fundamentos físicos de la ingenieria tercera sesión de prácticas

DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA
TERCERA SESIÓN DE PRÁCTICAS
7.- Coeficiente de rozamiento
8.- El giroscopio
9.- Determinación de la aceleración de la gravedad
7 .- Coeficiente de rozamiento
Objeto:
Determinar los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre
distintas superficies y comprobar la dependencia de la fuerza de
rozamiento máxima respecto a la fuerza normal entre las superficies.
Material:
Superficie plana horizontal. Piezas con diferentes superficies de
contacto (plástico, fieltro, goma espuma). Dinamómetros de 100 y 250
pondios. Pesas de 100 g y 200 g.
Fundamento:
Las fuerzas de rozamiento surgen entre dos cuerpos puestos en contacto cuando
se intenta deslizar uno respecto al otro.
Se deben, en parte, a las rugosidades o asperezas de las superficies en contacto y
también a la tendencia de dichas superficies a formar enlaces atómicos que las adhieren
entre sí.
Estas fuerzas de rozamiento son de magnitud limitada y no serán suficientes para
impedir el movimiento cuando las fuerzas aplicadas sean suficientemente grandes.
Supongamos un bloque de masa m colocado sobre una superficie plana
horizontal al que aplicamos una fuerza F también horizontal. Si F es pequeña el bloque
no se moverá y el equilibrio se mantiene. En este caso la fuerza de rozamiento estática fs
entre las superficies es igual a F. Si F aumenta
F
progresivamente también lo hará fs y llegará un
mg
f
momento en que nos acercamos a una situación en la
que el movimiento es inminente y el equilibrio está a
punto de romperse, es decir la fuerza de rozamiento
N
alcanza su valor máximo fsmax . Este valor máximo se
Figura 7-1
ha
comprobado
experimentalmente
que
es
proporcional a la fuerza normal entre las superficies
en contacto. El coeficiente de proporcionalidad es el coeficiente de rozamiento estático,
µs
f s ≤ µs N
(7.1)
Si F aumenta ligeramente, la fuerza de rozamiento ya no puede equilibrarla y se
inicia el movimiento, que generalmente puede observarse que es acelerado. Es decir,
cuando las dos superficies se deslizan una respecto a otra f desciende desde fsmax hasta
fk, a esta última se llama fuerza de rozamiento cinético y permanece aproximadamente
constante.
f k = µk N
7.1
(7.2)
Los coeficientes µs y µk no dependen del área de las superficies en contacto,
dependen fundamentalmente de la naturaleza de las superficies y de su grado de
pulimentación.
Debe observarse que
ambos coeficientes son el
cociente
de
dos
fuerzas
perpendiculares, por lo que son
adimensionales y representan la
tangente que la resultante de
ambas fuerzas forma con la
normal a las superficies.
f
Equilibrio
Movimiento
fsmax = µ s N
Una vez iniciado el
movimiento, si F es justamente
igual a f k = µk N , el movimiento
es uniforme y por lo tanto la
velocidad
constante,
recorriéndose espacios iguales en
tiempos iguales.
fk
F
Figura 7-2 Fuerza de rozamiento
Método:
m
Para cada pareja de superficies
(i)
Determinar el peso del bloque
con el dinamómetro, anotarlo
con sus unidades y el error.
Figura 7-3
(ii)
Colocar el sistema según el esquema de la Figura 7-3 .
(iii)
Usando el dinamómetro, medir la máxima fuerza de tracción horizontal a la
que el bloque permanece en equilibrio. Esta es la máxima fuerza de
rozamiento estática fsmax = µ s N . Anotarla con sus unidades y error.
(iv)
Medir la fuerza de tracción horizontal que mantiene un movimiento
uniforme sobre la superficie. Esta es la fuerza de rozamiento por
deslizamiento fk = µ k N .
