ELIPSE E HIPERBOLA ok

ELIPSE
•  Las órbitas de los planetas son elípticas. La excentricidad de la
órbita de la Tierra es muy pequeña (menor de 0.2), de manera que
la órbita es casi circular. La órbita de Plutón es la más excéntrica
(cercana a 0.25).
Muchos cometas
tienen órbitas
extremadamente
excéntricas. Por
ejemplo, el cometa
Halley , ¡tiene una
excentricidad orbital de
casi 0.97!
 
Leyes de Kepler
Notas: no hay nada en el otro foco o en
el centro. La Segunda Ley quiere decir
que los planetas giran alrededor del Sol
mas rápido cuando están mas cerca de
él. Estas leyes valen para cualquier
cosa que esté orbitando alrededor de
cualquier cosa debido a la gravedad.
3
Segunda Ley de Kepler Animada
4
Leyes de Kepler
5
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del
plano tales que la suma de las distancias a dos puntos
fijos llamados focos es constante.
constante
1) Dibujar una circunferencia utilizando un compás (el radio puede
ser cualquiera)
2) Nombrar al punto centro de ésta como foco F’.
3) Elegir un punto cualquiera dentro de la circunferencia para
obtener el segundo foco (F).
4) Marcar un punto cualquiera de la circunferencia (G) y trazar con
la regla un segmento hacia cada uno de los focos.
5) Dibujar con la regla la mediatriz* del segmento
* La mediatriz es la recta perpendicular al punto medio de un segmento.
6) La intersección de la mediatriz con el segmento
cualquiera de la elipse.
es un punto
7) Para obtener más puntos se debe repetir este proceso utilizando
diferentes puntos de la circunferencia.
8) Una vez obtenidos los puntos que se estimen necesarios, se
deben unir para formar la elipse.
1) Conociendo a y b se sabe que la elipse es horizontal ; a > b
-  Con centro en O, dibujamos un círculo de radio a y otro de radio b.
-  Trazamos cualquier radio que corte el círculo interior en R y el exterior
en Q.
2) Trazamos una recta paralela al eje mayor que pase por R, y una
recta paralela al eje mayor que pase por Q.
3) P(x,y) será el punto de intersección de estas últimas rectas, el cual
está en la elipse.
- Ecuación de la elipse:
.
.
.
.
- Considerando el triangulo OMQ:
de donde:
- De la misma manera:
(1,1)
- Sacamos MQ:
- Sustituimos MQ en (1.1):
de donde:
centro
vértice
1
.
. foco
F2
V2
.M
vértice
. foco
. .
.M eje focal
F1
V1
2
V1V2 : eje mayor
M1M2: eje menor
y
F2
.
.(h,k) .
F1
x
2
2
(x
h)
(y
k)
____ + ____ = 1
a2
b2
y
F1
F2
.
(h,k)
.
.
x
2
2
(y
k)
(x
h)
____ + ____ = 1
a2
b2
ELIPSE
•  La ecuación de la elipse con focos en los
puntos F1(-c, 0) y F2(c, 0), eje mayor 2a, y
eje menor 2b, viene dada por:
ELIPSE
•  Si P(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se
tiene que, de acuerdo a la definición:
donde F(-c, 0), F´(c, 0) y P(x,y)
Desarrollamos la expresión:
Pasamos la primera raíz al otro miembro y elevamos al cuadrado.
Simplificando queda:
Volvemos a elevar al cuadrado:
ELIPSE
Se reduce:
Recordando que, por Pitágoras,
y dividiendo todo por
entonces queda
ELIPSE
Elementos de la elipse:
• 
• 
• 
• 
La distancia focal es el segmento F1F2, cuya longitud es 2c.
El semieje mayor a es la mitad del segmento AB. Fijaos en que
2a= d(A,F1) + d(A,F2) = d(A,B)
k=2a se llama constante de la elipse.
El semieje menor b es la mitad del segmento CD.
ELIPSE
•  Excentricidad de la elipse es el cociente c/a.
Cuanto mayor es la distancia entre los focos
(2c), mayor es la excentricidad.
•  Si la excentricidad es
cercana a 0, se asemeja a
un círculo.
•  Si es cercana a 1, la elipse
es larga y delgada.
ELIPSE
•  Las órbitas de los planetas son elípticas. La excentricidad de la
órbita de la Tierra es muy pequeña (menor de 0.2), de manera que
la órbita es casi circular. La órbita de Plutón es la más excéntrica
(cercana a 0.25).
Muchos cometas
tienen órbitas
extremadamente
excéntricas. Por
ejemplo, el cometa
Halley , ¡tiene una
excentricidad orbital de
casi 0.97!
 
