universidad

UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA DE POSTGRADO
Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos
y en Cristales Líquidos
Ricardo Gabriel Elías Moreno
2009
UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA DE POSTGRADO
Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos y en
Cristales Líquidos
Ricardo Gabriel Elías Moreno
COMISIÓN EVALUADORA
CALIFICACIONES:
NOTA (n◦ )
PROFESOR GUÍA
Marcel Clerc G.
:
PROFESOR COGUÍA
René Rojas C.
:
PROFESOR COMISIÓN
Rafael Benguria D.
:
PROFESOR COMISIÓN
Claudio Falcón B.
:
PROFESOR COMISIÓN
Enrique Tirapegui Z.
:
NOTA FINAL
EXAMEN DE TÍTULO
:
(Letras)
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE
MAGÍSTER EN CIENCIAS MENCIÓN FÍSICA
SANTIAGO DE CHILE
Septiembre - 2009
FIRMA
1. AGRADECIMIENTOS.
Quisiera agradecer a todas las personas que directa o indirectamente contribuyeron a que
este trabajo saliera adelante. En primer lugar, agradezco a quien guió esta tesis, el profesor Marcel Clerc, por el apoyo y las enseñanzas dadas durante todo el proceso. Agradezco
también al profesor coguía René Rojas, por haber participado activamente en las investigaciones y su paciencia al enseñar. A la comisión evaluadora: profesores Rafael Benguria,
Claudio Falcón y Enrique Tirapegui , por sus aportes a la hora de la corrección y sus valiosos comentarios. Un gran agradecimiento también a los amigos investigadores del Institut
Nonlinèaire de Nice: Florence Haudin, Stefania Residori y Umberto Bortolozzo por haberme
recibido muy amablemente y permitirme participar activamente en un trabajo experimental,
algo muy novedoso para mí.
Agradezco a mis amigos Daniel Asenjo, Ernesto Frodden, Pablo Gutiérrez, Rodrigo Navarro
y Roberto Troncoso por interesantes discusiones acerca de la física, lo humano y lo divino.
A Camila Llermaly por su cariño, alegría y apoyo en momentos de vacilaciones.
A mi familia, por el amor y el apoyo: Ximena, Francisco y los locos bajitos Catalina y Boris.
A Daniela Doñas, por su actitud positiva y su ternura en estos ajetreados momentos.
A todos, muchas gracias.
Índice general
1. Agradecimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3. Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones. . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2. Frentes entre estados homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.3. Interacción kink-antikink y Estructuras Localizadas. . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3.1. Interacción de kinks no monótonos (con oscilaciones amortiguadas). .
16
3.3.2. Aparición de patrones y Frentes de Pomeau. . . . . . . . . . . . . . .
19
4. Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos. . . . . . . .
27
4.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.2. Fenómeno de Oscilación y Bloqueo en la propagación de Frentes Discretos. .
28
4.2.1. Potencial de Peierls-Nabarro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.2. Velocidad del Corazón del Frente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.3. Estudio de ẋ = −η + Γ(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.4. Aproximación en torno a la bifurcación de desbloqueo. . . . . . . . .
34
4.2.5. Aproximación en torno a la bifurcación de desaparición del frente. . .
36
4.3. Estructuras Localizadas por Discretización . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3.1. Bifurcación de Serpenteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.4. Introducción de Ruido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.4.1. Movimiento Browniano en un Potencial Periódico y Propagación del
Frente Inducida por el Ruido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.5. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Índice general
4
5. Frentes en un cristal líquido nemático. . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.2. ¿Qué es un cristal líquido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.3. Nematoelasticidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.4. Inestabilidad de Fredericks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.5. Birrefringencia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.6. Montaje experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.6.1. La Válvula Lumínica de Cristal Líquido y El Bucle de Retroalimentación. 54
5.7. Descripción teórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.8. Frentes homogéneos forzados: Resultados y teoría. . . . . . . . . . . . . . . .
58
6. Conclusiones y Perspectivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Resumen
En esta tésis se estudian los frentes y las estructuras localizadas en sistemas conformados por una gran cantidad de pequeños subsistemas idénticos acoplados entre sí, los cuales
son descritos en términos de ecuaciones diferenciales a diferencias finitas, y que pueden ser
considerados como sistemas extendidos con espacio discreto. También se investigan los frentes y estructuras localizadas en sistemas extendidos forzados espacialmente, estudio que se
aplica a la investigación experimental de frentes homogéneos forzados en una válvula lumínica de cristal líquido nemático (LCLV, Liquid Crystal Light Valve). Se muestra numérica y
analíticamente que la naturaleza discreta del espacio es, en muchos sentidos, equivalente a
considerar un forzamiento periódico espacial cuando se considera la ecuación discreta en el
límite continuo. Todo esto se investiga en el contexto de la dinámica de frentes y la interacción entre ellos utilizando las formas normales de frentes conocidos prototípicos entre estados
homogéneos (Frente Normal y Frente FKPP) en el caso en el cual el espacio es discreto, así
como implementando un experimento que nos permite aplicar la teoría a un fenómeno físico
y comprobar nuestras predicciones teóricas. Se muestra que en ambos casos (caso de espacio
discreto y caso continuo con forzamiento periódico espacial) aparecen oscilaciones genéricas,
bloqueo en la propagación y estructuras localizadas, fenómenos que en la descripción continua
del sistema sin forzamiento no existen.
2. INTRODUCCIÓN.
La materia, en el límite termodinámico, se comporta colectivamente y tiende al equilibrio,
el cual puede ser descrito mediante unas pocas variables macroscópicas, como por ejemplo,
la energía, la temperatura o la densidad [5]. Cada mínimo del potencial termodinámico apropiado a la descripción del sistema corresponde a una fase del mismo y lo usual es observar el
mínimo global del potencial, es decir, el estado estable. Sin embargo, en ocasiones es posible
observar los estados metaestables de la materia1 , los cuales pueden ser vistos incluso coexistiendo con la fase estable. Este fenómeno físico da lugar a frentes e interfases que conectan
distintos estados macroscópicos y que tienen una rica dinámica, ya sea en el caso en que las
fases son ambas estables o una de ellas metaestables o incluso, alguna de ellas inestable, esto
último no observable desde el punto de vista de la termodinámica.
Más formalmente, definimos los frentes como conexiones espaciales asintóticas entre distintos
estados de equilibrio (los cuales pueden ser de geometría y dinámica muy diversa). La zona
en la cual el campo cambia de estado es llamada interfase.
Para estudiar la dinámica de estos fenómenos fuera del equilibrio y cómo dan origen a patrones y estructuras observadas en la naturaleza [17, 34] se puede recurrir a un análisis
mesoscópico, de tal manera que alguna de nuestras variables macroscópicas termodinámicas
(como la densidad o la temperatura), o alguna otra variable de interés (como por ejemplo la
velocidad local de un fluido) es promovida a un campo ~u(x, t) que depende del espacio y el
tiempo2 y que cumple en general una ecuación de la forma:
∂t ~u(xi , t) = f (~u, xi , t, ∂xi , {λ}).
(2.1)
En esta ecuación, ~u es el campo mesoscópico que describirá al sistema en la escala que nos
interesa, t es el tiempo, xi representa las variables espaciales y ∂xi derivadas con respecto a
ellas; {λ} representa un conjunto de parámetros que dan cuenta de la interacción del sistema
con su entorno y de sus propiedades internas3 .
El camino inverso también es posible, esto es, partiendo de las ecuaciones microscópicas (una
cantidad de ecuaciones de al menos el número de Avogadro) llegar a un número reducido
de variables, como en la ecuación 2.1. Esta reducción es posible gracias a una separación de
escalas que permite quitar del análisis aquellas variables que relajan rapidamente y mantener
sólo aquellas de variación lenta. En esta descripción usualmente las ecuaciones macroscópicas suelen ser disipativas e irreversibles (a diferencia de las ecuaciones fundamentales o
1
Esto ocurre por ejemplo con el diamante, el cual, en condiciones ambientales normales, es una fase
metaestable.
2
Este campo en el equilibrio termodinámico debe ser estático y homogéneo en el espacio salvo en la
coexistencia de fases.
3
En el primer caso tenemos, por ejemplo, el parámetro g, que representa la interacción gravitatoria del
sistema en la tierra. En el segundo, la viscosidad ν de un fluido es una característica intrínseca.
2: Introducción.
7
microscópicas que son reversibles y conservativas) y pueden tener atractores extraños y comportamiento complejo.
Como ya mencionamos, si nuestro sistema es susceptible de ser influido por el medio ambiente, las variables de éste aparecen en la descripción en forma de parámetros, llamados
parámetros de control en el contexto experimental, los cuales al cambiar pueden generar
cambios cualitativos en la dinámica, es decir, bifurcaciones.
Las bifurcaciones son muy importantes para entender el comportamiento de las interfases
y los frentes, pues nos permiten describir genericamente sistemas con más de un estado de
equilibrio, condición fundamental para la existencia de frentes e interfases. Así, el sistema
dinámico más básico que al extenderse en el espacio puede dar lugar a frentes, es aquel que
tiene al menos dos estados de equilibrio, donde necesariamente por razones físicas uno de
ellos será estable4 . Así, desde el punto de vista del potencial V :
∂t u(xi , t) = −
∂V
,
∂u
(2.2)
como mínimo él debe ser cuártico (para permitir conectar dos estados estacionarios homogéneos) o cúbico (para permitir la conexión entre un estado estable y otro inestable). Así, la
µ
ε
Fig. 2.1: Acá podemos apreciar a la izquierda el potencial y el diagrama de bifurcación del sistema
∂t u = u(µ − u), llamada Bifurcación Transcrítica, mientras que a la derecha el potencial y
el diagrama de bifurcación del sistema ∂t u = η + ǫu − u3 , forma normal de una Bifurcación
de Horquilla Imperfecta.
teoría de bifurcaciones [16] nos enseña que los potenciales más simples con multiestabilidad
son los de la Figura 2.15 .
4
En caso contrario el sistema tendría un comportamiento divergente.
Una bifurcación de nodo-silla también tiene biestabilidad, sin embargo, esperamos que cualitativamente
el frente de la bifurcación transcrítica tenga características similares, por ser ambos frentes entre un estado
5
2: Introducción.
8
Imaginemos ahora que extendemos espacialmente alguno de estos sistemas dinámicos6 ,
por ejemplo, suponiendo que ui representa el crecimiento de una especie animal en una celda
o punto i y que esta especie puede interactuar con las poblaciones vecinas en i − 1 e i + 1. Sin
duda alguna, la suposición más sencilla que podemos hacer es que la cantidad de población
ui va a depender de sus vecinos inmediatos y que, dada una tasa de flujo D, el crecimiento
de una población en i es proporcional a la diferencia entre poblaciones vecinas, es decir:
Wi+1 = D(ui+1 − ui) y Wi−1 = D(ui−1 − ui ) serán las contribuciones al crecimiento de la
especie debido a la migración espacial. Con esto, las ecuaciones para la especie quedan:
∂t ui = −
∂V
+ D(ui+1 − 2ui + ui−1 ).
∂ui
(2.3)
Cuando hacemos tender dicha red al continuo ui → u(x) reconocemos que el término de
acoplamiento no es más que la discretización a 3 puntos de la segunda derivada, y suponiendo
2
que
√ Ddx tiende a una constante c (que podemos eliminar haciendo el reescalamiento x →
cx), obtenemos el sistema de reacción-difusión (al que nos referimos como el límite continuo
de la ecuación discreta):
∂V
+ ∂xx u,
(2.4)
∂t u = −
∂u
Acá surge naturalmente la pregunta de si la dinámica discreta del Sistema 2.3 corresponde
exactamente al límite continuo 2.4 y en caso de que la respuesta sea negativa: ¿Qué fenómenos se han perdido o han emergido al hacer el límite continuo? Es sabido que ambas
aproximaciones no son completamente equivalentes y esto es una de las motivaciones de este
trabajo de tesis: la investigación de la dinámica que exhiben los frentes del sistema discreto y
cómo estos fenómenos pueden ser estudiados utilizando las herramientas conocidas para las
ecuaciones continuas.
Otro tipo de frentes corresponden a aquellos que unen estados patrones con estados homogéneos. En este trabajo estudiaremos asimismo la dinámica de frentes e interfases entre
estados homogéneos y estados patrones extendidos. Este estudio nos permite, por otro lado,
entender el fenómeno de las estructuras localizadas, las cuales corresponden a patrones restringidos a un área finita del espacio, consideradas soluciones tipo partícula [19, 15].
Esta tesis está organizada de la siguiente manera: En el capítulo 3 abordaremos los frentes
e interfases en una y dos dimensiones, la interacción entre ellos y la aparición de estructuras
localizadas. En el capítulo 4 estudiaremos cómo afecta a la dinámica de frentes la consideración de una discretización espacial finita y finalmente en el capítulo 5 mostraremos la teoría
y los resultados experimentales hechos en una válvula de cristal líquido [36, 39] en la que se
estudió la dinámica de frentes entre estados homogéneos sometidos a un forzamiento espacial.
estable y otro inestable.
6
Es decir, consideramos una gran cantidad de estos sistemas y los acoplamos.
3. FRENTES, ESTRUCTURAS LOCALIZADAS Y PATRONES.
3.1. Consideraciones generales
Como hemos dicho anteriormente los frentes corresponden a la unión de dos estados de
equilibrio que se extienden infinitamente. En una dimensión, esto quiere decir que para un
sistema:
∂t u(x, t) = f (u, ∂x , {λ}),
(3.1)
un frente cumple que lı́mx→±∞ u(x, t) = us1 ,s2 , donde us1 ,s2 corresponden a soluciones estacionarias de 3.1. Pudiendo ser éstas soluciones homogéneas, periódicas (un patrón) o incluso
una solución con caos espacio-temporal. De esta manera, se distinguen distintos tipos de
frentes dependiendo de qué tipo de soluciones conectan o de la estabilidad de dichas soluciones. Se denominan Frentes Normales aquellos que unen soluciones uniformes estables del
sistema continuo y Frentes F KP P (ver [48] y sus referencias)1 aquellos que unen soluciones
estables con inestables. En este capítulo estudiaremos sólo los frentes normales, dejando para
el capítulo 4 el estudio de los frentes FKPP.
Desde el punto de vista de la teoría de sistemas dinámicos un frente estacionario corresponde
a una solución heteroclina del sistema dinámico estacionario (f (u, ∂x , {λ}) = 0) asociado a
3.1, donde, el espacio cumple el rol del tiempo en analogía con los grados de libertad de un
sistema clásico. Esto es:
f (u, ∂x , {λ}) = 0.
(3.2)
Así, un frente entre estados homogéneos corresponde a una órbita heteroclina que conecta
dos puntos fijos de 3.2, recorriendo desde uno de ellos por su variedad inestable hasta llegar
a tiempo infinito al otro punto fijo a través de su variedad estable. Del mismo modo, un
frente entre un estado homogéneo y un patrón (usualmente denominado Frente de Pomeau)
[35] corresponde a una órbita heteroclina que conecta un punto fijo a un ciclo límite. De esta
consideración vemos que no existen frentes de Pomeau cuando las derivadas espaciales son
de orden 2, puesto que en el plano, por razones topológicas, no existe una tal conexión heteroclina. En este mismo contexto, una estructura localizada pasa a ser una órbita homoclina
del sistema dinámico espacial.
Si el sistema es variacional, esto es, si tiene un Potencial de Lyapunov, es intuitivo afirmar
que el frente es estático siempre y cuando ambas soluciones tengan la misma energía, lo cual
debería suceder en un solo punto en el espacio del parámetro que rompe la simetría. Sin
embargo, se ha mostrado [35] que en el caso de un Frente de Pomeau el modo de propagación
es generando en la interfase células unitarias del patrón o mediante destrucción paulatina de
1
Por Fisher, Kolmogorov, Petrovsky y Piscounoff.
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
10
ellas a la interfase; de esta manera, para que el frente se propague se debe sobrepasar una
barrera de nucleación, con lo cual existe toda una región para la cual el frente no se propaga,
dentro de la cual podemos considerar plausible el hecho que existan estructuras localizadas
[15, 9].
Por otro lado, en el caso sin patrones, pero para el cual la dimensión del espacio de fases
es mayor a 2, podemos esperar que las conexiones heteroclinas sean mediante oscilaciones,
con lo cual pueden existir barreras de nucleación que permiten la existencia de estructuras
localizadas.