(v)
Repetir las medidas (iii) y (iv) añadiendo 100 g, 200g y 300g sobre el
bloque. Anotar los pesos totales y los valores de las fuerzas de tracción
obtenidos en cada caso en la tabla.
(vi)
Representar los pares de valores N, fs y N, fk obtenidos para cada par de
superficies en una gráfica, representando en ordenadas la fuerza de
rozamiento y en abscisas la fuerza normal. Ajustar una recta a cada conjunto
de datos (superficie y tipo de rozamiento). Comprobar que los coeficientes
de rozamiento estático y cinético son las pendientes de las rectas respectivas
para cada superficie.
7.2
Resultados:
Superficie:
N(
)
fs (
)
fk (
)
µs =
fs
N
µk =
fk
N
fs (
)
fk (
)
µs =
fs
N
µk =
fk
N
Valores medios
Superficie:
N(
)
Valores medios
Cuestiones:
(1) Un bloque de 250 g descansa sobre una superficie horizontal. Se tira de él con una
fuerza horizontal F progresivamente creciente, iniciándose el movimiento cuando
F = 1.2 N.
a) Cuál es el coeficiente de rozamiento estático.
b) Si en lugar de tirar del bloque inclinamos el plano sobre el que está situado el
bloque, ¿cuál sería el ángulo de inclinación del plano al que la masa empezaría a
deslizarse?.
7.3
(2) Un bloque de 4 N de peso descansa sobre un plano horizontal. El coeficiente de
rozamiento estático entre ambas superficies es µs = 0.4 y el cinético µk = 0.35.
Determinar la fuerza de rozamiento que opone el plano al bloque cuando se aplica a
éste:
a) Una fuerza horizontal de 1 N.
b) Una fuerza horizontal de 3 N.
c) Una fuerza de 3 N inclinada 45º sobre la horizontal.
7.4
8 .- El giroscopio
Objeto:
Estudiar el movimiento de precesión del giroscopio. Utilización del
estroboscopio.
Material:
Giroscopio Magnus con sus accesorios. Cronómetro. Estroboscopio.
Fundamento:
El giroscopio
Entendemos por giroscopio una peonza simétrica montada sobre anillas en
suspensión Cardan de modo que el eje de simetría esté exento de ligaduras, mientras
que el centro de masa permanece estacionario.
En la Figura 8-1 se muestra
vertical
esquemáticamente un giroscopio tipo, de
z
los dedicados a la enseñanza. El momento
y
volante
de inercia del volante es grande por llevar
en su periferia una llanta de plomo. El
A
B
centro de masa del volante coincide con el
punto de intersección de los ejes xyz, de anilla
x
modo que el peso del volante queda
compensado por las fuerzas de reacción en
peso
los apoyos, cualquiera que sea la
horquilla
orientación del eje del volante en el
soporte
espacio. Obsérvese que el referencial xyz
no se mueve solidariamente con el
giroscopio,
sino
que
se
mueve
solidariamente con la anilla. Los ejes xyz
se mantienen siempre perpendiculares
entre sí, pero pueden orientarse de
Figura 8-1
cualquier forma respecto a los ejes
inerciales (no representados en la Figura
8-1), lo que se comprende fácilmente
observando las distintas articulaciones de la
suspensión. Los rozamientos son muy
pequeños (debido al empleo de rodamientos
a bolas) de modo que imprimiendo un rápido
movimiento de rotación al volante el
movimiento se mantiene durante largo
tiempo. El giroscopio de Magnus,
representado en la Figura 8-2, se pone en
rápida rotación mediante una manivela
acoplable al eje del volante y dispone de
Figura 8-2
8-1
numerosos accesorios para ilustrar el funcionamiento y las diversas aplicaciones del
giroscopio.