•  El eje x que contiene
dos puntos de la
hipérbola se llama eje
transversal; el eje y,
eje conjugado.
•  Los puntos (±a,0) del
eje transversal son los
vértices, y el punto de
intersección de los ejes
(0,0), se llama centro.
•  Un punto (x,y) está en la hipérbola con
vértices (±a,0) y focos (±c,0) si y solo si
satisface la ecuación
•  En la cual b2=c2-a2.
•  Para toda hipérbola existen dos líneas a las que
la curva se acerca cada vez más en sus
extremos. A estas rectas se les denomina
asíntotas.
•  Debemos decir que las parábolas no tienen
asíntotas, por consiguiente , una hipérbola no es,
como podría suponerse al ver diagramas mal
trazados, un par de parábolas.
La hipérbola representada por
, o,
Tiene asíntotas representadas por
y
Vamos a suponer que
Para valores positivos de x (primer cuadrante).
Para un valor dado de x veamos la diferencia d,
entre las ordenadas de los puntos de la
hipérbola y la recta.
Multiplicamos el numerador y el denominador
por y obtenemos
Propiedades de la hipérbola.
1.  La curva es simétrica a ambos ejes, es
decir, la recta focal y la mediatriz del
segmento focal son ejes de simetría.
2.  El punto de intersección de las dos rectas
antes mencionadas es el centro de simetría
de la curva, el cual se conoce como centro
de la hipérbola.
3.  Intersección con los ejes coordenados.
Intersección con los ejes coordenados
a)
b)
Con el eje x
Sea y=0 entonces x2/a2=1 ∴
x=± a
A partir de este resultado se
observa que en el eje focal
existen dos puntos, V’(-a,
0),
V(a,0)
que
se
denominan
vértices
y
equidistan una distancia a
del centro.
Con el eje y
Sea x=0 entonces –y2/b2=1, por lo tanto, y=± bi.
La intersección con el eje y es imaginaria, por tanto, no hay intersección con
el eje real y la hipérbola no corta su otro eje de simetría; y se le conoce
como eje conjugado de la hipérbola.
Interpretación geométrica de a, b y c
•  Considere la figura que se
muestra
•  De la figura se observa que
c2=a2+b2
•  a es la distancia media
entre los dos vértices de la
hipérbola,
semieje
transverso.
• 
se define como eje
conjugado, por tanto b
representa la mitad de este
eje.
•  c se considera como una
hipotenusa de un triángulo
cuyos catetos son a y b, se
define como la
semidistancia focal,
Asíntotas de la hipérbola
•  Para una curva
dada existe una
recta que a medida
que un punto de ella
se aleja del origen,
la distancia de ese
punto a la recta
decrece, es decir,
tiende a cero; a
dicha recta se le
denomina asíntota.
En la figura se observa que las rectas diagonales del rectángulo MNRS
tienen por ecuación
Por otro lado, de la ecuación
Al despejar y de esta obtenemos
factorizando
En esta última ecuación, el valor de y para valores muy grandes de x se
reduce a
Puesto que
tiende a cero;sin embargo el radicando
siempre será menor a uno, por lo tanto también será la raíz cuadrada.
De aquí que el valor
menor que el valor de
de la curva siempre será
, que corresponde a la recta.
De lo anterior se puede concluir que las diagonales
ecuaciones
, son las asíntotas de la curva.
y
con
Lado recto
La longitud de la cuerda que pasa por el foco y es
perpendicular a la recta focal se llama lado recto.
De la figura observamos que para
obtener la mitad del lado recto
Al sustituir el valor de x por c en la
ecuación
despejando y
Ecuación ordinaria de la hipérbola con
centro en el origen y eje focal paralelo al eje
y
Focos en el eje y equidistantes al origen
Ecuación de la
hipérbola
Ecuaciones de las
asíntotas
Ecuación ordinaria de la hipérbola con
centro fuera del origen y eje focal paralelo
al eje x
Hipérbola con centro fuera
del origen y eje focal
paralelo al eje x.
Ecuación de la hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas
Ecuación ordinaria de la hipérbola con
centro fuera del origen y eje focal paralelo
al eje y
Hipérbola con centro fuera
del origen y eje focal
paralelo al eje y.
Ecuación de la hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas