Áreas

1
AREAS
La noción de área está asociada a la extensión o superficie de una figura. El área es un
número que nos dice que tan extensa es una región y la expresamos en kilómetros
cuadrados (Km2); metros cuadrados (m2); centímetros cuadrados (cm2); etc.
AREA DE UN TRIANGULO
El área de un triangulo es igual al producto de un lado por su altura correspondiente, sobre 2.
El lado que se escoge se llama base.
Área del ABC 
AB  CH
2
Área del ABC 
AB  CH
2
QR  PA
2
El área de un triangulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos.
Área del PQR 
AREA DE UN RECTANGULO:
El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura.
El área de un cuadrado es igual al lado al cuadrado.
AREA DE UN PARALELOGRAMO
Es igual a la base por la altura.
2
AREA DE UN TRAPECIO:
Es igual a la semisuma de las bases por la altura.
( AB  DC)  h
2
AREA DE UN CÍRCULO
AREA = R2
AREA 
SECTOR CIRCULAR
El área del sector circular es:
R 2   0
360 0
AREA DE UN POLIGONO REGULAR
Area 
perimetro  apotema
2
3
TEOREMA
Una mediana de un triangulo lo divide en dos triángulos de igual área.
HIPÓTESIS: AM es una mediana
TESIS: Área de ABM  Área de AMC
1. Se traza AH  BC; B  H  M  C
1. Construcción
BM  AH
2
MC  AH
3. Área AMC 
2
4. BM  MC
2. área de un triangulo.
2. Área ABM 
BM  AH
2
6. Área ABM = Área AMC
5. AMC 
3. Área de un triangulo
4. De hipótesis. M es punto medio por definición
de mediana de un triangulo.
5. Sustitución de 4 en 3.
6. De 2 y 5. Propiedad transitiva
TEOREMA
Las medianas de un triangulo lo dividen en 6 triángulos de igual área. (Demostrarlo)
EJERCICIOS
1. Demostrar que las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo congruente son entre
ellas como los productos
de los lados que
comprenden el ángulo.
HIPOTESIS: CH y FG son
alturas
A D
TESIS:
ABC
AB  AC

DEF DE  DF
4
AB  CH
2
DE  FG
2.DEF 
2
ABC AB  CH
3.

DEF DE  FG
4. A  D
1. ABC 
5.AHC DGF
AB AC CH
6.


DE DF FG
ABC AB CH
7.


DEF DE FG
ABC AB AC AB  AC
8.



DEF DE DF DE  DF
NOTA: Colocar al frente las razones
2. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a. Se prolonga la diagonal AC de A hacia C y se
toma en la prolongación un punto E, tal que CE = a. Encontrar el área del triangulo BCE,
en términos de a
Se traza la diagonal BD que corta a AC en P. AC  BD (Las diagonales de un cuadrado
son perpendiculares)
PC = PB = x.
a2
a
a 2
En el triangulo rectángulo PCB se tiene: x 2  x 2  a 2  2 x 2  a 2  x 2 
x

2
2
2
Área del triangulo BCE = Área del triangulo BPE menos el área del triangulo BPC
PE  PB
BPE 

2
(
a 2
a 2
 a) 
2
2
2
5
Se siguen las operaciones y se llega a: BPE 
El área de BPC es
BPE – BPC =
a 2  2a 2
4
a2
porque es la cuarta parte del área del cuadrado
4
2a 2
4
3.
Desde los vértices del cuadrado ABCD y con radio igual al lado, se
describen arcos. Calcular el área de la región rayada en función del
lado del cuadrado que es a
Respuesta: Area 