Cuando el volante está girando alrededor de su eje de simetría, puesto que no
existe ningún par gravitatorio neto con respecto a su centro de masa, el momento
angular se mantiene constante. Esto es, el eje de rotación (eje x, en el Figura 8-1)
mantiene una dirección constante en el espacio. Por tanto, el giroscopio puede utilizarse
como estabilizador de dirección, ya que proporciona una dirección de referencia
independiente de la del vehículo que lo transporte. Si desplazamos el giroscopio en el
laboratorio observaremos que el eje de rotación x señala siempre la misma dirección. El
eje de rotación presenta una gran estabilidad, cosa que podemos poner de manifiesto
comprobando que su dirección no se modifica sensiblemente al golpear la anilla o la
horquilla o al girar el soporte.
Si el momento aplicado al giroscopio no es nulo, el momento angular no se
mantendrá constante (y tampoco el eje de rotación x). Durante un tiempo infinitesimal
dt el cambio en el momento angular viene dado por
dL = M dt
(8.1)
de modo que dL tiene la misma dirección del momento M aplicado. Si el momento es
perpendicular al momento angular, el cambio dL es también perpendicular a L, y el
momento angular cambiará de dirección pero no de magnitud. El resultado es la
precesión del momento angular alrededor de una dirección fija en el espacio.
Ω
Así, si cuando el volante se encuentra
en rápida rotación colgamos un peso P del
ganchito de la anilla, a primera vista parece
que el eje de rotación debería inclinarse hacia
el lado donde está el peso, sin embargo no
ocurre así, sino que el giroscopio (horquilla,
anilla y volante) empieza a girar lenta y
uniformemente en torno al eje fijo vertical z,
manteniéndose el eje de rotación x en un
plano horizontal.
z
M
y
L+dL
L
dL
x
dθ
Para comprender lo anterior, hay que
tener en cuenta que el momento aplicado,
Figura 8-3
i.e., el momento del peso P con respecto al
centro de masa del volante tiene la dirección
del eje y, por lo que es M ⊥ L, como se ilustra en la Figura 8-3, y por tanto, el cambio
dL en el momento angular, durante un tiempo dt es perpendicular a L. En consecuencia,
el momento angular mantiene constante su módulo y precesa alrededor del eje fijo
vertical con una velocidad angular de precesión Ω. En estas condiciones, la derivada
temporal del momento angular, i.e., el momento aplicado, se puede expresar en la forma
M =
dL
= Ω× L
dt
(8.2)
y el módulo del momento aplicado es
M =Ω L
de donde
8-2
(8.3)
Ω=
M
M
=
L
Iω
(8.4)
siendo I el momento de inercia del volante con respecto a su eje de rotación y ω la
velocidad angular del volante. La expresión anterior pone de manifiesto que cuanto
mayor sea la velocidad angular de rotación del volante, menor será la velocidad angular
de precesión.
De igual modo, se puede comprobar que si se suprime la pesa P, y estando el
volante en rápida rotación se coge la horquilla con las manos y se hace girar en el
sentido de x a y, entonces el eje de rotación se va levantando, girando en torno al eje y,
hasta ponerse vertical.
Examinando los resultados anteriores, podemos llegar a la siguiente conclusión:
La dirección del momento angular del giroscopio tiende a
coincidir con la del momento externo aplicado; para ello el eje del
volante se desvía perpendicularmente a las fuerzas que aplicamos.
Foucault estableció el principio en que se
M
3
basa la brújula giroscópica. Supongamos un
giroscopio en el que el eje del volante está
obligado a mantenerse en un plano horizontal
ω
2
(esto se puede conseguir en el giroscopio de la
W
N
Figura 8-1 suprimiendo la rotación al eje y).
Supongamos que inicialmente el eje del
E
giroscopio señala la dirección Este-Oeste.
S
Conforme la Tierra gira, el plano horizontal y la
N
dirección Este-Oeste giran de la misma manera.