En este capítulo exploraremos mediante algunos ejemplos prototípicos de frentes normales
las afirmaciones hechas anteriormente.
3.2. Frentes entre estados homogéneos
El caso más sencillo de frente que podemos imaginar corresponde a uno que conecte dos
estados homogéneos estables. Un modelo sencillo que presenta este tipo de solución es la
Bifurcación de Horquilla Imperfecta más una difusión espacial, también llamado modelo φ4
disipativo:
∂t u = η + ǫu − u3 + ∂xx u.
(3.3)
Este sistema es variacional, esto es. puede ser descrito como una derivada funcional de un
Potencial de Lyapunov:
δF [u]
∂t u = −
(3.4)
δu(x)
con
Z ǫu2 u4 (∂x u)2
dx,
+
+
F [u] =
−ηu −
2
4
2
que es un Potencial de Lyapunov, puesto que
∂t F [u] =
Z
δF [u]
∂t u dx = −
δu(x)
Z δF [u]
δu(x)
2
dx ≤ 0.
Es decir, tiende a minimizarse cuando el sistema evoluciona. Esto implica una dinámica
relajacional. Los atractores del sistema se caracterizan por ser mínimos de F . Las soluciones
estacionarias (∂t u = 0) cumplen que δF = 0, luego, el sistema espacial tiene un lagrangeano.
u4
ǫu2
Basados en esto, podemos definir un Potencial
√ tipo Newtoniano U(u) = ηu + 2 − 4 que
cuando η = 0 tiene sus máximos en u± = ± ǫ, cuando ǫ > 0.
Haciendo un análisis de estabilidad lineal u = u± +W , con W ≪ 1 vemos que estas soluciones
son estables para el sistema extendido (a diferencia de la solución cero que es linealmente
inestable). En la Figura 3.1 podemos apreciar el espacio de fases y el potencial para los casos
η = 0 y η 6= 0. Observamos que la heteroclina existe sólo cuando η = 0 y que los equilibrios
estables del sistema extendido corresponden a puntos hiperbólicos en el sistema dinámico
espacial. Consideremos en lo que sigue η = 0.
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
11
Fig. 3.1: A la izquierda, tenemos el potencial y el espacio de fases para el caso simétrico: η = 0, en
negro la solución kink y en rojo el antikink. Mientras que a la derecha para un valor de
η = 0,2 podemos observar el potencial y la homoclina. Esta bifurcación global inestabiliza
la solución frente. En todos los gráficos se ha considerado ǫ = 1.
Para encontrar la conexión heteroclina integramos la ecuación para un valor de la energía igual
al máximo del Potencial Newtoniano. Integrando una vez el sistema estacionario tenemos que:
E=
u2 u4
(∂x u)2
+ǫ − .
2
2
4
Donde E es una constante de integración. Si elegimos el máximo del potencial como energía
2
E = ǫ4 estaremos tomando en el sistema dinámico la conexión entre los dos estados estacionarios estables. La relación obtenida se integra facilmente para obtener la solución frente
tipo kink2 :
r
√
ǫ
uk = ǫ tanh
(x − x0 ) ,
(3.5)
2
y el antikink
r
√
ǫ
ua = − ǫ tanh
(x − x0 ) .
(3.6)
2
Donde x0 es una constante de integración y refleja la invarianza traslacional del sistema en
la variable espacial x, por lo cual la solución kink está parametrizada por el número real x0 .
2
Esta solución y en general cualquiera que conecte dos estados simétricos se denomina kink.
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
12
Como este frente conecta dos estados que son equivalentes energéticamente hablando, éste
Fig. 3.2: En la figura se ilustra un típico kink, solución que conecta dos estados simétricos.
no se propaga. Sin embargo, al romper la simetría u → −u, haciendo η 6= 0 esperamos que el
frente se propague. Para que podamos hacer perturbaciones sobre la solución ya encontrada,
consideraremos un rompimiento débil de la simetría antes dicha, esto es η ≪ 1. Las soluciones
estacionarias y homogéneas (∂t u = ∂x u = 0) cumplen con:
η + ǫu − u3 = 0,
2
4
y ahora el potencial es U(u) = ηu + ǫu2 − u4 . Vemos que las órbitas heteroclinas se destruyen
y sólo tenemos una homoclina como se observa en la figura 3.1.
Sin embargo, en vez de calcular directamente ocupamos el hecho que η es pequeño y supondremos que existe una solución dada por un kink más una pequeña corrección, que varía
lentamente en el tiempo. Debido a que el sistema ya no tiene la simetría u → −u que hace que
los kinks sean estacionarios, promovemos la constante x0 a una función del tiempo, es decir,
suponemos que el corazón del kink tiene dinámica (Método de Variación de Parámetros).
Así, nuestro ansatz es:
u(x, t) = uk,a(x − x0 (t)) + W (x, t),
con ∂t W (x, t) ≪ W (x, t) ≪ 1. Introduciendo esto en el sistema y conservando sólo el orden
lineal en W , obtenemos:
(ǫ − 3u2k,a + ∂xx )W = −η − ẋ0 ∂x uk,a,
(3.7)
que es una ecuación de la forma:
LW = b,
(3.8)
donde L = ǫ − 3u2k,a + ∂xx es un operador lineal. Definiendo el operador adjunto ocupando
un producto escalar y mediante la relación:
hLx|yi = hx|L† yi.
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
13
De acuerdo a la Alternativa de Fredholm (también llamada Condición de Solubilidad), sabemos que una ecuación como 3.8 tiene una solución W si y sólo si b ⊥ ker L† . En efecto
podemos ver que esto es cierto en la segunda dirección puesto que dado v solución de la
ecuación y k ∈ ker L†
hb|ki = hLv|ki = hv|L† ki = 0.
Esto es, b ⊥ ker L† .
En este caso, el operador es autoadjunto debido a que las derivadas son de orden par (L† = L)
con el producto escalar usual:
Z
hf |gi =
∞
f ∗ gdx
−∞
. Conocemos además los elementos del kernel ∂x uk,a. En efecto:
L∂x uk,a = (ǫ − 3u2k,a + ∂xx )∂x uk,a = ∂x (ǫuk,a − u3k,a + ∂xx uk,a) = 0
Así, la condición de solubilidad del sistema anterior, luego de despejar x0 , nos dice que:
ẋ0 = −
hη|∂x uk,ai
h∂x uk,a|∂x uk,ai
(3.9)
Resolviendo las integrales correspondientes, obtenemos:
√
2 2 3/2
ǫ
h∂x uk,a |∂x uk,ai =
3
√
hη|∂x uk,ai = ±2 ǫη
y finalmente la ecuación para el corazón del frente:
√
3 2η
ẋ0 = ∓
.
2 ǫ
(3.10)
Donde el signo de arriba corre para el kink y el de abajo para el antikink. Esta fórmula nos
dice que al romperse la simetría entre los dos estados homogéneos uno de ellos se hace más
favorable y, por lo tanto, invade al otro produciendo que el frente se desplace con velocidad
uniforme.
3.3. Interacción kink-antikink y Estructuras Localizadas.
Una pregunta interesante que nos podemos hacer es cuál es el comportamiento de una
configuración inicial dada por dos frentes. En particular dos frentes que localmente son un
kink y un antikink respectivamente. Uno de los motivos para analizar el comportamiento de
una configuración como ésta es que en el caso que sea estable constituiría una estructura
localizada, es decir una solución tipo partícula (también llamado estado coherente) y podría
ser pensada como un ente en sí en el sistema considerado [19, 14].
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
14
Para poder seguir considerando el mismo sistema como base de estudio necesitamos que
nuestra configuración inicial cumpla asintóticamente en el espacio la condición de que se esté
en algunas de las posiciones de equilibrio, es decir, que dicha configuración sea una solución
transiente.
Definimos entonces una configuración tipo burbuja (ver Figura 3.3) más una corrección (que
da cuenta de que sólo estamos en una solución de equilibrio asintóticamente) y que consideramos de variación lenta y pequeña:
√
u(x, t) = uk (x − x− (t)) + ua (x − x+ (t)) − ǫ + W (x, t)
p
√
con ∂t W ≪ W ≪ 1 y uk,a(x) = ± ǫ tanh( 2ǫ x) y nuevamente hemos hecho variación de
∆
Fig. 3.3: En la figura se ve una configuración formada por un kink y un antikink. Su dinámica estará
dada por el comportamiento de las funciones x+ y x− .
parámetros. Además, para poder hacer aproximaciones y estar en la mayor parte del espacio
en alguna de las soluciones homogéneas imponemos la condición x+ − x− ≫ 1, lo que denominamos una interacción de frentes diluida.
Si introducimos el ansatz en el sistema y mantenemos sólo los términos de primer orden
en W (x, t), obtenemos una ecuación de la forma LW = b, donde en este caso:
√
L ≡ (ǫ − 3(uk + ua − ǫ)2 + ∂xx ).
√
√
√
√
√
b ≡ −ẋ− ∂x uk − ẋ+ ∂x ua − η + 3(− ǫuk (uk − ǫ) − ǫua (ua − ǫ) + u2k ua + uk u2a − 2 ǫuk ua ).
Nuevamente necesitamos, para aplicar la condición de solubilidad, encontrar elementos
del kernel del operador L y, de esta manera, ver cuál es el comportamiento de los corazones
de los kinks. Obviamente, en este caso necesitaremos dos de los elementos del kernel. Para
esto, notemos que:
√
√
L∂x uk = −6uk (ua − ǫ)∂x uk − 3(ua − ǫ)2 ∂x uk ≈ 0
debido a que ∂x uk√
(x − x− ) es distinto de cero unicamente en una vecindad de x− , región
en la cual ua ≈ ǫ. Análogamente sucede con ∂x ua (x − x+ ). Esto quiere decir que los
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
15
antiguos elementos del kernel del operador para un frente simple tienen la mayor parte de sí
proyectados en el nuevo kernel, es decir, son pseudoautovectores (con autovalor practicamente
nulo), lo cual nos permite seguir ocupándolos para la condición de solubilidad. Así, se debe
cumplir que:
hb|∂x uk,ai = 0
Ahora bien, al hacer el producto punto usual de b con ∂x uk , algunos términos se anulan
idénticamente por consideraciones de paridad en torno√a x− , mientras que otros se anulan
aproximadamente cuando consideramos ua (x − x+ ) ≈ ǫ cerca de x− , quedándonos:
√
√ hua (ua − ǫ)|∂x uk i
hη|∂x uk i
−3 ǫ
.
(3.11)
ẋ− = −
h∂x uk |∂x uk i
h∂x uk |∂x uk i
√
√ huk (uk − ǫ)|∂x ua i
hη|∂x ua i
−3 ǫ
.
ẋ+ = −
h∂x ua |∂x ua i
h∂x ua |∂x ua i
(3.12)
El primer término en cada uno de los lados derechos corresponde a la velocidad del frente en
ausencia del otro y por lo tanto, es igual a lo que habíamos encontrado anteriormente. Los
términos restantes corresponden a correcciones debidas a la interacción.
Definiendo el ancho de la burbuja ∆ ≡ x+ − x− y ocupando las expansiones asintóticas:
ua ≈
tenemos que:
y
Donde
uk ≈
√
√
√
2ǫ(x−x− −∆)
ǫ(1 − 2e
ǫ(1 − 2e−
hua (ua −
√
huk (uk −
I≡
Z
√
2ǫ(x−x+ +∆)
),
en torno a x− ,
en torno a x+ ,
√
√
ǫ)|∂x uk i = −ǫ2 2Ie− 2ǫ∆
√
√
√
ǫ)|∂x ua i = ǫ2 2Ie− 2ǫ∆ .
√
− 2ǫx
e
),
2
sech
r
ǫ
x dx,
2
integral que debe ser evaluada en torno a cero y que es un número positivo. En efecto, al
escribir la exponencial como función de funciones hiperbólicas podemos integrar y obtener I
evaluando en torno
q a cero en distancias del orden de la talla de los frentes. De esta manera
5
obtenemos I ≈ 2 2ǫ .
Ocupando estos resultados y las integrales ocupadas en la primera parte (|∂x uk,x |2 =
√
y hη|∂k,ai = ±2 ǫη), llegamos a las ecuaciones que describen la dinámica de la
burbuja:
√
√ η
45 2ǫ −√2ǫ∆
˙
e
(3.13)
∆=−
+9 2
2
ǫ
x̄˙ = 0
(3.14)
√
2 2 3/2
ǫ
3
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
16
.
∆
∆c
∆
Fig. 3.4: Comportamiento dinámico del ancho de la burbuja ∆. Se puede apreciar que el único
equilibrio existente es inestable.
En donde hemos definido la posición central de la burbuja x̄ =
x+ −x−
.
2
Este comportamiento es equivalente a una barrera de nucleación, como se ve en la Figura
3.4, pues según vemos en el gráfico de la velocidad del ancho de la burbuja, para un valor
mayor que ∆c el ancho de la burbuja crece indefinidamente,
√ mientras que para ∆ < ∆c la
burbuja se desvanece dando lugar al estado homogéneo − ǫ. Por lo tanto, en este modelo
no se observan estructuras localizadas estables derivadas de la interacción de dos frentes. El
único estado de equilibrio es inestable y por lo tanto no se observa.
Consideremos ahora la extensión isotrópica a dos dimensiones del sistema 3.3, esto es:
∂t u = η + ǫu − u3 + ∇2 u,
(3.15)
donde ∇2 = ∂xx + ∂yy . Este sistema presenta biestabilidad y no es difícil demostrar que la
ecuación para la interfase corresponde a una ecuación de difusión, la cual suaviza las curvaturas provocando un engruesamiento de la talla de los dominios y que finalmente prevalezca
alguno de los dos estados por sobre el otro como se muestra en la Figura 3.5, no existiendo
estructuras localizadas debido a la forma de la interacción entre los frentes mostrada en la
Figura 3.4.
3.3.1. Interacción de kinks no monótonos (con oscilaciones amortiguadas).
Como ya hemos dicho, si la dimensión del sistema dinámico espacial es mayor a 2 (en particular 4 para mantener la isotropía espacial), entonces la manera genérica mediante la cual
las heteroclinas se acercan a los atractores puntuales es mediante oscilaciones. Esto es debido
a que si la dimensión del espacio de fases es grande las variedades estables e inestables son
también de mayor dimensión, por ejemplo bidimensionales, esto es, homeomorfas a planos,
que la mayoría de las veces tienen órbitas con oscilaciones, puesto que los valores propios del
sistema linealizado que tienen parte imaginaria nula ocurren en forma excepcional (de todo
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
17
Fig. 3.5: Comportamiento en función del tiempo del sistema 3.15 para η = 0 y ǫ = 1, partiendo de
una condición inicial ruidosa. El sistema entra en una dinámica de dominios caracterizada
por interfases que tienen un perfil que difunde y que provoca un engruesamiento de la talla
característica de los dominios (coarsening), el estado final corresponde siempre a alguno de
los estados solución extendidos homogéneamente.
1
0
−1
50
100
Fig. 3.6: En la figura se puede apreciar el kink con oscilaciones que presenta la ecuación 3.16 para
ǫ = 1 y ν = 1,3.
el plano complejo el caso Imλ = 0 es una línea). Por otro lado, se abre la posibidad también
de que existan ciclos límites estables, fenómeno que da origen a una inestabilidad espacial y
a la aparición de patrones y Frentes de Pomeau.
Para estudiar esto, consideremos la ecuación de Swift-Hohenberg3 [43] más un término constante η, ecuación que se ha denominado Ecuación de Swift-Hohenberg generalizada [44]:
∂t u = η + ǫu − u3 − ν∂xx u − ∂xxxx u
(3.16)
Este sistema tiene soluciones kink que conectan como antes los estados homogéneos. Sin
embargo, las paredes del kink exhiben oscilaciones amortiguadas, como puede verse en una
simulación directa de la Ecuación 3.16 en la Figura 3.6. Para estudiar la interacción kinkantikink postulamos como antes el ansatz (ver Figura 3.7):
√
u(x, t) = uk (x − x− (t)) + ua (x − x+ (t)) − ǫ + W (x, t)
(3.17)
3
La ecuación de Swift-Hohenberg se suele escribir como ∂t u = ǫu − u3 − (∂xx + q 2 )2 u, ella fue deducida
como modelo de una inestabilidad convectiva en hidrodinámica.