a 2 2  3 3  9

3
El área de la figura es igual al área del cuadrado menos el
área de los sectores circulares BEA y CED y menos el área
del triangulo equilátero AED. AD = AE = ED = a
4.
En el cuadrado ABCD se inscribe una circunferencia y desde
los vértices del cuadrado se describen arcos con radios iguales
a la mitad del lado del cuadrado. Calcular el valor del área de
región rayada en función del lado del cuadrado que es a
a2
Respuesta:
(  2)
2
5.
6
6.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
P es un punto cualquiera de la diagonal AC
TESIS:
Area del DPC = Area del PBC
Area del DPA = Area del APB
7.
RESPUESTA:
( a  b) 2
2
8.
Respuesta:
a2
( 3  1)
4
9.
FC  6 ; AD  AB  BC . F es el centro de la semicircunferencia
y C es un punto de tangencia.
Hallar el área de la región rayada.
Respuesta: 6(16 - 3)
7
10.
Respuesta:
12 3  4
9
11.
ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Hallar el área de la parte rayada
RESPUESTA : 8(  2)
12.
Calcular el área del triangulo equilátero inscrito en la circunferencia, si el
radio de la circunferencia es 3.
27 3
RESPUESTA:
4
13.
RESPUESTA :
4(4  3 3 )
3
14.
ABCD es un cuadrado de lado 12 cm. Por cada vértice se trazan arcos de
4 cm. de radio. Hallar el área de la región rayada.
RESPUESTA: 96 - 16
8
15.
RESPUESTA:
8  6 3
3
16.
El radio de la circunferencia es R. Hallar el área de la región rayada en
función de R
RESPUESTA: R2 (4 - )
17.
El triangulo ABC es equilátero de lado a. Encontrar el área de la
región rayada en función de a. M, N, P son puntos medios de los
lados del triangulo.
a2 (2 3   )
RESPUESTA:
8
18.
El triangulo ABC es equilátero de lado a. P es el punto donde se cortan
las mediatrices de los lados. Hallar el área de la región rayada en
función de a.
a 2 2  3 3
RESPUESTA:
6


19.
El triangulo ABC está inscrito en una semicircunferencia. Se trazan
semicircunferencias sobre los catetos del triangulo rectángulo.
Demostrar que el área del triangulo es igual a la suma de los áreas
de las dos regiones sombreadas.
Asignar: AB  2c; AC  2b;CB  2a
9
20.
El ángulo AOB mide 60º. OA y OB son radios tangentes a la
circunferencia de centro C. Si OB  2cm. Calcular el área de la
región sombreada.
21.
Las circunferencias son tangentes en B. O y P son los
centros. OA = 24 cm. m  EOD   60 . La
circunferencia pequeña esta inscrita en el EOD .
Hallar el área de la circunferencia pequeña.
22.
AB  AD
O es el centro de la circunferencia de radio R
Si el área de la región rayada es 16  4 , hallar el radio R de la
circunferencia.
10
23.
ABCD es un cuadrado de lado a . m ( BAE) = 30°;
m ( FBC) = 30°. Hallar el área del triangulo BPE.
Respuesta:
3a 2
24
24. Se da un triangulo rectángulo ABC donde la hipotenusa BC  2a . El ángulo C mide 30°.
Se traza la mediana AM. Por los puntos A y B se trazan paralelas a BC y a AM, que se
cortan en N. Calcular el área del cuadrilátero AMBN. Respuesta:
3a 2
2
25. ABCD es un rectángulo. AB  24cm.; BC  12cm. E es el punto medio de CD .
a. Calcular el área del rectángulo ABCD
b. Calcular el área del triangulo BCE
c. Se toma un punto F sobre AB de tal manera que el área del triangulo FEB sea los
13
del área del cuadrilátero ABED. Si AF  x . Calcular el valor de x . Respuesta:
24
5,50 cm.
26. Sobre el segmento AB  3a , se toma un punto M tal que AM  2a . Sobre AM se
construye un triangulo equilátero AMC, sobre MB se construye un triangulo equilátero
MBD, se traza CD. Se traza CH perpendicular a AB. Calcular el área del polígono ABCD.
7 3a 2
Respuesta:
4
27.
El área del circulo de centro O es 60 cm2. AB y CD son diámetros
perpendiculares. AO y OB son diámetros de las circunferencias
pequeñas. OE es bisectriz. Calcular el área de la región rayada.
28. Dado un triangulo cualquiera MQR, se trazan las medianas RS y MT, que se cortan en P.
Demostrar que el área del triangulo PMS es igual al área del triangulo PRT.
11
29. En el triangulo ABC rectángulo en A,
m  C   30 y AB  a . Sobre cada lado se
construyen exteriormente los cuadrados ABDE, ACHF
y BCIJ. Hallar el área del polígono DEFHIJ.


