Movimiento turbulento bidimensional y estacionario de líquidos

Movimiento turbulento bidimensional y estacionario de líquidos
(provisional)
1
Ecuaciones
Continuidad
∂V
∂U
+
= 0.
∂x
∂y
Cantidad de movimiento
¶
µ 2
∂U
∂U
1 ∂p
∂ ³ 0 2´
∂ ¡ 0 0¢
∂2U
∂ U
U
−u
+V
=−
+
+
,
+
−u v + ν
∂x
∂y
ρ ∂x ∂x
∂y
∂x2
∂y 2
µ 2
¶
∂V
1 ∂p
∂ ¡ 0 0¢
∂ V
∂V
∂2V
∂ ³ 0 2´
−v
+V
=−
+
+ν
.
U
+
−u v +
∂x
∂y
ρ ∂y ∂x
∂y
∂x2
∂y 2
Energía
¶
µ 2
∂T
∂ ¡ 0 0¢
∂ T
∂2T
∂T
∂ ¡ 0 0¢
ν
+V
=
+
U
.
−u T +
−v T +
∂x
∂y
∂x
∂y
P r ∂x2
∂y 2
2
(1)
(2)
(3)
(4)
Aproximación capa límite
Continuidad
∂U
∂V
+
= 0.
∂x
∂y
(5)
Cantidad de movimiento
U
Energía
∂U
∂2U
dUe
∂U
∂ ¡ 0 0¢
+V
= Ue
+
−u v + ν 2 ,
∂x
∂y
dx
∂y
∂y
³
´
∂
p + ρv0 2 = 0 ; p + ρv 0 2 = pe .
∂y
U
3
∂T
∂ ¡ 0 0¢
ν ∂2T
∂T
+V
=
.
−v T +
∂x
∂y
∂y
P r ∂y2
(6)
(7)
(8)
Turbulencia libre
¡
¢
¡
¢
En este caso Ue (dUe /dx) ≈ 0 y el término viscoso ν ∂ 2 U/∂y2 ¿ ∂ −u0 v 0 /∂y, de modo que
las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento toman la forma
∂V
∂U
∂U
∂ ¡ 0 0¢
∂U
+
=0; U
+V
=
−u v .
∂x
∂y
∂x
∂y
∂y
1
4
Estela (bidimensional) lejana
U = U∞ + Ũ ; Ũ << U∞ ; v0 ∼ Ũ .
∂ Ũ
∂V
δ
+
= 0 ; V ∼ Ũ ,
∂x
∂y
x
³
´ ∂ Ũ
∂ Ũ
∂ ¡ 0 0¢
U∞ Ũ
∂ Ũ
∂ Ũ
Ũ 2
∂ Ũ
+V
=
∼
>> Ũ
∼V
∼
,
U∞ + Ũ
−u v ; U∞
∂x
∂y
∂y
∂x
x
∂x
∂y
x
Z +∞
∂ ¡ 0 0¢
∂ Ũ
D
=
U∞
= −I ; y → ±∞ : Ũ → 0, − u0 v0 → 0.
Ũ dy = −
−u v ;
∂x
∂y
ρU
∞
−∞
r
r
U∞
Ũ
Ix
IU∞
∼
; Ũ δ ∼ I ⇒ δ ∼
.
; Ũ ∼
x
δ
U∞
x
Solución autosemejante
r
δ (x) = a
r
Ix
IU∞
y
; Ũ (x, y) = −us (x) f (η) ; −u0 v 0 = u2s (x) g (η) ; η =
,
; us (x) = b
U∞
x
δ (x)
donde a y b son constantes que se han de determinar.
µ
¶
∂ Ũ
U∞ us
df
∂ ¡ 0 0 ¢ u2s dg
=
f +η
;
−u v =
U∞
∂x
2x
dη
∂y
δ dη
U∞ δ
a
;
=
2xus
2b
f +η
⇒
U∞ δ
2xus
¶
µ
dg
df
=
,
f +η
dη
dη
df
2b dg
=
.
dη
a dη
Modelo de turbulencia
−u0 v 0 = νT
∂ Ũ
; νT ∼ us δ,
∂y
νT us df
1 df
∂ Ũ
νT df
=−
= u2s g (η) ; g (η) = −
=−
.
∂y
δ dη
us δ dη
RT dη
µ
¶ 2
df
2b
d f
2b
f +η
=−
;
= 1.
