Llista 3. Probabilitat (Grups 1-2-3-4).

Llista 3. Probabilitat (Grups 1-2-3-4).
1. Un conductor ha de atravesar con su vehı́culo la Diagonal. Supón que dicha avenida cuenta con
10 semáforos. El conductor pasa el semáforo si encuentra la luz verde y no pasa en caso contrario.
Suponiendo además que los semáforos no están sincronizados (son independientes entre si) y que
la probabilidad de que el semáforo está en verde es de 0.65, calcula,
a) La probabilidad de detenerse 5 veces en los 10 semáforos.
b) La probabilidad de que no se detenga ninguna vez en su trayecto.
c) La probabilidad de que tenga que detenerse en cada uno de ellos
d) Esperanza del número de veces que se detiene en su trayecto. Proporciona una interpretación
de esta cantidad.
e) Calcula la probabilidad de que tenga que detenerse más de seis veces. Para este cálculo,
utiliza la función de R pbinom(3, 10, 0.65 ) que proporciona el valor de la función de
distribución F (3) en una distribución binomial de parámetros n = 10 y p = 0,65. Recuerda
que también podı́amos utilizar la función de masa dbinom(0:3, 10, 0.65 ) que da las
probabilidades de cada uno de los valores de 0 a 3.
Solució: Sea Y la variable aleatoria que vale 1 si el semáforo está en verde y 0 en caso contrario;
según el enunciado Y ∼ Bern(0,65). Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de
semáforos que el conductor encuentra en verde entre los 10 de la Avda. Diagonal; tenemos que
X ∼ Bin(10, 0,65).
a) El suceso ‘Detenerse 5 veces en los 10 semáforos’ es el mismo que encontrar exactamente 5 semáforos en verde entre los 10 y por eso la probabilidad pedida es P (X = 5) =
10
5
10−5 = 0, 1536.
5 0, 65 (1 − 0, 65)
b) El suceso ‘No se detenga ninguna vez en su trayecto’ es decir X = 10 en términos de la
10
10−10 =
variable aleatoria. La probabilidad pedida es P (X = 10) = 10
10 0, 65 (1 − 0, 65)
0, 0135.
c) Se trata ahora de calcular P (X = 0) =
10
0
0, 650 (1 − 0, 65)10−0 = 2, 7585 · 10−5 .
d) La esperanza del número de veces que se detiene en su trayecto es 10 − E[X] = 10 − 6, 5 =
3, 5. Podemos entender este valor esperado como el valor promedio que tendrı́a el número
de veces que para en los semáforos de la Diagonal sobre un número elevado de repeticiones
del experimento aleatorio, esto es de atravesar con el vehı́culo la Avda. Diagonal.
e) El número de veces que se detiene en su trayecto es 10 − X. Si queremos 10 − X >
6 ⇔ X < 4 ⇔ X ≤ 3. Entonces, pbinom(3, 10, 0.65 ) = 0.02602428; o bien:
sum(dbinom(0:3, 10, 0.65 )) = 0.02602428. De manera que la probabilidad es del
2,6 % ≈ 3 %.
2. El conductor del problema anterior está buscando sitio para aparcar. La probabilidad de que en
100 metros encuentre un sitio libre es 0.05.
a) ¿Cuántos kilómetros en media tardará en encontrar aparcamiento? (Nota: si encuentra aparcamiento entre los metros 0 y 100, entenderemos que ha recorrido 100 metros, entre los 100
y 200 metros, ha recorrido 200 metros, etc.)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que recorra exactamente 1.2 km hasta encontrar aparcamiento?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que después de 1 km está todavı́a al volante ?
