MA2006 - Tarea No 3 Axiomas de Probabilidad

MA2006 - Tarea No 3
Axiomas de Probabilidad
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
11 de enero de 2011
Solución
1. Una compañia de fondos de inversión mutua
ofrece a sus clientes varios fondos diferentes: un
fondo de mercado de dinero, tres fondos de bonos
(a corto, a medioano y a largo plazo), dos fondos
de acciones (de moderado y de alto riesgo) y un
fondo balanceado. Entre los clientes que poseen
acciones en un solo fondo, los porcentajes en los
diferentes fondos es como sigue.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo
posea acciones en un fondo de bonos?
Solución
Sea
B = El evento que consiste en elegir
el cliente que posea solo un fondo de
bonos.
B1 = El evento que consiste en elegir
el cliente que posea solo un fondo de
bonos a corto plazo.
B2 = El evento que consiste en elegir
el cliente que posea solo un fondo de
bonos a mediano plazo.
B3 = El evento que consiste en elegir
el cliente que posea solo un fondo de
bonos a largo plazo.
Mercado de dinero: 20 %
Bonos a corto plazo 15 %
Bonos a mediano plazo 10 %
Bonos a largo plazo 5 %
Acciones de alto riesgo 18 %
Acciones de moderado riesgo 25 %
Balanceadas 7 %
Seleccione al azar un cliente que posea acciones
en un solo fondo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo
selecccionado posea acciones en el fondo balanceado?
Solución
Imagine 100 clientes con la misma probabilidad de ser elegidos, 1/100 (1/N ). De
esos clientes, 7 tienen fondos balanceados.
La probabilidad de elegir uno de fondo balanceado será la suma de las probabilidades
de elegir en lo individual alguno de esos 7:
P (A1 ) = P ({xf b1 , . . . , xf b7 })
= P ({xf b1 }) + · · · + P ({xf b7 })
= 0.01 + · + 0.01 = 0.07
Ası́
B = B1 ∪ B2 ∪ B3 y Bi ∩ Bj = ∅, i 6= j
Y de forma análoga al inciso anterior
P (B1 ) = 0.15
P (B2 ) = 0.10
P (B3 ) = 0.05
Por tanto,
P (B) = P (B1 ) + P (B2 ) + P (B3 )
= 0.15 + 0.10 + 0.05
= 0.30
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no posea
acciones en un fondo de acciones?
Solución
De forma análoga a los incisos anteriores:
(a) Los proyectos 1 y 2 fueron otorgados. (2)
(b) Ni el proyecto 1 ni el proyecto 2 fueron
otorgados.(4)
P (A) = P (Aar ∪ Amr )
= P (Aar ) + P (Amr )
= 0.18 + 0.25 = 0.43
(c) Al menos un proyecto fue otorgado.(5)
(d) El proyecto 1 fue otorgado pero no ası́ el 2
ni el 3. A1 ∩ A02 ∩ A03
2. Considere el experimento de seleccionar al azar
un estudiante en cierta universidad y que A represente el evento en que el individuo seleccionado tenga una tarjeta de crédito Visa y que B
represente el evento análogo para la tarjeta MasterCard. Suponga que P (A) = 0.5, P (B) = 0.4
y P (A ∩ B) = 0.25.
(e) Ninguno de los proyectos fueron seleccionados.
Solución
Es lo contratio a que algún proyecto haya
sido seleccionado:
(A1 ∪ A2 ∪ A2 )0
a) Calcule la probabilidad de que el individuo
seleccionado tenga por lo menos uno de los
dos tipos de tarjetas.
Solución
El evento que corresponde a al menos una
de las dos tarjetas es A ∪ B, por tanto:
(1) A1 ∪ A2
(2) A1 ∩ A2
(3) A01 ∪ A02
(4) A01 ∩ A02
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
=
0.5 + 0.4 − 0.25 = 0.65
(5) A1 ∪ A2 ∪ A3
(6) A1 ∩ A2 ∩ A3
b) Calcule la probabilidad de que el individuo
seleccionado no tenga ningún tipo de tarjeta?
