ESTADISTICA ESPAÑOLA Vol. 37, Núm. 138, 1995, págs. 15 a 44 Errores de especificación en los contrastes de raíz unitaria por JESI^S CLEMENTE LOPEZ, ANTONiO MONTAÑES BERNAL y MARCELO REYES GARGIA Departamento de Análisis Económico Universidad de Zaragoza RESUMEN EI análisis de la hipótesis de raíz unitaria ha sido un tema ampliamente debatido, en gran rnedida motivado por los recientes descubrimientos en el marco conceptual del análisis de cointegración de variables económicas. En este trabajo nos centramos en un aspecto de estos contrastes al que no se le ha prestado toda la atención que, a nuestro juicio, se merece: los errores en la especificación del modelo. En concreto, demostramos que cuando se especifica de forma incorrecta este proceso generador, las estimaciones de los parámetros y sus distribuciones sufren serias alteraciones, provocando incluso su divergencia. La importancia de este hecho se pone de manifiesto en el e^ercicio de simulación de la sección 3. En él se estudia el comportamiento de una versión por etapas del contraste de Dickey-Fuller (DFE) y una modificación de ésta debida a Dolado, Jenkinson y Sosvilla (DJS). Se comprueba que los errores en la especificación del proceso generador de datos contribuyen sustancialmente a distorsionar los resultados. Pa/abras clave: raíz unitaria, procesos Wiener: error de especificación, contrastes por etapas de raíz unitaria. Clasificacián AMS: 62P20, 90A20. ES""TAUISTICA ESPAN(:)L.A 1. INTRODUCCION EI estudio de ta hipótesis de raíz unitaria ha experirnentado un desarrollo espectacular desde los años ochenta. Buena parte de los recientes descubrimientos en áreas tan diversas como el análisis de cointegración de variables económicas o la teoría de ciclos económicos se fundamentan en su estudio, por lo que se hace necesario diseñar estadísticos que sean capaces de determinar su existencia con exactitud. Dickey y Fuller (1979 y 1981) fueron los pioneros en este campo, definiendo una serie de estadísticos que permiten el contraste de la hipátesis anterior atendiendo a las diferentes características de la variable de interés. Estos son ^t , zµ y i, respectivamente relacionados con los siguientes modelas: M^^Yr =µ+^t+pYr-^+^r ^1^ Mµ^Yr =µ+PYr-,+ur ^2^ M: Yr = P Yr-^ + ^r (3] en los que t es una tendencia lineal de carácter determinístico y µ es el término independiente del modelo. En los modelos anteriores también podemos contrastar la significatividad individual de los parámetros ^ y µ bajo la hipótesis mantenida de raíz unitaria. Los estadísticos que se deben usar en ese caso son i^t (Ho:^=OenMt)y^µµ(Ho:µ-OenMµ). Este conjunto de estadísticos presenta tres características comunes a todos ellos que dificultan su uso: ninguno de ellos sigue distribuciones clásicas, junto a la hipótesis nula coexisten hipótesis mantenidas {no contrastables) y, por último, son poco potentes en el sentido de no ser capaces de discriminar correctamente entre la hipótesis nula y ciertas alternativas situadas en un entorno muy próximo a aquélla. La solución al primero de estos problemas se encuentra en los propios trabajos de Dickey y Fuller, quienes tabulan los valores críticos de las distribuciones. En segundo lugar, la existencia de hipótesis mantenidas sólo afecta si éstas no se cumplen. En estas situaciones las distribuciones de los estadísticos varían y, consecuentemente, también sus valores críticos, por lo que el resultado final del contraste de raíz unitaria puede verse seriamente afectado. Por último, para mejorar su potencia se han diseñado métodos de contraste más complejos que no han podido borrar esa sensación de ineficiencia cuando el valor del parámetro p se encuentra muy próximo a la unidad. Uno de estos métodos es contrastar la existencia de raíz unitaria mediante especificaciones que vayan «de lo general a lo particular». Esta idea conllevaría un análisis por etapas de la hipótesis nula comenzando por la especificación más general (M ^) hasta Ilegar al caso más particular (M ). EI proceso finaliza bien al rechazar la ERR<)RES U^ ESPE:C:IFlCAC1C)N EN L(^S CC)NTRASTES UE RAL'I_ t._°NI'TARiA I7 hipcítesis de raíz unitaria, bien cuando existe evidencia suficiente para admitir que la variable presenta un elernento determinístico no nulo (se acepte o se rechace la