RESPUESTA: 8  2 3 a
2
30. Se trazan tres circunferencias de igual radio de tal manera que cada una pasa por el
centro de las otras dos. Hallar en función del radio R, el área de la región circular común.
  3  R
RESPUESTA:
2
2
31. En el triangulo ABC, CE es una altura. Si AE  a , m  A  60; m  B   45 .Hallar el

a2 3  3
área del triangulo en función de a. Respuesta:

2
32. En un triangulo rectángulo de lados 6, 8, 10 centímetros, se inscribe una circunferencia.
Hallar el área del círculo. Respuesta: 4 cm2.
33.
ABCD es un trapecio isósceles y en el se inscribe una
circunferencia. Si las bases del trapecio miden respectivamente 2
y 6 cm y si m( A)  60º . Hallar el área de la región rayada.
RESPUESTA: 8 3  3
34.
Las circunferencias son concéntricas y la cuerda AB de la
circunferencia mayor es tangente a la circunferencia menor. Si la
cuerda mide 8 cm. Hallar el área del anillo determinado por las dos
circunferencias. RESPUESTA: 16
12
35. AB es un diámetro de una circunferencia de radio 6 centímetros y centro K. Este
diámetro se prolonga hasta C, una longitud igual al radio. Por C se traza una
perpendicular a ABC . La cuerda AD prolongada corta la perpendicular anterior en P. Si
m( CAP)  30º . 1) Hallar el área interior a la semicircunferencia y exterior al triangulo. 2)
Hallar el área exterior a la semicircunferencia e interior al triangulo. RESPUESTAS: 1)
3(4  3 3) cm2 2) 16,86 cm2. Ayuda: trazar el radio KD
36. Encontrar el área del triangulo rectángulo CDB
Triángulos ACB y CDB rectángulos
CA  8 3
m( A)  30º
37. Hallar el área de la región rayada.
C es el centro de la circunferencia de radio 12 cm.
T es un punto de tangencia.
38. Hallar el área del triangulo DOC de la siguiente figura.
ABCD es un trapecio isósceles
BD  AD
AC = BD = 20
AB = 25
39.
ABC es un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 2.
Hallar el área de la región rayada.
13
40. Tres hermanos se han de repartir un campo cuadrado en
tres partes iguales, de la manera que se indica en el dibujo
porque en el vértice A hay un pozo que han de compartir.
Teniendo en cuenta que el lado del campo es de 60 metros
y que quieren garantizar que los tres campos tengan la
misma superficie. ¿A qué distancia han de estar los puntos
M y N del vértice C.
41.
El triangulo ABC es equilátero de lado 4 centímetros, hallar el área
del triangulo CDE.
42.
ABCD es un trapecio con AB DC . Demostrar que el área del
triángulo CEA es igual al área del triángulo DEB
AYUDA: ¿Cómo son las áreas de los triángulos CAB y DBA?
43.
El área del cuadrado ABCD es 120 cm2 y EF es un diámetro. C y D
pertenecen a la circunferencia. A y B son puntos del diámetro.
Calcular el área del círculo.
AYUDA: Demuestre primero que OA  OB
44. Se da un triángulo cualquiera ABC, se traza la mediana CM . D es un punto de la
mediana, se trazan los segmentos AD y BD . Demostrar que el área del triángulo ADC
es igual al área del triangulo BDC.
45.
ABCD es un rectángulo. E, F, G y H son puntos
medios de los lados. I es punto medio de HE y
pertenece a la diagonal CB . Demostrar que el área
del triángulo GIF es la cuarta parte del área del
rectángulo ABCD
14
46. Se da el hexágono regular ABCDEF, se trazan las diagonales BD, DF , BF . Demostrar:
1. BDF es equilátero
2. BCD  DEF  FAB
Si el área del hexágono es de 192 cm2, hallar el área del triangulo BDF
EJERCICIOS ADICIONALES DE ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS
1.
Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es de
8 centímetros.
AYUDA: Trasladar algunas áreas a otras regiones para obtener una
región conocida.
2.
El radio de la circunferencia es de 5 centímetros. Calcular
el área de la región sombreada.
AYUDA: Trasladar algunas áreas a otras regiones para
obtener una región conocida.
3. El radio de la circunferencia de centro O es 8 centímetros. Los polígonos son rombos.
Encontrar el área de la región sombreada.
15
4.
ABCD es un cuadrado de lado 8 centímetros. Calcular el
área de la región sombreada.
5.
ABCD es un cuadrado de lado 4 centímetros.
ECB  EBC . Hallar el área de la parte sombreada.
6.
Hallar el área de la región sombreada.
7.
ABCD es un cuadrado de lado 10 centímetros. Hallar el área de
la región sombreada.
16
8.
El radio AB del sector circular mide 12 centímetros. T es
un punto de tangencia. Hallar el área de la parte
sombreada.
SOLUCIÓN:
El área sombreada es igual al área del sector circular
menos el área del círculo de centro C.
Se traza por P, una tangente, que es perpendicular al
radio CP, esta tangente corta a las prolongaciones de los
lados del ángulo A en D y E.
C es el centro de la circunferencia inscrita al
triangulo ADE, es decir el incentro, o sea el punto
donde se cortan las bisectrices de los ángulos
interiores del triangulo ADE.
m( CAH )  30º . Triangulo AHC es rectángulo
AC
con un ángulo de 30 grados.  CH 
2
CP es un radio del arco y por lo tanto mide 12
centímetros, entonces 3r  12  r  4
 R 2 º  (12)2 60º
Área del sector circular