El eje del giroscopio tendería a girar como indica
S
la flecha 2 (Figura 8-4), lo que equivale a aplicar
un momento en la dirección Sur-Norte. Por lo 1
tanto, el eje del giroscopio, bajo la acción de ese
momento, girará alrededor de la vertical del lugar
(como indica la flecha 3) hasta señalar la
Figura 8-4
dirección Norte. La brújula giroscópica presenta
la ventaja sobre la brújula magnética de señalar
la dirección del Norte geográfico, que no coincide con el Norte magnético, y de no estar
sujeta a las anomalías magnéticas locales.
El estroboscopio
El estroboscopio es un instrumento que permite visualizar un objeto que está
girando como si estuviera parado o girando muy lentamente.
En esencia un estroboscopio está dotado de una lámpara, normalmente del tipo
de descarga gaseosa de xenon similar a las empleadas en los flashes de fotografía, con la
diferencia de que en lugar de un destello, emite una serie de ellos consecutivos y con
una frecuencia regulable.
8-3
Si tenemos un objeto que está girando a N revoluciones por minuto y regulamos
la frecuencia del estroboscopio a N destellos por minuto e iluminamos con él el objeto
giratorio éste, al ser iluminado siempre en la misma posición, aparecerá a nuestros ojos
como parado.
Si la frecuencia de los destellos no coincide exactamente con la de giro, pero se
aproxima mucho a ella, veremos el objeto moverse lentamente, hacia adelante o hacia
atrás según que la frecuencia de destello del estroboscopio sea, respectivamente, inferior
o superior a la de giro.
El estroboscopio se utiliza para verificar la velocidad de giro de máquinas y
motores de diversas clases, sin necesidad de efectuar acoplamiento eléctrico o mecánico
alguno.
Método:
(i)
Con el volante sin rotación, observar los movimientos que permite la suspensión
Cardan. Comprobar que el volante está bien equilibrado, lo que permitirá orientar
su eje en cualquier dirección del espacio.
(ii) Comunicar al giroscopio una rápida rotación mediante el dispositivo previsto para
ello (manivela).
(iii) Obsérvese la estabilidad del movimiento cuando desplazamos el giroscopio,
sujeto por su base, por el laboratorio. Obsérvese la constancia del momento
angular.
(iv) Con el volante en rotación, intentar orientar su eje en cualquier dirección del
espacio, como en el primer apartado. Observar y explicar lo que ocurre.
(v) Con el volante en rotación, añadir una pesa en el extremo del eje de rotación del
volante, como se indica en la Figura 8-1. Observar y explicar el movimiento de
precesión.
(vi) Medir las velocidades angulares de rotación del volante (ω) y de precesión (Ω).
Medida de ω.- Se medirá con el estroboscopio, fijando la marca de color que tiene
el volante. Para ello, hay que hacer coincidir la frecuencia de rotación del volante
con la de los destellos del estroboscopio. Hay que asegurarse que el movimiento
del volante queda “congelado” para la frecuencia más baja posible.
Medida de Ω.- Con el cronómetro, se medirá en tiempo empleado en 5 vueltas en
el movimiento de rotación.
(vii) Repetir las medidas varias veces para diferentes velocidades angulares de rotación.
Representar gráficamente los valores de Ω versus los de 1/ω. Ajustar una recta a
los puntos experimentales.
(viii) Eliminar la rotación alrededor del eje y, mediante el dispositivo previsto para ello
(muelles tensados) y observar que el momento angular del volante se orienta en la
dirección Norte (brújula giroscópica).
Resultados:
El alumno presentará un breve resumen de las experiencias realizadas con el
giroscopio.
8-4
Cuestiones:
(1) Explicar porque no se inclina el eje de rotación del giroscopio cuando colgamos una
pesa en uno de sus extremos.
(2) Explicar en que consiste el movimiento de precesión.
(3) ¿Qué operación hay que efectuar sobre el giroscopio de Magnus para que se
comporte como una brújula?
Respuestas:
8-5
9 .- Determinación de la aceleración de la
gravedad
Objeto:
La determinación del valor de la aceleración de la gravedad.
