Soluciones

LOGARITMOS:
SOLUCIONES
Cipri Santiago Zaragoza
Departamento de Matemáticas
Mayo de 2011
Ejercicio 1:
a) log5 625 = 4
b) log5 (625)3 = 12
Ejercicio 2:
a) log10 1000 = 3
c) log2
b) log10 100000 = 5
e) log10 108 = 8
f ) log10
Ejercicio 3:
a) log10 25 = 1; 3979
p
10 =
1
2
1
32
c) log10
=
5
1
10
g) log10 10
b) log10 0; 64 =
0; 19382
=
7
1
=
c) log10
d) log10 0; 01 =
7
p
5
h) log10
0; 125 =
p
3
0; 001 =
0; 18062
Ejercicio
4:
q
5 a3 b
z=
c2
Tomamos logaritmos decimales en ambos miembros de la igualdad anterior:
r
3
5 a b
log10 z = log
c2
Aplicamos las “conocidas”propiedades de los logaritmos y de las potencias:
log10 z = log10
a3 b
c2
1
5
=
1
a3 b
1
log10 2 =
log10 a3 b
5
c
5
log10 c2 =
1
log a3 + log10 b 2 log10 c =
5
1
=
(3 log10 a + log10 b 2 log10 c)
5
=
y sustituimos los valores que nos dan:
log10 z =
1
(3 1; 5 + 2; 5
5
2 ( 1; 2)) = 1; 88
Ejercicio 5:
p
a
Llamamos x = ap
3 2 y procedemos como en el ejercicio anterior:
a
Tomamos logaritmos decimales en los dos miembros de la igualdad anterior:
p
a a
log x = log p
3
a2
1
2
1
Aplicamos las “conocidas”propiedades de los logaritmos y de las potencias:
p
p
p
2
3
log x = log a a
log a2 = log a + log a log (a) 3 =
1
2
1
2
= log a + log a 2
log a = log a + log a
log a
3
2
3
y sustituimos los valores que nos dan:
log x =
Ejercicio 6:
a) logb 2 = 21 : La solución es b = 4
1
( 2)
2
2+
2
( 2) =
3
5
3
2: La solución es b = 5
b) logb 0; 04 =
Ejercicio 7:
a)
log2
b)
log2
1
+ log2 1 + log3 81 + log11 121 = 0
64
p
p
2 + log10
8
log10
p
3
2 = 0; 8512
Veamos cómo se hace, por ejemplo, el apartado b):
log2
p
2 + log10
p
8
log10
p
3
1
1
1
2 = log2 2 2 + log10 8 2
log10 2 3 =
1
1
log2 2 + log10 23
2
2
1
1 3
1
1 3
1
log10 2 = + log10 2
log10 2 = + (0; 301)
(0; 301) = 0; 8512
3
2 2
3
2 2
3
donde hemos tenido en cuenta que log10 2 = 0; 301 por el ejercicio no 3.
Ejercicio 8:
1
a) log 1 128
=7
b) log 1 8 =
2
2
3
Ejercicio 9:
a) log2 1024 = 10
b) log10 0; 001 =
p
p
g) log3 3 3 =
f ) log2
8=
j) ln 1e =
3
2
d) log10
4
p
2
3
2=
c) log2
3
2
h) log3
1
2
1
64
=
p
3
3
=
6
1
2
d) ln 1 = 0
i) log 1
2
p1
2
=
1
2
1
Ejerciciop10:
a) log10 3 0; 002 =
q
c) log 1
1
25
=
0; 89966
0; 34949
b) log10
1
p
3
16
e) log10
p
5
=
0; 40137
804 = 1; 5225
Ejercicio 11:
2
c) log10 0; 25 =
0; 60206
a) log10 30 = 1; 4771
b) log10 300 = 2; 4771
c) log10 3000 = 3; 4771
d) log10 0; 3 =
e) log10 0; 03 =
f ) log10 0; 0003 =
0; 52288
1; 5229
3; 5229
Ejercicio 12:
p
5
1
ln 1 + ln e + ln e2 + ln e + ln =
e
2
Ejercicio 13:
a)
log
k
= log k
100
log 100 = 14; 4
2 = 12; 4
b)
log 0; 1k 2 = log 0; 1 + log k 2 = log 0; 1 + 2 log k =