existencia de raíz unitaria). Dada la propia filosofía de esta técnica, nos referiremos a este tipo de contrastes como contrastes de raíz unitaria por etapas. A pesar de su gran atractivo, este método de contraste se ve influido negativamentamente, además de por las deficiencias expuestas en el párrafo anterior, por un problema adicional muy poco analizado en la literatura: la posibilidad, ciertamente no nula, de determinar incorrectamente el proceso generador de datos. Nuestro objetivo en el presente trabajo es señalar ta importancia que tiene la correcta especificación del proceso generador de los datos en el sentido de que la omisión de ciertos elementos determinísticos en la especificación del modelo estimado puede distorsionar decisivamente los resultados del contraste. Para ello vamos a organizar el trabajo como sigue. En la sección 2 analizamos asintóticamente los efectos que sobre el contraste de raíz unitaria tiene la incarrecta especificación del proceso generador de los datos. En especial, demastramos que la omisión de alguna variable relevante causa la aparición de raíces explosivas espúreas y la divergencia de los distintos pseudo t-ratios. Pianteamos en la sección 3 un experirnento de Monte Carlo que analiza el efecto que tienen estos resultados sobre el contraste de Dickey-Fuller en su versión polietápica, así como para una modificación de este contraste propuesta en Dolado, Jenkinson y Sosvilla {1990) en el que se intenta aprovechar las propiedades asintóticas de los contrastes de raíz unitaria. Los resultados obtenidos para ambos métodos evidencian una gran dependencia entre el correcto funcionamiento y su capacidad para detectar los componentes determinísticos que generaron las observaciones de la variable en estudio: cuanto mayor sea esta última, mejor es 1a potencia de los dos métodos de contraste analizados. EI trabajo termina con las conclusiones más importantes a las que se ha liegado, presentando en un apéndice las demostraciones de los teoremas de la sección ^. 2. EFECTO DE LOS ERRORES DE ESPECIFICACIC)N EN LOS CONTRASTES DE RAIZ UNITARIA Sea una variable definida por el siguiente proceso generador de datos: Yt = p Yt_ ^+ u t P=1 Yo = ^ ^4^ donde ut es la perturbación aleatoria del modelo que cumple las siguientes condiciones: a) E(ut)=0d t ESTADISTIC'A E:SPAÑ()L.A jx b) sup E ^ u t ^^< x para algú n^3 > 2 C) c^^2 = lim r T-t E (ST ) existe y c^^2 > o CST =^ u, ) T --^ ^ d) u^ es un strong-mixing con coeficientes de rnezcla am tales que ^ ^ am(1 -2/^) ^ o0 1 Estas condiciones permiten que la perturbación aleatoria siga un amplio número de procesos en los que se incluyen los modelos ARMA de la metodología Box-Jenicins. A lo largo del trabajo impondremos otra restricción; consideraremos que las perturbaciones aleatorias se distribuyen como u^ ^ iid (o, a2 ). Bajo la hipótesis nula Ho : p =1, la variable Yr es integrada de orden 1 en el sentido de Engle y Granger, al ser necesaria una diferenciación para que alcance la estacionariedad. Consecuentemente, el modelo [4] se puede expresar como sigue: r Yt =Y^_t+u^ =^u; r=, [5] En estas circunstancias, la variable Yt deja de ser estacionaria y ergódica, imposibilitando la aplicacibn de la teoría asintática tradicional. Así, el teorema central del límite (TCL), teorema fundamental en aquel á mbito, da paso al teorema central del límite funcional (TCLF) [ver Banerjee et al. (1993)]. Con estas condiciones, si r pertenece al intervalo [0,1 ] podemos definir un proceso estocástico del tipo xr (r) ^ T- t/2 S^Tr] [6] tal que para tamaños muestrales suficientemente grandes XT (r) ^ B(r)• a W(r) [7] donde «^» significa convergencia débil, «•» igualdad en distribución y a2= lim T-' E(ST ) [8] % -. a Los procesos B{r ) y W(r ) se les conoce con el nombre de movimiento browniano y proceso de Wiener, respectivamente. Para una mayor discusión de todos estos conceptos y sus aplicaciones se remite al lector a Phillips (1987) o Banerjee et al. (1993). ERRORES DE ESPEt:IF'1C'ACIC)N EN L.OS ('ON"TRAS"I'ES UE RAIZ UNITARIA ^^ En este nuevo marco de trabajo, el t-ratio para el contraste de la hipótesis de raíz unitaria converge hacia: [w(1)^-^] ^ 2 j [ W( r}]^ d r 0 j9] donde [9] es una combinación de procesos de Wiener. AI estadístico anterior se le denota z y sus