Material:
Péndulo de Kater con dos masas 1000 y 1400 g.
Sistema formado por fotocélula reflexiva, autómata programado y
reloj, para la medida del período de oscilación.
Fundamento:
Unas de las magnitudes físicas que con mayor frecuencia se presentan en la
resolución de problemas de todo tipo es la aceleración de la gravedad. De ahí que su
determinación tenga una gran importancia, tanto desde el punto de vista teórico, como
práctico.
El valor medido de la aceleración de la gravedad no es constante de un lugar a
otro de la Tierra, depende de la latitud del lugar y de la altura sobre el nivel del mar. Los
valores extremos son:
• 9.78 m/s2, medido en el ecuador y al nivel del mar.
• 9.83 m/s2, en los polos.
Esta variación de un lugar a otro de la Tierra se debe a que la gravedad es la
composición de dos aceleraciones...., la aceleración debida a la fuerza gravitacional
terrestre, y la aceleración debida al movimiento de rotación diurno terrestre (aceleración
centrífuga). En general, se toma un valor medio para g cuando no se requiere una gran
precisión en los resultados. Este valor medio estándar es: g = 9.81 m/s2
La determinación del valor de g por medida directa, mediante la observación de
un cuerpo en caída libre en el vacío es difícil debido a que el tiempo de caída a lo largo
de una distancia razonable es demasiado corto para medidas sencillas. Por ello hay que
recurrir a métodos indirectos, como es la utilización de un péndulo. En esta práctica, se
determinará el valor de la gravedad utilizando el péndulo físico de Kater.
Péndulo físico.- Se puede considerar un péndulo físico cualquier cuerpo rígido situado
de manera que pueda oscilar en un plano vertical, en torno a un eje que pase por algún
punto del cuerpo diferente del centro de masas. La posición del péndulo físico queda
determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por
el eje de rotación (O) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que
pasa por el eje de rotación.
Se llamará h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de
rotación (O). Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un
ángulo θ (Figura 9-1), actúan sobre él dos fuerzas el peso y la reacción en el eje cuyo
momento resultante con respecto al eje de rotación es un vector dirigido a lo largo del
eje de rotación, en el sentido negativo del mismo; i.e.
9-1
M e = −mgh sen θ
(9.1)
Si I0 es el momento de inercia del péndulo respecto al
eje de suspensión (O) y llamando θ a la aceleración angular del
mismo, el teorema del momento cinético, o momento angular
permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de
rotación del péndulo:
−mgh sen θ = I 0 θ
(9.2)
que se puede escribir de la siguiente forma, como ecuación
diferencial de segundo orden:
mgh
θ +
sen θ = 0
I0
N
O
θ
h
G
mg
λ
(9.3)
h'
O’
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones
sea pequeña, se puede usar la aproximación sen θ ≈ θ y la
ecuación (9.3) adopta la forma
Figura 9-1
θ +
o sea
θ + ω 2θ = 0
mgh
θ =0
I0
con
ω2 =
(9.4)
mgh
I0
(9.5)
que, como se sabe, corresponde a un movimiento armónico simple. El período de las
oscilaciones es
I0
mgh
T = 2π
(9.6)
Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo período sea igual al de
un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple
equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico.
Utilizando la expresión del período del péndulo simple de longitud λ, se puede escribir
T = 2π
y, por lo tanto, se tiene que
λ
I0
= 2π
mgh
g
λ=
I0
mh
(9.7)
(9.8)
Así, en lo que concierne al período de las oscilaciones de un péndulo físico, la
masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O’) cuya distancia al eje
de suspensión es λ. Tal como recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los
péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de
suspensión) oscilarán con la misma frecuencia, la frecuencia del péndulo simple
equivalente, de longitud λ.
