Problemas de Corriente Eléctrica Boletín 4 – Tema 4

Problemas tema 4: Corriente eléctrica
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Problemas de Corriente Eléctrica
Boletín 4 – Tema 4
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2010/11
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Problemas tema 4: Corriente eléctrica
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Problema 1:
Un cable conductor cuya sección transversal tiene un área de 13.30 mm2
transportan una corriente de 2 A durante 5 minutos. Calcular: a) Carga total que
atraviesa cualquier sección transversal del cable en ese tiempo. b) número de
electrones que atraviesan esa sección transversal, c) tiempo que tarda un electrón
en recorrer una distancia de 1 cm, sabiendo que el material posee una densidad de
electrones libres de 8.5 x 1028 electrones/m3.
a)
QT?
I=
I=2A
dQ
→
dt Sup. transversal total
= 2
A= 13.3 mm2
qe = 1.602 × 10-19 C
n = 8.5 × 1028 e/m 3
Fátima Masot Conde
b)
C
s
(5 ×
ΔQ = I Δt
60 s ) = 600 C
n e?
ne =
Q
600 C
21
=
=
3.75
×10
e-19
qe 1.602 ×10 C
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Problema 1:
c)
Tiempo que tarda un electrón en recorrer 1 cm.?
2A
1. Calculamos v
(la veloc. del e-)
I = J A
=
nq vA
→
v = I
n q A
8.5 × 1028 e/m 3
J = nq v
13.3 mm2
1.602 × 10-19 C
1 cm
2.- Calculamos t:
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t=
s
= 946 s
v Dpto. Física Aplicada III
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Problema 2:
Un cable conductor transporta una corriente que decrece con el tiempo según la
ecuación I(t) = I0 e-t/τ, donde I0=2 A y τ= 100 s. Calcular a) la carga total que
atraviesa cualquier sección transversal del cable entre t=0 y t=τ. b) La carga
total que atraviesa cualquier sección entre t=0 y t → ∞ .
dQ
I =
→ dQ = I dt →
dt
t
t
-t/τ dt
∫ dq = ∫ I(t) dt = ∫ I0 e
Q
0
0
0
I(t)
t
Q (t) = I0 (-τ) e-t/τ = I0 τ ⎡⎢1 - e-t/τ ⎤⎥
⎣
0
a)
Q (t = τ ) = I0 τ ⎡⎣1 - e-1 ⎤⎦
= 126 C
b)
Q (t = ∞ ) = I0 τ ⎡⎣1 - e-∞ ⎤⎦
=
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⎦
I0 τ = 200 C
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Problema 3:
Un fusible en un circuito eléctrico es un alambre conductor que está diseñado para
fundirse, y por tanto, abrir el circuito si la corriente excede un valor determinado.
Suponiendo que el material que se va a emplear en un fusible se funde cuando la
densidad de corriente alcanza 440 A/cm2. ¿Qué diámetro de alambre cilíndrico
debe usarse para hacer un fusible que limite la corriente a 0.5 A?
Diámetro?
I lim ite = 0.5 A
J lim ite = 440 A/cm 2
A
I lim ite = J lim ite A = J lim ite
⎛d ⎞
π⎜ ⎟
⎝2⎠
2
2
⎛ d ⎞
A=π ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
(sección transversal
del cilindro)
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d =2
I lim ite
π J lim ite
= 0.38 mm
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Problema 4:
Un bloque rectangular de hierro tiene dimensiones de 1.2 cm x 1.2 cm x15 cm, y
se le aplica una diferencia de potencial entre dos lados paralelos de forma que
esos lados son superficies equipotenciales. Sabiendo que la resistividad del hierro
es aproximadamente 10-7 Ωm, calcular la resistencia del bloque si los lados
paralelos son a) los extremos cuadrados, b) dos lados rectangulares.
1.2
a)
Lados cuadrados
1.2
15
R= ρ
15 cm
A
15 × 10-2 m
= 10 Ωm
= 10-4 Ω
2
-4
2
(1.2) × 10 m
-7
(1.2)2
b)
Lados rectangulares
1.2
R= ρ
A
= 6.7 × 10-7 Ω
15 × 1.2
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Problema 5:
Un alambre de cobre que tiene un diámetro de 1.02 mm, transporta una corriente
de 1.67 A. Hallar a) el campo eléctrico en el alambre, b) la d.d.p. entre dos
puntos del alambre separados 50 m, c) la resistencia de esos 50 m de alambre.