valores críticos se encuentran tabulados en Fuller (1976). EI modelo [4] coincide, bajo la hipótesis nula, con un paseo aleatorio puro. Esta especificación puede ser, no obstante, ciertamente restringida ya que es posible que ciertos elementos determinístícos afecten al comportamiento de la variable Y^ . Para resolver este problema, virnos en el apartado introductorio cómo Dickey y Fuller proponen dos nuevas especificaciones según se incluya un término independiente (M µ} o, además de éste, una tendencia determinística (Mt ). En ambos es posible contrastar la hipótesis nula de raíz unitaria, si bien con algunas particularidades. En Mµ, Dickey y Fuller calculan la distribución del estadístico ^^l bajo la hipótesis nula p= 1, pero con la hipótesis mantenida µ= 0. Asimismo, en M7 obtienen la distribución de ^T considerando ahora que ^-s = 0. AI igual que sucedía en [9], la no ergodicidad de la variable bajo la hipótesis nula supone que las distribuciones de estos dos estadísticos convergen hacia combinaciones de procesos de Wiener, por tanto desconocidas, siendo necesaria la obtención de sus valores críticos. Como vemos, y al margen de la inherente falta de potencia de este tipo de contrastes demostrada en trabajos previos [por ejemplo, en Schwert (1989)j, un investigador interesado en el análisis de la estacionariedad de una variable puede cometer dos tipos de errores a la hora de contrastar la existencia de una raíz unitaria en la variable de interés. EI primero es la elección incorrecta del modelo generador de datos y el segundo que las hipótesis mantenidas no se cumplan. Este último caso ha sido ya tratado con cierta extensión en la literatura [ver West (1988) o Hylleberg y Mizon (1989)], demostrándose la convergencia de los respectivos pseudo t-ratios hacia distribuciones normales. En cambio, a la primera de las cuestiones no se le ha prestado la misma atencián a pesar de que ésta tiene una alta relevancia, tal y como vamos a demostrar. En la figura 1 se simulan los valores de dos series generadas por dos procesos distintos entre sí. Ambas presentan una raíz unitaria, aunque se diferencian en los elementos determinísticos que intervienen en el modelo: la primera se relaciona con el modelo M^ ya que presenta término independiente y tendencia determinística, mientras que la segunda lo hace con Mµ ya que no presenta este último componente. De la comparación entre ambas series resulta evidente que en ocasiones puede ser ciertamente complejo discernir el verdadero procesa generador de los datos. Un investigadar que se enfrente a cualquiera de estas dos series ESTADISTIC'A FSPAÑOI.A 7^) va a tener serias dificultades para poder especificar correctamente el modelo en el que se debe contrastar la existencia de una raíz unitaria. Además, su correcta determinación no es una cuestión irrelevante, sino que puede tener una influencia negativa sobre el resultado final del contraste, tal y como vamos a cornprobar a través del siguiente ejercicio de simulación. Supongamos que la variable yt viene generada por la primera de las dos series consideradas, esto es, por (10} yt = 0'S +^ t+ yr + u^ donde u t es un ruido blanco. Vamos a permitir que el parámetro ^ tome valores dentro del intervalo ( 0'005, 0'1 }. En este rnodelo vamos a estudiar el comportamiento de los estadísticos ^^^ y ,cµ. Para un tamaño muestral de 100 observaciones y 1.000 replicaciones, los valores medios de los dos estadísticos para cada valor de ^ se presentan, respectivamente, en la figura 2. Los resultados son muy elocuentes por sí mismos. Si el valor del parámetro ^ es inferior a 0'05, el valor medio del estadístico ^^^ se encuentra muy por debajo del valor crítico a un nivel de significación del 5°l0. Esta circunstancia nos Ileva a aceptar la hipótesis nula del contraste en un número elevado de ocasiones y, por tanto, a suponer que el proceso que generó los datos no presenta una tendencia determinística. De ahí que el investigador analice la existencia de una raíz unitaria no en el modelo Mt, como sería lo correcto, sina en Mµ mediante el análisis del estadístico ^µ. Figura 1 SERIES SIMULADAS SERIE 1: yt = 0,5 + 0,01 t+ yt _^ + u^ . SERIE 2: y^ = 1+ yt _^ + ur 120 100 80 60 40 20 1 10 19 28 37 46 Serie 1 55 64 ••••••• Serie 2 73 82 91 100 21 ERRORES DE ESPECIf^1CACiON EN [.OS CO^YTRASTES DE RAI"l._ t;N(TARIA Figura 2 EVOLUCION DE ^CJS ESTADISTICOS z^^ y zµ CUAND4 VARIA ^ EN EL POD: yl =^,5+^it+yt_,+ut t^t 7 6 5 4 3 2 1 0,005 0,015 0,025 0,035 0,045 0,055 0,065 0,075 0,085 0,095 ^ tµ 25 20 15 10 :..................