Es conveniente sustituir en la expresión (9.7) el valor del momento de inercia
I0 del péndulo respecto al eje de suspensión (O) por el momento de inercia IG del cuerpo
9-2
respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad (G). Así,
usando el teorema de Steiner, y llamando K al radio de giro del cuerpo a este último eje,
se puede escribir
I 0 = I G + mh 2 = mK 2 + mh 2 = m (h 2 + K 2 )
(9.9)
de modo que la expresión (9.7) se transforma en
h2 + K 2
T = 2π
gh
(9.10)
En la Figura 9-2 se ha representado gráficamente la función T(h). Se obtiene
una curva con dos ramas, que corresponden a colocar el eje de suspensión a un lado u
otro del centro de gravedad del cuerpo. Como ambas ramas son simétricas respecto al
eje vertical, en la práctica bastará con hacer
T
observaciones a un solo lado del c.d.g. Como
queda bien manifiesto en la representación
gráfica de la función T(h) dada por (9.10), el
período de las oscilaciones presenta un valor
mínimo para un cierto valor de la distancia h
existente entre el centro de gravedad y el eje
de suspensión. A partir de la expresión (9.10)
λ
λ
es fácil demostrar que el valor mínimo del
período se presenta cuando h = K, esto es,
K’ O’G Q’ K
h
Q
O
cuando la distancia entre el c.d.g. y el eje de
suspensión coincide con el radio de giro
respecto a un eje que pasa por el c.d.g.
Figura 9-2
La gráfica de la Figura 9-2 también pone de manifiesto que para un valor del
período T > Tmin existen cuatro puntos (O,O’,Q,Q’) tales que al hacer pasar por ellos el
eje de suspensión (en direcciones paralelas entre sí) las oscilaciones del péndulo físico
tendrán el mismo período. De la simetría de la gráfica de la Figura 9-2 se deduce que los
puntos O y Q, son equidistantes del centro de gravedad del cuerpo, y que lo mismo
ocurre para los puntos O’ y Q’. Además, dado que la distancia que separa los puntos O
u O’, estos es, OO’ = λ, es la misma que separa los puntos Q y Q’ (QQ’ = λ), se dice
que los puntos O y O’ son conjugados entre sí, a igual que los puntos Q y Q’. A
continuación se verá a qué obedece tal denominación.
Cuando el péndulo oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O,
dicho punto recibe el nombre de centro de suspensión, y el punto O’, que se encuentra a
una distancia λ del punto O, recibe el nombre de centro de oscilación. Si ahora se hace
pasar el eje de suspensión por el punto O’, de modo que sea paralelo al anterior eje de
suspensión, el punto O’ pasa a ser el punto de suspensión, en tanto que el punto O pasa
a ser el centro de oscilación. Ambos puntos han permutado entre sí sus papeles; por eso
se dice que son conjugados. Lo mismo se puede decir para los puntos Q y Q’. Los
resultados anteriores constituyen el llamado TEOREMA DE HUYGENS (1629-1695), que
se puede enunciar en la forma siguiente:
La longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de
oscilación O’ pasa a ser centro de suspensión (O), pues ambos puntos
9-3
permutan entre sí sus papeles. El período del péndulo será el mismo en
ambos casos.
Esta propiedad se aprovecha para la construcción del llamado péndulo reversible
de Kater, instrumento que permite medir el valor de la aceleración gravitatoria con gran
precisión.
Péndulo de Kater.- El péndulo de Kater es un péndulo compuesto que está formado
por una barra metálica rígida provista de dos cuchillas (O y O’) con sus bordes
enfrentados, como se indica en la Figura 9-3. Las cuchillas, apoyadas por sus bordes
sobre un soporte rígido y robusto, sirven como centros (ejes) de
suspensión. Dos discos metálicos (A y B) pueden desplazarse a lo
A
largo de la barra del péndulo. El disco de menor masa (A) está
situado en uno de los extremos de la barra, fuera de las cuchillas, el
O
otro (B), más pesado, está colocado entre las cuchillas.
h
G
h'
B
O’
λ
Ajustando convenientemente las posiciones de las masas
deslizantes sobre la barra del péndulo, puede conseguirse que sean
iguales los períodos de oscilación del péndulo cuando está
suspendido de la cuchilla O o de la cuchilla O’; en estas
condiciones, los puntos O y O’ son conjugados y la distancia que
los separa es la longitud reducida λ del péndulo. En consecuencia,
se puede determinar el valor de la intensidad del campo
gravitatorio, g, a partir de la expresión (9.7).
