Matemáticas Propedéutico para Bachillerato Introducción

Universidad Tec Milenio: Preparatoria
Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Actividad. 8 Fracciones simples.
Introducción
En las actividades anteriores vimos las operaciones
básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como
la jerarquía de ellas entre números enteros, en esta
actividad nos enfocaremos a las mismas operaciones pero
ahora con números racionales, ¿recuerdas cuáles son?
Los expresados de la forma:
a
;b  0
b
Los números racionales, o como comúnmente los
llamamos fracciones, son de gran utilidad en la vida
diaria.
1
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Introducción
Por ejemplo cuando quieres preparar naranjada y le
pides a tu mamá la receta, ella te dice que para 2 lts de
1
naranjada necesitas 3 lts de jugo y 1 lt de agua.
4
4
Otro ejemplo sería ¿Estarías de acuerdo si entre un
amigo y tú deciden comprar una pizza y tu amigo te dice
“¡Está bien!, pero a mí me tocan 5 de la pizza?
8
Objetivos
Al finalizar la actividad serás capaz de:
• Calcular y simplificar fracciones simples.
• Aplicar las fracciones en problemas aritméticos.
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Fracciones
Primero vamos a recordar que una fracción se compone de
dos expresiones aritméticas, la parte superior se llama
numerador y la parte inferior denominador.
a
numerador

b denominado r
El denominador me indica las veces en que está partida
la unidad.
El numerador me indica cuántas partes de la fracción
estamos tomando.
Fracciones
Observa la siguiente gráfica:
¿En cuántas partes está dividido el entero?
R = En 4.
Si sólo quiero tomar una de las partes lo tendría que
representar como:
1
4
Si ahora quiero tomar 3 de las 4 partes se expresará:
3
4
3
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Fracciones
Se tienen fracciones:
 Propias.
 Impropias.
 Mixtas.
Las propias es cuando el numerador es más pequeño que
el denominador.
1 3 2
, ,
2 4 7
Fracciones
Las impropias es cuando el numerador es igual o mayor al
denominador.
2 4 7
, ,
2 3 2
Por último, las mixtas es cuando las fracciones impropias se
expresan una parte entera y un número fraccionario propio.
1
1
1 , 3
3
2
4
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Simplificación de fracciones
Simplificar una fracción significa buscar una fracción
equivalente donde el numerador y el denominador sean
irreducibles, es decir ya no se puedan dividir ambos por el
mismo número. Observa las siguientes figuras, ambas
tienen la misma cantidad sombreada, son equivalentes.
6
8
3
4
¿Cuál es el número en común por el cuál se dividió la
primera fracción?
Simplificación de fracciones
Cuando el numerador y el denominador se pueden dividir
entre el mismo valor, es cuando se puede simplificar la
fracción, hasta llegar a una fracción que ya no tengan
factores de división en común.
Ejemplo No. 1
60 60 / 2 30 30 / 2 15 15 / 3 5



 

72 72 / 2 36 36 / 2 18 18 / 3 6
Ejemplo No. 2
330 330 / 10 33 / 3 11



390 390 / 10 39 / 3 13
Fíjate que no necesariamente siempre debes comenzar a
dividir entre 2, si eres observador y te das cuenta que
tiene un divisor en común grande, mas pronto llegas a la
fracción irreducible.
5
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Mínimo común múltiplo
Cuando los denominadores, no son los mismos debemos
encontrar el mínimo común denominador y para esto debemos
calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre ellos.
Ejemplo 4:
1 2 3
  ?
8 5 4
Para encontrar el m.c.m. tomamos los denominadores y los
vamos dividiendo entre un factor que tengan en común.
Suma y resta de fracciones
Cuando tenemos suma o resta de fracciones con el mismo
común denominador, simplemente se suman o restan los
numeradores.
Ejemplo 3:
5 6 1 5  6  1 10
3
  

 1
7
7
7
7 7 7
10 es una fracción impropia, ¿recuerdas como volverla mixta?
7
Divides el numerador entre el denominador, el cociente es la
parte entera y el residuo es el numerador de la fracción propia.
1  cociente
7 10
3  residuo
6
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Mínimo común múltiplo
Tomamos los denominadores
8 5 4
Buscamos un factor que la mayoría
tengan en común  2, y dividimos
cada denominador entre este número.
Si no es divisible como en nuestro
caso, es el 5, se pasa igual.
8 5 4 2
4 5 2
Se vuelve a buscar un número que
sea divisible entre la mayoría 2
observa que uno de los denominadores
ya llegó al valor de 1. Por lo que con
este número ya no se trabajará.
8 5 4 2
4 5 2 2
2 5 1
Continúa…
Mínimo común múltiplo
Seguimos buscando factores que
dividan a nuestros denominadores,
vemos que todavía uno de ellos es
divisible entre 2. Por lo que continúo
con el 2.
Ahora 2 de los 3 denominadores,
ya llegaron a 1, por lo que sólo nos
queda trabajar con el 5, por lo que
ahora divido entre 5.
8 5 4 2
4 5 2 2
2 5 1
1 5 1
2
8
4
2
1
5
5
5
5
4 2
2 2
1 2
1 5
1 1 1
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Mínimo común múltiplo
Cuando hemos llegado al final con el número 1, los factores
que fueron los divisores, se multiplican entre sí para darnos
el mínimo común múltiplo.
( 2)(2)(2)(5)  40
Por lo que nuestra tabla para obtener el mínimo común
múltiplo nos queda:
8 5 4 2
4 5 2 2
2 5 1 2
1 5 1 5
1 1 1 40  m.c.m.
Mínimo común múltiplo
Una vez que ya tenemos el m.c.m se procede a efectuar la operación:
1° Tomamos el mínimo común denominador (40) y lo divides entre el
denominador de cada fracción.
1 2 3
  
8 5 4
40
2° Vamos a realizar la primera operación.
40  8  5
3° Tomo este valor y lo multiplico por su respectivo numerador, y lo
coloco en su lugar.
(5)(1)  5
1 2 3 5
  
8 5 4
40
8
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Mínimo común múltiplo
Se repite todos los pasos anteriores con los demás términos,
quedando como sigue:
1 2 3 5  16 - 30
9
  

8 5 4
40
40
Por último, la fracción resultante siempre se simplifica, si se
puede.
Esta fracción ya es irreducible por lo que el resultado final queda:
1 2 3
9
  
8 5 4
40
Suma y resta de fracciones
Ejemplo 5:
A continuación tenemos una operación que involucra fracciones
y números enteros.
1 3
5 
8 4
Siempre que tengas enteros recuerda que también los puedes
escribir como un número racional.
5
1
Por lo que el común denominador será:
1 8 44
1 2 12
1 1 1 8  mínimo común denominador
Puedes empezar dividiendo con un factor lo más grande posible
que divida a la mayoría, (como lo es 4) y no empezar de 2 en 2.
9
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Suma y resta de fracciones
Y la operación nos queda:
5 1 3 40  1  6 35
  

1 8 4
8
8
Observa que es una fracción impropia, por lo que la
podemos expresar como una fracción mixta.
35
3
4
8
8
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones al igual que la división, son
más sencillas que la suma y resta de fracciones.
En la multiplicación, simplemente se multiplican sus
numeradores y el resultado se pone en el numerador de la
nueva fracción.
Y después se multiplican los denominadores y el resultado
se coloca en el denominador de la nueva fracción.
Recuerda siempre expresar el resultado en una fracción
irreducible, es decir, hay que simplificarla.
Ejemplo 6:
3 2 (3)(2) 6
6/2
3
 



8 5 (8)(5) 40 40 / 2 20
10
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División de fracciones
La división se realiza efectuando una multiplicación
cruzada, es decir el numerador de una fracción se multiplica
por el denominador de la otra, y el resultado se coloca en el
numerador.
Posteriormente, el denominador de la primera fracción se
multiplica por el numerador de la segunda y el resultado se
pone en el denominador.
Por último, recuerda siempre simplificarla.
Ejemplo 7:
3 4 (3)(5) 15 15 / 5 3
 



10 5 (10)(4) 40 40 / 5 8
Operación con fracciones
Ahora vamos hacer algunas operaciones donde involucren
fracciones:
3

2  5   ?
Ejemplo 8:
4

Recuerda la jerarquía de operaciones.
1° Debemos realizar la operación dentro del paréntesis, la
fracción.
Por lo que debemos encontrar al m.c.m.
 3 5
2  
 4 1
4 14
1 1 4  mínimo común múltiplo
múltiplo
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Operación con fracciones
Resolvemos la operación dentro del paréntesis.
 3  20   23 
2
  2 
 4   4
2° Se efectúa la multiplicación.
 2  23  46
   
 1  4  4
3° Se simplifica.
46 23
1

 11
4
2
2
Operación con fracciones
3 2 3
9   ?
4 3 4
Ejemplo 9:
¿Quién tiene prioridad ? En efecto la división.
1° Empleamos productos cruzados, para resolver la división.
9 3
9 
8 4
2° Ahora se tienen sólo sumas y restas, por lo que debemos
resolver las fracciones, obteniendo primero el m.c.m.
1 8 44
9 9 3
 
1 8 4
1 2 12
1 1 18  m.c.m.
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Operación con fracciones
Resolvemos las sumas y restas.
9 9 3 72  9  6 69

  
1 8 4
8
8
3° Si se puede se simplifica. En este caso ya no es
reducible la fracción. Pero la puedo expresar en forma
mixta.
69
5
8
8
8
Aplicación de fracciones
Ahora vamos a ver ¿cómo se expresa una fracción a partir
de un planteamiento?
Nombre Edad Nombre Edad
Ejemplo 10:
Aranza
15
Ricardo 15
Se tiene una lista de alumnos
Esteban 16
Roberto 16
de primer ingreso.
Raúl
15
Claudia 16
¿Qué fracción son niñas?
Ana
15
María
17
Laura
16
Aída
15
¿Qué fracción son niños?
Jorge
16
Iliana
16
¿Qué fracción tiene 15 años?
Reyna
17
Oscar
15
¿Qué fracción tiene 16 años?
Elisa
16
Carla
15
¿Qué fracción tiene 17 años? José
15
Ángela 16
13
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Aplicación de fracciones
Observa los resultados en la siguiente tabla.
Total de alumnos de primer ingreso 18
Requisito
Alumnos que cumplen
con el requisito
Fracción
Que sean niñas
11
11
Que sean niños
7
7
Que tengan 15
años
8
Que tengan 16
años
8
Que tengan 17
años
2
18
18
4
4
9
9
1
9
Aplicación de fracciones
Ejemplo 11:
Mi hermana va a cumplir años y se ofrecerá de merienda,
pizza. Mi mamá calcula que cada adulto se comerá 3
rebanas de pizza, habrá 12 adultos, y los niños sólo se
comerán 2 rebanadas cada uno y se tendrán 30 niños.
Las pizzas traen 8 rebanadas, ¿cuántas pizzas deberá
comprar?
Resolveremos el problema, mediante el uso de operaciones
aritméticas:
3
2
(12)   (30) 
8
 
8
36 60 96


 12
8
8
8
Por lo que mi mamá deberá comprar 12 pizzas.
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Bibliografía
Gustafson, R. David . Álgebra Intermedia. México:
International Thomson Editores, 2004. (ISBN 968-752907-5).
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Raquel Ramírez Peláez
Coordinador de área:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED
Edición de contenido:
Lic. Miriam Gómez Moore, MED
Edición de texto:
Lic. Alejandra Zaragoza Scherman
Diseño Gráfico:
Miguel Angel Reynosa Castro, MANM
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