= log10 0; 1 + 2 14; 4 = 27; 8
c)
log
r
3
1
= log
k
1
3
1
k
=
1
1
1
log = log k
3
k
3
1
14; 4 =
3
=
1
1
log k =
3
=
4; 8
d)
1
1
(log k) 2 = 14; 4 2 = 3; 7947
Ejercicio 14:
a) log7 x = 2: La solución es x = 49
b) log2 x = 0: La solución es x = 1
c) log8 x = 13 : La solución es x = 2
Ejercicio 15:
a) log2 64 = x ) x = 6
b) log49
Ejercicio 16:
a) logx 10 = 14 ) x = 10000
Ejercicio 17:
a)
p
7=x)x=
b) log2
1
16
1
4
=x)x=
c) log8
4
p
4
2=x)x=
c) logx 0:000001 =
p
1
5
5
5
loga a2 a = loga a2 a 2 = loga a 2 = loga a =
2
2
b)
loga 1 = 0 ya que ax = 1 si, y sólo si; x = 0
c)
p
1
1
x
x2
logx p
= logx 2 = logx x 2
3
x2
x3
d)
log2
3
2
p
3
= logx x
64 = 2
3
1
=
1 logx x =
1
1
12
6 ) x = 10
e)
p
3
log 1
2
64 =
2
f)
2
2loga a = 22 loga a = 22 = 4
g)
10loga
h)
10loga
p
p
a
1
1
= 10 2 loga a = 10 2 = 3; 1623
aa3
7
7
= 10loga a 2 = 10 2 = 3162; 3
i)
log10 log10 1010 = 1
j)
log10 1010
Ejercicio 18:
a) log10 100
= 0; 60206
52
Ejercicio 19:
a) log10 100 = 2
e) log10 106 = 6
log10 2
=2
c) log5 (625)3 = 12
b) log5 625 = 4
d) log2 32 = 5
b) log10 1000 = 3
c) log10 10000 = 4
d) log10 100000 = 5
f ) log10 0; 1 =
g) log10 0; 01 =
h) log10 0; 0001 =
1
2
Ejercicio 20:
a)
log10 16 = log10 24 = 4 log10 2 = 4 0; 301030 = 1; 2041
b)
log10 25 = 1; 3979
c)
log10 125 = 2; 0969
d)
log10
r
5
32
= 0; 16124
5
Ejercicio 21:
r
a3 b
c2
En principio tomamos logaritmos decimales, y vemos que forma tiene la igualdad:
r
1
3
a3 b 5
5 a b
log z = log
= log
c2
c2
z=
5
4
4
Elegimos como base
a3 b
c2
:
a3 b
c2
log a3 b z = log a3 b
c2
c2
1
5
1
log a3 b
5
c2
=
a3 b
c2
=
1
5
es decir,
log a3 b z =
c2
Ejercicio 22:
a)
log10
=
p
3
1
0; 002 = log10 (0; 002) 3 =
1
(log10 2
3
log10 1000) =
1
5
1
2
1
log10 0; 002 = log10
=
3
3
1000
1
(0; 301030
3
3) =
0; 89966
b)
1
log10 p
=
3
16
0; 40137
log10 0; 25 =
0; 60206
c)
d)
log10
r
e)
log10
0; 0025
=
16
r
4
1; 9031
1
= 0; 52423
0; 008
f)
log10 1024 = 3; 0103
Ejercicio 23:
a)
18
= log10 18 log10 10000 = log10 2 32
5=
10000
= log10 2 + 2 log10 3 5 = 0; 301030 + 2 0; 477121 5 = 3; 7447
log10 0; 00018 = log10
b)
log10
1
= 0; 22185
0; 6
c)
log10 2; 025 = 0; 30643
d)
log10 23 32 = 1; 8573
Ejercicio 24:
5
1) log3 9 = 2
2) log2 1024 = 10
3) log2 8 = 3
4) log 1 9 =
7) log2 1 = 0
8) log2 0; 5 =
5) log 1 1024 =
10
6) log 1 8 =
9) log2 0; 25 =
2
10) log3 243 = 5
11) log3
14) log5 125 = 3
15) logp2 4 = 4
2
13) log8
1
8
=
17) log9 3 =
3
2
1
1
2
18) log4
p
2=
1
9
=
2
3
2
12) log 1
3
1
9
1
=2
16) log216 6 =
1
3
1
4
Ejercicio 25:
1)
loga 4 = 2 ) a = 2
2)
loga 9 = 2 ) a = 3
3)
loga 625 = 4 ) a = 5
4)