Medida de g. Método de Bessel.- Bessel demostró que, para
la determinación exacta del valor de g no es necesario el lento
Figura 9-3
proceso que nos llevaría a conseguir que los dos períodos de
oscilación, T y T’, sean exactamente iguales. Es suficiente que sean aproximadamente
iguales, i.e., que la diferencia T-T’ sea muy pequeña, ya que entonces, de (9.10),
podemos obtener:
ghT 2
= h2 + K 2
4π 2
gh 'T ' 2
= h '2 + K 2
4π 2
(9.11)
de modo que, restando miembro a miembro, tenemos:
4π 2 hT 2 − h 'T ' 2 T 2 + T ' 2 T 2 − T ' 2
=
=
+
g
h 2 − h '2
2(h − h ') 2(h − h ')
(9.12)
Entonces, si el centro de gravedad (G) del péndulo se encuentra más cerca de
una cuchilla que de la otra, la diferencia (h-h’) no es pequeña y, puesto que T es
aproximadamente igual a T’, el segundo término de la expresión anterior será
despreciable en comparación con el primero, por lo que el valor de g puede obtenerse
mediante la fórmula:
g = 8π 2
h + h'
T 2 + T '2
9-4
(9.13)
Método:
(i)
La distancia λ = h + h’ entre las dos cuchillas de apoyo O y O’ es λ = 0.9939m.
(ii)
Manteniendo la pesa de 1400 g en la posición fijada, colocar la pesa de 1000 g en
la posición 1 marcada..
(iii) Suspender el péndulo de una de sus cuchillas (O) y determinar el período de sus
oscilaciones a partir de la medida de 10 oscilaciones.
(iv) Suspender el péndulo de la otra cuchilla (O’) , y volver a determinar el período de
sus oscilaciones.
(v)
Representar en la Gráfica 1 los períodos obtenidos en los dos puntos anteriores, en
color diferente para los períodos correspondientes a cada cuchilla.
(vi) Repetir los procesos (iii), (iv) y (v) en cada una de las posiciones marcadas para la
masa de 1000 g.
(vii) Ajustar a una curva los puntos correspondientes a los períodos de oscilación
respecto a la cuchilla O, representados en la Gráfica 1. Ídem para los puntos
correspondientes a los períodos de oscilación respecto a la cuchilla O’.
(viii) Colocar las pesa de 1000 g en la posición aproximada correspondiente al punto de
corte de las dos curvas representadas en la gráfica. Medir los períodos de
oscilación del péndulo sujeto en ambas cuchillas y comprobar que dichos períodos
son iguales (o casi).
(ix) Calcular el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar de la experiencia a
partir de la expresión(9.7) y (9.13).
9-5
Resultados:
Período (s)
2.040
2.030
2.020
2.010
2.000
1.990
1.980
1.970
1.960
1
2
4
3
5
Gráfica 1. Período de las oscilaciones para
distintas posiciones de la pesa de 1000 g
λ=
T=
T’ =
Cálculo de g:
A partir de (9.7):
A partir de (9.13):
9-6
6
Posición pesa
1000 g
Cuestiones:
a) Definir el concepto de radio de giro.
b) Demostrar que el valor mínimo de la función T=f(h) se presenta cuando h = K.
c) ¿Qué se entiende por longitud reducida del péndulo físico?
d) ¿Qué interés práctico presenta el péndulo de Kater?
Respuestas:
9-7