. Suelen usarse en trigonometría unidades de los sistemas sexagesimal, circular y centesimal.
El sistema sexagesimal es el más empleado, utilizándose con preferencia el circular en los planteos
de carácter teórico, pues permite simplificar la notación. El sistema centesimal es poco usado.
3.2.1 Sistema sexagesimal
Se llama ángulo de 1 grado a la nonagésim-ava parte de un ángulo recto. Sus submúltiplos son el
ángulo de 1 minuto y el de 1 segundo. En símbolos:
ángulo rect o
.
90
1º
Ángulo de 1' =
.
60
1'
1º
Ángulo de 1" =
=
.
60 3600
Ángulo de 1º =
En consecuencia, de acuerdo a lo anterior se tiene:
Ángulo recto = 90º; 1º = 60’; 1’ = 60”.
Ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180º.
Ángulo de 1 giro (círculo) = 2 ángulos llanos = 360º.
Para indicarle a la calculadora que estamos trabajando en sistema sexagesimal tenemos que configurarla en «MODE = DEG».
3.2.2 Sistema circular
El ángulo central correspondiente a un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la misma,
recibe el nombre de ángulo de 1 radián. (Generalmente, por conveniencia abreviamos radian con
«rad», pero en realidad, en el sistema circular los ángulos son unidades adimensionales, es decir, no
debemos escribir su unidad.) Este concepto se ilustra en la figura 3.4.
s=r
1 radián
r
Figura 3.4 Definición de radián.
En la figura 1.5 vimos que el perímetro de una circunferencia es veces el diámetro, el cual a su vez,
es el doble del radio r. Entonces, el perímetro p de una circunferencia es:
(1.112)
p 2. .r
Cuando el ángulo está medido en radianes, el arco s que describe el extremo del radio es:
(1.113)
s .r
Si el perímetro p se obtiene con 2 y el arco s se obtiene con el ángulo, podemos deducir que los
ángulos en el sistema circular puede expresarse en función del número, lo cual nos permite relacionar el sistema circular con el sistema sexagesimal de la manera siguiente:
2 360º
en radianes
. 360º
en grados
2
(1.114)
De esto se deduce:
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en grados
180º
Empleando esta relación, tenemos:
en radianes
(1.115)
360º 2. radianes
180º radianes
90º
radianes
2
Para trabajar con radianes en la calculadora, la configuramos en «MODE = RAD».
3.2.3 Sistema centesimal
El sistema centesimal es similar al sistema sexagesimal, salvo que se define como 1 grado a la centésima parte de un ángulo recto. En símbolos:
ángulo recto
100
G
1
Ángulo de 1M
100
1M
Ángulo de 1S
100
Ángulo de 1G
En consecuencia, de acuerdo a lo anterior se tiene:
G
Ángulo recto = 100 .
G
Ángulo llano = 2 ángulos rectos = 200 .
G
Ángulo de 1 giro = 2 ángulos llanos = 400 .
Para indicarle a la calculadora que estamos trabajando en sistema centesimal tenemos que configurarla en «MODE = GRA».
3.3 Razones trigonométricas
Consideremos un ángulo agudo cuyo vértice sea O [figura 3.5 (a)] y sobre uno de sus lados, OQ, levantemos perpendiculares tales como AB, A, A”B”, etc. que son triángulos semejantes por tener dos
ángulos iguales: el ángulo en O por común y el recto. Luego, como los lados homólogos serán proporcionales resulta que se pueden establecer varias razones iguales entre los catetos opuestos o adyacentes al ángulo O y las hipotenusas correspondientes.
B”
B’
A
B
c
b
O
A
A’ A”
C
(a)
a
B
(b)
Figura 3.5 Proporcionalidades.
Algunas de las relaciones son:
AB
A 'B '
A "B "
cat et o opuest o a a
=
=
=
= CONST ANT E
cat et o adyacent e a a
OA
OA '
OA "
(1.116)
AB
A 'B '
A "B "
cat et o opuest o a a
=
=
=
= CONST ANT E
OB
OB '
OB "
hipot enusa
(1.117)
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Los diversos segmentos AB , OA , A B etcétera, son cantidades homogéneas y por consiguiente la razón entre un elemento y su correspondiente es un número abstracto, constante e independiente de las
dimensiones de los lados del triángulo, dependiendo exclusivamente del valor del ángulo.
Las razones trigonométricas o angulares son los números abstractos que se obtienen al calcular las
razones entre los pares de lados de un triángulo rectángulo. Estas razones trigonométricas toman
nombres particulares de acuerdo con las siguientes definiciones.
3.3.1 Seno de un ángulo agudo
Se llama seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo a la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa [figura 3.5 (b)].
cateto opuestoa b
Sen
hipotenusa
c
(1.118)
cateto opuestoa a
Sen
hipotenusa
c
En la calculadora, para calcular el seno presionamos la tecla «SIN».
3.3.2 Coseno de un ángulo agudo
Se llama coseno de un ángulo agudo de un triángulo a la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa [figura 3.5 (b)].
cateto adyacente a a
Cos
hipotenusa
c
(1.119)
cateto adyacente a b
Cos
hipotenusa
c
En la calculadora, para calcular el coseno presionamos la tecla «COS».
3.3.3 Tangente de un ángulo agudo
Se llama tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto opuesto y
el cateto adyacente a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].
cateto opuestoa
b
Tg
cateto adyacente a a
(1.120)
cateto opuestoa
a
Tg
cateto adyacente a b
En la calculadora, para calcular el la tangente presionamos la tecla «TAN».
Para no olvidarnos de estas tres relaciones fundamentales, recurrimos a la regla mnemotécnica esquematizada en la figura 3.6.
SOR-CAR-TOA
El SENO es el
OPUESTO sobre
el RADIO
El COSENO es el La TANGENTE es el
ADYACENTE OPUESTO sobre el
sobre el RADIO
ADYACENTE
Figura 3.6 Regla mnemotécnica.
3.3.4 Cotangente de un ángulo agudo
Se llama cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].
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Cotg
cateto adyacente a a
cateto opuesto a
b
(1.121)
cateto adyacente a b
Cotg
cateto opuesto a
a
En la calculadora, para calcular la cosecante presionamos la tecla «1÷TAN».
3.3.5 Secante de un ángulo agudo
Se llama secante de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre la hipotenusa y el
cateto adyacente a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].
Sec
hipotenusa
c
cateto adyacente a a
hipotenusa
c
Sec
cateto adyacente a b
(1.122)
En la calculadora, para calcular la cosecante presionamos la tecla «1÷COS».
3.3.6 Cosecante de un ángulo agudo
Se llama cosecante de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre la hipotenusa y el
cateto opuesto a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].
hipotenusa
c
Co sec
cateto opuestoa b
(1.123)
hipotenusa
c
Co sec
cateto opuestoa a
En la calculadora, para calcular la cosecante presionamos la tecla «1÷SIN».
3.3.7 Cómo utilizar la calculadora
Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo con la calculadora, procedemos así:
Colocamos la calculadora en el modo DEG (Sist. Sexagesimal).
Para encontrar el coseno de 35º 25’, tecleamos:
COS 3 5 º’” 2 5 y en el visor aparece: 0.8149592552, entonces el coseno de 35º 25’ es
0,8149592552.
Para encontrar la cosecante de 35º 25’, tecleamos:
1 : sin 3 5 º’” 2 5 y en el visor aparece: 1,72557117, entonces la cosecante de 35º 25’ es
1,72557117
De igual modo podemos obtener el seno o la tangente, con las teclas SIN y TAN respectivamente.
Para hallar un ángulo conociendo una de sus razones trigonométricas, procedemos así:
sen α = 0,1254, pulsamos: SHIFT SIN 0.1254 y aparecerá 7.203855856; luego pulsamos º’” y leeremos en el visor: 7º12’13.88” entonces α = 7º 12´ 13,88”.
De igual manera podemos hallar el ángulo conociendo el coseno o la tangente, pulsando SHIFT COS y
SHIFT TAN.
En todos los casos es conveniente operar conservando en la calculadora todas las cifras de los resultados
parciales.
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3.3.8 Identidades trigonométricas
cosec
sec
1
I Cuadrante
sen
II Cuadrante
O
III Cuadrante
tg
Figura 3.7 Círculo trigonométrico.
cos
IV Cuadrante
cotg
El círculo trigonométrico es un círculo de radio igual a 1, por lo que si dentro de él se inscribe un triángulo rectángulo, y se considera el ángulo central, los catetos opuestos y adyacentes de dicho triángulo
resultan iguales al seno y al coseno del mencionado ángulo, respectivamente.
El círculo trigonométrico permite obtener cualquier razón trigonométrica simplemente empleando una
regla. Antes de la aparición de las calculadoras científicas, era un método eficaz para obtener las razones trigonométricas sin necesidad de calcularlas, aunque la precisión dependía de la exactitud del
gráfico.