loga 243 = 5 ) a = 3
5)
loga 256 = 8 ) a = 2
6)
loga 0; 125 = 3 ) a = 0; 5
7)
3 ) a = 10
loga 0; 001 =
8)
loga 0; 015625 = 3 ) a = 0; 25
9)
loga 1 = 0 ) a = a 2 R
Ejercicio 26:
1) 2x = 16 ) x =
ln 16
ln 2
2) 2x = 32 ) x =
=4
4) log2 64 = x ) x = 6
1
3
13) log 2
81
16
3
=
1
2
0; 25
)x=9
=x)x=
1
3) 3 x = 9 ) x =
=5
5) log3 81 = x ) x = 4
7) log16 0; 5 = x ) x =
10) logx
ln 32
ln 2
4
14) log 5
3
p1
5
27
125
1
6
=x)x=
=x)x=
3
Ejercicio 27:
1)
log5 625
log3 243 + log4 256 = 3
6
=
1
2
6) log101 10201 = x ) x = 2
8) log10 0; 00001 = x ) x =
11) log125
ln 3
ln 9
5
9) logx 125 =
12) log343
15) log8
p
p
4
3
2
) x = 25
7=x)x=
2=x)x=
1
6
1
12
2)
log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 = 10
3)
log2 4 + log3 81
log6 216 + log4 64 = 6
4)
log3
1
9
log5 0; 2 + log6
1
36
log2 0; 5 =
2
Ejercicio 28:
Sea z = log 1 a + logb 1b : Aplicamos la de…nición de logaritmo a cada sumando:
a
log a = y ,
1
a
logb
1
a
y
y
=a,a
1
1
= z , bz = , bz = b
b
b
=a,
1
,z=
y=1,y=
1
1
y sustituyendo tenemos:
z=
1
1=
2
Ejercicio 29:
Si
log b = log a + log 3 ) log b = log (3a)
entonces, aplicando la de…nición de logaritmo, se tiene que
b = 3a )
1
a
=
b
3
Ejercicio 30:
Si
log a + log b = 0 ) log (ab) = 0
entonces, aplicando la de…nición de logaritmo, se tiene que
100 = ab ) 1 = ab
que es la relación que nos piden.
Ejercicio 31:
Si
1
log x = log a + 3 log b
2
1
1
(log c + 2 log d) ) log x = log a 2 + log b3
3
p
1
log c + log d2 = log b3 a
3
p
1
log cd2 = log b3 a
3
p
p
b3 a
b3 a
p
p
= log p
)x= p
3
3
3
3
c d2
c d2
7
log cd2
1
3
=
que es la relación que nos piden.
Ejercicio 32:
1) log10 13 = 0; 47712
2) log10 6 = 0; 77815
3) log10 30 = 1; 4771
p
4) log10 0; 25 144 = 0; 47712
5) log10 2; 025 = 0; 30643
6) log10
7) log10 324 = 2; 5105
8) log10 0; 0018 =
p
0; 3 =
2; 7447
Ejercicio 33:
Si
A
+ log7 B = 2
B
entonces, aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente:
log7
log7 A
log7 B + log7 B = 2 ) log7 A = 2 ) 72 = A ) A = 49
Ejercicio 34:
loga N = 2 ) a2 = N
loga 32N = 5
)
) loga 32a2 = 5 ) loga 32 + loga a2 = 5 ) loga 32 + 2 = 5
) loga 32 = 3 ) a3 = 32 ) a =
p
3
32 = 3; 1748
Ejercicio 35:
log10 b = log10 a + log10 5 ) log10 b = log10 5a ) b = 5a )
Ejercicio 36:
a)
log5 125N = log5 53 + log5 N = 3 + t
b)
log5
N
= log5 N
25
log5 25 = t
2
c)
log5 55 N = log5 55 + log5 N = 5 + N
d)
log5
p
4
1
1
N = log5 N 4 = t
4
Ejercicio 37:
1)
log3 27A = log3 27 + log3 A = 3 + x
8
a
1
=
b
5
0; 26144
2)
log3
A
= log3 A
81
log3 81 = x
4
3)
log3 36 A = log3 36 + log3 A = 6 + x
4)
log3
27
= log3 27
A
5)
log3
p
A=
log3 A = 3
1
1
log3 A = x
2
2
9
x