Solución
El evento que describe no tenga ningún tipo
de tarjeta es (A ∪ B)0 , por tanto
(7) A01 ∪ A02 ∪ A03
(8) A01 ∩ A02 ∩ A03
4. Suponga que en el ejercicio anterior se tiene
P (A1 ) = 0.22
P ((A ∪ B)0 ) = 1 − P (A ∪ B)
= 1 − 0.65 = 0.35
P (A2 ) = 0.25
P (A3 ) = 0.28
c) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga Visa pero no tarjeta
MasterCard.
Solución
El evento que describe tenga Visa pero no
Mastercard es A∩B 0 , como A = A∩B ∪A∩
B 0 y como A ∩ B y A ∩ B 0 son mutuamente
excluyentes:
P (A1 ∩ A2 ) = 0.11
P (A1 ∩ A3 ) = 0.05
P (A2 ∩ A3 ) = 0.07
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0.01
Determine cada una de las probabilidades a identificar del problema anterior.
0.5 = P (A)
= P (A ∩ B) + P (A ∩ B 0 )
= 0.25 + P (A ∩ B 0 )
a) Directamente de los datos: P (A1 ∩ A2 ) =
0.11
b) Como A01 ∩ A02 = (A1 ∪ A2 )0 ası́
por tanto, P (A ∩ B 0 ) = 0.5 − 0.25 = 0.25.
P (A01 ∩ A02 ) =
=
=
=
=
3. Suponga que una empresa consultora de computación presentó propuestas en tres proyectos. Sea
Ai el evento que corresponde a que el proyecto
i fue otorgado, para i = 1, 2, 3. Relacione las sigueintes columnas.
2
P ((A1 ∪ A2 )0 )
1 − P (A1 ∪ A2 )
1 − (P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ))
1 − (0.22 + 0.25 − 0.11)
0.64
por tanto, P (A − B) = 0.2
c)
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 )
−P (A1 ∩ A2 )
d)
−P (A1 ∩ A3 )
−P (A2 ∩ A3 )
+P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
= (0.22 + 0.25 + 0.28)
−(0.11 + 0.05 + 0.07) + 0.01
= 0.53
5. Una compañia de electricidad ofrece una tarifa de consumo mı́nimo a cualquier usuario cuyo
consumo de electricidad sea menor a 240 kWh
durante un mes particular. Si A simboliza el
evento en que un usuario seleccionado al azar
en cierta comunidad no excede el consumo mı́nimo durante el mes de enero y B denota el evento
análogo para el mes de julio para el mismo usuario. Suponga que P (A) = 0.8, P (B) = 0.7 y
P (A ∪ B) = 0.9, determina
La probabilidad de que el consumo mı́nimo
sea sobrepasadoo en el mes de julio pero no
en el mes de enero.
Solución
Observe que la descripción de este evento
es justo A − B, por tanto P (A − B) = 0.2
(inciso anterior)
e) P (B − A)
Solución
Como en un inciso anterior, observe que
B = (B − A) ∪ (A ∩ B) y que B − A y
A ∩ B son ME. Por tanto,
P (B) = P (B − A) + P (A ∩ B)
0.7 = P (B − A) + 0.6
a) P (A ∩ B)
Solución
Como P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
entonces
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
= 0.8 + 0.7 − 0.9 = 0.6
por tanto, P (B − A) = 0.1
f ) La probabilidad de que el consumo mı́nimo
sea sobrepasadoo en el mes de enero pero
no en el mes de julio.
Solución
Observe que la descripción de este evento
es justo B − A, por tanto P (B − A) = 0.1
(inciso anterior)
b) La probabilidad de que el consumo mı́nimo
no sea sobrepasado en ninguno de los dos
meses.
Solución
Note que la descripción del evento coincide con A ∩ B, por tanto la respuesta es
P (A ∩ B) = 0.6 (inciso anterior)
g) La probabilidad de que el consumo mı́nimo
sea sobrepasado en exactamente uno de los
dos meses.
Solución
Observe que la descripción de este evento
es justo (A − B) ∪ (B − A) y que ambos son
ME , por tanto P ((A − B) ∪ (B − A)) =
P (A − B) + P (B − A) = 0.2 + 0.1 = 0.3
c) P (A − B)
Solución
Observe que A = (A − B) ∪ (A ∩ B) y que
A − B y A ∩ B son ME. Por tanto,
P (A) = P (A − B) + P (A ∩ B)
0.8 = P (A − B) + 0.6
3