Dato: resistividad del cobre: 1.72x10-8 Ωm.
c)
b)
Resistencia:
D.d.p.
datos
Ley de Ohm:
R= ρ
=
= 1.05 Ω
A
V = I R = (1.67 A) (1.05 Ω) = 1.75 V
50 m
ρ = 1.72×10-8 Ωm
⎛d⎞
A =π ⎜ ⎟
⎝2⎠
d=
a)
Campo
2
V=E
→E =
1.02 mm
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V
=
1.75 V
50 m
= 0.035 V/m
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Problema 6:
Se dispone de una resistencia fabricada con una barra de carbono de sección 0.5
mm2, cuyo valor nominal a 20o C es de 1 Ω. Hallar a) la longitud de la barra de
carbono, b) la temperatura que ha de alcanzar esa resistencia para que su valor
disminuya en un 5 %. Datos: resistividad del carbono a 20o C: ρ0 = 35x10-6 Ωm.
Coeficiente de temperatura α=-0.5 x10-3 K-1
a)
Longitud de la barra de carbono
(se supone para
R0 = ρ0
A
→
T=20o
=
C)
R0 A
ρ0
T para que R
5%
RT = R0 − 0.05 R0 = 0.95 R0
= 1.43 cm
ρ0 = 35 × 10-6 Ωm (para T = 20o C)
α = - 0.5 × 10-3 K -1
A = 0.5 mm 2
R 0 = 1 Ω (a T = 20o C)
T0 = 20o C
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b)
=
= 0.95 Ω
RT
= R(T ) =
R0 [1 + α (T − T0 )] → T = 120o C
Tenemos todos los datos, despejamos T
Como vemos, es una temperatura demasiado
distante de T0 como para que la simple
aproximación lineal pueda darse como buena.
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Problema 7:
Un cable de cobre, de sección transversal A y longitud SCu, se conecta extremo
con extremo con un cable de carbono de la misma sección transversal y longitud
SC. a) Hallar la relación de longitudes de ambos cables para que la resistencia
total del dispositivo sea independiente de la temperatura. b) Explicar por qué
esta relación sólo asegura independencia de R con T para pequeñas variaciones de
T. Datos: ρCu0 = 1.7x10-8 Ωm. ρC0 = 3500x10-8 Ωm Coeficiente de temperatura αCu=3.9
x10-3 K-1, αC=-0.5 x10-3 K-1.
a)
Cu
Cu
R ≠ R(T)
C
C
Es una asociación en serie:
Rtotal = RCu + RC
Cu
C
Datos
RCu (T ) = R 0 (1 + α Cu ΔT )
ρCu ,αCu
ACu = AC = A
ρC ,αC
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Donde ambas son funciones de T:
Cu
RC (T ) = R 0
C
(1 + α C ΔT )
,ΔT común para los dos segmentos
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Problema 7:
Rtotal (T ) = RCu (T ) + RC (T ) = R 0 (1 + α Cu ΔT ) + R 0
Cu
⎡
⎤
= R 0 + R 0 + ΔT ⎢ R 0 α Cu + R 0 α C ⎥
Cu
C
C
⎣ Cu
⎦
C
(1 + α C ΔT ) =
R0
R α Cu = − R α C
0
0
Cu
C
Cu
R0
C
0
Rtotal
0
0
Para que Rtotal no sea función de T en
primera aproximación, el segundo
sumando debe ser cero.
∀T
RC = ρC
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0
C
b)
Como:
RCu = ρCu
Cu
Cu
A
C
A
=−
=−
αC
α Cu
αC ρ 0
C
α Cu ρ 0
Cu
En general:
R(T ) = R 0 (1 + α ΔT + βΔT 2 + …)
En primera aproximación, R (T )
R0 (1 + α ΔT )
porque las potencias mayores de ΔT son despreciables
para ΔT<<. (Eso sin contar con la dilatación lineal de
la barra, e in extremis, la dilatación de su área
transversal)
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Problema 8:
Una tostadora de pan funciona aprovechando el calor desprendido por efecto
Joule en una resistencia. En las tostadoras convencionales se hace pasar la
corriente de red (220 V) a través de un cable de nicromo, (aleación de Ni y Cr,
cable de cobre, ρ0 = 10-6 Ωm a 20oC, y α=0.4 x10-3 K-1). Supongamos que deseamos
diseñar la tostadora para 900 W, con un cable de nicromo, de calibre 22 (0.6438
mm). Sabiendo que el cable alcanza una temperatura de unos 1000oC en
funcionamiento, calcular: a) la longitud del cable necesaria, b) Equipando la
tostadora con otro cable adicional de la misma longitud, puede lograrse que ésta
consuma aprox. ¿Cuál será el tipo de conexión adecuada para ello?
