H - USC

RIESGO MORAL
(i)
Comportamiento (acciones) del A no observable para el P (o, simplemente, no verificable). P. ej.:
si A puede ejercer distintos niveles de esfuerzo, con RM el P no sabe cuál de ellos lleva a cabo.
(ii)
Hacer esfuerzo supone desutilidad para el A
(iii)
Única variable contratable: el resultado al final del periodo
(iv)
Contrato: lista de pagos c = ( w1,..., wn ) que indica el reparto de cada nivel de excedente xi posible
( wi para el A y xi - wi para el P)
(v)
P debe tener en cuenta que, una vez firmado contrato, A elige libremente el comportamiento que
le resulte + ventajoso
1
(vi)
P puede motivar al A por las consecuencias de su comportamiento (haciendo depender su
remuneración del resultado)
Planteamiento del problema de RM
P puede estudiar qué esfuerzo desea que haga el A (pero no puede incorporar esto en los términos del
contrato)
Problema del P: Determinar el contrato óptimo. El contrato óptimo debe conciliar dos aspectos:
(i)
Eficiencia, en forma de reparto óptimo del riesgo entre las partes
(ii)
Provisión adecuada de incentivos al A
2
Formalmente, si ∑in=1 Pi (e) × B( xi − w( xi )) es el bº esperado del P, esto equivale a resolver el problema:
max
[ e,{w( xi ) i∈I
n
∑i =1 Pi (e) × B( xi − w( xi ))
}]
n
∑ Pi (e) × u ( w( xi )) − v(e) ≥ u
i =1
s.a: 

n
e ∈ arg max ∑ Pi (eˆ) × u ( w( xi )) − v(eˆ)
eˆ i =1

(1)
La restricción CI contiene otro problema de max: Dada la libertad de decisión del A, la CI indica que el A
elige el esfuerzo que max su utilidad esperada neta.
3
El caso + simple: Esfuerzo discreto (Dos niveles de esfuerzo)
} P neutral al riesgo, B( xi − wi ) = xi − wi , (si A neutral, la solución es: franquicia)
} Dos niveles de esfuerzos e ∈ {e H , e L } ; v(e H ) > v(e L ) : proveer el esfuerzo alto es + costoso para el A que
proveer el esfuerzo bajo
} Si P desea inducir e L , no hay problema de riesgo moral: basta con proponer un contrato al A dado por un
pago fijo wmin que sature la RP: wmin = u −1 (u + v(e L ))
4
Resultado: Para inducir e L , P paga una cantidad fija igual a la que pagaría en info simétrica para garantizar al
A la utilidad de reserva (y se cumple la restricción CI)
} P desea e H : Ya no sirve un pago fijo como antes: La restricción CI que garantiza que el A elegirá e H es
n
n
i =1
i =1
∑ Pi (e H ) × u ( w( xi )) − v(e H ) ≥∑ Pi (e L ) × u ( w( xi )) − v(e L ) ,
donde Pi (e H ) = Pi H es la prob de obtener el resultado i habiendo realizado el esfuerzo e H (lo mismo para el
esfuerzo bajo)
El problema del P es:
5
max
{ w ( xi ) i ∈ I
n
P H × ( xi − w( xi ))
∑
i =1 i
}
n H
∑ Pi × u ( w( xi )) − v(e) ≥ u

s.a: i =n1
 [ P H − P L ] × u ( w( x )) ≥ v(e H ) − v(e L )
i
i
i
i∑
=1
(2)
Ordenemos de peor a mejor los excedentes posibles, x1 < x2 < ... < xn . Cada nivel de esfuerzo e genera una
distribución de probabilidades P1 (e), P2 (e),..., Pn (e) sobre el resultado obtenido, siendo Pi (e) = Pr( x = xi e)
Sup tambien que al aumentar el esfuerzo aumenta (estocásticamente) el valor del resultado obtenido, i.e.,
disminuye la prob de conseguir los peores niveles del resultado
Hipótesis: Dominancia estocástica de Primer Orden:
6
∀k
k
∑ Pi
i =1
H
k
<∑ Pi L , k = 1,..., n − 1
(3)
i =1
La prob de obtener un resultado malo (inferior o igual a xk ) es menor cuando se hace e H que con e L
Cuando las desigualdades (3) se cumplen, decimos que P1H ,..., PnH domina estocásticamente a P1L ,..., PnL en x
Ejemplo: Si hay dos resultados posibles, x1 < x2 , y la matriz de prob es
eH
eL
P1 (e)
1
4
3
4
P2 (e)
3
4
1
4
7
es claro que P1H , P2H domina estocásticamente a P1L , P2L .
El lagrangiano del problema (2) es
n
n
L({w( xi )}, λ , µ ) = ∑i =1 Pi H × ( xi − w( xi )) + λ[∑i =1 Pi H × u ( w( xi )) − v(e H ) − u ]
n
+ µ[∑i =1[ Pi H − Pi L ] × u ( w( xi )) − v(e H ) + v(e L )]
CPO: Derivando con respecto a wi ,
− Pi H + λPi H u′( w( xi )) + µ[ Pi H − Pi L ]u′( w( xi )) = 0, i = 1,2,..., n
8
Pi H
= λPi H + µ[ Pi H − Pi L ]
u′( w( xi ))
(4)
÷ (4) por Pi H ,
 Pi L 
1
= λ + µ 1 − H 
u′( w( xi ))
 Pi 
Proposición: λ > 0
Dem: Sumando (4) desde i = 1 hasta n,
9
(5)
n
n
Pi H
H
=
λ
P
+
µ
∑ u′( w( x )) ∑ i
∑ [ Pi H − Pi L ]
i =1
i =1
i =1
i
n
Pi H
>0
′
u
w
x
(
(
))
i =1
i
n
λ=∑
This means that RP is binding:
Proposición: µ > 0 (para lo cual es condición suficiente que Pi H domine estocásticamente a Pi L )
(This jeans that CI is also binding)
10
Dem. (Obviar) Si µ = 0 , en (5) resulta u′( w( x1 )) = ... = u′( w( xn )) =
1
λ
≡ cte , con lo cual w1 = ... = wn = w . Pero
entonces CI se transforma en
….
e L viola CI
Si µ < 0 , en (5) resulta
> λ , si