 24
360º
360º
Área del círculo:  r 2   (4)2  16
Área de la región sombreada: 24  16  8
9.
Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que el
triangulo ABC es equilátero y que su lado mide 6 3
17
10.
Hallar el área de la región sombreada
11.
Hallar el área de la región sombreada.
Respuesta: 5
12. El área de cada cuadrado pequeño es 1 cm2 , calcular el área de la parte sombreada.
13.
ABCD es un rectángulo, la diagonal AC se
divide en tres segmentos congruentes, la
base del rectángulo mide 8 cm. y la altura
mide 3 cm. Hallar el área de la región
sombreada.
18
13. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es de 12 cm.
Ayuda: trazar la diagonal DB.
14. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le
circunscribe otra. Hallar el área de la corona
circular así formada.
15.
Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que el lado del
cuadrado mide 4 centímetros y G, I, H, J son puntos medios
16.
Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que el lado del
cuadrado mide 4 centímetros y G, I, H, J son puntos medios
AYUDA: Trazar HI
19
Algunos ejercicios fueron tomados de los siguientes textos:
 Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
 Geometría Euclidiana de Hemmerling
 Curso de Geometría. Reunión de profesores
 Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
 Geometría de Edwin E. Moise
 De internet
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
SOLUCIÓN DE ALGUNOS EJERCICIOS:
SOLUCION DEL EJERCICIO # 24
AM  a (La mediana sobre
la hipotenusa mide la mitad
de esta.
AB  a . El cateto opuesto a
un ángulo de 30 grados
mide la mitad de la
hipotenusa.
BM  a Definición de
mediana
AMB es equilátero.
AM NB; BM NA De
hipótesis.
AMBN es un paralelogramo  AM  NB; AN  MB
AM  NB  AN  MB  a y se tiene que AMB  ANB (L – L – L)
Área AMBN = 2 área AMB. Hallamos el área del triangulo equilátero AMB y la multiplicamos
por dos.
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO # 32
CE  CD  x; AD  AF  y; BF  BE  z
¿Porque?
AFOD es un paralelogramo (¿Por qué?)
y = OF = radio
x  z  10
yz 8
x y 6
Se resuelve el sistema y se llega a que
y  2  radio y por lo tanto el área del
Círculo es 4
20
 En un cuadrado ABCD se da: D – C – F y A – E – D tales que BE es perpendicular a BF.
Si EBF = 200 cm2 y ABCD = 256cm2, hallar el valor de CF.
Lado del cuadrado:
256  16
BE  BF
 200  BE  BF  400 (1)
2
1  3 , por tener el mismo complemento el
2 , por lo tanto BCF BAE por ser
triángulos rectángulos con un ángulo agudo
congruente.
BF BC
BF 16


  1  BF  BE y
BE BA
BE 16
reemplazando en 1 tenemos que:
BF 2  400  BF  20
En el BCF:x 2  BF 2  BC 2  x 2  400  256  x 2  144  x  12cm.
 En un trapecio isósceles ABCD con AD = CB = 3 cm, las diagonales que miden 4 cm, son
perpendiculares a los lados no paralelos. Hallar el área de trapecio ABCD. CH = DK = h
HB = KA = x
Por Pitágoras se halla que AB  5cm.
En el triangulo rectángulo CHB, se tiene:
h2  9  x 2 (1)
En el triangulo rectángulo CHA, se tiene:
h2  16  (5  x )2  h2  16  (25  10 x  x 2 )
h2  16  25  10 x  x 2
h2  9  10 x  x 2 (2)
Igualamos (1) y (2): 9  x 2  9  10x  x 2  18  10x  x  1,8
Reemplazamos en (1): h2  9  (1,8)2  h2  9  3.24  h  2.4
CHB  DKA ¿Por qué? y por lo tanto HB = KA = 1,8
KH  AB  2 HB  5  2(1,8)  1, 4
KH  DC  1, 4
21
Área del trapecio 
( AB  DC )CH 192

 7, 68cm2
2
25
Otra forma de hacerlo:
Área del trapecio = Área CHB + Área KHCD + Área DKA
Área CHB = Área DKA 
1,8  2,4
 2,16cm2
2
Área KHCD  1,4  2.4  3.36cm2
Área del trapecio  2,16  3,36  2,16  7,68cm2
El triangulo ABC es isósceles con AB  AC; BN yCM son medianas
y se cortan en O. Demostrar que las áreas del cuadrilátero ANOM
y del triangulo COB son equivalentes. (Dos figuras tienen áreas
equivalentes cuando sus áreas son iguales)
1. Área del triangulo CMB = Área del
triangulo CMA
2. Área del triangulo COB + Área triangulo
BOM = Área ANOM + Área triangulo CON
3. BN  CM
4.
5.
6.
7.
2
1
CO  CM ; OM  CM
3
3
2
1
BO  BN ; ON  BN
3
3
OM  ON
OC  OB
CN  BM
8. CON  BOM
9. Área triangulo CON = Área triangulo BOM
10. Área del triangulo COB = Área ANOM
1. En un triangulo una mediana determina
dos triángulos de igual área.
2. De 1. Suma de áreas.
3. En un triangulo isósceles las medianas
trazadas a los lados congruentes son
congruentes.
4. Teorema de las medianas en un triangulo.
5. De 3 y 4. Por medir lo mismo.
6. De 3 y 4. Por medir lo mismo.
7. De hipótesis, por ser mitades de
segmentos congruentes
8. De 5, 6, 7. L – L – L
9. De 8.
10. De 9 y 2. Ley cancelativa
22
 Demostrar que el área de un triangulo es igual al producto de su semiperimetro por el
radio de la circunferencia inscrita
HIPOTESIS: r es el radio de la circunferencia inscrita
pr
p=perimetro
2
Unimos el centro O de la circunferencia inscrita con
los vértices del triangulo. El triangulo ABC queda
dividido en los triángulos AOC, AOB, COB.
Recordar que un radio es perpendicular a la tangente
en su punto de tangencia.
TESIS: A 
Continúe con la demostración.
 Las circunferencias son tangentes entre si y tangentes a la recta. A y B son los centros de
las circunferencias grandes de radio R. C es el centro de la circunferencia pequeña de
radio r. Hallar el área de la circunferencia pequeña en función de R.
En el triangulo rectángulo CEB, se tiene:
CB 2  CE 2  EB 2
(R  r )2  (R  r )2  R 2  R 2  2Rr  r 2  R 2  2Rr  r 2  R 2
Resolviendo se llega a: r 
R
4
 R2
R
Por lo tanto el área de la circunferencia pequeña es:    
16
4
2
23
 M y N son los puntos medios de los lados no paralelos AD y CB, de un trapecio ABCD y P
es un punto sobre AB , tal que PN es paralelo a AD .
1
Demostrar que Área de APD = Área de PBCD  Área de ABCD.
2
1. Se prolonga PN y corta a la prolongación de DC en
Q
2. PQ AD
1. Construcción
3. DQ AP
3. De 1 y de hipótesis. Las
bases de un trapecio son
paralelas
4. De 2 y 3, definición de
paralelogramo
5. En un paralelogramo una
diagonal lo divide en dos
triángulos congruentes.
6. De 5, por ser congruentes.
7. De 3, por ser alternos
internos entre paralelas
8. Por ser opuestos por el
vértice
9. De hipótesis, definición de
punto medio
10. De 9, 8 y 7, L – A – A
11. Suma de áreas
12. Sustitución de 6 en 11.
13. Sustitución de 10 en 12
14. De 13. Suma de áreas.
15. Suma de áreas
16. Sustitución de 15 en 16.
4. APQD es un paralelogramo
5. ADP  DPQ
6. Área APD = Área DQP
7. 1  2
8.
3
4
9. NC  NB
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
PNB  CNQ
AreaDQP  AreaDPNC  AreaCNQ
AreaAPD  AreaDPNC  AreaCNQ
AreaAPD  AreaDPNC  AreaPNB
AreaAPD  AreaPBCD
AreaABCD  AreaADP  AreaPBCD
AreaABCD  2AreaPBCD 
1
AreaABCD  AreaPBCD
2
2 .De 1 y de hipótesis
24
Ejercicio 19 Lúnulas de Hipócrates
El triangulo ABC está inscrito en una
semicircunferencia. Se trazan
semicircunferencias sobre los catetos
del triangulo. Demostrar que el área del
triangulo es igual a la suma de las
áreas de las dos regiones sombreadas.
AB = 2c; BC = 2a; CA = 2b
Área de la semicircunferencia grande menos área del triangulo es igual al área de la región 2
mas el área de la región 1
El triangulo ABC es rectángulo por estar inscrito en una semicircunferencia.
2b  2a
Area del triángulo 
 2ab
2
  c2
Area de la semicircunferencia grande 
2
  c2
  c 2  4ab
Entonces Area region 1+area region 2 
 2ab 
2
2
Área de la parte sombreada = Suma de áreas de las semicircunferencias sobre los catetos
menos la suma de la región 1 y región 2
Area parte sombreada 
  b2
2

  a2
2

  c 2  4ab
2

  b2    a2    c 2  4ab
2

 (b2  a2 )    c 2  4ab
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: 4c 2  4b2  4a2  c 2  b2  a2
  c 2    c 2  4ab 4ab

 2ab
Reemplazando tenemos que:
2
2
2
25
Otra manera de resolver el ejercicio es:
Area sombreada  A1  A2  A3  area de la semicircunferencia de diámetro AB
A1 
 b2
2
 a2
A2 
2
2a  2b
A3 
 2ab
2
Area de la semicircunferencia de diametro AB 
Area sombreada 
 b2

 a2
 2ab 
 c2
2
 c2
2
2
2
2
2
 (b  a )
 c2
Area sombreada 
 2ab 
2
2
En el triángulo rectángulo ABC, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos
(2c)2  (2a) 2  (2b) 2
4c 2  4a 2  4b2  c 2  a 2  b2
Y reemplazando, tenemos
Area sombreada 
Area sombreada 
 (b 2  a 2 )
2
 c2
2
Area sombreada  2ab
 2ab 
 2ab 
 c2
2
 c2
2
26
 ABCD es un rombo, cuyo perímetro es 2p, la suma de las diagonales es d,
AC  m; DB  n
Hallar el área en función de p y d
1
p  AD  DC  CB
2
m  n  d (ecuacion 1)
2 p  4 AB  AB 
Área 
AC  DB m  n

(ecuacion 2)
2
2
Las diagonales de un rombo son
perpendiculares y se bisecan, por lo tanto
m
2
n
DE  EB 
2
AE  EC 
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AED
m2 n 2 p 2
 
 m2  n2  p 2 (ecuacion 3)
4
4
4
m  n  d (ecuacion 1) Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación tenemos:
( m  n) 2  d 2
m2  2mn  n 2  d 2
2mn  d 2  (m2  n 2 ) (ecuación 4)
Reemplazando la ecuación 3 en la 4, tenemos que
d 2  p2
2mn  d  p  mn 
(ecuación 5)
2
2
2
Reemplazando la ecuación 5 en la 2, tenemos
d 2  p2
AC  DB m  n
d 2  p2
2
Área 



2
2
2
4
27
 Teorema de Viviani
Si desde un punto P, interior a un triángulo equilátero ABC, se trazan las distancias a los
lados del triángulo, la suma de estas distancias es igual a la longitud de la altura del
triángulo equilátero
HIPÓTESIS:
ABC es equilátero
P es un punto interior del triángulo
TESIS: x  y  z  CH
Recordar que las tres alturas de un triángulo
equilátero son congruentes.
Este teorema se puede demostrar utilizando áreas, por construcción auxiliar, se trazan los
segmentos que unen los vértices del triángulo con el punto P, para formar tres triángulos.
Como el triángulo es equilátero, tenemos que
AB  BC  CA  L
La suma de las áreas de los triángulos APB,
BPC y CPA es igual al área del triángulo ABC y
por con siguiente tenemos que
L  x L  y L  z L  CH



2
2
2
2
L
Sacando factor común
, se tiene
2
L
L
( x  y  z )   CH
2
2
Aplicando la ley cancelativa de las igualdades, concluimos que
x  y  z  CH