Examen_Evaluacion_2_Solucion

EXAMEN 2ª EVALUACIÓN
FECHA:
NOMBRE: _________________________________________________________________________
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
CURSO 4º ESO – Opción A
1/ Explica los tres criterios de semejanza de triángulo (1 puntos)
Teoría.
2/ Calcula la ecuación de una recta que pasa por los puntos (1,3) y (-1, 7) de las
formas vectorial, paramétrica, continua y explícita (2 puntos)
Primero necesito el vector director que se puede calcular como el vector que va desde el
punto inicial hasta el final:
= (-1 – 1, 7 – 3) = (-2, 4)
Ecuación vectorial: (x, y) = (1, 3) + t(-2, 4)
Paramétrica:
Continua: Despejo t en ambas ecuaciones de la anterior ecuación:
De la primera ecuación t = (x – 1)/(-2)
De la segunda ecuación: t = (y – 3)/4
Igualando estas dos expresiones obtengo la ecuación continua:
=
Explícita: Multiplico en cruz la anterior ecuación y despejo la y:
4(x – 1) = -2(y – 3)  4x – 4 = -2y + 6  2y = -4x + 10  y = -2x + 5
3/ Sin hacer ni un solo cálculo da la expresión de una recta que sea paralela a la
recta del ejercicio 2 y explica por qué has puesto esa expresión. (1 punto)
En la ecuación explícita el coeficiente de la x es la pendiente. Dos rectas distintas con la
misma pendiente son paralelas, por lo tanto una paralela podría ser: y = -2x + 4
4/ Factoriza el siguiente polinomio: P(x) = x4 – 16. No olvides escribir el resultado
en forma de producto. (1 punto)
Este problema se puede plantear de dos formas diferentes. Por un lado podemos aplicar
las igualdades notables o podemos aplicar Ruffini directamente. La primera es más
rápida y elegante, a mi entender:
Sabemos que el producto de una suma por una diferencia es la diferencia de cuadrados.
En nuestro caso podemos escribir el polinomio de la siguiente forma:
P(x) = x4 – 16 = (x2) 2 – 42, es decir, como una diferencia de cuadrados, por lo tanto
podremos escribir P(x) como:
P(x) = (x2 + 4) ∙ (x2 – 4). Pero es que a (x2 – 4) le ocurre lo mismo, por lo que podemos
escribirlo como:
(x2 – 4) = (x + 2) ∙ (x – 2)
Y juntando todos los factores: P(x) = (x2 + 4) ∙ (x + 2) ∙ (x – 2)
El factor (x2 + 4) no se puede seguir factorizando por lo que P(x) se queda así.
Como he comentado al principio también podemos aplicar Ruffini. Este paso lo deja
para el alumno, simplemente se puede decir que para no perder tiempo hagan
directamente Ruffini con los valores de x 2 y -2 y van a llegar al mismo resultado que
antes.
5/ Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: (2 puntos)
3x + 2y = 7
4x – 3y = -2
Multiplico la primera ecuación por 3 y la segunda por 2. Así mediante reducción
consigo que se elimine la variable y:
9x + 6y = 21
8x – 6y = -4 (Sumo ambas ecuaciones)
17x
= 17  x = 1
ejemplo en la primera:
Sustituyo en cualquiera de las dos ecuaciones x = 1, por
3∙ 1+ 2y = 7  2y = 7 – 3  y = 4/2 = 2
Solución: x = 1; y = 2
6/ Resuelve la siguiente inecuación: x2 + 5x + 6 > 0
(1 punto)
Antes de nada se trata la inecuación como una ecuación. Vamos a ver en qué valores de
x el miembro de la izquierda es cero, es decir: x2 + 5x + 6 = 0. Esta expresión es una
ecuación de segundo grado. Planteamos la expresión que soluciona estas ecuaciones:
x=
Sabemos que



a=1
b=5
c=6
Y las soluciones son: x1 = -2 x2 = -3
Ahora es cuando vamos a tratar la
expresión como lo que realmente es, es decir, como una inecuación. Dibujamos la recta
real y colocamos estos dos valores. A continuación cogemos un valor “cualquiera” en
los tres tramos que me salen sustituimos la x por ese valor escogido al azar y vemos si
se cumple la inecuación, es decir, si es mayor o menos que cero:
-∞
-3
-2
∞
Recta Real
Como vemos, tenemos tres intervalos:



desde -∞ a -3
desde -3 a -2
desde -2 a ∞
Para cada intervalo voy a coger un valor cualquiera de x y sustituyo su valor. Por
ejemplo:



Primer intervalo. Cojo x = -4 y sustituyo su valor: (-4)2 + 5∙ (-4) + 6 = 2
Segundo intervalo. Cojo x = -2,5 y sustituyo su valor: (-2,5)2 + 5∙ (-2,5) + 6 =
-0,25
Tercer intervalo. Cojo x = 0 y sustituyo su valor: 02 + 5∙ 0 + 6 = 6
Vemos que en el primer intervalo el valor es positivo, es decir, mayor que cero, por lo
que se cumple la inecuación. En el segundo intervalo no se cumple y en el tercer
intervalo también se vuelve a cumplir.
¿Y los valores -2 y -3? Estos valores son el resultado de tratar la expresión como una
ecuación donde el segundo miembro es 0, por lo que, obviamente, estos dos valores
hacen que nuestra expresión valga cero, por lo que no son solución de la inecuación, ya
que cero no es mayor que cero. Por lo tanto, solución:
(-∞, -3) U (-2, ∞)
7/ Un árbol cierto día tiene una sombra de seis metro y medio y a la misma hora
una caseta de de 2,8 metros da una sombra de 70 cm. ¿Cuál es la altura del árbol?
(1 punto)
Aplicando Tales, directamente:
=
A la izda del igual los datos del árbol y a la derecha los de la caseta. En el
numerador la altura y en el denominador la sombra y todo en las mismas unidades, es
decir, en metros:
0,7x = 2,8 ∙ 6,5  x = 26 metros.
8/ Si al doble de un número se le resta su mitad se obtiene 54. ¿Cuál es el número?
(1 punto)
Si el número es x, el doble es 2x y la mitad es x/2. Ahora aplicamos el enunciado paso a
paso:
Doble
Menos
mitad
igual
54
2x
-
x/2
=
54
2x – x/2 = 54
Eliminando denominadores: 4x – x = 108  x = 36