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
18
Fig. 3.7: En la figura podemos apreciar la forma del ansatz planteado en la ecuación 3.17.
Donde uk y ua cumplen asintóticamente:
√
lı́m uk (x) = ± ǫ − ae−λ|x| cos(βx)
x→±∞
√
lı́m ua (x) = ∓ ǫ − ae−λ|x| cos(βx)
x→±∞
Introduciendo el ansatz en el sistema, despreciando términos de orden superior al primero
en W , obtenemos prácticamente la misma ecuación del caso anterior LW = b, con:
√
L ≡ (ǫ − 3(uk + ua − ǫ)2 − ν∂xx − ∂xxxx )
b ≡ −ẋ− ∂x uk − ẋ+ ∂x ua − η+
√
√
√
√
√
3(− ǫuk (uk − ǫ) − ǫua (ua − ǫ) + u2k ua + uk u2a − 2 ǫuk ua )
+ ∂xxxx u (3.18)
Nuevamente tenemos los pseudovectores del kernel de L: ∂x uk,a , puesto que las oscilaciones
no afectan las propiedades de paridad ni asintóticas más que por correcciones exponencialmente pequeñas; por este motivo, se anulan los mismo términos que antes de la condición de
solubilidad, junto al resultado:
h∂xxxx u|∂x uk i = h∂xxxx uk |∂x uk i + h∂xxxx ua |∂x uk i = 0,
donde el primer término se anula por paridad, y el segundo por localización de los dos factores
involucrados en el producto en torno a distintos y lejanos puntos, con lo que arribamos a
exactamente las mismas soluciones anteriores, salvo porque los kinks incluyen las oscilaciones.
Por otro lado, expandiendo:
√
ǫ) = −a ǫe−λ∆ cos(β∆),
√
√
uk (uk − ǫ) = −a ǫe−λ∆ cos(β∆),
ua (ua −
√
en torno a x−
en torno a x+
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
19
.
∆
∆
Fig. 3.8: En la figura podemos apreciar la forma de la fuerza para distintos anchos de la burbuja, el
parámetro η mueve la curva hacia abajo y arriba produciendo aparición y desaparición de
equilibrios por nodo-silla, sólo para η = 0 hay infinitos puntos de equilibrio.
Y por lo tanto:
ẋ− = (−η + 3ǫae−λ∆ cos(β∆))γ
ẋ+ = (η − 3ǫae−λ∆ cos(β∆))γ
=⇒
Donde γ ≡
h1|∂x uk i
.
h∂x uk |∂x uk i
˙ = (2η − 6aǫe−λ∆ cos(β∆))γ
∆
Este resultado fue encontrado en [14].
Notamos de este resultado que debido a la contribución oscilatoria aparecen cuando η = 0
puntos de equilibrio estables (un cantidad infinito numerable de ellos), como se ilustra en la
Figura 3.8, lo cual quiere decir que para ciertos valores del ancho de la burbuja tendremos
estructuras localizadas como podemos ver en la Figura 3.9, al resolver numéricamente la
ecuación y con las condiciones iniciales apropiadas. Sin embargo, a medida que aumentamos
el valor de η se van aniquilando por nodo-silla los atractores y repelores quedando en el caso
extremo sólo un equilibrio marginal en ∆ = 0. Por otro lado, notamos que el último equilibrio
estable en desaparecer (y el primero en aparecer) corresponde a aquel de menor ∆, lo cual
interpretamos como que la estructura localizada más estable es aquella correspondiente a
un solo pico nucleado gracias a la longitud de onda de la oscilación, es decir, el tamaño del
atractor está directamente relacionado con el valor β. Este tipo de soluciones son obtenidas
en una gran variedad de contextos, incluso en modelos no-locales [8].
3.3.2. Aparición de patrones y Frentes de Pomeau.
Hemos considerado el modelo de Swift-Hohenberg generalizado,
∂t u = η + ǫu − u3 − ν∂xx u − ∂xxxx u,
(3.19)
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
20
Fig. 3.9: En la figura se muestran dos soluciones localizadas de 3.16 para los valores η = 0, ǫ = 1 y
ν = 1.
para estudiar kinks cuya interacción da origen a estados coherentes tipo partícula. En la
naturaleza existen también estructuras con una geometría determinada que se repiten periódicamente en el espacio y que son frecuentemente observados en una variedad de contextos,
ellos son los patrones. Ahora mostraremos que modelos tan simples como los estudiados pueden dar origen a patrones.
Para ver esto, notemos que hemos estudiado la estabilidad de las soluciones homogénas con
respecto a perturbaciones homogéneas pero no arbitrarias. Las soluciones homogéneas u0
cumplen con 0 = η + ǫu0 − u30 y si consideramos una perturbación con número de onda k (lo
que equivale a ver el efecto de una función más general si consideramos su serie de Fourier),
eikx , expandiendo a primer orden, el valor propio correspondiente a k, será:
σ(k) = ǫ − 3u20 + νk 2 − k 4 .
(3.20)
De esta ecuación podemos observar que cuando consideramos soluciones homogéneas estables,
es decir, aquellas para las cuales ǫ−3u20 < 0, entonces existe un modo con k 6= 0 más inestable
siempre y cuando ν > 0, lo cual en la ecuación corresponde a una antidifusión. Si este modo
toca el eje σ = 0, la solución será inestable para ese número de onda, lo cual quiere decir que
podría aparecer un patrón. Este fenómeno fue el primero que se detectó como conducente a
patrones y se denomina Inestabilidad espacial o Inestabilidad de Turing (Figura 3.10) [45].
La condición de comienzo de inestabilidad para numero de onda kc distinto de cero se reduce
a las ecuaciones:
σ(kc ) = 0,
(3.21)
∂σ(k) = 0.
(3.22)
∂k k=kc
pν
y que la inestabilidad espacial se adelanta a la
De las cuales encontramos que kc =
2
2
inestabilidad homogénea pues para valores de ǫ mayores a ǫc = −ν4 la solución u0 = 0 se
inestabiliza, dando lugar a un patrón cuyo modo dominante es kc como se observa en la Figura
3.10. Es interesante observar cómo se modifica el diagrama de bifurcación al considerar el
espacio. Sin la consideración de éste, las bifurcaciones de las soluciones homogéneas se pueden
esquematizar considerando la curva que sigue el trazo de la bifurcación de nodo-silla que
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
21
u
0.2
0
50
100
150
200
x
-0.2
-
σ
kc
k
Fig. 3.10: En la figura de arriba se ve el patrón que aparece ante una pequeña perturbación cuando
los parámetros son: ǫ = −0,2, ν = 1 y η = 0. Más abajo, el gráfico de la función σ(k)
para los mismos valores, y en el cual se ve que existe una banda de modos inestables que
producen un patrón.
marca el comienzo de la biestabilidad, esto es, dada una solución homogénea u0 , la ecuación
de equilibrio nos da una relación ǫ(u0 ) y la aparición de nuevos equilibrios por nodo-silla
∂ǫ
= 0 (como se puede apreciar en la Figura 2.1), con lo cual eliminando u0
ocurre cuando ∂u
0
de las ecuaciones podemos encontrar una relación entre η y ǫ cuando se pasa de una solución
a tres. Esta curva es de tipo cúspide (cusp):
4 3
ǫ,
(3.23)
27
y representa cómo para distintos puntos del plano (η, ǫ) podemos tener 1 o 3 soluciones. El
paso de 1 a 3 soluciones estables marca el comienzo de biestabilidad y esta ecuación corresponde a la forma normal cerca de este tipo de bifurcación [18].
Cuando consideramos perturbaciones más generales y ocupamos las condiciones de inestabilidad de Turing 3.21 y 3.22, esta relación se modifica [37], dando lugar a:
2 1 2ǫ ν 2
ν2
2
η =
ǫ+
,
(3.24)
−
3 3
12
4
η2 =
Las curvas correspondientes a las ecuaciones 3.23 y 3.24 se muestran en la Figura 3.11, donde
se puede ver las distintas regiones de estabilidad.
Una vez encontrado el patrón, nos interesa ver la posibilidad de la coexistencia entre
el estado patrón y el estado homogéneo. Esto es plausible que ocurra cuando la energía
libre de ambos estados es la misma (recordemos que el sistema es variacional). Sin embargo,
no podemos evaluar analíticamente la energía libre para los distintos estados puesto que
desconocemos la solución patrón en forma analítica. No obstante, cerca de la inestabilidad
los modos estables relajan rápidamente al equilibrio y los modos marginales (cuyos valores
propios tienen parte real nula) o cuasimarginales evolucionan lentamente4 . Por este motivo,
4
Tanto los modos estables como inestables tienen una dinámica exponencial. En cambio los modos marginales tienen un decaimiento o crecimiento algebraico.
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
22
ε
0.6
0.4
0.2
-0.1
0.05
-0.05
0.1
-0.2
η
Fig. 3.11: En esta figura podemos observar las curvas de bifurcación homogénea (curva monovaluada)
y espacial para ν = 1. Estas curvas dividen el espacio en distintas regiones con diferente
estabilidad con respecto a perturbaciones homogéneas o de número de onda dado.
es posible hacer una separación de escala y considerar la dinámica reducida a la variedad
asociada a los modos con valores propios con parte real nula. Esta variedad en sistemas
dinámicos se denomina variedad central. Para el caso que nos interesa hemos visto que una
inestabilidad de tipo Turing corta el eje σ = 0 para k 6= 0. En torno a la intersección es
posible expandir σ hasta segundo orden:
r 2
ν
∂ 2 σ ν2
2
2
.
σ ≈ σ(kc ) +
− 4ν k −
(k − kc ) = ǫ − 3u0 +
2
∂k k=kc
4
2
(3.25)
De esta ecuación
es evidente que la inestabilidad está controlada por el parámetro µ ≡
ν2
2
ǫ − 3u0 + 4 ≪ 1, donde la última desigualdad es válida cerca de la bifurcación. Notemos
que los modos inestables se encontrarán en una banda de ancho ∼ µ1/2 , por lo cual, además
cualquiera de estos modos con |k − kc | ≤ µ1/2 puede ser escrito como ei(k−kc )x eikc x , lo cual
corresponde al modo dominante kc modulado mediante otro de variación lenta del orden de
1/µ1/2 . Así, tiene sentido definir una nueva variable X = µ1/2 x que será de orden 1 cuando x
sea del orden de la modulación. Asimismo, σ que representa la escala de variación temporal,
es lineal en µ, por lo que la escala temporal de la variedad central es T = µt. Todo esto es una
anticipación del escalamiento que cumplirá la ecuación de amplitud para esta inestabilidad.
Consideremos por simplicidad el caso η = 0. En este caso, la solución de base es u0 = 0 y la
solución lineal está dada por:
u(x, t) = A(x, t)eikc x + cc.
Cerca de la bifurcación, esto es, cuando µ ≪ 1 podemos sugerir el ansatz:
u(x, t) = A(x, t)eikc x + cc + W,
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
23
en donde, W es una corrección pequeña a la solución lineal y de variación lenta. Introduciendo
el ansatz en la ecuación original tenemos:
LW = ∂t − µ + 3|A|2 − 2ν∂xx Aeikc x + A3 e3ikc x + cc.
El kernel del operador L está constituido por funciones de la forma f (x, t)eikc x , por lo cual,
para que el sistema sea soluble el término entre paréntesis debe anularse identicamente, lo
cual nos da la dinámica de la envolvente cuando aparece el patrón:
∂t A = µA − 3|A|2 A + 2ν∂xx A
y en la cual las variables escalan como habíamos anticipado, y que tiene una bifurcación supercrítica. Esta ecuación se denomina Ecuación de Ginzburg-Landau con coeficientes reales,
es una ecuación variacional y no predice la coexistencia entre el patrón y la solución homogénea, lo cual ocurre más allá de la bifurcación. En esta última región el patrón convive
establemente con alguna de las soluciones estables no nulas, por lo cual tenemos un Frente
de Pomeau entre un estado no nulo y homogéneo y el patrón, como se ve en la Figura 3.12.
Es posible construir el Frente de Pomeau entre la solución cero y el patrón considerando la
Ecuación de Swift-Hohemberg subcrítica:
∂t u = ǫu + γu3 − u5 − ν∂xx u − ∂xxxx u
(3.26)
En cuya caso la ecuación de amplitud se modifica, quedándonos:
∂t A = µA + 3γ|A|2 A − 10|A|4A + 2ν∂xx A
La cual tiene una bifurcarción subcrítica y se puede escribir en forma funcional:
∂F
δF [A, Ā]
∂F
∂
∂t A = −
=−
+
,
δ Ā
∂ Ā ∂x ∂ A¯x
donde:
F [A, Ā] =
Z
F dx =
Z 3γ 4 10 6
2
−µ|A| − |A| + |A| + 2ν|∂x A| dx.
2
3
2
Con esta expresión podemos evaluar el valor de la energía libre para el estado homogéneo y
para el patrón estable (existen dos ramas, una de ellas estable y otra inestable) de amplitud
Ap , donde:
p
9γ 2 + 40µ
3γ
+
,
|Ap |2 =
20
y obtener el valor para el cual existe un frente estático, es decir, el punto para el cual ambos
2
estados tienen la misma energía, Punto de Maxwell, esto ocurre para µM = − 27γ
y es mos160
trado en la Figura 3.12.
La extensión bidimensional del modelo de Swift-Hohenberg:
∂t u = ǫu − u3 − ν∇2 u − ∇4 u,
(3.27)
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
24
u
1
x
0
50
100
150
-1
u
1
0
100
-1
150
200
x
250
Fig. 3.12: En las figuras podemos ver dos frentes de Pomeau. En la superior el frente que presenta
la ecuación 3.16 para η = 0, más allá de la bifurcación que da origen al patrón y que
desestabiliza la solución homogénea nula, esto es, para ǫ = 0,42. En la figura de abajo, el
Frente estacionario que conecta el estado cero y el patrón para el modelo 3.26 en el Punto
de Maxwell ǫM = −1,76875 y γ = 3. En ambos casos ν = 1.
Fig. 3.13: En la figura de la izquierda podemos apreciar rollos con una única orientación, para los
parámetros ǫ = 0,26 y ν = 0,98 y a la derecha una estructura tipo laberinto de la ecuación
3.27 para ǫ = 0,2 y ν = 2.
en la cual ∇2 ≡ ∂xx + ∂yy , presenta la misma inestabilidad espacial debido a que el operador
∇2 es isótropo y cualquier perturbación de vector de onda ~k en el plano (x, y) genera la
misma curva mostrada en la Figura 3.105 . De esta manera, partiendo de 3.27 y para un valor
de los parámetros tal que se inestabiliza la solución homogénea, aparece un patrón cuya geometría local está conformada por rollos paralelos, pero que debido a la isotropía del sistema,
globalmente no escoge inicialmente ninguna dirección determinante, dando lugar a un patrón
"laberíntico"que tiene una dinámica de interacción compleja que evita las curvaturas dando
lugar a un proceso de paralelización que sin embargo se ve obstaculizado por la aparición de
defectos topológicos lineales, llamados disinclinaciones, dislocaciones y paredes de dominio
como se explica en [34] y se muestra en la Figura 3.13, tomada de una simulación directa de
3.27.
5
Lo cual equivale a decir que la inestabilidad en cualquier dirección se representa como la rotación en
torno al eje σ de la curva antes encontrada (curva tipo cráter).
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
25
Si consideramos ahora la formación de rollos en una dirección en particular, por ejemplo,
en la dirección x, podemos como antes postular el ansatz:
~
u = A(x, y, t)eikc ·~x + cc + W
(3.28)
Que luego de ser introducido en la ecuación nos da la siguiente expresión:
∂t Aeikc x + cc = LW +
r
ν
2
µA − 3|A| A + 2ν∂xx A − 2∂xx ∂yy A − 4i
∂x ∂yy A − ∂yyyy A eikc x
2
− A3 e3ikc x + cc (3.29)
Evidentemente, debido a que el rollo está en la dirección x, las derivadas en x cumplen el
escalamiento antes encontrado, por lo cual el término ∂xx ∂yy es de menor orden que el resto
y puede ser despreciado. Finalmente, considerando nuevamente la forma del kernel de L
y aplicando la condición de solubilidad, obtenemos la Ecuación de Newell-Whitehead-Segel
(NWS) [17, 34]:
√
2
2
2ν∂x − i∂yy A.