El círculo trigonométrico permite determinar diferentes relaciones entre las razones trigonométricas,
las cuales resultan de gran utilidad en ciertos procedimientos matemáticos, ya que permiten simplificar
las expresiones. En física, por ejemplo, se utilizan a veces estas relaciones ya que ponen de manifiesto de manera más clara un determinado fenómeno. Estas relaciones se denominan identidades trigonométricas. A continuación se exponen algunas de las identidades trigonométricas más utilizadas.
tg
sen
cos
cot g
cos
sen
sen 1 cos 2
sen 2 2 sen . cos
1 cos 2
2
1
cos
cos 2
2
2
2
2
tg sec 1
cos 2
cos ec
sec
sec 2 1
sen(90º ) cos
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sec
1
cos
cot g
1
tg
cos ec
1
sen
sen2 cos 2 1
cos 1 sen2
sen( ) sen . cos sen . cos
cos 2 cos 2 sen2
1 cos 2
sen2
2
1
cos
sen2
2
2
2
cot g cos ec 2 1
sen( ) sen . cos sen . cos
cos
cos ec 2 1
cos ec
cos(90º ) sen
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cos ( ) cos . cos sen . sen
cos ( ) cos . cos sen . sen
tg
cos
1 cos 2
cos
cot g
1 cot g 2
tg(90º ) cot g
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cot g(90º ) tg
sec(90º ) cos ec
cos ec(90º ) sec
3.4 Resolución de triángulos
El triángulo es una figura geométrica de gran importancia en ingeniería. Por ejemplo, cuando se construyen columnas reticuladas de acero, podemos ver que el reticulado forma triángulos. Esto es así
porque el triángulo es la figura geométrica que permite emplear la menor cantidad posible de material
para resistir un esfuerzo dado. En el análisis de sistemas de fuerzas, por ejemplo, el triángulo permite
descomponer una fuerza determinada en componentes ortogonales, facilitando el cálculo. Cuando se
analizan sistemas de potencia en corriente alterna, el triángulo permite determinar qué porcentaje de
la potencia se utiliza, y qué porcentaje de potencia se devuelve a la red eléctrica sin ser consumida en
la carga. Cuando se analizan ecuaciones diferenciales en matemática avanzada, muchas veces se
apela al uso de triángulos para efectuar cambios de variable y poder hallar una solución.
La resolución de triángulos consiste en determinar la medida de cada uno de los lados del mismo, la
medida de cada uno de los ángulos internos y determinar también, la magnitud de su área. Para obtener estos valores, empleamos los teoremas siguientes.
3.4.1 Teorema de Pitágoras
h
a
b
Figura 3.8 Triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de la hipotenusa. En la figura 3.8 se ilustra un triángulo rectángulo de
catetos a y b y de hipotenusa h; para este triángulo el teorema de Pitágoras establece:
h2 = a 2 + b2
(1.124)
Una aplicación de este teorema es la identidad trigonométrica que establece que sen2 cos 2 1
En el círculo trigonométrico (figura 3.7) podemos ver que el triángulo rectángulo inscripto en la circunferencia tiene por catetos a sen y a cos Al elevar el cuadrado ambas cantidades, el resultado
debe ser igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo; como dicha hipotenusa es 1, su cuadrado
también será 1, con lo que se obtiene la identidad trigonométrica mencionada (identidad que se extiende a cualquier valor de hipotenusa).
El teorema de Pitágoras sólo es válido para triángulos rectángulos, es decir, aquellos triángulos con
un ángulo interior recto. La utilidad de este teorema es la de permitir calcular uno de los tres lados del
triángulo en función de los dos restantes, independientemente del valor de los ángulos internos del
mismo.
3.4.2 Teorema del seno
c
b
h
a
Figura 3.9 Triángulo no rectángulo.
El teorema del seno permite relacionar la medida de los lados de cualquier triángulo (inclusive rectángulos) con la medida de sus ángulos internos. El teorema del seno establece que las medidas de los
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lados de cualquier triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Matemáticamente, haciendo referencia a la figura esto es:
a
b
c
(1.125)
sen sen sen
Para poder aplicar el teorema del seno debemos conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos, o bien conocer dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
3.4.3 Teorema del coseno
El teorema del coseno establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma
de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de estos los lados por el coseno del ángulo comprendido. Matemáticamente, haciendo referencia a la figura ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.esto es:
(1.126)
c 2 a 2 b 2 2 . a . b cos
Igualmente, para los otros dos lados:
a 2 b 2 c 2 2 . b . c cos
(1.127)
b 2 a 2 c 2 2 . a . c cos
El teorema del coseno permite determinar conocer la medida de uno de los lados del triángulo en función de los lados restantes, y del ángulo opuesto al lado que se está calculado.
3.4.4 Ángulos internos de un triángulo
La suma de los lados internos de todo triángulo es siempre de 180º.(como los ángulos alternos internos son iguales, se puede demostrar que para cualquier triángulo se cumple).
(1.128)
180º
Figura 3.10 Ángulos interiores del triángulo
3.4.5 Área de un triángulo
El área de todo triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura. Matemáticamente,
haciendo referencia a la figura esto es:
A
a.h
2
(1.129)
Si no se conoce la altura h es posible calcular el área si se aplica la fórmula de Herón
A p . p a. p b. p c
Siendo p el semiperímetro (a+b+c)/2
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3.5 Ejercicios de aplicación
1. Indicar en qué cuadrante se situan cada uno de los siguientes ángulos.
c) 3 800º 2'
d) 4 760º
a) 1 300º
b) 2 200º
e) 5 160º
f)
6 360º 15'
2. Expresar en radianes los ángulos mencionados en ejercicio anterior.
3. Trabajar con calculadora científica y expresar en grado, minutos y segundo las medidas de los si-
guiente ángulos
1
2
3
; 2 2
; 3 3
; 4 0,20
4. Completar la tabla con las medidas de los ángulos y de los arcos generados en sentido positivo en
la circunferencia de radio 1.
(en grados)
(en radianes)
Medida del arco
1
giro
4
90º
1
giro
2
3
giro
4
1 giro
2 giros
3 giros
2
2
5. Si conoces la medida de la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo, ¿puedes
calcular la medida del otro cateto? Entonces, completa:
Q
S
P
M
H
R
P=
N
D
B
..... .....
H= ……………..
N= ……………..
6. ¿Qué longitud debe tener una escalera si debe alcanzar una altura de 6m y su pie debe estar por lo menos a
1,5 m de la pared?
7. Para saber si un marco está torcido, un carpintero mide los lados y una diagonal.
¿Está torcido el
marco?
37 cm
30 cm
20 cm
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8. Facundo construyó un barrilete con forma de rombo con dos varillas perpendiculares de 80 cm y 60
cm. Si quiere bordearlo con flecos, ¿cuántos metros necesitará?
9. Calcular los lados y los ángulos de cada triángulo rectángulo
ˆ 0,347
b) cos
ˆ 0,896
a) sen
12 cm
x
15 cm
y
Rta: x =10,75 cm
Rta: y =5,21 cm
10. Resolver los siguientes triángulos rectángulos.
b
8cm
a)
c
7cm
f
r
b)
c)
d)
j
m
3cm
h
e
2cm
a
ˆ , ˆ y ˆ
ˆ 0,2316
sen
10cm
40º
s
63º
6cm
i
d
11. Hallar
cos ˆ 0,3420
ˆ .....................
ˆ .....................
tagˆ 1,6
ˆ .....................
12. Expresar la razón trigonométrica y, con la calculadora, el ángulo correspondiente.
d
a) sen ˆ .......... ˆ
ˆ ..........
ˆ
b) cos
8 cm
c) sen ..........
d) tg .........
6cm
13. Observar la figura y hallar las medidas de A, B y
30º
10 cm
8cm
̂ .
A
α
B
3 cm
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14. Hallar la altura de un poste sabiendo que la cuerda que lo mantiene anclado al terreno mide 15 m y
que forma un ángulo de 25º con éste.
15.
Una escalera de 4 m se apoya sobre una pared, alcanzando una altura de 3 m:
a) ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso?
b) ¿Cuál es la distancia de la base de la escalera hasta la pared?
16. El ángulo con el que descienden los aviones de pasajeros cuando van a aterrizar es del 3% ¿A
cuántos kilómetros antes del aeropuerto debe iniciar el descenso un avión que vuela a 10 km de altura?
17. Las ruedas de una bicicleta tienen un diámetro de 108 cm.
a) ¿Cuánto avanza la bicicleta si uno de los rayos de la rueda trasera gira 36°?
b) ¿Cuántas vueltas completas deben dar las ruedas para recorrer 1 km?
18. Calcular la altura de un árbol sabiendo que, cuando el sol se encuentra a 30° sobre el horizonte,
proyecta una sombra de 20m. Rta. = 15,626 m.
19. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 cm y 6 cm y se cortan formando un ángulo de 49°
18”. Hallar las longitudes de los lados. Rta: 5,003 cm y 2,339 cm.
20. Para construir un túnel en una montaña que une las localidades P y T se desea determinar su longitud. Para ello se elige un punto C desde donde pueden verse ambas localidades midiéndose TC
= 370 m, PC = 442 m y el ángulo TCP = 108°. Hallar la longitud del túnel. Graficar.
21. Para hallar la distancia entre las localidades A y B separadas por una laguna, se toman las siguientes medidas desde una tercera localidad C. AC = 15 km;
BC = 10 km y el ángulo ACB que mide 63° 20’. Hallar la distancia entre A y B.
A
B
C
22. La altura de la torre de la figura es de 35,083 m. Calcular la distancia entre las dos posiciones sucesivas de un observador si = 50° 12’ y = 32° 51’.
H
D
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4 RELACIONES Y FUNCIONES
4.1 Introducción
El estudiante necesita habilidad para formular y entender modelos matemáticos como representación
simplificada de la realidad, modelos que se expresan generalmente como relaciones funcionales. El
propósito de esta unidad es introducir al alumno en el concepto de función, su representación gráfica y
su clasificación.
4.2 Relaciones
Las relaciones pueden definirse entre elementos de un mismo conjunto o entre elementos de dos conjuntos distintos. Por ejemplo, en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. La vinculación entre sus
elementos puede ser establecida mediante diferentes reglas: «menor que», «cuadrado de», «múltiplo
de», etc. Cuando se definen correspondencias entre los elementos de un mismo conjunto, diremos
que se ha establecido una relación de A en A.