Solució: Sea Y la variable aleatoria que vale 1 si en 100 metros encuentra un sitio libre y 0 en
caso contrario; según el enunciado Y ∼ Bern(0,05). Sea X la variable aleatoria que cuenta el
número de tramos de 100 metros que el conductor realiza hasta encontrar el primer sitio libre;
tenemos que X ∼ Geom(0,05).
a) Los tramos de longitud 100 metros esperados que tardará en encontrar aparcamiento corresponden a E[X] =
1
0,05
= 20 que, expresados en kilómetros, son 2 km.
b) La probabilidad de que recorra exactamente 1,2 km hasta encontrar aparcamiento corresponde, en términos de X a valer 12; ası́ P (X = 12) = 0, 9511 · 0, 05 = 0, 0284.
c) La probabilidad de que después de 1 km está todavı́a al volante es P (X > 10) = 1 − P (X ≤
10) = 1 − 0, 4013 = 0, 5987.
3. Se tiran 3 dados de manera secuencial, cada uno de ellos tiene 6 caras marcadas con un número
distinto del 1 al 6. Calcula,
a) Esperanza y varianza de la variable X definida como la suma de las puntuaciones de los tres
dados.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las caras sea un número par?
c) Calcula la probabilidad de que el no. de tiradas hasta obtener un trı́o sea mayor que 3.
d) Calcula el valor esperado de la variable no. de tiradas hasta obtener un trı́o.
e) Calcula la probabilidad de que el no. de tiradas hasta obtener un trı́o sea mayor que 24. Para
este cálculo puedes utilizar la función de R pgeom(23, p) donde p es la probabilidad de un
trı́o en una tirada de tres dados.
Solució:
a) Si Y es la uniforme discreta de 1 a 6, tenemos que E[Y ] =
((6+1)·(6−1))
12
6+1
2
= 3,5 y var[Y ] =
= 2,916667. Las variables asociadas a cada uno de los dados son indepen-
dientes, de manera que E[X] = E[Y1 ] + E[Y2 ] + E[Y3 ] = 3 · 3,5 = 10,5. Igualmente,
V [X] = 3 · V [Y ] = 3 ·
((6+1)·(6−1))
12
= 8,75.
b) Sea ahora Y la variable aleatoria que vale 1 si la cara del dado es impar y 0 en caso
contrario; según el enunciado Y ∼ Bern(0,5). Sea ahora también X la variable aleatoria
que cuenta el número de dados entre los 3 que se tiran que muestran cara impar; tenemos
que X ∼ Bin(3, 0, 5). La probabilidad de que al menos una de las caras sea un número par
puede ser obtenida como 1 − P (X = 3) = 1 − dbinom(3, 3, 0,5) = 0,875.
c) Sea X el número de tiradas hasta conseguir el primer trı́o ∼ Geom(1/36) pues la probabilidad
de un trı́o en la tirada de tres dados es: 6 · (1/6)3 = 1/36. Nos piden P (X > 3) =
1-pgeom(2,1/36) = 0,91896.
d) Por las propiedades de la distribución geométrica, será 1/(1/36) = 36.
e) La probabilidad buscada es: 1 - pgeom(23,1/36)= 0,5085961.
4. Un equipo especializado en la búsqueda de tréboles de cuatro hojas se ha embarcado en una
expedición. En media, por cada dı́a de trabajo recogen aproximadamente 2 unidades. Supón que
la distribución del número de tréboles encontrados sigue una ley de Poisson.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres dı́as hayan encontrado tres tréboles? (suponemos que
el número de tréboles recogidos en un dı́a es independiente de la recogida en los otros dı́as)
b) Una nueva técnica (que llamaremos técnica T) ha revolucionado la recogida de tréboles de
manera que ahora es posible recoger tres veces más tréboles en la misma unidad de tiempo.
Proporciona el número medio de tréboles recogidos por un equipo que disponga de esta
tecnologı́a ası́ como la varianza de la correspondiente distribución.
c) Supón que un equipo buscador de tréboles ha encontrado 4 tréboles en una dı́a. Si la probabilidad inicial de poseer la técnica T es 0.3, ¿Cuál es la probabilidad de que ese grupo tenga
la técnica T?