∂t A = µA − |A| A +
(3.30)
Esta ecuación es una ecuación genérica representativa de la bifurcación conducente a estados
tipo rollos en una dirección en particular. En efecto, para un sistema cualquiera
∂t ~u = F~ (~u, ∂x , ∂y , λ),
con soluciones homogéneas:
(3.31)
F~ (~u0 , ∂x , ∂y , λ) = 0,
y que presenta una Inestabilidad de Turing, escogiendo una dirección particular x de variación
de los rollos, cerca de la bifurcación con número de onda q, se puede postular el siguiente
ansatz:
X
~u = ~u0 + (A(x, y, t)eiqx + cc)v̂ +
An Ām ei(n−m)qx ûnm ,
(3.32)
n,m
donde v̂ es la dirección de crecimiento del modo marginal y A(x, y, t) la envolvente. Este ansatz
nos conduce a la Ecuación de NWS, que en particular será subcrítica cuando la bifurcación
original permita la coexistencia del estado homogéneo con el estado patrón. Además, de
manera de preservar las simetrías originales del ansatz, esto es x → x − α y A → Aeiqα
simultáneamente, debemos incorporar en el análisis los términos no resonantes de la ecuación
(es decir, aquellos que pueden ser descartados por ser invertibles). De esta manera, nos queda
la siguiente ecuación:
2
X
2i
2
4
cm,n Am Ān e(m−n−1)qx
(3.33)
∂t A = ǫA + |A| A − |A| A + ∂x − ∂yy A +
q
m,n
Por simplicidad, si consideramos el primer término no resonante, esto es m = 3 y n = 0, la
ecuación nos queda:
2
2i
2
4
(3.34)
∂t A = ǫA + |A| A − |A| A + ∂x − ∂yy A + ηA3 e2iqx .
q
3: Frentes, Estructuras Localizadas y Patrones.
26
Ecuación que hemos denominado Ecuación de NWS enmendada y que nos permitió estudiar
la interfase entre un estado homogéneo y un estado tipo rollo. En el artículo mostrado a
continuación [40] hemos explorado numérica y analíticamente la dinámica de tal interfase
usando esta ecuación, y mostramos que estos nuevos términos de enmendación nos permiten
explicar el rango de bloqueo [35], la aparición de patrones localizados [9], y en general la
dinámica de rollos en medios asimétricos [12].
4. FRENTES Y ESTRUCTURAS LOCALIZADAS EN
SISTEMAS DISCRETOS.
4.1. Introducción.
En física es frecuente encontrar fenómenos en los cuales el análisis debe hacerse considerando las ecuaciones de forma discreta. Los sistemas macroscópicos son descritos como medios
continuos, sin embargo, a escalas atómicas se vuelve importante la naturaleza discreta de la
materia. Ya sea en forma intrínseca, como puede serlo por ejemplo un sistema de péndulos
clásicos acoplados a primeros vecinos, o de una manera más secundaria, como en el caso de la
propagación de una dislocación en una red cristalina; la consideración del espacio de manera
discreta puede ser de gran interés para la caracterización y comprensión de los fenómenos.
Incluso, es interesante recalcar que muchas de las ecuaciones importantes de la física (como
la Ecuación de Onda y la Ecuación de Difusión) y modelos de interés en muchas áreas (como
la Ecuación de Sine-Gordon) pueden ser deducidas de manera natural considerando celdas
en una red discreta y sus procesos de transporte y luego haciendo el límite continuo. Este
paso no es en absoluto trivial y, analogamente al caso del límite termodinámico, en el cual
al hacer límites aparecen nuevos fenómenos (como la flecha del tiempo y discontinuidades en
las derivadas de los potenciales termodinámicos), sucede que también se pierden fenómenos.
En los últimos años se ha investigado el efecto de discretizaciones espaciales en sistemas cuyo
límite continuo tiene un comportamiento conocido. Desde los trabajos pioneros de Ishimori
y Munakata [25] y de Peyrard y Kruskal [33] se han estudiado diversos efectos que no existen
en el límite continuo, en particular en el primero de ellos se muestra numérica y analíticamente que el kink de Sine-Gordon discreto se mueve en un potencial periódico, Potencial
de Peierls-Nabarro, que produce bloqueo del frente y oscilaciones que radían fonones y que
amortiguan el movimiento de él, fenómenos no encontrados en el continuo. Posteriormente se
ha visto la relevancia de la dinámica discreta en fenómenos como la liberación de ondas de
calcio en células [4, 26], frentes de reacción en cadenas de reactores químicos acoplados [27],
arreglos de resonadores diódicos acoplados [29], propagación discontinua en tejidos cardíacos
[13], junturas de Josephson [46], óptica no lineal y guías de onda [6] y cadenas de neuronas
en macacos [30], entre muchos otros.
En particular, en esta parte de la tesis se estudiará la propagación de frentes y aparición
de estructuras localizadas en sistemas con una discretización espacial del orden de la talla del
frente. Propondremos la adición de una fuerza periódica en la ecuación continua de manera de
poder hacer cálculos y predecir las bifurcaciones que ocurren en los frentes y las estructuras
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
1
1
0
0
-1
-1
28
Fig. 4.1: En la figura podemos observar los frentes cuando la distancia entre los puntos de la red
espacial es dx = 0,1 (izquierda) y dx = 5 (derecha).
localizadas, logrando buen acuerdo con las simulaciones.
4.2. Fenómeno de Oscilación y Bloqueo en la propagación de
Frentes Discretos.
Para estudiar el problema antes mencionado partimos por el modelo más básico que conocemos que exhibe un frente normal estable y que es el frente monótono correspondiente
a la forma normal de la Bifurcación de Horquilla Imperfecta con Difusión Espacial, que fue
analizado en el capítulo 3. Evidentemente existen infinitos sistemas discretos que en el límite
continuo son el mismo sistema mencionado, esto es debido a que las derivadas espaciales pueden ser discretizadas tomando una cantidad máxima arbitraria de puntos vecinos al punto
que se le está calculando la derivada (las derivadas pares toman en total una cantidad impar
de puntos y las impares un número par de vecinos), la cantidad de vecinos necesaria aumenta
a medida que sube el orden de las derivadas y en el límite en el cual el orden es infinito
tendremos una expresión integral para estos términos, lo cual se denomina interacción o término no-local. Sin embargo, para nuestro interés actual basta con considerar el acoplamiento
a primeros vecinos y en este caso el sistema más simple 3.3 en su forma discreta es:
∂t ui = η + ǫui − u3i + D
ui−1 − 2ui + ui+1
,
dx2
(4.1)
donde dx representa la distancia entre dos sucesivos puntos de la discretización. Una pregunta
válida es si realmente podemos seguir hablando de un frente en el sistema discretizado. La
respuesta es afirmativa debido a que para cada uno de los sistemas ui no acoplados siguen
existiendo como solución los puntos 1 y −1 (para η = 0), y si ponemos como condición inicial
una región del espacio en el atractor 1 y otra en −1, el efecto difusivo discreto, que en este
caso es una interacción o transporte entre vecinos, será suavizar esta conexión de manera
que asintóticamente se tienda a estar en cada uno de estos dos equilibrios como se ve en la
Figura 4.1.
El sistema discreto presenta una solución kink que√tiene una talla que se puede ver numéricamente o por aproximación que es del orden de 1/ ǫ. Para ver el efecto de la discretización
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
29
Fig. 4.2: En los gráficos podemos observar la posición del corazón del frente en función del tiempo
para ǫ = 1, dx = 2 y η = 0,14. A la derecha la velocidad en funcion del tiempo.
consideramos un valor de dx tal que sea comparable a la talla del kink. Por ejemplo, para
ǫ = 1 y dx = 2 la Figura 4.2 muestra que la velocidad con la cual se propaga el frente para
un valor del parámetro de rompimiento de simetría η de 0,14 oscila en forma periódica. Este
comportamiento es del todo inesperado y por supuesto, no se observa en el límite continuo.
Observamos también que cuando el valor del parámetro η es pequeño el frente se bloquea y
no se propaga, es decir ocurre el fenómeno de anclaje del frente (pinning) [35], lo cual puede
ser apreciado en la Figura 4.10. Es decir, existe una región finita en el espacio de parámetros
para la cual el frente no se propaga, región que se reduce a un punto (Punto de Maxwell)
cuando el sistema tiende al continuo (esto es, cuando dx → 0 y dxD2 se mantiene finito). Esto
puede ser apreciado en la Figura 4.4 que muestra que el rango de bloqueo tiende rápidamente
a cero, lo que se suele denominar una cúspide (cusp) a medida que la discretización se acerca
a la del continuo. Esto puede ser considerado una medida de la correspondencia entre la
simulación numérica y los cálculos analíticos que solemos hacer, pues no hay que olvidar que
al simular en un computador nunca se podrá soslayar el hecho que nuestras ecuaciones pasan
a ser discretas en la simulación.
El fenómeno descrito en el punto de desbloqueo, es decir la desaparición de un equilibrio
predice que cerca de la bifurcación de desbloqueo debe existir una reminiscencia del estado
de equilibrio que ha desaparecido. En efecto, las figuras 4.3 nos muestran el fantasma del
equilibrio correspondiente al frente bloqueado, en este caso, la oscilación pasa a ser un tipo
de oscilación en la cual la mayoría del tiempo se está en alguno de los estados extremos, lo
cual es denominado oscilación de relajación [42].
Lo interesante del fenómeno que acabamos de describir es que podemos asegurar que este
se debe exclusivamente a la naturaleza discreta de la ecuación, pues en el límite continuo la
propagación del frente es, luego del transiente, a velocidad constante y no nula para cualquier
valor distinto de cero del parámetro de rompimiento de simetría. Esto ha sido mostrado en
el capítulo 3 para frentes normales y en [2, 1] para frentes FKPP, donde, en este caso, los
estados son de por sí asimétricos en cuanto a su estabilidad. Es preciso recalcar que este
fenómeno es robusto en la propagación de los frentes discretos debido fundamentalmente a
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
30
v
x
600
400
200
100
t
-0.01
97.5
200
600
400
t
-0.02
Fig. 4.3: Gráficos de la posición y velocidad del corazón del frente (izquierda y derecha respectivamente) para un valor de η muy cercano al valor crítico para el cual el frente se desbloquea.
dx
dx
20 -
Región de Bloqueo
Región de Bloqueo
1.5
10 -
0.5
-
-0.1
-
-
-0.2
-
-
-
-0.3
0.1
0.2
0.3
-0.1
η
0.1
η
Fig. 4.4: En la figura de la izquierda se aprecia la curva del bloqueo para distintas discretizaciones
considerando todo el intervalo de existencia del frente. A la derecha, un aumento para
valores de η más pequeños, mostrando la rápida convergencia hacia el comportamiento
continuo cuando hacemos dx más pequeño.
motivos geométricos que nos disponemos a explicar.
4.2.1. Potencial de Peierls-Nabarro.
Cuando observamos que un frente se propaga, la primera explicación que se nos viene a
la mente, es que el sistema está minimizando su energía y que está privilegiando al estado
de menor energía por sobre el de mayor energía, lo cual produce la propagación. En efecto
nuestro caso más sencillo 4.1 puede ser escrito como:
∂t ui = −
donde
∂V [ui ]
,
∂ui
∞ X
u4j
u2j
D
2
+
(uj+1 − uj )
ηuj − ǫ +
V [ui] =
2
2
4
2dx
j=−∞
(4.2)
(4.3)
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
u
31
u
i
i
Fig. 4.5: Podemos observar en esta figura que si bien en el límite continuo estas configuraciones
deberían tener el mismo valor de la energía libre (la integral de un trazo continuo sobre
los puntos), en el caso discreto ellas difieren tanto en el potencial discreto como en su
estabilidad. Ambos estados son tomados de la propagación libre del frente.
V
PN
PN
0.03
0
V
V
PN
0.3
0.15
0.5
1.5
2
t
0
-0.03
-0.2
5
1
2
3
t
0
10
15
t
-0.3
Fig. 4.6: En esta figura podemos observar el comportamiento del Potencial de Peierls-Nabarro (esto
es, sin el término del potencial del campo) a medida que el frente se desplaza. Los gráficos
corresponden a dx = 2, dx = 5 y dx = 15, de izquierda a derecha. Cuando la discretización
se hace mucho más grande que la talla del frente esta función se parece más y más a un
diente de sierra, el cual corresponde al caso límite correspondiente a un frente que tiene
un sólo punto en la interfase que se desplaza privilegiando el estado de mínima energía. El
Potencial de Peierls-Nabarro considera la energía salvo una invarianza de traslación en un
punto de la red, lo cual es visto en éste límite como un salto abrupto en la energía.
Es decir, efectivamente este sistema está minimizando una energía libre. Por otra parte,
hemos observado que cuando tenemos frentes que conectan un estado homogéneo con un
patrón, por ejemplo en el caso del Frente de Pomeau de la Figura 3.12, al avanzar el frente
debe ir pasando ciertas barreras de nucleación correspondientes a una propagación que se da
en un sistema que ha perdido la simetría continua x → x + x0 y que ahora tiene en el patrón
una simetría discreta x → x + nλ, donde λ corresponde a la longitud de onda del patrón.
Al propagarse por regiones del espacio con energías distintas, pero con periodicidad la velocidad de propagación también adquiere cierta periodicidad y también oscila. Por otro lado,
uno puede separar mentalmente dos potenciales en una geometría de este tipo: un potencial
ligado al campo (el potencial original) y un potencial ligado a la discretización natural del
sistema: el Potencial de Peierls-Nabarro 1.
En el caso que nos ocupa al ser la discretización del orden de la talla del frente, en él caben
1
El nombre viene de la física del sólido en un contexto de propagación de dislocaciones en una red cristalina.
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
32
unos pocos puntos y por lo tanto la cantidad de configuraciones de equilibrio que existen
son limitadas. Debido a que el valor del potencial para cada una de estas configuraciones
corresponde a sumas de Riemann que sólo en el continuo son iguales 2 , no podemos sino concluir que al propagarse el frente pasa por estados con distinta energía como puede entenderse
cualitativamente en los gráficos de la Figura 4.5. En efecto, podemos observar numéricamente
el comportamiento del potencial de Peierls-Nabarro a medida que el frente se propaga como
mostramos en la Figura 4.6.
Teniendo en cuenta que esta energía adicional (el potencial de Peierls-Nabarro) debido a la
discretización no puede tener otra longitud de onda espacial que la longitud de la discretización, para entender el fenómeno podemos ocupar el sistema original continuo más una
corrección dada por un término periódico derivado del Potencial de Peierls-Nabarro con periodicidad dada por la longitud de discretización, esto asegura a su vez, que los estados de
equilibrio (soluciones homogéneas) continúan teniendo la misma forma original, es decir, el
potencial no afecta la forma del frente pues el potencial tiene en cada punto de la red el mismo valor 3 . Así, proponemos como modelo para el sistema discreto su propio límite continuo
más una deriva con coeficiente periódico:
∂t u = η + ǫu − u3 + ∂xx u + Γdx (x)(∂x u)2 ,
(4.4)
en donde Γdx (x + dx) = Γdx (x) es un término periódico, y el término (∂x u)2 es un término
que enfatiza el hecho que la fuerza de Peierls-Nabarro existe sólo en las partes no homogéneas
del frente, por otra parte éste término respeta la simetría x → −x original.
4.2.2. Velocidad del Corazón del Frente.
Ocupando 4.4 podemos encontrar la ecuación que cumple el corazón del frente considerando pequeña la fuerza de Peierls-Nabarro, y linealizando en torno a la solución kink llegamos
a similar ecuación y condición de solubilidad que anteriormente encontramos en 3.7:
LW = b
(4.5)
Donde L = (ǫ − 3u2k,a + ∂xx ) y ahora b = −η − ẋ0 ∂x uk,a − Γdx (x)(∂x u)2. En virtud de
la linealidad del producto escalar, aplicando nuevamente la condición de solubilidad (esto
es, exigiendo que b sea ortogonal al kernel del operador adjunto de L), es sencillo ver que
obtendremos lo mismo que en la ecuación 3.9 pero con un término adicional derivado de la
fuerza de Peierls-Nabarro. Esto es:
√
√
3 2η
3 2
ẋ0 = ∓
− 3/2 h∂x uk,a|Γdx (x)(∂x u)2i
(4.6)
2ǫ
4ǫ
Donde el signo de arriba es válido para la solución kink y el de abajo para el antikink.