Veamos ahora la definición de relación entre dos conjuntos A y B: Dados dos conjuntos A y B, definir
una relación entre los elementos de ambos conjuntos, es fijar una regla de correspondencia entre
ellos. Supondremos que la misma se establece desde A hacia B y la representaremos: C: A B. El
conjunto A recibe el nombre de alcance de la relación; el conjunto B rango de la relación. Una forma
alternativa de definir una relación entre los elementos de A y los elementos de B, es decir «C es un
subconjunto del producto cartesiano de A por B, cuyos elementos son pares ordenados que satisfacen
una regla de correspondencia».
Una relación definida desde el conjunto A al conjunto B se simboliza:
x; y / x A y B x R y
(4.1)
La expresión «x R y» debe ser interpretada como: «el par (x, y) satisface la regla de correspondencia», o «a x le corresponde y» según la relación . De acuerdo a esa expresión, entenderemos que
siempre el primer elemento del par pertenece al conjunto de partida y el segundo al conjunto de llegada.
Si la relación se define entre elementos de un mismo conjunto: A en A, el alcance y el rango coinciden. Destacamos acá que estas son las relaciones que tienen mayor interés en nuestro estudio.
Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y en él definimos la relación d = {(x; y) / x < y}. El conjunto producto
cartesiano A x A es:
1;1
2;1
A
3;1
4;1
1;2
2;2
3;2
4;2
1;3
2;3
3;3
4;3
1;4
2;4
3;4
4;4
En el conjunto producto cartesiano los pares subrayados son los que satisfacen la relación, es decir: d
= {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)}.
El producto cartesiano y la relación, pueden ser representados gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, formado por dos líneas rectas perpendiculares, que sirven de referencia en un
plano y que dividen al mismo en cuadrantes: 1° (I), 2° (II), 3° (III), 4° (IV). Una de ellas, la línea horizontal, es conocida como eje de las abscisas o eje de las x, en tanto que la línea vertical se llama eje
de ordenadas o eje del las y; la intersección de ambas, es el origen del sistema (figura 4.1).
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y
I
II
x
O
III
IV
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.
Figura 4.1
En el eje horizontal se considera semieje positivo el conjunto de puntos que se encuentra a la derecha
del origen; hablamos entonces de abscisa positiva; a su izquierda, la abscisa es negativa. En el eje
vertical, se define como semieje positivo, el que se encuentra por arriba del eje de abscisas y negativo
el que se encuentra debajo del mismo. Esto es convencional.
Cuando definimos un punto en el plano, debemos dar dos coordenadas: la abscisa, es decir la distancia que hay desde el punto al eje vertical y la ordenada, es decir la distancia que hay desde el punto al
eje horizontal. Un punto se representa P(x; y). Si consideramos P(2; 3), este se encuentra en el primer
cuadrante (I): abscisa 2, ordenada 3.
4.2.1 Dominio y recorrido de una relación
En el siguiente ejemplo veremos qué se entiende por dominio y qué por recorrido de una relación.
Sean:
A = {1; 2; 3},
B = {1; 4; 9; 15} y f = {(x; y) / y = x2} definida de A hacia B. Para encontrar el conjunto relación, obtengamos primero el producto cartesiano A x B:
A x B = {(1; 1); (1; 4); (1; 9); (1; 15); (2; 1); (2; 4); (2; 9); (2; 15); (3; 1); (3; 4); (3; 9); (3; 15)}
De ese conjunto, elegimos los pares que satisfacen la relación:
f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9)}
Las primeras componentes de los pares que integran la relación, conforman un subconjunto del alcance y a este subconjunto lo llamamos dominio de la relación. A su vez, cada elemento recibe el nombre de argumento. En el ejemplo, alcance y dominio coinciden: son el conjunto A. Las segundas componentes de los pares que verifican la relación, conforman un subconjunto del rango y definen el recorrido, codominio o conjunto imagen de la relación. Para uniformizar la terminología, hablaremos
siempre de recorrido y dejaremos el nombre de imagen para aludir a cada uno de los elementos de
este conjunto. En el ejemplo, el recorrido, es un subconjunto propio de B. Designaremos con D(f) al
dominio de la relación funcional f, y con R(f) a su recorrido. Según el ejemplo, el dominio y recorrido
serán:
D(f) = {1; 2; 3}
R(f) = {1; 4; 9}
4.2.2 Relaciones funcionales
El término función, sugiere que el valor o comportamiento de una cosa o fenómeno depende del valor
de otras u otras, tal como lo entendemos en la vida diaria. Ejemplos de funciones:
a) Las calificaciones en introducción a la matemática, dependen del tiempo de es tudio que cada alumno le
dedique.
b) Las tasas municipales dependen del nivel de gasto de la comuna.
c) El sueldo de un empleado en un comercio, es función de las unidades vendidas en la semana.
Ustedes podrán, posiblemente, sugerir nuevas variables explicativas para estos ejemplos y pensar en
muchos otros para analizar, discutir y especificar cómo se relacionan los elementos de un cierto conjunto llamado alcance de la función, con los elementos de otro conjunto, llamado rango. Para definir
función en forma rigurosa, necesitamos volver al concepto de relación.
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{
}
B = {1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10}
C = {- 4; - 3; - 2; - 1;1;2; 3; 4}
A = 1;2; 3; 4; 5
Sean los conjuntos:
Y las relaciones funcionales f y h definidas entre ellos:
f: AB
f= {(x, y) / y = x + 2}
h: BC h = {(x, y) / y =
2
x }
2
o bien: h = {(x, y) / x = y }
La representación gráfica de cada función resulta:
h
f
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Figura 4.2 Representación de funciones mediante diagrama
Analicemos las diferencias entre estas relaciones.
En la relación f, el dominio coincide con el conjunto de partida. En cambio, en la relación h esto no
ocurre.
Por otro lado, en la relación f cada elemento del dominio tiene una única imagen. En la relación h,
los elementos del dominio tienen más de una imagen en el conjunto de llegada.
La relación f es una relación que reciben el nombre de función.
Una relación f definida con alcance el conjunto A y rango el conjunto B, se denomina función si y solo
si:
a) x , y / (x, y) f
b) Si (x, y) f (x, z) f y = z
La primera condición (condición de existencia) que define una función, nos indica que todo elemento
del alcance es elemento del dominio y como tal tiene su correspondiente imagen en un elemento del
recorrido. A su vez, el conjunto de todas las imágenes constituye el codominio, recorrido o conjunto
imagen de la función y es un subconjunto del rango. La segunda condición (condición de unicidad)
nos dice que todo elemento del alcance tiene una y solo una imagen.
4.2.3 Clasificación de funciones
Una aplicación es inyectiva si a elementos distintos le corresponden imágenes distintas. Simbólicamente:
(x1 x2) f (x1) f (x2)
Una aplicación es sobreyectiva o suryectiva si el recorrido es igual al rango. Simbólicamente:
y B, x A / (x, y) f
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Si una función es inyectiva y al mismo tiempo sobreyectiva, se dice que es biyectiva, estableciéndose
una relación biunívoca: todo elemento del dominio tiene su imagen en el rango y todo elemento del
rango es imagen de algún elemento del dominio.
La figura 4.3 ilustra la clasificación de las funciones.
A
f
B
Función no inyectiva, no sobreyectiva
A
h
B
g
A
B
Función no inyectiva, sobreyectiva
i
A
Función inyectiva, no sobreyectiva
B
Función biyectiva
Figura 4.3 Clasificación de funciones.
Atendiendo a las características de toda función biyectiva, es fácil ver que la relación inversa de toda
función biyectiva es también una función, que denominaremos función inversa de la dada.
Para una función no inyectiva, la relación inversa no define una función, porque el dominio de esta
nueva relación es el recorrido de la función original; en él hay imágenes que corresponden a dos o
más argumentos y al pasar a ser el dominio, habrá argumentos que tienen dos o más imágenes (no
cumple la segunda condición para definir una función). Si una función es no sobreyectiva, la relación
inversa no es función porque no cumple la primera condición: esto es, el alcance no coincide con el
dominio.
A
f -1
B
A
No es función
A
h -1
g -1
B
No es función
B
A
No es función
i -1
B
Es función
Figura 4.4 Función inversa.
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4.3 Estudio de funciones
De acuerdo a la ecuación matemática que relaciona a los elementos del dominio con los del recorrido,
existen diferentes tipos de funciones, los cuales se resumen en la figura 4.5.
Entera
Racional
Irracional
Algebraica
Trigonométrica
Función
Exponencial
Logarítmica
Trascendente
Figura 4.5 Tipos de funciones.
Las funciones algebraicas resultan de considerar polinomios, o bien, operaciones con polinomios. Serán enteras cuando las expresiones algebraicas sean enteras; racionales cuando las expresiones algebraicas sean racionales; e irracionales cuando las expresiones algebraicas sean irracionales.
Las funciones trigonométricas resultan de considerar razones trigonométricas en la relación funcional.
Las funciones trascendentes resultan de considerar logaritmos, o bien, cuando la variable se encuentra como exponente (2x por ejemplo).
Veremos a continuación, las funciones más importantes.
4.3.1 Función lineal
Una función lineal con dominio y recorrido en R (reales) se define como:
{(x, y) / x R, y R y = ax + b}
(4.2)
A cada número real x se le hace corresponder con otro número real y, a través de la relación
y = a x + b.
El gráfico en un sistema de coordenadas cartesianas es el de la figura 4.6.
y
y
y–b
b
x
O
x
x
Figura 4.6 Función lineal.
Del triángulo rectángulo mostrado en la figura 4.6, calculamos la tangente de ángulo :
y b
(4.3)
tg
x
Si hacemos a tg luego despejamos y , nos queda:
y = ax + b
(4.4)
Entonces, a mide la «inclinación» de la recta. Cuanto mayor sea a, más inclinada estará la recta; si a
es cero, la recta será horizontal. Llamamos pendiente al coeficiente a. Por otra parte, cuando x vale
cero, la ecuación de la recta es y = b, es decir, la recta corta al eje de las ordenadas en el punto b. Por
tal motivo, llamamos a b ordenada al origen. Tanto a como b pueden ser positivos, negativos o nulos. En la figura 4.7 se muestran algunas posibilidades.
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a > 0; b > 0
a > 0; b < 0
a < 0; b > 0
a < 0; b < 0
Figura 4.7 Gráfico de la función lineal para distintos valores de la pendiente y la ordenada al origen.
Existen diferentes formas de la ecuación de una recta, las cuales se indican en la tabla siguiente.
Ecuación general o implícita
Ecuación segmentaria
Ecuación punto-pendiente
Ecuación de la recta por dos puntos
Ax + By + C = 0
x y
+ =1
p q
y - y1 = a (x - x 1 )
y - y1
y - y1
= 2
x - x1
x 2 - x1
4.3.2 Función cuadrática
Una función de la forma f = a x 2 + b x + c , con a ≠ 0 y a, b y c constantes se denomina función cuadrática.
Es una función real de variable real. Con ello queremos decir que tanto el dominio como el rango es el
conjunto de los números reales. El dominio de la función es el conjunto de los números reales, en tanto que el recorrido es un subconjunto del mismo. Los parámetros asumen cualquier número real, con
excepción de a que necesariamente debe ser distinto de 0, ya que si a = 0, la función deja de ser cuadrática. El valor y signo de esos parámetros caracterizará a la función cuadrática.
Figura 4.8 Función cuadrática.
Se puede observar que la gráfica de la función cuadrática es una parábola y que como tal, tiene un eje
de simetría y su vértice coincide con él (figura 4.8). Cuando a > 0 se puede demostrar que esta parábola es de ramas ascendentes (cóncava), como se visualiza en la gráfica de la función; y que a medida que crece el valor de a las ramas de la parábola se van cerrando o acercándose a su eje de simetría.
En este gráfico se advierte que la función tiene un mínimo en el vértice, es decir, la función asume el
menor valor, cuando x es la abscisa del vértice (xv), y el valor que asume es f(xv). En nuestro ejemplo:
xv = 1 y f(xv) = –4.
Por lo tanto la función es f x x 2 2 x 3
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b x1 x 2
. Esta expresión, también es la ecuación del eje de sime
2a
2
tría, siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación cuadrática, que pueden ser o no reales. En el ejemplo, x1
= –1 y x2 = 3. Por lo tanto:
x x 2 1 3
b
2
xv
;
xv 1
1
2a
2
2
2
¿Que significado tienen el signo de b y c en la gráfica? Analizando la ecuación del vértice, si b tiene el
mismo signo que a, entonces xv, es negativo, lo que se traduce en un desplazamiento del eje de simetría a la izquierda del eje de ordenadas. Por el contrario, cuando b tiene signo distinto de a, como en el
ejemplo, el eje de simetría se desplaza hacia la derecha. El parámetro c es el valor de la función
cuando x vale cero, es decir, es lo que se conoce como ordenada al origen. En consecuencia, cuando
es positivo, la gráfica de la función interseca al eje de ordenadas por sobre el eje de abscisas, mientras que, si c es negativo (como en el ejemplo), la intersección ocurre por debajo del eje de abscisas.
Si la parábola es de ramas descendentes, cosa que ocurre cuando a < 0, la función cuadrática presenta un máximo y éste coincide con el vértice.
Para calcular los ceros o raíces de una función cuadrática se utiliza la fórmula resolvente:
Se puede demostrar que x v
x 1,2
b b2 4.a.c
(4.5)
2.a
Gráficamente los puntos (x1; 0) y (x2; 0) son la intersección de la parábola con el eje de las abscisas.
4.3.3 Función racional
Se llama función racional a la que se obtiene como cociente de dos funciones enteras y son de la
an x n + an - 1 x n - 1 + ... + a1 x + a 0
forma y =
, es decir, una función racional es el cociente entre dos
bm x m + bm - 1 x m - 1 + ... + b1 x + b0
polinomios.
Al estar involucrada la división, el dominio de estas funciones debe tener en cuenta las raíces del polinomio divisor para el cual se anula el mismo.
Podemos analizar el caso particular de la función racional como cociente de dos funciones lineales
llamada función homográfica:
a1 x + a 0
y =
(4.6)
b1x + b0
Esta función no está definida para x = -
b0
, ya que cuando x toma este valor, el denominador se
b1
anula, y dijimos que la división por cero no existe. La figura 4.9 es un gráfico de una función homográfica.
x = -
b0
b1
Figura 4.9 Función homográfica.
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4.3.4 Función exponencial
Una función exponencial está definida de la siguiente manera:
a 0 a 1,
x R
(4.7)
Esas restricciones garantizan que el recorrido de la función sea un subconjunto de los números
R. La gráfica de esta función depende del valor de a, como éste debe ser mayor que 0 y distinto de 1,
se presentan dos situaciones: 0 < a < 1 y a > 1. Consideremos el primer caso y para precisar mejor,
tomemos a = ½. Y luego a = 2. Al graficar fijamos distintos valores a x , y calculamos sus correspondientes imágenes, construyendo la tabla mostrada junto a cada gráfico en la figura.
f (x) = ax
1
y
2
x
y 2
x
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
…
32
16
8
4
2
1
1/
2
1/
4
1/
8
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
…
1/
8
1/
4
1/
2
1
2
4
8
16
32
Figura 4.10 Función exponencial.
4.3.5 Función logarítmica
x
Si observamos la función exponencial y = a , x es un exponente al que hay que elevar la base a
para obtener y; entonces x es logaritmo de y en base a, de lo que resulta la función logarítmica
x = loga y . Definimos formalmente a la función logarítmica como:
(4.8)
y log a x ; x 0 x R a 0 a 1
Deducimos que el dominio de la función logarítmica son todos los reales positivos, que designamos con R+. El recorrido de esta función son todos los reales (R).
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En la figura 4.11 se muestran dos funciones logarítmicas. Se comprueba que la curva corta siempre al
eje x en 1; esto es así porque el logaritmo de la unidad es cero, independientemente de la base del
logaritmo.
y = log2 x
Figura 4.11 Función logarítmica.
y = log 1 x
2
4.3.6 Funciones trigonométricas
Como se mencionó anteriormente, las funciones trigonométricas resultan de considerar razones trigonométricas en la relación.
Las funciones trigonométricas tienen la particularidad de ser periódicas, lo que significa que los valores de y se repiten regularmente para valores de x igualmente «espaciados». El valor que «separa» a
dos valores diferentes de x para obtener el mismo valor de y se denomina período.
En las figuras siguientes se exponen las gráficas de diferentes funciones trigonométricas.
Función: y = sen x
Dominio: R
Recorrido: 1;1
Figura 4.12 Función seno.
Función: y = cos x
Dominio: R
Recorrido: 1;1
Figura 4.13 Función coseno.
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Función: y = tg x
Dominio: { x/x≠ (2k+1)./2 kεZ}
Recorrido: R
Figura 4.14 Función tangente.
Función: y = cotg x
Dominio: : { x/x≠ k. kεZ}
Recorrido: R
Figura 4.15 Función cotangente.
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4.4 Ejercicios de aplicación
Ya sabe qué es una función, cómo se representa y cuál es la tabla que le corresponde. Ahora está en
condiciones de que le presenten fórmulas de distintas funciones y de descubrir la forma cartesiana
que poseen.
1. Definir por comprensión las siguientes relaciones:
a) La suma de las bolillas rojas y las bolillas negras extraídas de una bolsa, debe ser igual a 3.
b) Los kilogramos de acero menos 13,60 kg, debe ser igual al doble de kilogramos de plomo.
2. Dados los conjuntos que se enuncian a continuación, y las relaciones definidas en cada caso: definir la relación por extensión, identificar alcance y rango de la relación y encontrar dominio y recorrido
de la relación.
a) A = {-4, -2, 0, 2, 4}; G = {(x, y)/ x y y = –x}
b) A= {1, 2, 3, 4, 5}; R = {(x, y)/ x y y – 4 = –x}
c) A = {1, 2, 3, 4, 5}; T = {(x, y)/ x y y = 2 . (x – 3)}
d) A = {-4, -2, 0, 2, 4}; W = {(x, y)/ x y y = x – 2}
3. Dados los siguientes conjuntos y relaciones, en cada caso: definir la relación por extensión; identificar alcance y rango de la relación; encontrar dominio y recorrido de la relación; definir la relación inversa.
a) R (A x A) A = {x/(x + 2)(x – 4)(x + 5)(x – 3) = 0}; [(x, y) R x y]
b) T (A x A) A = {x/(x + 2)(x + 4)(x + 5)(x + 3) = 0}; [(x, y) T y = x –1]
4. Dados los siguientes conjuntos y relaciones, en cada caso: definir la relación por extensión; encontrar dominio y recorrido de la relación; graficar la relación; establecer si la relación es función (justificar), en caso afirmativo, indicar si es inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva; encontrar la relación inversa
e indicar si es función.
a) A = {Números naturales impares menores que 8}; B = {x / x ε –1 x 4};
R : B A R = {(x, y)/ y = 2 x + 1 x ε y ε }
b) A = N; B = N; f: A B; f = x2 + 1
5. Representar en ejes cartesianos las siguientes funciones definidas de RR.
a) y1 = 2 x - 1
b) y 2 = x 2 + 1
c) y 3 = x 3
d) y 4 = 4
6. Hallar el dominio y el codominio de las siguientes funciones escalares (RR). Construye las tablas
y luego represéntalas en distintos gráficos cartesianos.
a) y1 = 3 x - 5
b) y 2 = - x + 2
c) y 3 = 2 x 2 - 2
d) y 4 = x
7. Sea y =
12
cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales menos el cero (R – {0}).
x
Represéntela y explique por qué le quitamos el cero.
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8. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representan funciones de RR?
a)
b)
c)
9. Indicar cuál es el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
a)
b)
10. Indicar cuáles de las siguientes gráficas de relaciones son funciones. Justificar.
y
y
x
x
a)
b)
y
y
x
c)
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x
d)
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11. Dadas las siguientes gráficas, clasificar las funciones como inyectivas, suryectivas o biyectivas.
y
y
x
x
a)
b)
y
y
x
x
c)
d)
1
x 1, obtener la ecuación explícita de la recta s // r que satisface
2
la condición indicada en cada caso:
12. Dada la recta de ecuación y
a) s pasa por el origen de coordenadas.
b) s tiene ordenada al origen igual a –1.
c) s corta al eje x en x = 5.
d) s pasa por el punto P = (-2; -3).
e) Expresar las ecuaciones anteriores en forma segmentaria y en forma implícita.
13. Señalar con una X donde corresponda:
Relación
f: RR, dada por y = x2
Función Inyectiva Suryectiva Biyectiva
g: RR+, dada por y = x2
h: R+R+, dada por y = +(x)1/2
j: RR, dada por y = 5 x
k: RR, dada por y = 5
14. Determinar si existe la función inversa y hallarla:
a) f:RR / y = 2/3 x – 1
b) g:RR / y = - x + 3/4
c)h:RR / y =x2 + 4
d) j:RR / y = (x + 1)3
e)k:RR* / y = 1/x
f)m:R*R / y = 1/x
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15. Hallar la fórmula de la función cuadrática que cumpla con los requisitos:
a) Su gráfico pasa por el punto (1; -1) y su vértice es el punto v = (-2; 3).
b) Su gráfico interseca el eje y en (0; 3) y su vértice es el punto v = (1; 2).
c) Una de sus raíces es x = 3 y el vértice de su gráfico es v = (-½; -2).
16. La fórmula que liga el espacio recorrido x y el tiempo empleado t de un objeto que es lanzado libremente hacia arriba es x = - 5 t 2 + 8 t .
a) Graficar x en función de t.
b) ¿Al cabo de cuánto tiempo de lanzado, alcanza el objeto su altura máxima?
c) ¿Cuáles son las unidades de los coeficientes: -5 y 8?
17. Hallar la fórmula de una función exponencial que cumpla con las condiciones requeridas en cada
caso:
a) Pasa por el punto (-1; 3/2) y a = 2.
b) a = 0,5 y corta al eje y en y = 4.
c) Pasa por los puntos (-3; 1/625) y (5; 625).
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5 ECUACIONES
5.1 Introducción
Una ecuación es una función proposicional que expresa la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que involucran una o más variables.
Recordemos que una expresión algebraica combina constantes y variables a través de distintas operaciones. Ahora planteamos una igualdad entre dos miembros, que solo se verifica para ciertos valores de las variables. En otros términos, podríamos decir que una ecuación es una igualdad condicionada. Los valores que satisfacen la ecuación reciben el nombre de raíces o soluciones de la misma.
Veremos a continuación algunos tipos de ecuaciones, y los métodos de resolución para sistemas de
ecuaciones lineales; esto es, sistemas de dos o más ecuaciones y dos o más variables desconocidas.
5.2 Ecuaciones en una variable
Las ecuaciones en una variable consisten en polinomios o cocientes de polinomios con una única variable independiente y todos los demás coeficientes constantes. A continuación se exponen algunas
ecuaciones de una variable.
5.2.1 Ecuación lineal con una incógnita
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma: a x + b = 0 ,
a≠0
donde a y b son constantes no especificadas, generalmente llamadas parámetros.
El proceso de encontrar las raíces se denomina «resolver la ecuación». Para ello necesitamos realizar ciertas operaciones, que la trasforman en otra más fácil de resolver, pero que admite las mismas
soluciones que la original. Es decir que obtenemos una ecuación equivalente a la dada. Dos ecuaciones son equivalentes si, y solo si, ambas tienen las mismas raíces o soluciones.
Las operaciones que nos permiten pasar de una ecuación entera a otra equivalente, son las siguientes:
Sumar algebraicamente en ambos miembros de la ecuación, cualquier constante o cualquier expresión entera que incluya a la variable.
Por ejemplo, en la ecuación: 4+10 x = 14 sumamos a ambos miembros –4 y obtenemos:
4 + 10 x – 4 = 14 – 4
10 x = 10
Esta última ecuación es equivalente a la planteada.
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por una constante distinta de cero. Advierta que hablamos solo de constante y excluimos cualquier expresión entera que incluya a la variable;
Retomando el ejemplo, es evidente que para obtener la raíz de la ecuación planteada debemos
multiplicar ambos miembros por
1
:
10
10 x 10
1
1
.10 x 10 .
10
10
x 1
Para resolver una ecuación lineal, entonces, se llevan a cabo operaciones del tipo enunciado, hasta
que se llega a una ecuación equivalente cuya solución es evidente. En otras palabras, la variable se
encuentra sola en un miembro.
Suele ocurrir que la variable esté en ambos miembros de la ecuación. Como primer paso en la resolución, tendremos que reunir en un único miembro los términos en dicha variable y dejar en el otro, el o
los términos constantes. Esto, haciendo uso de la primera de las operaciones indicadas. Por ejemplo,
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si la ecuación es: 1 + x = 3 - x . Como queremos reunir los términos en x en el primer miembro, y
los términos constantes en el segundo, las operaciones que realizamos son:
Sumar x en ambos miembros, lo que equivale a decir que –x del segundo miembro pasa
sumando al primero:
1+x+x=3–x+x
1+2x=3
Sumar –1 en ambos miembros, lo que equivale a decir que 1 del primer miembro pasa restando al
segundo:
1 + 2 x + (-1) = 3 + (-1)
2x=2
Multiplicar ambos miembros por ½:
1
1
2 x. 2 .
2
2
x1
5.2.2 Ecuación de segundo grado en una variable
Como toda ecuación, la de segundo grado es una igualdad condicionada, con la particularidad de que
la única indeterminada o variable es de grado dos.
a x2 + bx + c = 0 ,
La expresión general es:
a≠0
donde a, b y c son los parámetros y la única exigencia es que a 0 pues, en caso contrario, la ecuación deja de ser de grado dos. Con esa única salvedad, nos proponemos encontrar las raíces o soluciones de esta ecuación.
La solución general de una ecuación de segundo grado es de la forma:
x 1,2
b b2 4.a.c
2.a
El doble signo que precede al radical, nos indica la existencia de dos raíces a las que daremos el
nombre x1 y x2.
Prestemos atención al radicando, el cual recibe el nombre de discriminante.
1) Si el discriminante es positivo, entonces ambas raíces x1 y x2 son reales y distintas entre sí. Esto corresponde a un gráfico como el de la figura 5.1 (a).
2) Si el discriminante es nulo, entonces ambas raíces x1 y x2 son reales, pero iguales. El gráfico correspondiente es el de la figura 5.1 (b).
3) Si el discriminante es negativo, significa que la ecuación no tiene raíces reales, sino complejas. Esto es
así porque la raíz es de índice 2 (par) y el radicando es negativo. Esta situación implica que la parábola nunca corta al eje de las abscisas, como se muestra en la figura 5.1 (c).
La representación gráfica corresponde a una función de 2º grado, donde las raíces de la ecuación son las
2
raíces de la función y = a x + b x + c, donde y = 0
y
y
x1
y
x2
x
(a)
x1 = x2
x
(b)
x
(c)
Figura 5.1 Interpretación del signo del discriminante.
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Veamos algunos ejemplos para observar cada caso:
Raices reales y distintas
x 2 5 x 6 0 a 1, b 5, c 6
5 25 24 5 1 6
2
2
2
5 25 24 5 1 4
x2
2
2
2
x1
x1; 2
5
x1 3
x1 2
52 4 . (1) .(6)
2 . 1
Raices reales e iguales
9 x 2 6x 1 0 a 9, b 6, c 1
x 1;2
6 6 2 4 . (9) .(1)
2 . 9
6 36 36 6 0
6
18
18
18
6 36 36 6 0
6
x2
18
18
18
Raices complejas conjugadas
x1
x 2x 5 0 a 1, b 2, c 5
2
x 1;2
1
3
1
x1
3
x1
2
2 4 20 2 16 2 4 i
2
2
2
2 4 20 2 16 2 4 i
x1
2
2
2
x1
22 4 . (1) .(5)
2 . 1
x1 1 2 i
x1 1 2 i
Actividad 5.1
Determinar los valores de b para los cuales la ecuación 4 x 2 + b x + 1 = 0 tiene dos raices reales iguales.
Si en la ecuación de segundo grado c = 0 la expresión se reduce a a x 2 + b x = 0. La denominamos
ecuación de segundo grado incompleta en el término independiente y sus raíces son fáciles de calcular, factoreando el primer miembro:
a x2 + bx = 0
(
)
x a + bx = 0
Dado que un producto es cero, si por lo menos un factor es cero, la ecuación anterior implica que x =
0, o bien a x + b = 0. De esto se deduce que las raíces para este tipo de ecuación cuadrática serán: x1
= 0 y x2 = -
b
.
a
Si b = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta en el término de primer grado adopta la forma:
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a x2 + c = 0
a x2 = - c
c
a
x2 = -
x = ± -
c
a
Las raíces o soluciones podrán o no ser reales, dependiendo de los signos de a y de c. En cualquier
caso, la solución general de las ecuaciones cuadráticas con una variable contempla todas las posibilidades.
Las raíces tienen propiedades, que resultan de sumar o multiplicarlas entre sí. Si se suman ambas
raíces se obtiene:
b b 2 4ac
b b 2 4ac b
)(
)
2a
2a
a
Ahora consideremos que se obtiene al multiplicar las raíces:
x1 x 2 (
x 1.x 2 (
x 1.x 2
b b 2 4ac b b 2 4ac
)(
)
2a
2a
(b) 2 ( b 2 4ac ) 2 b 2 b 2 4ac 4 a c c
2
a
4a 2
4a 2
4 a
x1 x 2
b
a
x 1.x 2
c
a
Nota complementaria:
Deducción de la solución general de una ecuación de segundo grado. Se divide miembro a miembro por a y luego se completa trinomio
cuadrado perfecto y por último se despeja la variable x
2
x2
b
c
x 0
a
a
x2
b
b b c
x
a
2a 2a a
x2
2
2
2
b
c b b
x 0
a
a 2a 2a
2
2
2 b
b b c
x x 0
a
2a 2a a
b
b 2 c b 2 4ac
x 2
a
4a
4a 2
2a
2
b
b 2 4ac
x
4a 2
2a
x
x1; 2
b
b 2 4ac
2a
4a 2
b b 2 4ac
2a
5.3 Sistemas de ecuaciones lineales
Hasta aquí hemos trabajado con ecuaciones que involucran una única variable. Consideremos ahora
una ecuación lineal con dos variables. Una ecuación lineal con dos variables x e y tiene la siguiente
estructura:
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a x + b y = c,
donde a, b y c son los parámetros de la ecuación y los dos primeros no pueden ser nulos.
Consideremos el siguiente ejemplo: Una empresa fabrica dos productos diferentes, que nombraremos
A y B. Dispone de 100 horas de trabajo destinadas a la elaboración de los dos productos. Como ambas producciones son rentables, a la gerencia le interesa utilizar las 100 horas disponibles. Los requerimientos horarios por unidad de producto son:
Para A: 4 horas.
Para B: 2 horas.
Si le encargamos al ingeniero determinar cuántas unidades de cada producto hay que fabricar, atendiendo a la disponibilidad horaria:
Primero identificamos lo que constituyen datos (horas disponibles en este caso) y definimos las variables o incógnitas (cantidades a producir). Avanzando en la formalización del problema, simbolizaremos con x e y, las cantidades del producto A y B respectivamente. Planteamos ahora una ecuación
con dos variables: 4 x + 2 y = 100. Estamos en presencia de una sola ecuación y dos incógnitas. Este
modelo no admite una única solución sino infinitas.
Por ejemplo x = 10 e y = 30 es una de las infinitas soluciones; x = 15 e y = 20 es otra, y así podríamos encontrar infinitas más. Cualquier solución se obtiene al asignarle a una de las variables un valor
determinado, quedando planteada una ecuación lineal con una incógnita, que admite una única solución.
La representación simbólica de las infinitas soluciones se obtiene despejando una variable en función
de la otra: y 50 2 x o alternativamente: x 25
1
y
2
En un problema como el propuesto, donde las variables representan cantidades producidas, éstas no
serán nunca negativas. El máximo valor que asume y es 50; ese valor se obtiene suponiendo que x es
igual a cero. En otras palabras, la empresa fabrica solo el producto B. Del mismo modo obtenga usted
el máximo valor que puede asumir x.
Resumiendo, cuando tenemos una única ecuación y más de una variable, habrá infinitas soluciones,
en el conjunto de los números reales.
En cambio, si el modelo se representa con dos o más variables, la solución para el modelo puede o no
existir, y existiendo, puede ser única o infinitas, como veremos a continuación.
5.3.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Muchos problemas en el mundo de los negocios, como así también en otros ámbitos no exclusivamente económicos, nos llevan a plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consideremos la
siguiente situación.
«Buena fe», un negocio de venta de café molido a la vista del cliente, vende dos calidades de café;
uno a $ 4,00 el kg y el otro a $ 3,00 el kg. El dueño decide la molienda de 100 kg de un nuevo corte de
café, mezclando las dos calidades de granos y vendiéndolo a $ 3,40 el kg ¿Cuántos kilos de café de
cada grano deberá mezclar para no alterar los ingresos?
Detrás de este problema, se supone que la clientela aceptará el nuevo tipo de café y comprará los 100
kilogramos. Aceptando esto, veamos como planteamos el problema para encontrar su solución.
Llamemos x a la cantidad, en kilogramos, de café del primer tipo e y a la calidad del segundo tipo en
la misma unidad de medida. Con esto hemos definido las variables del problema. Con la suma de ambas cantidades debemos obtener 100 kg. La primera ecuación será por lo tanto:
x + y = 100
(5.1)
Las variables x e y en este caso se encuentran elevadas a un exponente igual a uno. Por ello es que
denominamos a la ecuación de grado uno o lineal. El comerciante pretende no alterar sus ingresos;
los que antes hubiera obtenido se pueden calcular como 4 x + 3 y ya que 4 y 3 son los precios de un
kilogramo de café de las respectivas clases. «Precio por cantidad» es ingreso por venta; por ello sumamos los ingresos provenientes de la venta de una y otra calidad.
A su vez, esto debe ser igual al ingreso proveniente de la venta del nuevo corte: 100 kg a $ 3,40 el
kilogramo nos da un ingreso de $ 340. Lo razonado se traduce en la siguiente ecuación:
4 x + 3 y = 340
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(5.2)
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Esta última ecuación junto con la ecuación (5.1) forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables o incógnitas:
x y 100
4 x 3 y 340
(5.3)
Es un sistema lineal, porque es un conjunto de ecuaciones lineales. Cuando el sistema tiene solución,
decimos que es compatible; en caso contrario lo caracterizamos como incompatible.
¿Qué significa que tenga solución? Significa que existe por lo menos un valor para cada variable, que
verifica el sistema, es decir, que convierte a cada ecuación en una identidad. En el ejemplo al reemplazar x = 40 e y = 60 en el sistema se obtiene:
40 + 60 = 100
4.(40) + 3.(60) = 340
Cuando el sistema admite una única solución, es decir cuando encontramos un único valor para cada
incógnita, decimos que el sistema es compatible determinado, como resultó nuestro ejemplo.
A continuación presentamos otro ejemplo de sistema, al que llamaremos compatible indeterminado:
x3y 2
2 x 6 y 4
Para resolver el sistema, trabajemos con el método de sustitución. De la primera ecuación despejamos x y obtenemos: x = 2 + 3 y ; expresión que reemplazamos en la segunda ecuación:
(
)
2 2 + 3 y - 6 y = 4. Cuando realizamos las operaciones necesarias en el primer miembro obtenemos: 4
= 4. Hemos obtenido una identidad. Toda vez que ello suceda significa que el sistema es indeterminado.
Cuando un sistema tiene infinitas soluciones en el proceso de búsqueda de la solución llegamos a una
identidad, es decir una igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable (4 será igual a 4,
siempre, independiente de x y de y).
Nos resta considerar un sistema incompatible. Decimos que un sistema es incompatible cuando no
admite solución. Veremos que en la búsqueda de la solución de un sistema incompatible se arriba a
una contradicción.
Por ejemplo:
4 x 2 y 4
2 x y 0
De la segunda ecuación despejamos y: y = 2 x ; expresión que reemplazamos en la primera ecuación:
( )
4 x - 2 2 x = 4, de lo que resulta luego de operar 0 = 4
¿Por qué esta incongruencia? Precisamente porque no hay ningún valor para x e y que verifique el
sistema. Cuando en el proceso de resolución se llega a una contradicción, el sistema es incompatible.
NO ADMITE SOLUCIÓN.
Resumiendo lo visto hasta ahora en el siguiente cuadro:
Determinado Solución única
Compatible
Sistema de dos ecuaciones lineales
In determinado Solución infinitas
Incompatible No tiene solución
5.3.2 Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, se aplican los métodos algebraicos
de: igualación, sustitución, reducción o determinantes. La solución en un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, puede ser:
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5.3.2.1 Método de sustitución
a) Se selecciona una de una de las ecuaciones y se despeja una de las incógnitas.
e) Se sustituye la expresión obtenida en la incógnita de la ecuación restante.
f)
Se resuelve la ecuación resultante, que es de una sola incógnita
g) El valor obtenido se reemplaza en la despejada en el primer paso.
h) Verificación, reemplazar las dos incógnitas por los valores obtenidos en las ecuaciones originales.
2x y 3
3/2x - 2 y 5
Ejemplo: sea el sistema:
1)
2)
3)
4)
5)
y=3–2x
3/2 x – 2 ( 3 – 2 x ) = 5
3/2 x – 6 + 4 x = 5 11/2 x = 11
y=3–2.2 y =–1
2.(2) + (-1) = 3
3/2 (2) – 2 (-1) = 5
x=2
5.3.2.2 Método de igualación
a) Se despeja en ambas ecuaciones una de las incógnitas elegidas.
i) Se igualan las expresiones obtenidas
j)
Se resuelve la ecuación obtenida en una sola incógnita.
k) Se reemplaza el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones despejadas del primer paso.
l)
Verificación, reemplazar las dos incógnitas por los valores obtenidos en las ecuaciones originales.
Tomemos como ejemplo el mismo sistema de ecuaciones del punto anterior. Resulta así:
2x y 3
3 x - 2 y 5
2
1) y = 3 – 2 x
y = ¾ x – 5/2
2) 3 – 2 x = ¾ x – 5/2
3) 11/2 = 11/4 x x = 2
4) y = 3 – 2 . 2 y = – 1
5)
2.(2) + (-1) = 3
3/2 (2) – 2 (-1) = 5
Como podemos apreciar, se han obtenido las mismas soluciones que en el punto anterior.
5.3.2.3 Método de reducción por suma y resta o de eliminación gaussiana
a) Se ordena el sistema encolumnando los términos semejantes.
b)
Se multiplican las ecuaciones por un número conveniente, para igualar en valor absoluto los coeficientes de una misma incógnita, en las dos ecuaciones.
m) Según que dichos coeficientes resulten de igual o distinto signo, se restan o suman miembro a
miembro ambas ecuaciones, con lo que se logra eliminar una de las dos incógnitas.
n) Se resuelve la ecuación de una sola incógnita.
o) Se reemplaza ésta por su valor obtenido en una de las ecuaciones o se calcula por el mismo método la otra incógnita multiplicando a ambas ecuaciones por otro escalar conveniente.
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Tomando como ejemplo el mismo sistema de ecuaciones anterior, resulta:
2x y 3
3 x - 2 y 5
2
1)
2. ( 2 x + y ) = 2 . 3
( 3/2 x – 2 y) = 5
2)
(4 x + 2 y ) = 6
( 3/2 x – 2 y) = 5
3)
+
(4 x + 2 y ) = 6
( 3/2 x – 2 y) = 5
11/2 x
= 11
4) 11/2 x = 11
x=2
5) 2 . (2) + y = 3
y = -1
5.3.2.4 Método de los determinantes
Este método es una generalización del método anterior; también será de estudio posterior este tema
en particular durante el cursado de 1º año de la carrera de ingeniería. Para poder aplicar este método,
las ecuaciones deben estar ordenadas de la siguiente manera:
a1x b1y c 1
a 2 x b 2 y c 2
Las incógnitas se calculan con las fórmulas:
x
x
P
;
y
y
P
Se llama a x determinante en x, y se llama determinante en y, y P se llama determinante
principal, los que se calculan de la siguiente forma:
P
x
y
a1
b1
a2
b2
c1
b1
c2
b2
a1
c1
a2
c2
a1.b 2 a 2 .b1
c 1.b 2 c 2 .b1
a1.c 2 a 2 .c 1
Para el sistema de ecuaciones que estamos analizando en todos los casos resulta:
2x y 3
3/2x - 2 y 5
2
1
11
P 3
4 3
2
2
2
2
3 1
x
6 5 11
5 2
2 3
11
y 3
10 9
2
5
2
2
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11
x 11
y
x
2 ; y
2 1
P 11
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2
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Este método presenta tres grandes ventajas respecto de los demás:
a) Es de aplicación directa, sin requerir operaciones algebraicas.
b)
Se aplica sin grandes variaciones para sistemas de dos, tres y n incógnitas con dos, tres y n ecuaciones, respectivamente.
c)
Puede ser programado en calculadoras y computadoras, lo que resultará de gran utilidad en las
materias avanzadas, agilizando la resolución de cálculos de diseño.
5.4 Inecuaciones
El concepto de desigualdad trae aparejado el de inecuación, la cual puede pensarse como la desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de sus variables.
Recordamos algunas propiedades de las desigualdades:
Propiedad 1
Si a ambos miembros de una desigualdad se suma o se resta la misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia.
ab
a+k b+k
ejemplo 4 7
4+2 7+2
47
6 9
4 + (-3) 7 + (-3)
1 4
Propiedad 2
Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma cantidad positiva, el sentido de la
desigualdad no cambia.
ab
a.k b.k
47
4.2 7.2
8 14
Propiedad 3
Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma cantidad negativa, el sentido de
la desigualdad cambia (se invierte).
a b a . (-k) > b . (-)k
3 7 3 . (-2) 7 . (-2)
-6 > -14
Es común encontrar desigualdades donde se involucran tres miembros (doble desigualdad). Por
ejemplo:
2 (x + 1) 4
2 x+1
x+1 4
1 x
x 3
1 x 3
5.5 Interpretación geométrica de las ecuaciones
5.5.1 Ecuación lineal con una incógnita
La representación gráfica de una ecuación lineal con una variable x, es sobre una recta en la que
cada punto representa a un número real; es decir hay una correspondencia unívoca entre un número real y un punto de la recta.
Así por ejemplo, si la ecuación que se quiere representar es:
2 x + 3 = –1 x = –2.
–Infinito –7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6 Infinito
Figura 5.4 Gráfico de la ecuación sobre la recta
5.5.2 Ecuaciones de segundo grado
En las ecuaciones de segundo grado con una incógnita, las soluciones posibles se pueden representar en un eje de abscisas, pero si suponemos que la ecuación a x 2 + b y + c está igualada a otra
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variable, por ejemplo y, se convertirá en una función cuadrática y = a x + b y + c y se justificará
entonces que si tenemos dos raíces reales y distintas, es porque la gráfica de la parábola corta al
eje de las x en puntos que denominamos justamente raíces [figura 5.1 (a)]. Si tiene raíces reales e
iguales, entonces la gráfica corta en un solo punto [figura 5.1 (b)]. En cambio, cuando las raíces de
la ecuación son complejas y conjugadas, la parábola asociada a dicha ecuación no corta al eje de
las x [figura 5.1 (c)].
5.5.3 Sistemas de 2 Ecuaciones con 2 incógnitas
En los sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, cada una de las
ecuaciones representa una recta en el plano, por lo tanto las raíces que son el conjunto solución,
serán las coordenadas del punto de intersección de las rectas, es por ello que cuando un sistema
es compatible determinado, las rectas se cortan [figura 5.2 (a)], si es indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes [figura 5.2 (b)], y si el sistema es incompatible las rectas son
paralelas no coincidentes [figura 5.2 (c)].
y
y
y
x
x
(a)
(b)
x
(c)
Figura 5.2 Interpretación de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
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5.6 Ejercicios de aplicación
1. Plantee las ecuaciones que sugieren los siguientes enunciados; (las cantidades desconocidas deben ser representadas por letras, no resuelva):
a) La suma de los productos fabricados por las secciones A, B y C de la empresa es de
6.000 unidades.
b) La cantidad de ingresantes a la facultad en 1996 es un 10% mayor que en 1994.
c) Por cierto documento cuyo valor nominal es de $ 500 se ha efectuado un descuento porcentual, de
tal manera que se abona efectivamente $ 475.
2. Resolver las siguientes ecuaciones lineales:
a) 20 x + 50 = 300
b)
x
2
Rta: x=2
x- 1
+2
2
Rta: x=3
x- 3
= - 2
4
Rta: x= -9
2x - 3 =
c) x =
Rta: x=12,5
d)
1+
e)
x- 2
x+1
+ 1=
3
3
Rta: x= ∞
Rta: x= {}
1
2x - 4 1
2 =
- x
- 2
- 2
2
3x f)
3. Plantee y resuelva los siguientes problemas:
a) Cierto evento escolar convoca a 1500 estudiantes, los cuales para una mejor organización se han
distribuido asignándoseles por cada grupo un docente a cargo. Si se sabe que después de la división un docente tiene a su cargo 15 alumnos, pero el resto de los docentes tienen 45 estudiantes
cada uno, ¿cuántos docentes hay?
b) Se le informa a un comerciante que el precio con el I.V.A. (del 24%) de cierto producto es de $
434. ¿Puede usted determinar cuál es el precio del producto sin el I.V.A.?
4. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:
2
a) –x + 8 x + 9 = 0
Rta: x1 = -1 x2 = 9
2
b) x – 3 x + 3 = 3
Rta: x1 = 0 x2 = 3
2
c) 2 x = 8
Rta: x1 = 2 x2 = -2
2
d) x + 4 x + 1 = –1
2
e) x + 2 x + 1 = 0
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Rta: x1 = -2+
2
x2 = -2-
2
Rta: x1 =-1
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x2 = -1
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5. Plantee y resuelva.
a) Se sabe que la base y la altura de un rectángulo son tales que la altura mide 2 cm. más que
el doble de la base. Si la superficie del rectángulo es de 40 cm2 ¿cuánto mide la base?
b) La suma de los cuadrados de tres números consecutivos es de 434 ¿cuáles son esos números?
6. Encuentre la solución a la siguiente ecuación:
4 + 15 x + x 2
2
2
=
.
2x - 1 2x + 1
4x2 - 1
7. Clasifique las siguientes ecuaciones y resuelva:
a) - x 2 (x - 1) + x 3 - 9 = 2 x (x - 3)
b) - (x 2 + 1)- 3 x + 5 = 4 x - 2 + 2 x 2
8. Si la ecuación 3 x2 + b (x – 2) + 1 = 0 tiene como raíces dos números que sumados
es el valor de b?
9. Sabiendo que la suma de las raíces de una ecuación cuadrática con coeficiente a=-2
producto es –12; reconstruya la ecuación correspondiente.
dan 6 ¿cuál
es –1 y su
10. Construya la ecuación de segundo grado con coeficiente a = 3 sabiendo que sus raíces son 3 y –
1.
11. Resolver por el método más conveniente cada uno de los siguientes sistemas y comprobar las
soluciones:
1
2(x 3) - 3 y 7
d)
5x - 2 y - 1
Y=-3/4
2
2
3
Rta:
1
6
3x
y
X=-3
2
5
e)
5
4
2x - y
Y=1
3
3
Rta:
X=1
Rta:
X=3
Rta:
X=15
Rta:
X=5/2
2x 4 y 2
3x - 2 y 9
a)
4 y 3x 13
2.( x y) 3.( x y) 8
b)
x - 2.(x 5) x x 1 y
xy
c)
1 2( x y)
5
Y=2
x-y5
3x - 2 y 25
f)
Y=3
Rta:
X=1/3
Y=-2/5
Y=10
12. Interpretar y resolver:
a) Si se aumentara la medida de la base de un rectángulo en un 30%, su perímetro sería de 164 cm.
