Transformaciones r´ıgidas y semejanzas con regla y

GEOMETRÍA II - 2012
Guı́a de Geogebra: Transformaciones rı́gidas y semejanzas con regla y compás
Entenderemos por construcción con regla y compás de una transformación T (rı́gida o semejanza),
a encontrar con regla y compás el transformado T (x) de cualquier punto x del plano.
Usando la función “lugar geométrico”, podemos encontrar el transformado de T de cualquier figura
aplicando la construcción sobre cualquier punto de la misma.
Observemos que ya hemos construido la simetrı́as central y axial, y las traslaciones en la Guı́a 0,
y las homotecias de razón positiva en el practico 3.
También observemos que, a excepción de a reflexión deslizante, todas las transformaciones rı́gidas
y las homotecias están en el menú de Geogebra.
En los ejercicios que siguen construiremos las restantes transformaciones rı́gidas y semejanzas y
algunas de sus composiciones.
1. La composición de dos simetrı́as axiales distintas y de ejes paralelos es una traslación. Encontrar
con regla y compás un vector ~v que determine esta traslación.
2. La composición de dos simetrı́as centrales distintas es una traslación. Encontrar con regla y
compás un vector ~v que determine esta traslación.
3. Dados un vector ~v = (a, b) y un punto p, encontrar con regla y compás D~v (p), el transformado
de p por la reflexión deslizante de vector ~v .
4. La composición de una simetrı́a axial SA y una simetrı́a central So , con o 6∈ A, es una reflexión
deslizante. Encontrar con regla y compás un vector ~v que la determine.
5. Dados un vector ~v = (a, b) y una recta A,
a) si ~v ⊥ A, las composiciones T~v ◦ SA y SA ◦ T~v son simetrı́as axiales de ejes paralelos a A.
Encontrar con regla y compás estos ejes.
b) si ~v 6⊥ A, T~v ◦ SA es una reflexión deslizante Dw~ . Encontrar con regla y compás un vector
w
~ (recordar que w
~ no es único).
Hacer lo mismo con SA ◦ T~v .
6.
a) Dado un ángulo orientado α = ∠(A, B) y un punto p en el plano, encontrar el rotado Rα (p).
b) Dado un triángulo 4abc, encontrar su rotado Rα (4abc) (usar la función lugar geométrico).
7. La composición de dos simetrı́as axiales de ejes secantes no perpendiculares es una rotación.
Encontrar un ángulo orientado α que determine esta rotación.
←
→
←
→
8. Sean a, b, c y d cuatro puntos en el plano, tales que |ab| = |cd| y ab no es paralela a la recta cd .
Encontrar con regla y compás un ángulo orientado α tal que Rα (a) = c y Rα (b) = d.
9. Sean Rα y Rβ dos rotaciones de ángulos α = ∠(A, B) y β = ∠(C, D) respectivamente. La
composición Rα Rβ puede ser una rotación, una simetrı́a central o una traslación.
a) Determinar en que casos la composición es una simetrı́a central, y encontrar con regla y
compás el centro de simetrı́a.
b) Determinar en que casos la composición es una traslación, y encontrar con regla y compás
un vector que determine la misma.
c) Determinar en que casos la composición vuelve a ser una rotación, y encontrar con regla y
compás un ángulo de rotación (Sugerencia: usar el ejercicio anterior).
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10. Sea α un ángulo orientado de vértice o y B una recta.
a) Si o ∈ B, entonces Rα SB y SB Rα son simetrı́as axiales de ejes que pasan por o. Determinar
estos ejes con regla y compás.
b) Si o ∈
/ B, entonces Rα SB y SB Rα son reflexiones deslizantes. Encontrar con regla y compás
un vector que la determine en cada caso.
11.
a) Sean Ho,k y Hp,l dos homotecias tales que kl 6= 1. Sabemos que la composición de ambas
es una homotecia. Encontrar con regla y compás su centro y razón.
b) Si kl = 1, la composición es una traslación. Encontrar con regla y compás un vector que
defina esta traslación.
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