2
dη
aRT dη
aRT
µ 2¶
d2 f
η
df
+ 2 = 0 ; f (∞) = f (−∞) = 0 : f = exp −
.
f +η
dη dη
2
Z +∞
Z +∞
√
1
I
=
= 2π.
f dη =
Ũ dy = −I ⇒
us δ
ab
−∞
−∞
−u0 v0 = −νT
Las relaciones
√
ab = 1/ 2π
y 2b/a = RT ,
determinan a y b ya que RT ≈ 12.5 es un valor experimental.. El resultado es a = 0.25 y
b = 1.58.
En la estela de un cilindro circular los valores experimentales muestran que Ũ = −us f (η)
para x > 80 diámetros y −u0 v0 = u2s g (η) para x > 200 diámetros.
2
5
Chorro (bidimensional) lejano
∂V
∂U
∂U
∂ ¡ 0 0¢
∂U
+
=0; U
+V
=
−u v ;
∂x
∂y
∂x
∂y
∂y
Z
∞
U 2 dy =
−∞
M
= m,
ρ
ya que
¶
¸
Z ∞∙ 2
Z ∞
Z ∞µ
Z ∞
¡
¢
∂U
∂ (U V )
d
∂U
∂U
2
+V
dy ≡
+
dy =
U
U dy =
d −u0 v0 = 0.
∂x
∂y
∂x
∂y
dx −∞
−∞
−∞
−∞
De las ecuaciones se tiene
δ
V ∼U ;
x
Con δ ∼ x se tiene Umax ∼
u0 2
U2
∼
x
δ
√
u0
U
⇒
2
∼
r
δ
; U 2 δ ∼ m.
x
p
m/x. Utilizando la función de corriente
U=
∂ψ
∂ψ
; V =− ,
∂y
∂x
buscamos soluciones de semejanza de la forma
¡
¢ m
√
y
δ = ax ; ψ = b mxF (η) ;
−u0 v 0 = G (η) ; η = .
x
δ
Por lo tanto
r µ
¶
∂ψ
1
dF
m dF
m
; V =−
=b
− F +η
;
x dη
∂x
x
2
dη
r µ
r
¶
∂U
m 1 dF
m d2 F
b
d2 F
b
∂U
=−
+η 2
= 2
;
;
∂x
ax x 2 dη
dη
∂y
a x x dη 2
"µ
#
¶
µ
¶
dF 2
m dG
∂U
b2 m
dF
∂ ¡ 0 0¢
d2 F
∂U
b2 m d
+V
=− 2 2
F
;
−u v = 2
+F 2 =− 2 2
U
∂x
∂y
2a x
dη
dη
2a x dη
dη
∂y
ax dη
µ
¶
dF
dG
b2 d
F
=−
2a dη
dη
dη
b
∂ψ
=
U=
∂y
a
r
Modelo de turbulencia
∂U
us (x) δ (x)
b
; νT =
; us (x) = U (x, 0) =
−u0 v 0 = νT
∂y
RT
a
−u0 v0 = νT
d
dη
µ
dF
dη
¶
η=0
r
m
,
x
∂U
b2 F 0 (0) m d2 F
b2 F 0 (0) d2 F
m
=
G
(η)
;
G
(η)
=
=
,
∂y
a2 RT x dη2
x
a2 RT dη 2
µ
¶
dF
d2 F
F
+ 2 = 0 con
dη
dη
2F 0 (0)
= 1 y con F (0) = F 00 (0) = 0 y F 0 (∞) = 0.
aRT
Integrando una vez se tiene
F
d2 F
dF
+ 2 = 0,
dη
dη
llegándose a
F (η) =
³ √ ´
³ √ ´
√
4
2tanh η/ 2 ; F 0 (η) = sech2 η/ 2 = ³ √
√ ´2 .
e η/ 2 + e−η/ 2
3
Dado que F 0 (0) = 1 se tiene a = 2/RT ≈ 0.078 (RT ≈ 25.7). Por otro lado se tiene
Z
∞
−∞
U 2 dy = m ⇒
Z
∞
−∞
µ
dF
dη
¶2
dη =
a
,
b2
pero, dado que F 0 (η) es conocida, se tiene
Z
∞
−∞
µ
dF
dη
¶2
√
a
4 2
= 2 ⇒ b ≈ 0.203.
dη =
3
b
En resumen se tiene
r
√
m
y
; ψ ≈ 0.203 mxF (η) ; η =
.
δ (x) ≈ 0.078x ; us (x) = U (x, 0) ≈ 2.60
x
δ (x)
4