Si se aumentara la altura en un 50% (sin cambiar la medida de la base), el perímetro sería de 170 cm.
Calculen las medidas de la base y la altura del rectángulo.
b) Con las treinta y cuatro monedas de 25 y 50 centavos que tenía ahorradas, María se compró una
camisa que costaba $14 ¿Cuántas monedas de cada valor había en su alcancía?
c) El perímetro de un rectángulo es de 38 cm, y uno de los lados mide el doble que el otro, aumentado en 4cm. Calcular la medida de sus lados y la diagonal.
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Unidad 1- NÚMEROS REALES - AUTOEVALUACIÓN
1) Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
VERDADERO
FALSO
a) Todo número racional es entero
b) Los números irracionales no son reales
c) El producto de dos números racionales no puede ser natural
d) La suma de dos irracionales siempre es irracional
e) La suma de dos racionales no puede ser real
2) Seleccione una respuesta, justificar las opciones falsas:
a) 5
5
3125
Verdadero
Falso
a)
5 73
Verdadero
Falso
1
5 73
b)
5 73
Verdadero
Falso
1
3
5 73
3
Verdadero
Falso
c)
3
1
d)
27
4
3 3
1
8
Verdadero
Falso
3) Seleccione una respuesta
irracional
decimal periódico mixto
decimal exacto
decimal periódico puro
El número 89,1347 es:
4) Indicar la opción correcta
a)
b)
c)
543 . 54315
54316
5 .
4
2 16
5
712 . 5 713 5 712 . 5 713
71
No tiene
solución
1
71
No tiene
solución
1
71
No tiene
solución
1
5) Resuelve los siguientes problemas, incluye tu procedimiento.
a) Un bidón lleno de querosen pesa 8 Kg. Se derrama la mitad del querosen, después de lo cual bidón y contenido pesan 4 Kg. y medio. Determinar el peso del bidón vacío.
b)Conduces un autobús con capacidad para 40 pasajeros, que se encuentra con el 30% de su capacidad; y en
la primera estación bajan 8 pasajeros y suben 26 pasajeros; en la segunda estación bajan el 60% de los
pasajeros y suben otros 3 pasajeros; en la tercera estación bajan 14 pasajeros. ¿Cuántas personas quedan en el autobús? y ¿cómo se llama el conductor?
6) Indicar la opción correcta
2 1
3 2
35
a)
9
2
36 4. 5 16 8 . 3 1
3
3
4 . 2 5
5
7
19
241
241
a)
b)
c)
5
80
40
5 1 1
.
.
3 4 2
141
245
b)
c)
36
54
a) 52 b)
52
15
c ) 16
7) Resolver las expresiones radicales, racionalizando cuando sea posible y llegar a la mínima expresión.
32 2 2
a)
1
8
2
2 43 2
b)
c)
2 . 3 24 . 4 5
d)
8
4
36
8) Indicar la opción correcta. Justificar la elección.
a) log a a
b) log 10
3
10
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= 2a
ln 3
ln 3
= 0
2
log 10 0,3
1 1 log 10 3
= a
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=1
2
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Unidad 2- EXPRESIONES ALGEBRAICAS - AUTOEVALUACIÓN
1) Determinar los coeficientes, términos, términos independientes y grados de los siguientes polinomios. Para
ello ordenar en forma decreciente y completar cada uno de los mismos.
4
2
3
2
a) 5 x – 7 x + 2 x + 16 b) –x + 8 x – 2 x + 3
2) Escribir dos polinomios de 6º grado cuya suma sea de 2º grado.
3) ¿Qué expresión hay que restar a
m4 3m 6 para que la diferencia sea 4m2 8 4m2 8 ?
4) Determinar el dividendo D(x), divisor d(x), Cociente C(x), y Resto R(x) de los siguientes polinomios.
3
2
4
3
2 2
3
4
a) ( 4 x + 2 x + 5 x – 8 ) ÷ ( x – 2 ) = b) x + a x – a x + a x – 2 a ) ÷ ( x – a )
Calcular “m” para que el resto de A(x): B(x) sea 26, siendo
5) Resuelva los siguientes problemas.
( x )
a) Un campo rectangular tiene de perímetro
vale:
Ax 4x 3 x 2 mx 2 y Bx x 2
12x 3 20x 2 16 . Hallar la longitud de uno de sus lados si el otro
4x 2 2
b) Calcular la superficie y el volumen de una esfera de radio:
2
(x – y ) – 6 ( x – y ) + 9 =
0,5x 2 10
6) Factorea los siguientes polinomios utilizando todos los casos posibles:
a)
1
1
a3 a2
a
3
36
b)
8
1 7
b
b
5
40
c)
5m4 80
7) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas e indicar los casos de factoreo utilizados:
3x 2 x
2x
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x2 1
x2 1
2x 2
x2
:
x 2 4 x 2 2y 4
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2x 3 4 x 6
:
5 x 3 x 2 2x
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Unidad 3- TRIGONOMETRIA - AUTOEVALUACIÓN
1) Completar el cuadro, según corresponda:
En Radianes
Sistema Sexagesimal
90º
45º
150º
3
4
7
36
112° 40
205° 15´ 40"
2) Resolver el triángulo rectángulo de la figura, utilizando los datos que se indican en cada caso:
a) a = 120 m
B = 35° 15´
b) a = 3500 m C = 15° 18´ 32"
c) c = 130 m
B = 72° 10´
d) b = 239 m
B = 29° 12´ 15"
e) b = 15 m
c=7m
3) En el triángulo rectángulo de la figura, determinar la medida de los segmentos CP, PB y PA; utilizando los
siguientes datos:
a = 35 m
C = 19° 18´ 32"
Triángulo A P B rectángulo en P
4) Resolver las incógnitas en cada caso , según la información que se da:
5) Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a 3,5 m del pie del poste y lo ve, bajo un ángulo de elevación de 53º 20` 15”. ¿Cuál es la altura del poste?
6) Calcular los catetos y los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que su hipotenusa mide 16 cm y la
diferencia entre sus ángulos agudos es de 40º
8) Dos observadores situados a una distancia de 1000 m dirigen sendas visuales a un punto notable de una nube.
Sabiendo que los dos observadores y el punto están en un mismo plano vertical y que los ángulos de elevación son
de 58º 30` 20” y 79º 12` 40” respectivamente. Calcular la altura de dicho punto.
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Unidad 4- RELACIONES Y FUNCIONES - AUTOEVALUACIÓN
1. Si un coche va a 80km por hora, ¿ que espacio habrá recorrido al cabo de 2, 3, y 3,5 horas?
a) Dibuja la gráfica de la función espacio-tiempo.
b) ¿Qué tiempo empleará en recorrer 200 y 320km?
2. Halla la pendiente de las rectas que pasan por los puntos: b) (3, 1) y (4, -5).
3. Obtener la pendiente, la ordenada en el origen y la representación gráfica de la recta que pasa por los puntos
P(3,4) y Q(2,1).
4. Antonio ha comprado un coche que le ha costado 19500 $. El coche pierde un 20% de su valor por cada año.
Al cabo de un tiempo decide venderlo y le dan 5200 $ . ¿Cuántos años han pasado?
5. Obtener la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a “r” que pasa por (0,-2).
2
6. Representa la gráfica de la función cuadrática y =x -3x+2
7. Representa gráficamente las siguientes funciones afines, indicando en cada caso cuál es
la pendiente y cuál es la ordenada en el origen:
a) y = x + 3
b) y = -2x + 1
c) y = 2x + 1
8. Determinar la ecuación de la recta en los siguientes supuestos:
a) Tiene pendiente 5 y pasa por el origen de coordenadas.
b) Es paralela a y=2x+1y pasa por el punto (1, 2).
c) Pasa por los puntos A = (1, -3) y B = (2, 1).
9. Cuando hablamos de funciones donde “m” es la pendiente y “n” es la ordenada en el origen, nos estamos
refiriendo a…
Funciones polinómicas de segundo grado.
Funciones polinómicas de primer grado.
Funciones de proporcionalidad inversa.
10. Señala el término “parábola”:
La recta que pasa por el vértice en una función polinómica.
Gráfica en la que la recta pasa por el origen de coordenadas.
Gráfica de la función polinómica de segundo grado con
una rama creciente y otra decreciente.
11. Di cuáles son dos de las principales características de una parábola:
Verdadero Falso
Eje de coordenadas y puntos simétricos.
Eje de simetría y vértices.
Hipérbola y asíntota vertical.
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Unidad 5- ECUACIONES E INECUACIONES - AUTOEVALUACIÓN
1. Resolver las siguientes ecuaciones simples.
a) x 5 10
b)
c) 5x 2x 10
d) 3x 2 5x 8
1
3
x 4 x 3
2
4
1
1
g) 2( x 4) (2x 5) (6x 9)
2
3
3
2
i)
2
( x 3)
( x 4) 2
e)
2x 3 12x
k)
2
( x 2) 3
m) (x 3)(x 1)(x 2) 0
o)
1 2 5
x 0
5
9
2x 3 4
1
( x 3)
2
2
3
h)
(3x 5) ( x 5)
1
1
2
j)
1 2 x2
(x )
2
l) ( x 3)(x 2) 0
3( x 5)
f)
3
1
x 4x 8
4 2
p)
x 8x 0
5
n)
2
2- Al comenzar los estudios de ingeniería se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no
contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?
3- Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si
se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.
.
4- Resolver los sistemas de 2x2 por algún método apropiado
a)
x y 9
x y 3
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b)
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3x 4y 5
2x 3y 4
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