Solució:
a) Sea Xi la variable aleatoria que cuenta el número de tréboles encontrados en el dı́a i,
i = 1, 2, 3; según el enunciado Xi ∼ P oiss(2), pues de media se recogen 2 tréboles por dı́a.
según la independencia entre las Xi , X = X1 + X2 + X3 ∼ P oiss(6). ası́, la probabilidad
3
de que en tres dı́as hayan encontrado tres tréboles es P (X = 3) = e−6 63! = 0, 0892.
b) Sea T la variable aleatoria que cuenta el número de tréboles encontrados en un dı́a cualquiera
con la técnica nueva; como ésta permite recoger tres veces más tréboles en la misma unidad
de tiempo T ∼ P oiss(6). ası́ E[T ] = 6 y var[T ] = 6.
c) Sea ‘TecT’ el suceso ‘Se tiene la técnica técnica T’ y ‘Treb4’ el suceso ‘Se han recogido 4
tréboles en un dı́a’. según el Teorema de Bayes,
4
P (T ecT|T reb4 ) =
e−6 64! · 0, 3
4
e−6 64!
· 0, 3 +
4
e−2 24!
· 0, 7
=
0, 0402
= 0, 3887
0, 1033
Este problema podrı́a haber admitido también la siguiente interpretación:
b) Sea T la variable aleatoria que cuenta el número de tréboles encontrados en un dı́a cualquiera
con la técnica nueva; como ésta permite recoger tres veces más tréboles es T = 3 · X1 (en
realidad T = 3 · Xi , para cualquiera de las Xi ). ası́ E[T ] = 3 · E[X] = 6 y var[T ] =
32 · var[X] = 18.
c) Sea ‘TecT’ el suceso ‘Se tiene la técnica técnica T’ y ‘Treb4’ el suceso ‘Se han recogido 4
tréboles en un dı́a’. según el Teorema de Bayes,
P (T ecT|T reb4 ) =
P (T reb4|T ecT ) · P (T ecT )
0 · P (T ecT )
=
=0
P (T reb4)
P (T reb4)
pues 4 no es un valor observable para T = 3 · X1 ; observemos que los valores obsrvables
para T serán los elementos del conjunto {0, 3, 6, 9, 12, . . . } dado que X1 toma valores en
{0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
5. Una companyia d’assegurances ha introduı̈t una pòlissa d’assegurances de 100000 euros per un
tipus d’accident personal que és molt poc freqüent. HI ha una mitjana de 6 accidents per any
que porten a pagament dels 100000 euros. La companyia té un milió d’assegurats amb aquest
contracte, i cada assegurat paga 25 euros l’any.
a) Quina és la probabilitat que la companyia hagi de pagar més de 15 milions de euros en un
any ?
b) Calcula el valor esperat i la variància del pagament de la companyia en aquesta pòlissa. Fes
el mateix per la variable guany.
c) Emprant R fes una simulació de deu anys de guanys / pèrdues de la companyia en aquesta
pòlissa. Comenta la variabilitat d’aquests guanys. Pots emprar la funció rpois(10, lambda)
on lambda és el paràmetre de la corresponent distribució de Poisson.
Solució: El nombre d’accidents Y tindrà distribució de Poisson de λ = 6. La companyia ingressa
25 milions d’euros amb aquesta assegurança. El pagament X = Y · 100000 euros.
a)
15·106
105
= 15 · 10 = 150 accidents l’any.
P (X > 15 · 106 ) = P (Y > 150) = 1 − ppois(150, 6) ≈ 0
La probabilitat és pràcticament zero.
b) E[X] = 105 E[Y ] = 6 · 105 . Valor esperat igual a 600, 000 euros. La variància és: V [X] =
(105 )2 V [Y ] = 6 · 1010 . La variable guany G = 25 · 106 − Y · 100000 te valor esperat
E[G] = 25 · 106 − 600000 euros. La variància és la mateixa que la de la X calculada
anteriorment.
c) en Milions d’euros, els guanys simulats en deu anys són: 25-rpois(10,6)*0.1
24.3 24.3 24.4 24.3 24.3 24.4 24.3 24.7 24.2 24.4
Veiem que un bon negoci!