Datos
I
ρ0
Sabemos
a T=20o
α
P=900 W a 1000o
V = 220 V
V /R
IR
2
V
P = I ⋅ V = I 2R =
R
D=0.6438 mm
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Problema 8:
De los datos, tenemos:
R20o = ρ0
Pero no nos interesa la resistencia a 20 oC,
sino a 1000 oC, que es la operación normal
de la tostadora, donde deseamos desarrollar
los 900 W de potencia.
A
De la potencia,
calculamos R1000
220 V
P = 900 W(para 1000o C )
R1000o = ρ1000
Y de los datos,
→
R1000
A
1000
π ( D / 2)
ρ1000
ρ1000
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V2
=
R1000
2
(T − T0 )
20
ρ0 (1 + α ΔT )
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Problema 9:
Se
Se dispone
dispone de
de una
una batería
batería de
de 12
12 VV con
con una
una resistencia
resistencia interna
interna de
de 0.5
0.5 W,
W, yy de
de dos
dos
pequeñas
bombillas
iguales,
que
pueden
modelarse
cada
una
con
una
resistencia
pequeñas bombillas iguales, que pueden modelarse cada una con una resistenciade
de
20
20W.
W.a)
a)SiSise
seconectan
conectanen
enserie
serieaalalabatería,
batería,¿cuál
¿cuáldará
darámás
másluz?
luz?SiSise
seconectan
conectanen
en
paralelo,
paralelo,¿iluminarán
¿iluminaránmás
másoomenos
menosque
queen
enserie?
serie?
a)
b)
Las dos iguales. Las dos bombillas están en las mismas condiciones de potencial e
intensidad, así que consumen lo mismo.
Comparación serie-paralelo:
Serie:
R
R
≡
RS = 2 ⋅ R
/2
R
Paralelo:
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/2
R
≡
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RP =
R
2
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Problema 9:
Si
Sinuestra
nuestrabatería
bateríafuera
fueraideal
ideal(r=0):
(r=0):
Serie:
ε
Paralelo:
RP =
ε
Fátima Masot Conde
ε2
RS = 2 ⋅ R
R
2
PP RP RS
2R
= 2 =
=
=4
PS ε
RP R / 2
RS
La potencia disipada en las bombillas
cuando están en paralelo es cuatro
veces mayor que en serie. (para una
batería ideal)
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Problema 9:
Pero
Peronuestra
nuestrabatería
bateríano
noes
esideal:
ideal:
VS = RS I S
Serie:
IS
RS = 2 ⋅ R
ε
r
r=
R RP RS
=
=
40 20 80
El potencial que cae en las bombillas es
ahora distinto, según estén en serie o
paralelo, si la batería tiene resistencia
interna, no nula (batería real).
ε = I S ( RS + r )
VP = RP I P
Paralelo:
IP
RP =
ε
Fátima Masot Conde
R
2
(dato)
IS =
ε
( RS + r )
serie
ε = I P ( RP + r )
r
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IP =
ε
( RP + r )
paralelo
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Problema 9:
r=
R RP RS
=
=
40 20 80
(dato)
La relación entre las potencias, en un caso y otro, ahora:
2
⎛ ε ⎞
⎜⎜
⎟⎟
2
2
R
r
+
R
r
+
) =
PP I P RP RP ⎝ p
⎠ = RP ( S
= 2 =
PS I S RS RS ⎛ ε ⎞ 2 RS ( RP + r ) 2
⎜
⎟
R
r
+
⎝ S
⎠
Factor de corrección por
batería real
2
RS (1 + r / RS )
RP RS (1 + r / RS )
=
=
⋅
2
2
RS RP (1 + r / RP )
RP (1 + r / RP ) 2
2
2
(1 + 1 / 80 )
= 4⋅
2
(1 + 1 / 20 )
2
= 3.7
Caso de batería ideal (r=0)
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