1
= λ , si
u′( w( xi )) 
< λ , si
Pi L > Pi H
Pi L = Pi H
Pi L < Pi H
En el modelo de base, cambiando u podemos hacer que λ̂ adopte cualquier valor positivo
11
…
PROPOSICIÓN: Siendo λ , µ > 0 , la solución del problema del P es




1


u′( w( xi )) =


PL 
 λ + µ 1 − iH  
 P 

i 

⇒




1

−1 
w( xi ) = (u′)


PL 
 λ + µ 1 − iH  
 P 

i 

Pi L
El pago varía en función del resultado (aunque no exactamente), sii el cociente de verosimilitud H decrece
Pi
con i. Ésta es la llamada propiedad del cociente de verosimilitud monótono (monotone likelihood ratio
property)
12
Proposición (Monotone Likelihood Ratio Property). El salario es creciente en i sii LR es decreciente en i.
Cuanto + pequeño el cociente de verosimilitud mayor es Pi H con respecto a Pi L y, por tanto, + fuerte es la
señal de que el esfuerzo elegido ha sido e H . Es + probable que el esfuerzo elegido haya sido e H si
observamos el resultado xi .
Conclusión: Si P paga en función del resultado es porque éste es el único medio de influir sobre el esfuerzo
del A, no porque no pueda prever el comportamiento que adoptará el A cuando firma el contrato.
13
Esfuerzo continuo
} e ∈ [0,1] . Dificultades técnicas por el doble problema de max existente
} Solución del problema (enfoque de primer orden): Sustituir el program de max del A (restricción CI) por
la CPO de dicho programa. Segunda restricción del programa del P se sustituye por
n
dPi (e)
u ( w( xi )) − v′(e) = 0
de
i =1
∑
Entonces, CPO resulta
14
− Pi′(e) + λ Pi u′( w( xi )) + µ Pi′(e) u′( w( xi )) = 0, i = 1,2,..., n
P′(e)
1
=λ+µ i
u′( w( xi ))
Pi (e)
La forma de los pagos en función del resultado depende de la forma que adopte la función
Si
Pi′(e)
creciente en i, w( xi ) creciente en i.
Pi (e)
Problema:
La f.u. es cóncava en e
n
La función esperanza de utilidad Eu (e) = ∑ Pi (e) u ( w( xi )) − v(e) sólo es e-cóncava en e
i =1
15
Pi′(e)
.
Pi (e)
n
∑ Pi′′(e) u ( w( xi )) < 0
i =1
bajo supuestos adicionales
Sea f la densidad de distribución de x
x
∂2 f
∫ u ( w( x)) ∂e2 dx − v′′(e) < 0
x
∂2F
Tenemos la forma ∫ u v′ = u v − ∫ u′ v , u′ = u′( w( x)) w′( x) , v = 2
∂e
16
Entonces
x
x

∂ 2 F ( x)
∂2 f
∂ 2 F ( x) 
′
′
∫ u ( w( x)) ∂e2 dx = u ( w( x)) ∂x 2  − ∫ u ( w( x)) w ( x) ∂e2 dx
x

x x
x
x
∂ 2 F ( x)
∂ 2 F ( x)
= − ∫ u′( w( x)) w′( x)
dx ≤ 0 sii
≥0
2
2
∂
e
∂
e
x
La CSO implica convexidad de la función de distribución.
17
APLICACIONES
Ver Documento Riesgo Moral en esta Carpeta
18