El segundo término del lado derecho es periódico, en efecto si escribimos las dependencias
2
Recordemos que la energía libre de el sistema continuo es una integral.
Hay que tener cuidado que al agregar términos en forma de pertubación no se pierdan los fenómenos que
se estan estudiando.
3
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
33
funcionales y hacemos el cambio de variable x − x0 → x obtenemos para el producto punto
la siguiente integral:
Z
Z
3
γ(x0 ) ≡ Γdx (x)(∂x u(x − x0 )) dx = Γdx (x + x0 )(∂x u(x))3 dx.
(4.7)
De aquí tenemos que se cumple que γ(x+dx) = γ(x), lo cual luego de algunos reescalamientos
para simplificación de la notación nos da lugar al siguiente sistema dinámico para el corazón
del frente:
ẋ = ∓η + Γ(x),
(4.8)
el signo de arriba es para la solución kink y el de abajo para el antikink y donde hemos hecho
las siguientes redefiniciones:
√
3 2η
→η
2ǫ
√
3 2
− 3/2 γ(x) → Γ(x)
4ǫ
De aquí en adelante estudiaremos el caso kink, teniendo en cuenta que para el antikink el
análisis es completamente equivalente.
4.2.3. Estudio de ẋ = −η + Γ(x).
Evidentemente, al saber que Γ es una función periódica lo primero que se nos viene a
la mente es estudiar el caso en el cual esta función es una función trigonométrica simple.
Veremos que con dicha elección atrapamos la mayor parte de la fenomenología. En efecto,
consideremos el caso en el cual el potencial del Peierls-Nabarro corresponde a un coseno:
ẋ = −η + ξ cos(kx)
(4.9)
Donde hemos introducido el numero de onda k considerando que se debe cumplir que kdx =
2π, además de la constante ξ. Este sistema puede ser entendido definiendo un potencial que
cumpla que ẋ = − ∂U
, el cual se minimizará. Es fundamental entonces si el potencial tiene
∂x
extremos o no. Los máximos del potencial corresponden a ceros del sistema dinámico, por
lo cual inmediamente notamos que este sistema tiene velocidad de propagación igual a cero
para todo un intervalo del parámetro ηξ , rango que corresponde a la región donde existen
puntos de equilibrio y por lo tanto el frente se bloquea. Esto es:
η c ≡ < 1 ⇒ Bloqueo del Frente
(4.10)
ξ
Cuando hay desbloqueo del frente, el sistema 4.9 se puede integrar exactamente, en efecto,
esta ecuación implica que:
Z t
Z x
dx
=
dt,
0
x0 ξ cos(kx) − η
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
34
Fig. 4.7: Forma del potencial para los distintos casos: c > 1 y c < 1. El hecho de que U tenga
máximos y mínimos será la la condición de bloqueo del frente.
integrando esta relación obtenemos una expresión cerrada para la posición del corazón del
frente:
p
!
p
2
2
ξ −η
k
2
ξ 2 − η 2 (t − t0 )
.
(4.11)
tanh
x(t) = arctan
k
η+ξ
2
Notamos en primer lugar que si graficamos la velocidad en función del parámetro obtenemos
una gran concordancia con los gráficos obtenidos numericamente en la simulación directa
del frente (ver Figura 4.8). Asimismo, ocupando la relación tanh(ix) = i tan(x) podemos
reescribir, cuando se cumple la condición de desbloqueo, la solución 4.11 de la forma:
p
kt
−(η
+
ξ)
kx
(4.12)
tan
η2 − ξ 2 = p
tan
2
2
η2 − ξ 2
Notamos que tenemos una igualdad entre dos funciones tangentes, que si se intersectan una
vez, lo hacen un número infinito de veces en sus distintas ramas. De esta ecuación también
deducimos que existe una periodicidad en el tiempo tal que el lado izquierdo de la ecuación
queda igual después de este tiempo T = √2π2 2 , al mismo tiempo, existe una longitud de
k
η −ξ
, de donde deducimos que la velocidad
onda dada por el lado derecho y que es igual a λ = 2π
k
promedio (definida como la longitud de onda sobre el período) es:
p
hvi = ± η 2 − ξ 2 ,
(4.13)
donde el signo de arriba es cuando η es negativo y el de abajo en el caso positivo. Esta
expresión explica la forma de la velocidad en un rango bastante grande de η como se puede
ver en la Figura 4.10 y también la aparición del bloqueo, pues la velocidad promedio se hace
imaginaria. Este resultado fue ya encontrado en [39].
4.2.4. Aproximación en torno a la bifurcación de desbloqueo.
Para entender en forma genérica el comportamiento de una ecuación de la forma ẋ =
−η + Γ(x) cerca de cuando se desbloquea el frente y comienza a propagarse, expandimos la
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
x
v
140
120
160
35
200
t
-0.1
-0.2
135
120
160
200
t
Fig. 4.8: Oscilación en la propagación (puntos) y fiteo (línea continua roja) usando la función de la
Ecuación 4.11.
función Γ(x) (que no conocemos en general), en torno a alguno de sus extremos (que son
infinitos si la función es periódica) hasta segundo orden:
Γ(x) ≈ Γ(x0 ) +
Γ′′ (x0 )
(x − x0 )2 ,
2!
donde la primera derivada es cero en x0 por ser la función un extremo en x0 .
Haciendo una traslación en x y reescalando el tiempo, el sistema original nos queda:
ẋ = µ + x2 ,
que es la forma normal de la bifurcación de nodo-silla, donde en este caso
−η + Γ(x0 )
Γ′′ (x0 )/2
√
√
y cuya solución exacta es x(t) = µ tan( µ(t − t0 )). La situación de cercanía al desbloqueo
del frente es equivalente a decir que µ es pequeño, pues en este caso η es muy cercano a Γ(x0 ),
lo cual hace que el sistema esté cerca de la bifurcación (ver Ecuación 4.10). Para µ pequeño,
la tangente es cercana a cero en casi todo su dominio (lo cual corresponde a una oscilación
de relajación) y podemos aproximar el período temporal a
µ=
π
T ≈√ ,
µ
esto porque la trayectoria pasa la mayor parte del tiempo cerca de cero debido al fantasma
que queda luego de la desaparición del equilibrio [42]. Cuando η es negativo la bifurcación
ocurre para los mínimos de Γ, lo cual quiere decir que la fuerza queda por sobre el eje ẋ = 0,
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
36
y por lo tanto la velocidad es positiva, cuando η es positivo ocurre lo contrario, es decir, la
bifurcación de nodo-silla ocurre para los mínimos de Γ y por lo tanto la velocidad es negativa.
Así la expresión para ambos casos es:
hvi = ±
λ√
λ
=
µ,
T
π
(4.14)
con el signo positivo cuando η < 0 y viceversa.
4.2.5. Aproximación en torno a la bifurcación de desaparición del frente.
Hemos observado numéricamente que la velocidad del frente cuando se alcanza el punto
donde se acaba la biestabilidad converge a un valor finito, lo cual no es evidente. Para analizar
este comportamiento haremos perturbación en torno a la frontera de la biestabilidad para
ver cómo se comporta el frente cuando uno de los estados deja de ser solución del sistema.
Para encontrar la expresión de la velocidad cuando el frente desaparece, esto es, cuando
una de las soluciones homogéneas deja de ser solución, debemos encontrar, en primer lugar,
una expresión para la velocidad en función de la diferencia de energía entre ambos estados
homogéneos, y hacer una expansión en torno a la región donde una de ellos ya no es solución.
Para esto no necesitamos considerar la discretización, pues esta sólo es significativa cuando
es comparable a la diferencia de energía entre los dos estados homogéneos, lo cual ocurre
cuando η es pequeño.
Para encontrar la tendencia de la velocidad y ver si esta es divergente o tiende a un valor
finito 4 , tomamos el sistema original 3.3 y nos ponemos en el sistema de referencia móvil con
el frente, esto es, si la solución frente es u(x − vt) definimos una nueva variable z = x − vt
equivalente a pararse en el sistema comóvil con el frente, donde suponemos que la velocidad
es constante (aproximación válida lejos de la región de bloqueo, pues la oscilación es pequeña
comparada con su valor promedio). Con el cambio de variable, la ecuación 3.3 nos queda una
ecuación diferencial total análoga a una Ecuación de Newton, donde el potencial queda con
el signo invertido:
∂zz u = −(η + ǫu − u3 ) − v∂z u.
(4.15)
2
4
El potencial newtoniano de esta ecuación es V (u) = ηu + ǫ u2 − u4 y la velocidad del frente
pasa a ser un coeficiente de roce.
En un sistema disipativo de este tipo la energía perdida a lo largo de la trayectoria es igual
a la diferencia de energía potencial entre los extremos más la diferencia de energía cinética.
Sin embargo, los frentes corresponden a alguna de las dos conexiones heteroclinas (entre los
estados de equilibrio) de este sistema y por lo tanto nos interesa el caso en el cual la energía
cinética es exactamente cero en los extremos, por lo que la energía disipada es exactamente
igual a la diferencia de energía potencial. Si llamamos u1 y u2 a los estados de equilibrio
homogéneos estables, que en el sistema dinámico son puntos hiperbólicos (a diferencia de
los estados homogéneos inestables que corresponden en el sistema dinámico a centros), la
4
Ambas opciones son fisicamente aceptables, pues en este caso estamos frente a la velocidad de un frente
entre un estado estable y otro inestable.
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
37
-
-
v
u2
u1
Fig. 4.9: En la imagen de una bolita cayendo con roce v desde la cúspide del potencial hasta alguno
de los equilibrios, existe sólo un v tal que la bolita llegue exactamente a A (Frente Normal).
Sin embargo, existen infinitos v a partir de un cierto valor mínimo tal que la bolita llega
exactamente a B (Frente FKPP).
ecuación que cumple la velocidad es [35]:
U(u2 ) − U(u1 ) = v
esto es:
Z
u1
(∂z u)du,
(4.16)
u2
∆U
.
(∂z u)du
u2
v = R u1
(4.17)
Donde hemos puesto los límites de integración de manera de hacer más explícita la imagen
que nos hacemos imaginando que estamos viendo el comportamiento de una partícula que se
mueve en el potencial U cayendo desde u2 hasta u1 con velocidad final igual a cero producto
de un roce viscoso con valor v. De hecho, intuitivamente vemos que v debe ser única y en este
sentido notamos una diferencia fundamental con los frentes que conectan estados estables con
inestables, pues en estos últimos existen infinitas valores de v para el cual existe la conexión,
como explicamos en la Figura 4.9.
Nos proponemos calcular ahora la depencia de v con η cerca de la situación crítica en la
cual chocan el equilibrio estable con el inestable del potencial. Primero calculamos u1 y u2
en la situación crítica, esto es, cuando existe una solución para los extremos del potencial
degenerada. Imponiendo esta condición (condición crítica) que matematicamente se expresa
diciendo que la derivada del potencial se anula sólo en dos puntos, es decir, han chocado un
máximo y un mínimo del potencial. Esto es:
η + ǫu − u3 = −(u − u1 )2 (u − u2 )
(4.18)
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
38
De esta ecuación encontramos los valores críticos uc y ηc :
r
ǫ
uc,1 = −
(4.19)
3
r
ǫ
uc,2, = 2
(4.20)
3
r
2ǫ ǫ
ηc =
.
(4.21)
3 3
Si calculamos ahora cómo se modifican estos valores cuando nos movemos ligeramente de
ηcrit , es decir, ponemos
η = ηcrit − ∆η
y de la solución u1,crit emergen dos en nuevas en forma simétrica, de la cual nos interesa
la que corresponde al máximo del potencial, esto es, la menor de ellas. Así la corrección de
primer orden a las antiguas soluciones es:
s r
r
ǫ
2 3
−
∆η
(4.22)
u1 = −
3
5 ǫ
r
ǫ 3∆η
u2 = 2
−
(4.23)
3
5ǫ
(4.24)
Teniendo estos valores podemos calcular ∆U evaluando el potencial en estos puntos de equilibrio. Por otro lado, necesitamos el cálculo de la integral del denominador de la ecuacion 4.17.
Sin embargo, no conocemos la solución exacta del frente para η 6= 0, lo cual equivaldría a
resolver la ecuación diferencial 4.15. Sin embargo, no es difícil convencerse que el valor de ella
sólo cambia ligeramente para η 6= 0 debido a que el frente mismo practicamente mantiene su
forma pero se mueve hacia arriba o abajo dependiendo del valor de η, lo cual no contribuye
significativamente debido a que este aparece derivado dentro de la integral. De esta manera
consideramos este valor como una función lineal simplemente. El valor de la diferencia de
potencial es:
r
√
3 3
3
9
18
81
3 2 1/4 3/2
3
3 ∆η + ∆η 2 +
∆η −
∆η 4
(4.25)
∆U = − √ ∆η −
4
5 5
50
125
2500
3
el cual es proporcional a la velocidad, esto es, v ∝ ∆U y concuerda bastante bien con los
resultados numéricos, como se ve en la Figura 4.10. Notemos que esto es bastante novedoso,
pues se ha sugerido que la velocidad debería diverger cuando uno de los estados estables
homogéneos desaparece. Sumado este resultado a la velocidad promedio calculada analíticamente tenemos una idea bastante completa del comportamiento de la velocidad promedio
para todo el rango en el cual existe el frente.
4.3. Estructuras Localizadas por Discretización
Ya hemos visto que la interacción de frentes en una dimensión y de interfases en dimensiones espaciales mayores es fuente probable de estructuras localizadas, ya sean estas en la
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
39
<v>
η
Fig. 4.10: En este gráfico se puede apreciar el resultado numérico directo de la simulación y los
respectivos fiteos obtenidos de las Ecuaciones 4.13 y 4.25.
misma interfase o formando una región determinada por sí sola. En una dimensión hemos
visto que las estructuras localizadas deben corresponder a órbitas homoclinas del sistema
dinámico espacial. Siguiendo el mismo espíritu del capítulo 3 calcularemos la interacción de
dos frentes discretos recurriendo al sistema continuo que hemos propuesto como modelo.
Genéricamente, cuando la dimensión del sistema dinámico espacial es dos, la homoclinas son
inestables por lo cual, no son observables en el sistema extendido. Una pregunta interesante
que surge asociado al problema que nos ocupa es cómo se modifica la interacción de frentes
cuando tenemos en mente que una discretización gruesa produce un potencial espacial, lo cual
se traduce en que el sistema dinámico espacial es no autónomo, lo cual permite la aparición
de estructuras localizadas.
Siguiendo este mismo razonamiento encontraremos que cuando hacemos interactuar dos de
los frentes discretos aparece una familia de estructuras localizadas cuya estructura de bifurcación es de tipo serpenteo, y aunque es bastante natural que sean estables en el rango de
bloqueo (pues en esta región los frentes no se mueven), también existen establemente fuera
de él, lo cual es una característica de la interacción. Veremos que esta familia de estructuras
localizadas debe su existencia a la fuerza periódica derivada del potencial de Peierls-Nabarro
que aparece por la discretización. Lo cual significa que debido a la naturaleza discreta de la
ecuación aparecen estructuras localizadas.
4.3.1. Bifurcación de Serpenteo
Para ver cuál es la ecuación que describe la interacción entre dos frentes, un kink y un
antikink cuyos corazones están localizados en x− y x+ respectivamente, consideramos nuestro
sistema continuo con la Fuerza de Peierls- Nabarro 4.4 y tratamos la fuerza de Peierls-Nabarro
en forma perturbativa, ya que disminuyendo dx esta barrera es cada vez más pequeña, con
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
40
lo cual podemos ocupar la condición de solubilidad encontrada cuando se estudiaba la interacción de dos frentes monótonos 3.11 y 3.12 salvo que ahora en η introducimos Γ(x) como
un término más de la perturbación. Como antes, encontraremos una interacción exponencial
y también un término proporcional a η, pero ahora debemos calcular cuál es la contribución
del término nuevo ligado a la modelización del fenómeno discreto. Para esto, ocupamos un
término de Peierls-Nabarro de tipo armónico Γ(x) = γ cos(kx). En definitiva, si definimos
−
˙
como antes ∆ = x+ − x− y x̄ = x+ +x
el término nuevo será para x̄:
2
−γ
hcos(kx)|∂x ua + ∂x uk i
||∂x uk ||2
−γ
hcos(kx)| − ∂x u0 (x − x+ ) + ∂x u0 (x − x− )i
=
||∂x uk ||2
≈ 0. (4.26)
Debido a que en el límite continuo la talla del frente es mucho mayor que la longitud de onda
del término de Peierls-Nabarro, afirmamos:
nuevo término en x̄˙ ≈ 0
(4.27)
˙ considerando que el kink está centrado en x− y el antikink en x+ , tenemos haciendo
Y para ∆,
traslaciones en las integrales:
hcos kx|∂x uk i = cos kx− hcos kx|∂x u0 i − sen kx− hsen kx|∂x u0 i
hcos kx|∂x ua i = − cos kx+ hcos kx|∂x u0 i + sen kx+ hsen kx|∂x u0 i,
donde u0 es el frente centrado en cero. De aquí el término que nos interesa es la resta entre
la ecuación de abajo y la de arriba multiplicadas por los factores originales, esto es:
γ
(hcos kx|∂x uk i − hcos kx|∂x ua i)
||∂x uk ||2
γ
=
((cos kx+ + cos kx− )hcos(kx)|∂x u0 i − (sen kx+ + sen kx− )hsen kx|∂x u0 i), (4.28)
||∂x uk ||2
donde hemos ocupado las expansión del coseno de la suma y u0 es el frente centrado en cero.
Si escribimos todo en función de las coordenadas ∆ y x̄ y ocupamos propiedades trigométricas
˙ es:
tendremos que el término que se agrega a ∆
k∆
˙
,
(4.29)
nuevo término en ∆ = β cos
2
con
β≡
2γ
[cos kx̄hcos kx|∂x u0 i − sen kx̄hsen kx|∂x u0 i] ,
||∂x uk ||2
notemos que lo que esta dentro de los paréntesis cuadrados es constante en virtud de 4.27.
Así las nuevas ecuaciones de la dinámica de la burbuja son:
√
√
2
9
k∆
−
2ǫ∆
˙ =
(4.30)
η − 9Iǫe
+ β cos
∆
ǫ
2
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
41
Fig. 4.11: En esta figura podemos apreciar las estructuras localizadas discretas de menor talla que
existen para un valor de los parámetros de ǫ = 1, dx = 2 y η = 0,046.
x̄˙ = 0
(4.31)
Cuya estructura de bifurcaciones en función del parámetro η queda clara con la Figura 4.12.
Esta consiste en una familia de estructuras localizadas estables e inestables que aparecen
y desaparecen por nodo-silla y que viven incluso algunas fuera de la región de bloqueo.
En la Figura 4.11 mostramos las estructuras localizadas de menor talla encontradas en las
simulaciones y que son predichas por la Ecuación 4.30.
4.4. Introducción de Ruido.
Sabemos que en situaciones físicas reales, las perturbaciones (que usualmente son bien
modeladas por términos estocásticos) son practicamente insoslayables, por lo cual puede
ser interesante preguntarse cuán resistente es el fenómeno de bloqueo ante perturbaciones
estocásticas. Esto puede ser de relevancia al momento de hacer mediciones del fenómeno.
Sabemos que aunque el frente se encuentre bloqueado sólo existe un punto en el diagrama
de bifurcación para el cual la energía de los estados homogéneos es la misma (el Punto de
Maxwell), por lo cual esperamos que al agregar ruido el sistema privilegie de alguna manera el
estado de menor energía y por lo tanto se desbloquee, esto es debido a que las fluctuaciones
hacen que dado un sistema en un estado metaestable existe una probabilidad de que las
fluctuaciones lo saquen de él para dar lugar al estado estable, como se ha visto ya en el
contexto de frentes bloquedos [10, 20]. Este fenómeno es llamado motor browniano debido a
que el sistema ocupa las fluctuaciones estocásticas en movimiento neto en alguna dirección
determinada.
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
.
∆
u
42
0
1
∆
0.6
-0.6
η
-1
Fig. 4.12: En la figura de la izquierda se grafica la dinámica del ancho de la burbuja en el caso
discreto. El parámetro η sube y baja la curva. Aumentando desde η negativo aparecen
soluciones estables de talla arbitrarimente grande, para η más grande existe una estructura
localizada de talla máxima que se hace más y más pequeña a medida que η crece, quedando
finalmente para la de menor talla que vive incluso fuera de la región de bloqueo. En la
figura de la derecha observamos en línea negra la bifurcación de los estados homogéneos y
en líneas punteadas la bifurcación tipo serpenteo encontrada numericamente en coherencia
con la interacción y que hemos graficado en unidades arbitrarias considerando el área bajo
la curva en cada una de ellas.
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
43
4.4.1. Movimiento Browniano en un Potencial Periódico y Propagación del
Frente Inducida por el Ruido.
Si en el modelo original 4.1 consideramos un ruido, el sistema 4.4 se verá de la forma:
√
(4.32)
∂t u = η + ǫu − u3 + ∂xx u + Γdx (x)(∂x u)2 + θ′ ζ ′(x, t),
donde en nuestra simulación este ruido se caracteriza por entregar
en cada punto del espacio a
√
√
′
cada paso de tiempo un valor aleatorio comprendido entre θ y − θ′ con una distribución de
probabilidad homogénea, es decir, un ruido uniformemente distribuido. Al agregar el término
ruidoso en la condición de solubilidad obtenemos un nuevo término en la ecuación para el
corazón del frente:
√
ẋ = −η + γ cos(x) + θζ(t)
(4.33)
En la cual hemos definido:
√
√
h θ′ ζ ′ (x, t)|∂x uk,ai
.
θζ(t) = −
h∂x uk,a|∂x uk,a i
(4.34)
Ahora bien, es interesante notar que de acuerdo al Teorema del Límite Central se puede
afirmar que el nuevo término es un ruido blanco gaussiano que cumple con las condiciones:
hζ(t)i = 0
y
hζ(t)ζ(t′)i = δ(t − t′ )
La ecuación 4.33 para la cual se cumplen las condiciones dichas para ζ(t) (con promedio cero
y totalmente
√ descorrelado en el tiempo) se denomina Ecuación de Langevin (de forma general
ẋ = A(x)+ θζ(t)) [47]. Este tipo de ecuación tendrá una distribución de probabilidad P (x, t)
que evolucionará en forma determinista en la manera dada por la ecuación de Fokker-Planck
[22]:
θ
(4.35)
∂t P (x, t) = ∂x −A(x) + ∂x P (x, t)
2
Encontremos la distribución de probabilidad estacionaria ∂t P = 0 que en este caso se puede
resolver analíticamente [38]. La probabilidad estacionaria cumple con:
θ
∂x −A(x) + ∂x P (x, t) = 0.
(4.36)
2
Que en el caso que nos interesa nos queda:
θ
∂t P (x, t) = ∂x η − γ cos(x) + ∂x P (x, t)
2
(4.37)
Definiendo un flujo de probabilidad J, esto es, ∂t P (x, t) + ∂x J(x, t) = 0 e integrando esta
e2V (x)/θ , con V (x) =
ecuación con ∂t P = 0 descubrimos un factor de integración dado por −2
θ
ηx − γ sen(x), de tal manera que la probabilidad se escribe como:
Z
−2V (x)
2J x 2V (x′ ) ′
P (x) = e θ
(4.38)
N−
e θ dx
θ 0
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
44
<v >
0.01
0.005
−0.15
−0.1
0.1
−0.05
−0.005
0.15
η
−0.01
Fig. 4.13: En el gráfico podemos apreciar la velocidad promedio estocástica calculada numéricamente
para valores dx = 2, viéndose claramente el desbloqueo del frente. En rojo el fiteo hecho
con la fórmula 4.45 deducida de la Ecuación de Langevin.
En la que N es una constante de integración. Demostremos que esta probabilidad es periódica,
para esto encontremos primero la integral definida para un valor arbitrario 2πn + x
Z 2π
Z 2πn
Z 2πn+x
Z x+2πn
2V (x′ )
2V (x′ )
2V (x′ )
2V (x′ )
′
′
′
(4.39)
e θ dx + ... +
e θ dx +
e θ dx′
e θ dx =
0
0
2π(n−1)
2πn
Ahora bien, como V (x) = ηx − γ sen(x), se cumple que V (x + 2πn) = V (x) + 2ηπn podemos
escribir 4.39 como:
Z 2π
Z x+2πn
4πη n−1 2V (x′ )
2V (x′ )
4πη
′
′
θ
θ
θ
dx =
dx 1 + e + . . . + e θ
e
)
e
0
0
Z x
2V (x′ )
4πnη
+e
e θ dx′ . (4.40)
0
Evaluando la serie y reordenando obtenemos:
#
#
"
"
Z
−2V (x) −4πηn
−2V (x)
2J x 2V (x′ ) ′
2JI
−2JI
P (x + 2πn) = e θ e θ
+e θ
−
e θ dx
N+
4πη
4πη
θ
θ
θ
θ(e − 1)
θ(e − 1)
0
(4.41)
El primer paréntesis cuadrado debe ser cero para que la probabilidad no diverga cuando n →
−∞ (n → ∞) y η > 0 (η < 0). Si reemplazamos el valor de 2JI obtenido de esta condición
en el segundo paréntesis, llegamos justamente a la expresión original para la probabilidad, lo
cual prueba que ella es periódica. Por lo anterios normalizamos a la unidad en un período,
obteniendo:
Z
Z
Z 2π
−2V (x)
2J 2π −2V (x) x 2V (x′ ) ′
e θ
(4.42)
e θ dx dx = 1.
N
e θ dx −
θ 0
0
0
4: Frentes y Estructuras Localizadas en Sistemas Discretos.
Por otra parte teníamos:
N+
2JI
θ(e
4πη
θ
− 1)
=0
45
(4.43)
Y haciendo un poco de álgebra se puede ver que:
hẋi = 2πJ,
(4.44)
con lo que ocupando 4.43 y 4.42 obtenemos que la velocidad promedio estocástica es:
4πη
−πθ(1 − e θ )
R
.
hẋi = R
R
−2V
(x)
2V
(x)
4πη
2π
2π −2V (x) R x 2V (x′ )
2π
′
θ
θ
θ
θ
θ
dx 0 e
dx − 1 − e
dx dx
e
e
e
0
0
0
(4.45)
Resultado que concuerda muy bien con las simulaciones y predice la forma del desbloqueo
del frente producto del ruido, como se ve en la Figura 4.13.
Experimentalmente, el efecto del ruido induciendo propagación en sistemas discretos ha sido
observado en circuitos electricos, como se explica en [29].
4.5. Conclusión
En este capítulo hemos mostrado que para el Frente Normal de la Bifurcación de Horquilla Imperfecta tiene un equivalente discreto que presenta nuevos fenómenos tales como:
oscilación en la propagación, interacción de frentes conducentes a estructuras localizadas y
rango de bloqueo. Hemos visto que, mediante la adición de fuerzas periódicas en la discretización, podemos modelar todos estos fenómenos con gran precisión. En el artículo mostrado
a continuación [7], hemos mostrado asimismo que fenómenos similares pueden ser observados
en el frente FKPP y que nuestro acercamiento al fenómeno sigue siendo adecuado.
5. FRENTES EN UN CRISTAL LÍQUIDO NEMÁTICO.
5.1. Introducción.
En este capítulo de estudia tanto teórica como experimentalmente cómo afecta a la dinámica de frentes unidimensionales entre estados homogéneos un forzamiento espacial. En
particular, se investiga cómo un forzamiento espacial induce la aparición de un rango de
bloqueo en la propagación de frentes entre estados homogéneos, y con esto la posibilidad de la
aparición de estructuras localizadas con una estructura de bifurcación de tipo serpenteo. Esta
teoría nos permite comprender los fenómenos medidos en un experimento en la Válvula de
Cristal Líquido con Retroinyección Óptica (LCLV, lyquid crystal light valve) [36].
La LCLV es un interesante dispositivo que permite el estudio experimental de ciertos fenómenos tradicionalmente agrupados bajo el término de Física No Lineal o Física de la Materia
Fuera del Equilibrio. Entre la inmensa fenomenología encontrada en varios años de estudio de
este montaje, están: frentes, estructuras localizadas, patrones de diversas geometrías, defectos
topológicos, caos espacio temporal (turbulencia óptica) y otros (ver [36] y las referencias ahí);
todos ellos de alguna manera relacionados. Toda esta amplia fenomenología se obtiene gracias
a un bucle de retroalimentación que produce nolinearidades que dan origen a multiestabilidad
y a la difracción que produce inestabilidades espaciales [31].
5.2. ¿Qué es un cristal líquido?
Los cristales líquidos son compuestos que pueden exhibir fases con propiedades intermedias (mesofases) entre un cristal ordenado y un líquido isotrópico. Ellos se caracterizan por
tener orden orientacional a gran distancia (como los cristales), lo cual quiere decir que la
orientación de las moléculas no es aleatoria, sino que está correlacionada, y distribución espacial aleatoria del centro de masa de las moléculas (como en el caso de los líquidos), aunque
esto último en mayor o menor grado dependiendo de en qué mesofase está el cristal líquido.
El más simple de los cristales lq́uidos corresponde a la fase nemática (CLN, cristal líquido
nemático) que tiene local y macroscópicamente un orden orientacional en una dirección determinada. Esto quiere decir que en un CLN las moléculas apuntan en promedio en una cierta
dirección ~n, en ausencia de campos exteriores. Esto es posible gracias a que las moléculas que
forman un CLN son alargadas (por ejemplo MBBA), Fig. 5.1, teniendo alrededor de 3nm en
la dirección alargada y 0.5nm en las otras direcciones.
Este tipo de compuesto mantiene sus propiedades de fluido gracias a que los centros de
masas de las moléculas están dispuestos de manera desordenada. El término "nemático"(del
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
47
Fig. 5.1: A la izquierda se muestra la distribución homogénea y desordenada de las moléculas en
un cristal líquido nemático así como su orden orientacional. A la derecha una molécula de
cristal líquido, N-(4-Metoxibenzilideno)-4-butilanilina o MBBA.
griego νǫµα: hilo) proviene del hecho de que al observar un cristal líquido nemático uniaxial
con luz polarizada linealmente se observan líneas claras y oscuras que corresponden a distintos
defectos topológicos del eje óptico, como se puede observar en la Figura 5.2. Para entender
esto y la física de un CLN es necesario notar que debido a la forma alargada de la molécula
ella se polariza y se magnetiza con mayor facilidad a lo largo de su eje que en cualquiera de
las otras dos direcciones (considerando el caso uniaxial), lo cual da lugar a una anisotropía
eléctrica y magnética y de aquí al hecho de que un nemático corresponda a un compuesto
birrefringente, lo cual significa que tiene dos índices de refracción distintos. Más precisamente,
esta fase es definida como aquella en la cual la única simetría rota es la orientacional y es
de tipo cuadrupolar, pues al describir al CLN mediante un parámetro de orden tensorial, se
obtiene que la función de correlación de los multipolos de orden más bajo que no se anula
cuando r → ∞ (con r la distancia entre los puntos a los cuales se les desea ver la correlación)
es aquella entre los cuadrupolos [32] 1 .
5.3. Nematoelasticidad
En un CLN, se puede definir en promedio, en cada punto del espacio, una dirección tal que
las moléculas están orientadas según ella. A este campo vectorial se le denomina el director,
~n, definido de norma 1. Esta campo puede representar el eje promedio de las moléculas o
también la dirección de sus momentos cuadrupolares, ambas descripciones son equivalentes.
Una distribución homogénea es tal que ~n = constante. Cuando el cristal líquido presenta
inhomogeneidades esta relación se modifica, y de especial interés para nosotros son las configuraciones para las cuales la variación de ~n es pequeña en distancias de orden molecular pero
significativa a ordenes macroscópicos, lo cual da origen a estados metaestables de complejidad
1
Si se considera a la molécula como una distribución de cargas eα (~ra ) consideradas con respecto a su centro
de masa y se definen los multipolos de la manera usual, se dice que un sistema posee un orden orientacional
a larga distancia si al menos una de las funciones de correlación multipolo-multipolo tiene un valor finito
cuando r → ∞.
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
48
Fig. 5.2: En la figura se puede ver la imagen de un cristal líquido nemático bajo luz polarizada
linealmente. Se pueden apreciar las franjas oscuras que corresponden a defectos topológicos
de su eje óptico.
muy variada. En esta aproximación podemos suponer que las derivadas del director con respecto a las coordenadas son pequeñas, anulándose en la fase isotrópica, por lo cual podemos
usar las derivadas del director para definir un parámetro de orden, Rsiguiendo la Teoría de
Landau-Onsager y encontrar la energía libre en forma funcional F = F dv correspondiente
a un cristal líquido nemático, la cual es conocida como Energía libre de Frank-Oseen [28].
La construcción de la energía libre se basa en el hecho que ella no puede depender del
sistema de referencia, por lo que todos lo términos deben ser invariantes, es decir, deben
corresponder a escalares construidos a partir del vector ~n.
Los invariantes de primer orden en las derivadas son ∇ · ~n y ~n · (∇ × ~n), esto es, la densidad
de energía libre a primer orden, tiene la forma F (1) = a∇ · ~n + b~n · (∇ × ~n), donde a y b
son constantes. Sin embargo, tal como hemos escrito la energía libre el primer término sólo
contribuira con un término de borde a la energía libre y no lo consideramos2 . El segundo
cambia de signo cuando invertimos los ejes y por lo tanto debe ser descartado.
Los invariantes de segundo orden los podemos encontrar definiendo el tensor de cuarto rango
∂ni ∂nk
,
∂xj ∂xl
y haciendo contracciones de él consigo mismo y con el vectos ~n [41]. Utilizando el hecho de
que el director tiene norma 1:
∂(ni ni )
∂ni
0=
= 2ni
,
∂xj
∂xj
encontramos que los invariantes no nulos son:
∂ni ∂nj
~ · ~n)2 , ∂ni ∂ni , ∂ni ∂nj , ni nj ∂nk ∂nk = [(~n · ∇)~
~ n]2
= (∇
(5.1)
∂xi ∂xj
∂xj ∂xj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
De estos, el primero y el tercer término difieren en una divergencia:
∂nk
∂
∂ni
∂ni ∂nk ∂nk ∂ni
ni
,
−
=
− nk
∂xi ∂xk
∂xi ∂xk
∂xi
∂xk
∂xk
2
Esto es debido a que sólo consideramos sistemas cuya talla es mucho mayor a la de los fenómenos que
queremos estudiar, por lo que los bordes son irrelevantes.
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
49
es decir, en un término de borde, por lo cual podemos escoger uno de ellos como representativo; por simplicidad, escogemos la divergencia al cuadrado. Por otro lado, se cumple
que
∂ni ∂ni
~ × ~n))2 + (∇
~ · ~n)2 ,
= (~n · (∇
∂xj ∂xj
por lo que podemos tomar como representativo del segundo de los invariantes de las igualdades
~ × ~n))2 .
5.1 al término (~n · (∇
~ × ~n)∇
~ · ~n,
Existe además un pseudoescalar cuadrático en las primeras derivadas (~n · ∇
pero que adolece del hecho que no posee la simetría ~n → −~n como es requerido en un cristal líquido nemático. Por último, para el cuarto de los invariantes ocupamos la identidad
~ × ~n) = −(~n · ∇)~
~ n.
~n × (∇
Así, la densidad de energía libre que da cuenta de las deformaciones elásticas, nos queda:
1
~ · ~n)2 + 1 K2 (~n · (∇
~ × ~n))2 + 1 K3 ((~n × (∇
~ × ~n))2 .
F = K1 ( ∇
2
2
2
(5.2)
Cada uno de estos términos en la energía libre tiene una interpretación geométrica clara. Así
el primer término da cuenta de una deformación tipo abanico (splay en inglés), el segundo
corresponde a una deformación tipo torsión (twist) y el tercero a una deformación tipo flexión
(bend ), como se muestra en Fig 5.3.
Estas interpretaciones geométricas simplifican los cálculos enormemente pues al reconocer
splay
twist
bend
Fig. 5.3: Tipos de deformación correspondientes a cada uno de los términos de la Densidad de Energía
Libre F . Para estos tipos de deformación subsiste sólo un término en la Densidad de Energía
Libre anulándose los dos restantes.
un tipo específico de deformación en un cristal líquido sabemos inmediatamente qué término
en la energía libre se debe anular y cuál o cuales contribuyen y le dan la configuración
de equilibrio al campo. Se puede visualizar el significado de los términos de deformación
recurriendo a las definiciones mediante integrales de los operadores rotor y divergencia.
Nos interesa, en particular (más adelante se verá por qué), el efecto de un campo eléctrico
exterior sobre el cristal líquido. La ecuación de equilibrio se deduce de la minimización de
la energía libre [32], para lo cual es necesario que la derivada funcional o la variación del
funcional sea igual a cero:
Z
δF = δF dV = 0.
(5.3)
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
Haciendo la variación en la forma usual podemos escribir:
Z
Z
∂F
δni dSj ,
δF =
−hi δni dV +
V
S ∂ni,j
50
(5.4)
donde hemos definido el campo molecular ~h:
∂F
∂
hi = −
+
∂ni ∂xj
∂F
∂ni,j
.
(5.5)
Debido a que ~n es un vector unitario, una rotación infinitesimal del director se escribe como:
δni = ǫijk δωj nk
que al sustituir en la ecuación 5.4 nos da:
Z
Z
δF =
δ~ω · (~h × ~n)dV + (C~v ) · δ~ω dS,
V
(5.6)
(5.7)
S
donde ~v es la normal unitaria a la superficie y C el tensor de rango 2 de componentes:
Cjl =
∂F
ǫijk nk .
∂ni,l
(5.8)
δF representa el trabajo de los acoplamientos exteriores aplicados al sistema luego de una
rotación δ~ω del director. En este trabajo consideraremos sólo los acoplamientos volumínicos
y no de superficie, debido a que estudiaremos fenómenos en los cuales los bordes no son
importantes debido a que el tamaño del sistema es considerablemente mayor a la longitud de
los frentes que consideraremos. Si definimos ~ΓELEC como el acoplamiento volumínico debido
a campos exteriores (en nuestro caso será un campo eléctrico) y ~ΓELAS = ~n × ~h como el
acoplamiento elástico volumínico que ejerce el medio sobre el director ~n, entonces se cumple
que en equilibrio:
~ΓELEC + ~ΓELAS = 0,
(5.9)
donde hemos despreciado la acción de otros campos, como el campo gravitacional de la tierra
[32].
5.4. Inestabilidad de Fredericks
Consideremos ahora la configuración mostrada en la siguiente Figura:
Ella representa una capa de cristal líquido fijado en los bordes paralalemente a la superficie
~ en la dirección z lo cual provoca una inclinación del director
y que es sometido a un campo E
en el interior de la capa. Este deformación es de tipo abanico, debido a lo cual el único
término que no se anula es que acompaña a K1 . Así tenemos para F y el campo molecular
(considerando ~n = (0, ny , nz ) = (0, cos θ(z), sen θ(z))), donde θ corresponde al ángulo de la
Figura 5.4:
K1
(∂z nz )2 .
F =
2
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
51
d
Fig. 5.4: Configuración idealizada de la válvula de cristale líquido. El campo de directores es paralelo
a las capas y la inclinación ocurre en el interior.
~h = (0, 0, − sen θ(∂z θ)2 + cos θ∂zz θ).
Con lo cual se puede ver facilmente que:
~ΓELAS = K1 (− cos θ sen θ(∂z θ)2 + cos2 θ∂zz θ)(1, 0, 0).
(5.10)
~ donde la
Por otra parte la densidad volumínica de energía eléctrica es ~ΓELEC = P~ × E,
~
~
~
polarización es P = ǫ0 (ǫ⊥ E + ǫa (E · ~n)~n) y, por lo tanto:
~ΓELEC = ǫ0 ǫa (E
~ · ~n)~n × E.
~
~ = (0, 0, E) y calculando esta magnitud encontramos que:
Ocupando E
~ΓELEC = ǫ0 ǫa E 2 sen θ cos θ(1, 0, 0).
(5.11)
Así, utilizando las ecuaciones 5.10 y 5.11 en la condición de equilibrio 5.9 encontramos que
la ecuación que rige el comportamiento espacial de la inclinación θ cristal líquido es:
∂zz θ − tan θ(∂z θ)2 +
1
tan θ = 0
ξ2
(5.12)
En la que hemos definido el largo de coherencia eléctrica como:
ξ2 =
K1
ǫ0 ǫa E 2
(5.13)
De la ecuación 5.12 podemos anticipar el comportamiento del cristal líquido en algunos
aspectos muy interesantes. En primer lugar, el modo θ0 (z) de esta ecuación obtenido al
linealizar la ecuación e imponer las condiciones de borde θ(0) = θ(d) = 0:
z
θ0 (z) = A sen
,
(5.14)
ξc
donde ξc = πd , con d el espesor de la capa. Suponiendo el ángulo del director se mantiene
pequeño podemos hacer un análisis debilmente no lineal de la Ecuación 5.12. Así, para tan θ ≈
3
θ − θ3 obtenemos:
θ3
1
2
= 0.
(5.15)
∂zz θ − θ(∂z θ) + 2 θ −
ξ
3
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
52
Introduciendo en esta ecuación el ansatz θ(z) = A sen ξzc + W , donde W es una corrección
pequeña, y aplicando una condición de solubilidad encontramos que la amplitud del primer
modo cumple la siguiente ecuación:
4
ξc2 − ξ 2
A − A3 = 0
2
2
ξc + ξ
(5.16)
Lo cual quiere decir que para amplitudes no nulas, es decir, para cuando la solución homogénea A = 0 deja de ser estable se cumple que:
s
1 E 2 − Ec2
A=
,
(5.17)
2 E 2 + Ec2
donde hemos expresado el largo de coherencia eléctrica en función del campo eléctrico, el cual
es el parámetro de control de esta configuración. Esta última ecuación predice cómo crece
la amplitud (ver Figura 5.5) del primer modo a medida que se sobrepasa el valor crítico del
campo eléctrico:
r
K1 π
(5.18)
Ec =
ǫ0 ǫa d
En este contexto este comportamiento se denomina Inestabilidad de Fredericks y es la fuente
(rad)
Fig. 5.5: Comportamiento de la amplitud del modo más inestable del campo θ0 cuando la solución
A = 0 deja de ser estable.
de la nolinealidad que produce la multiestabilidad 3 .
5.5. Birrefringencia
Otro aspecto fundamental del cristal líquido nemático es la birrefringencia. Debido a la
anisotropía molecular existe una diferencia en la velocidad de la luz dependiendo del ángulo
3
Esta inestabilidad corresponde a una Bifurcación de Horquilla para el ángulo del director.
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
53
que forma el campo eléctrico de la luz con el director. Así, si la luz está polarizada en la
dirección del director (rayo extraordinario) se tendrá un índice de refracción ne , mientras que
para polarización normal al director (rayo ordinario) un índice no .
Así, ópticamente, una capa de cristal líquido que es atravesado normalmente por un rayo de
luz, y cuyos directores forman un ángulo promedio θ (promedio sobre el espesor de la capa)
con la superficie tendrá para el rayo extraordinario un índice de refracción efectivo n dado
por [3]:
1
cos2 θ sen2 θ
+
.
(5.19)
=
n2
n2e
n2o
Para ∆n = ne − no pequeño se cumple a primer orden:
n ≈ no + ∆n cos2 θ.
(5.20)
Asimismo, debido a que el rayo extraordinario y ordinario tienen distinta velocidad en el
interior del CLN, existe un cambio de fase asociado a una onda que entra y se refleja dentro
de dicha capa de cristal líquido, habiendo un ángulo promedio θ. Este cambio de fase es [3]:
φ = 2k∆n cos2 θ ≡ β cos2 θ
yyyy
yy
yyyy
yy
d
Lecture
(5.21)
miroir
PC
Ecriture
ITO
ITO
V0
Fig. 5.6: En la figura podemos apreciar los elementos esenciales de la válvula de cristal líquido:
d ≈ 15µm es el espesor de la capa. La luz de lectura (lecture) ingresa al cristal y es
devuelta mediante el espejo (miroir ) adquiriendo una modulación de fase, luego ésta luz es
devuelta como luz de escritura (ecriture) convirtiéndose gracias al fotoconductor (PC) en
una modulación en la intensidad.
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
54
5.6. Montaje experimental.
En esta sección describiremos el montaje experimental mediante el cual estudiamos la
propagación de frentes entre estados homogéneos sometidos a un forzamiento espacial. Este
experimento lo realizamos en el Institut Non Linéaire de Nice, Francia, junto a la estudiante
de doctorado Florence Haudin y bajo la supervisión de la investigadora Stefania Residori.
5.6.1. La Válvula Lumínica de Cristal Líquido y El Bucle de
Retroalimentación.
La válvula de cristal líquido con retroinyección óptica consiste de una celda de cristal
líquido nemático de espesor d ≈ 15µm con un espejo y un fotoconductor dispuestos como
se indica en la Fig. 5.6 4 . Estos elementos están sometidos a un voltage externo oscilante
para evitar acumulación de cargas (f ≈1KHz a 20KHz) y de amplitud V0 controlable desde
el exterior que se aplica mediante unos electrodos transparentes de ITO (Indium tin oxide).
Las superficies que cubren al cristal líquido tienen tallado un patrón de líneas de tal manera
que en los bordes el cristal líquido adquiere esta configuración, es decir, el director es paralelo a la superficie en los bordes. Debido a la reducida longitud del espesor de la LCLV la
dinámica puede ser considerada bidimensional, en la direcciones normales a la dirección en
la cual inside la luz.
El dispositivo recién explicado recibe una luz láser de Helio-Neón (He-Ne) polarizada linealmente y de longitud de onda λ =633nm que pasa a través del cristal líquido y que por medio
del espejo y de un bucle es devuelta a la válvula con la información de la configuración de
campo del director en el cristal líquido. El rayo que pasa a través del cristal líquido es llamado
luz de lectura, pues dependiendo de la orientación del director, la fase se ve afectada, es decir,
el rayo “lee” la información del campo. Por otra parte, el rayo reintroducido a la válvula pasa
por el fotoconductor, el cual se comporta como una resistencia variable que decrece cuando
aumenta la iluminación. Así, cuando éste es alumbrado su resistencia disminuye con lo cual
aumenta el voltage aplicado a la válvula induciendo una reorientación del director; por este
motivo, se denomina a este rayo luz de escritura. En otras palabras, todo esto es posible gracias a que al pasar la luz por el cristal líquido ésta adquiere una modulación de fase; luego,
mediante un polarizador ésta modulación de fase es convertida en modulación en la amplitud
y finalmente, mediante el fotoconductor se transforma la modulación en la amplitud en una
modulación en el voltage que influye directamente la configuración espacial del director.
Todo el montaje, incluyendo el bucle de retroalimentación, se muestra en la Fig. 5.7. Expliquemos ahora con más detalle en qué consiste el bucle de retroalimentación.
El rayo de He-Ne, luego de atravesar la capa de cristal líquido, es reflejado por un espejo
ubicado dentro de la válvula. El rayo reflejado es conducido de vuelta a un espejo semitransparente. Luego, se cierra el bucle mediante una fibra óptica de alta resolución puesta
en contacto con el fotoconductor. Los lentes L1 y L2 permiten la focalización y desfocalización del rayo de manera de que llegue a la fibra óptica del mismo tamaño del que salió
de la válvula, llevando consigo la información del director. En algunos casos (pero nosotros
4
He aquí la importancia del análisis de la configuración de la Figura 5.4.
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
Pin
55
n
L1
Iin
L2
∆
L = longueur de propagation libre
Pfb
champ-proche
CCD
Pin
n
1
ψ
2
Pfb
CCD
champ-lointain
ψ
Fig. 5.7: En la figura se puede apreciar un esquema de todo el montaje, la toma de datos se hace interceptando el rayo que ingresa a la válvula mediante un separador de haces, lo cual muestra
la configuración en la válvula, campo cercano (champ-proche). Mientras que mediante un
lente convergente se puede obtener el comportamiento del campo lejano (champ-lointain).
Abajo a la izquierda podemos apreciar la relación entre los ángulos de polarización y el
director. En nuestro experimento tanto el largo de propagación libre L como la inclinación
en la luz de escritura ∆ son iguales a 0.
no investigamos este caso), se deja que el rayo se propague libremente una distancia L de
manera de difractarse naturalmente.
De manera de convertir la modulación de fase de la luz de lectura se disponen dos polarizadores a la entrada y salida de la válvula, Pin y Pf b . Pin selecciona la polarización de la luz
de entrada y Pf b controla la polarización de la luz de retroalimentación. Ψ1 es el ángulo que
forma la polarización de entrada a la válvula con ~n y Ψ2 es el ángulo que forma la polarización
de retroalimentación con ~n. La interferencia de polarización aparece siempre y cuando Ψ1 ,
Ψ2 6= 0. En particular, para Ψ1 = −Ψ2 = 45o las componentes ordinarias y extraordinarias
contribuyen de igual manera y el contraste de polarización es máximo pues se maximiza la
birrefringencia del cristal líquido.
Ahora bien, en nuestro experimento estábamos interesados en estudiar el efecto de un forzamiento espacial sobre la dinámica de frentes unidimensionales entre estados homogéneos.
Para este propósito redujimos la dinámica a una cuasiunidimensional. Esto se logró mediante
una pantalla de LCD (no mostrada en la figura) que hace el papel de modulador espacial de
luz (SLM, spatial light modulator ) de 1024 × 768 pixeles cada uno decodificado en 8 bits de
nivel de intensidad, esta pantalla es conectada a un computador en el cual se pueden generar
configuraciones de intensidad a gusto. En particular, utilizamos un perfil completamentamente opaco salvo en un rectangulo de 150µm×3mm de manera que la dinámica ocurriera
preferentemente en la dirección paralela al director en los bordes, dentro del rectángulo existe
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
una intensidad base A más una modulación periódica de amplitud B:
2πx
ˇ
Iin (x) = A + B sen
,
p
56
(5.22)
Donde la intensidad está medida en mW/cm2 . Para el tratamiento de datos se ocupó el
programa ImageJ y se hizo la conversión a unidades de gris desde 0 (negro) hasta 255 (blanco),
ug, desde ahora.
5.7. Descripción teórica.
Nos interesa describir los fenómenos mesoscópicos que ocurren en el cristal líquido producto de la influencia de la luz en él y el voltage aplicado en los bordes. La luz de lectura
es para nosotros una variable que podemos controlar (su polarización, su intensidad y su
frecuencia), mientras que la luz de escritura depende de la interacción de la luz de lectura
con el campo ~n. Por otra parte el voltage que produce la desviación del director de una
configuración homogénea a su vez depende de la luz de escritura.
Promovemos el ángulo θ del director promediado en el espesor de la válvula a un campo
θ(x, y, t) con una dinámica relajacional hacia un estado de equilibrio homogéneo θ0 y con
acoplamiento a primeros vecinos, es decir, con un término difusivo en la dirección normal al
campo eléctrico entre las capas:
τ ∂t θ = −(θ − θ0 ) + l2 ∇2⊥ θ,
(5.23)
donde el ángulo de equilibrio viene dado por una función que tiene una Inestabilidad de
Fredericks como hemos mostrado en la Sección 5.3 y τ y l son el tiempo de respuesta (≈ 30ms)
y el largo de coherencia eléctrica (≈ 40µm), respectivamente. Experimentalmente, se ha
encontrado la curva de la Figura 5.8 la cual coincide cualitativamente con nuestra predicción
teórica de la Figura 5.5, y se ha observado que la siguiente función fenomenológicamente
describe bien al sistema [11, 39]:

q
 π 1 − VF T
si V ≥ VF T
2
V
θ0 =
(5.24)

0 si V < VF T
De acuerdo a lo sabido experimentalmente, podemos suponer que el voltage efectivo V (es
decir, considerando la acción de la luz sobre el fotoconductor) en el cristal líquido depende
linealmente de la intensidad de escritura, pues es un medio tipo Kerr.
V = ΓV0 + αIw (θ, x, ∂x ),
(5.25)
donde Iw es la intensidad que llega al fotoconductor, intensidad de escritura. La dependencia
directa en x da cuenta del forzamiento espacial en la intensidad inicial I0 . Podemos calcular la
intensidad que arriva al fotoconductor ocupando el cálculo de las matrices de Jones [21].
En
1
esta representación una onda plana polarizada linealmente en la dirección x se escribe
,
0
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
57
θ
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
5
15
10
20
Vo
Fig. 5.8: Transición de Fredericks.
0
1
mientras que una polarizada en y y otra polarizada circularmente son respectivamente
i
y
. Luego, el efecto de un dispositivo óptico puede ser representado por una matriz. Así,
1
el efecto del segundo polarizador Pf b (Figura 5.7) luego del efecto de la reflexión del rayo
dentro de la válvula y su cambio de fase M, se escribe como:
~ w = PME
~ in ,
E
(5.26)
~ in . Considerando que el director
donde el efecto del primer polarizador Pin lo incluimos en E
está en la dirección x, y poniendo todo el cambio de fase sobre el rayo extraordinario en x
también, tenemos:
iφ
e
0
,
(5.27)
M=
0 1
donde φ es el cambio de fase de la Ecuación 5.21. De la misma manera, el efecto de un
polarizador
que forma un ángulo −Ψ2 con x y que actúa sobre una onda con componentes
cos Ψ2
se escribe como:
sen Ψ2
cos2 Ψ2
sen Ψ2 cos Ψ2
.
(5.28)
P=
sen Ψ2 cos Ψ2
sen2 Ψ2
cos
Ψ
1
~ in =
Ein
Por lo tanto, para una onda inicial polarizada en la dirección de Φ1 , esto es, E
sen Ψ2
se cumple que:
~ w = (Be
~ iφ + C)E
~ in ,
E
(5.29)
donde
~ = cos Ψ1 cos Ψ2
B
cos Ψ2
sen Ψ2
,
~ = sen Ψ1 sen Ψ2
C
cos Ψ2
sen Ψ2
,
(5.30)
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
58
con lo cual podemos calcular la intensidad de escritura:
~ w |2 = Iin (x)| sen Ψ1 sen Ψ1 + sen Ψ2 + cos Ψ1 cos Ψ2 e−iφ |2 .
Iw = |E
(5.31)
Evaluando en Ψ1 = −Ψ2 = 45o (que corresponde a los parámetros experimentales) y ocupando 5.21, tenemos:
Iw ==
Iin (x)
(1 − cos(β cos2 θ)).
2
Por lo tanto, nuestro modelo, más allá de la transición de Fredericks es:
!
s
π
VF T
τ ∂t θ = −θ +
1−
+ l2 ∇2⊥ θ
I
(x)
in
2
2
(1 − cos(β cos θ))
ΓV0 + α
(5.32)
(5.33)
2
De acuerdo a cómo hemos trabajado experimentalmente, el forzamiento espacial sobre la
intensidad corresponde a una perturbación periódica (perturbación en el sentido que el forzamiento es de menor orden que el valor absoluto de la intensidad) sobre un valor base de
la intensidad. Así podemos hacer un análisis de los valores de equilibrio para un forzamiento
nulo y luego perturbar las soluciones encontradas. La ecuación que cumplen los valores de
equilibrio para el ángulo promedio no es más que la ya mostrada con Iin = I0 una constante.
Esta relación es una ecuación trascendental cuya solución muestra claramente la multiestabilidad (ver Figura 5.9) entre los estados homogéneos y por lo tanto la posibilidad de frentes,
como se ve en la Figura 5.10.
θ(rad)
θ(rad)
(V)
θ(rad)
(V)
(V)
Fig. 5.9: En esta figura vemos el valor del ángulo de equilibrio en función del voltaje aplicado y para
distintos valores de la intensidad de la luz (de izquierda a derecha: I0 = 0 mW
, I0 = 0,1 mW
cm2
cm2
mW
y I0 = 0,2 cm2 ). Debido a la autointeracción producto del bucle existe multiestabilidad.
5.8. Frentes homogéneos forzados: Resultados y teoría.
Como hemos mencionado, utilizamos el SLM para crear perfiles unidimensionales, para
un valor de A = 210ug y de B = 0ug caracterizamos el estado homogéneo como se muestra
en la Figura 5.11. Hemos visto que al mover el parámetro de control V0 dentro de la región de
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
I (unid. gris)
a)
59
b)
240
220
200
V (volts)
8.85 8.9
c)
8.95
9.05
d)
I(unid. gris)
9. 1
200
150
100
50
Pixeles
50
100
150
200
250
300
350
Fig. 5.10: En esta figura podemos apreciar en a) la biestabilidad de estados con distinta configuración
del director y por lo tanto con distinto nivel de gris (escala desde 0 hasta 255). Así como
frentes bidimensionales y unidimensionales (luego de introducir la máscara) en b) y en c),
respectivamente. En d) se observa un perfil del frente unidimensional de b).
biestabilidad, tenemos frentes que se propagan con velocidad constante invadiendo el estado
más estable a aquel menos estable y siendo la velocidad del frente nula únicamente en un
punto, llamado Punto de Maxwell.
Cuando consideramos un forzamiento distinto de cero, B = 15ug, y una longitud de onda
p = 140µm encontramos que el frente se bloquea para toda una región del parámetro que
cambia la estabilidad relativa de los estados homogéneos (el voltage) y al desbloquearse lo
hace con una velocidad oscilatoria, tal y como habíamos observado en el Capítulo 4. A medida
que nos alejamos de la región de desbloqueo la oscilación se hace más homogénea que cerca de
la transición, donde el frente oscila fuertemente produciendo una propagación tipo escalera.
Esto se muestra en la Figura 5.12 dando fuerza a la idea de la barrera de potencial creada
producto del forzamiento, como lo hemos estudiado anteriormente.
Simulaciones numéricas del modelo de la válvula predicen las oscilaciones en la propagación y también el hecho de que el aumento de la longitud de onda disminuye la velocidad de
propagación como se ve claramente en la Figura 5.13, en donde se contrastan los resultados
numéricos y experimentales. Por otra parte, cerca del nacimiento de biestabilidad la teoría
de formas normales predice que la dinámica básica se reduce a una Ecuación de Horquilla
Imperfecta. En efecto, en torno al nacimiento de biestabilidad podemos a partir del modelo
5.23 deducir la siguiente ecuación:
2πx
3
2
,
(5.34)
τ ∂t φ = η + ǫφ − φ + l ∂xx φ + (b + cφ) sen
p
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
60
0.15
0.6
1.2
x (mm)
v (mm/s)
0
0.10
0.05
0
-0.05
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9 V0 (V)
Fig. 5.11: Velocidad del frente para distintos valores del voltage en el caso no forzado. La zona de
fondo celeste corresponde al intervalo de biestabilidad, los puntos corresponden a los datos
experimentales y la línea recta a un fiteo lineal. En la parte superior del gráfico se pueden
observar dos imágenes del frente para tiempos sucesivos, t = 0 y t = 4.
donde
θ ≈ θ0 + φ
2β cos 2θ0 cot(β
cos2
θ0 ) +
4+β 2 sen 2θ0
3
−
2
(π/2−θ0 )2
1/2 ,
y el resto de los parámetros depende de aquellos del experimento, como se muestra en las
referencias [24, 23].
Haciendo perturbaciones sobre el estado de equilibrio φ = 0 del sistema simetrizado
(η = 0) en la Ecuación 5.34 podemos hacer cálculos completamente similares a los del capítulo
4 y encontrar expresiones analíticas para el comportamiento de la velocidad, como se muestra
en la Figura 5.14.
A continuación presentamos dos artículos en los cuales se dan más detalle del presente
trabajo [24, 23]. Por último, es interesante destacar que hemos logrado observar estructuras
localizadas sostenidas mediante el forzamiento y que tienen una estructura de bifurcación de
serpenteo como hemos predicho para una forma normal como 5.34.
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
a)
<v> (mm/s)
0.10
3
2
1
0.05
0
-0.05
0
5.5
5.6
250
b)
200
5.7
0.4 0.8 1.2
x (mm)
5.8
5.9
V0 (V)
c)
1
2
150
100
0
0.8
0.2
0.4
x (mm)
0.6
x(mm)
I(x) (g. v.)
61
0
0
3
7
t (s)
14
Fig. 5.12: En la figura a) podemos observar el comportamiento de la velocidad promedio del frente
hvi para el caso forzado A = 210ug, B = 15ug y p = 140µm. Nuevamente el fondo de
color celeste representa la zona de biestabilidad, mientras que la zona amarilla el rango
de bloqueo, fenómeno debido al forzamiento. Para los mismos parámetros se muestra en
b) un perfil del frente en donde se observa el forzamiento y su distinta influencia en los
distintos estados de equilibrio. Finalmente en c) observamos diagramas espacio-temporales
de la propagación del frente en las distintas regiones 1, 2 y 3.
5: Frentes en un cristal líquido nemático.
0
62
0 x(mm) 1.4
b)
a)
d)
c)
e)
t(s)
4
8
12
0
0
0.5
1.0 x/Lx
g)
f)
h)
t/τLC
200
400
600
800
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
<dx0/dt> (a.u.)
<dx0/dt> (a.u.)
Fig. 5.13: En estos gráficos espacio-temporales se muestran los resultados experimentales (arriba)
para la propagación en el caso de una condición inicial local y con longitudes de onda p=
a) 115, b) 173), c) 230, d) 280, e) 345 µm. Abajo, resultados de las simulaciones numéricas
del modelo 5.34 para p= f) 50, g) 100, h) 200 µm
0.2
0.1
0
-0.1
7.0
-0.2 -0.1
0.1 0.2 0.3
η
7.1
7.2
V0 (V)
-0.04
-0.06
Fig. 5.14: Comportamiento de la velocidad promedio en función del parámetro de bifurcación para:
a) el modelo de la válvula y b)) la forma normal en torno al nacimiento de biestabilidad.
Los puntos fueron obtenidos numéricamente y las líneas sólidas corresponden a los fiteos
de ecuaciones idénticas a las encontradas en el Capítulo 4. En ambos casos los parámetros
son A = 210ug, B = 15ug y p = 50µm
6. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS.
Durante el transcurso de las investigaciones que dieron lugar a esta tesis hemos revisado la
teoría de frentes unidimensionales y cómo a partir de ellos se puede comprender la aparición
de estructuras localizadas. A partir de estos resultados, ya conocidos, hemos sido capaces de
abordar principalmente los siguientes dos tópicos:
⋄ Se investigó la dinámica de frentes en ecuaciones que en su límite continuo correspon-
den a frentes conocidos y se encontró diversos fenómenos no vistos en la contraparte
continua, vale decir: oscilación en la propagación, rango de bloqueo, y aparición de estructuras localizadas discretas. Mediante el análisis cualitativo y numérico del potencial
discreto se propuso y justificó la adición de una fuerza periódica en la ecuación continua
de manera de emular el comportamiento discreto y explicar los fenómenos encontrados.
A partir de esto, se mostró que existe gran concordancia entre los resultados numéricos
y analíticos y que podemos entender las estructuras localizadas discretas y su diagrama
de bifurcación de tipo serpenteo.
Como tarea a futuro, sería deseable poder deducir matemáticamente el potencial de
Peierl-Nabarro, el cual está geométricamente ya justificado, además de contrastado
numéricamente por nuestras investigaciones.
⋄ Por otra parte, se estudió experimentalmente, en la Válvula Lumínica de Cristal Líqui-
do con Retroalimentación Óptica, la dinámica de frentes unidimensionales sometidos
a un forzamiento espacial. Para entender los resultados obtenidos, del todo análogos
a los descritos en el caso discreto, se construyó la teoría física de la Válvula, encontrando mediante la Teoría de Landau la energía libre y las ecuaciones de las configuraciones de equilibrio, mostrando la existencia de la Inestabilidad de Fredericks, para
luego proponer un modelo que, en torno al nacimiento de biestabilidad, tiene practicamente la misma forma antes investigada para el frente normal más el forzamiento de
Peierls-Nabarro; todo lo cual nos permitió aplicar los resultados teóricos y comprender,
mediante fiteos analíticos y simulaciones numéricas, los resultados experimentales.
La investigación experimental del cristal líquido sometido a forzamiento espacial puede
ser extendida a dos dimensiones y en estos momentos se trabaja en resultados tendientes a ver la posibilidad de la utilización de los cristales líquidos como posibles medios
de almacenamiento de información.
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