^----------.^_.....:.--------------._.-----------...----------------------------^---...-------.-------------^---------; 5 (Punto Crítico^ 0 0,005 0,015 0,025 0,035 0,045 0,055 0,065 0,075 0,085 0,095 ^ ESTAUISTI('A E:SPAti(>L.A Corno podemos ver en la figura 2, el uso de este último estadístico queda sensiblemente distorsionado por la omisión del parámetro ^^, ya que los valores medios de ^^, son siempre positivos. Esto nos indica que la estimación del parámetro autorregresivo es superior a la unidad, cuando en realidad es igual a la unidad. Más aún, el propio valor del estadístico ^^, es tan elevado que nos permite rechazar la existencia de una raíz unitaria frente a una alternativa explosiva. Por tanto, un investigador que siguiera estos pasos a la hora de analizar la estacionariedad de la variable y^ terminaría concluyendo que ésta es explosiva cuando, en realidad, el proceso generador de los datos no es expiosivo, sino que contiene una raíz unitaria. EI mensaje que se desprende de este sencillo ejernplo es que la omisión de ciertos elementos determinísticos puede Ilegar a distorsionar los resultados finales del contraste de raíz unitaria: el proceso generador contiene una raíz unitaria, pero la conclusión final a la que Ilegamos es que el modelo tiene una naturaleza explosiva. Esta circunstancia supone que hemos de tener un cuidado especial a la hora de seleccionar el modelo en el que vamos a contrastar la existencia de una raíz unitaria. Sin embargo, la elección del modelo que mejor se adecúa a los datos no siempre es una cuestión sencilla. EI mismo ejemplo que hemos analizado nos sirve para comprender cómo, en ocasiones, distinguir entre dos especificaciones alternativas puede ser und tarea bastante cor^plicada. De ahí que el riesgo de incurrir en este tipo de errores pueda ser elevado. E1 anáiisis que hernos realizado, aun cuando resulta bastante revelador, no deja de ser sino un rnero ejemplo y, por tanto, sería incorrecto extrapolar sus resultados para cualquier otra situación distinta de la considerada. No obstante, sí que resulta muy atractivo investigar de una forma general el efecto que produce un error en la correcta especificación del modelo sobre los contrastes de raíz unitaria. Este es el objetivo de los siguientes teoremas: estudiar analíticamente las consecuencias de la omisión de un parámetro relevante sobre los diversos estadísticos propuestos por Dickey-Fuller. Comenzaremos por evaluar el efecto causada por la omisión de una tendencia determinística tanto en el modelo M µ como en el caso más simple M para, posteriormente, hacer lo propio con la omisión del término independiente en M. Los resultados más interesantes los recogemos en los siguientes teorernas: Teorema 1 Si el proceso generador de datos de la variable Yr contiene una tendencia determinística (M^) pero el investigador omite su efecto considerando que el modelo correcto presenta tan sólo un término independiente (M µ), entonces se cumple que: a) T(p-1)^, 15 8 ERJt!)Rf:.S DF: ESPE('IFI('A<'1()N ^:N l_()ti C'C)NT"RASTES [)E RA1^! C.'Nt"TAR[A b) T ^' ( ^ --- ^^ ) ^ 3 ^ c^ T-2 u2 ^ 23 16 ^ ^2 192 d} T -'/2 tµ ^ ^15 e} ^- -,/2 tµµ ^ Y ^ Demostración: Ver apéndice. La incorrecta especificación del proceso que generá los datos conlleva muy serios problemas tanto en la estimaci^n de los parámetros del modelo como en el contraste de la hipótesis de raíz unitaria. Es conocido que la omisión de una variable relevante en la especificación del modelo estimado sesga. los estimadores m.c.o. de los diversos parámetros del modelc^ [ver Johnston (1987}: 312-314], si bien este sesgo presenta características diferentes en cada uno de los casos analizados. EI esti;nador del parámetro p tiende a tomar un valor superior a la unidad, esto es, crea de forma espúrea una raíz explosiva. Más aún, dado este comportamiento, no es de extrañar que el estadístico para el contraste de 1a hipótesis de raíz unitaria diverja, creciendo indefinidamente con el tamaño muestral, lo que Ilevará a sobrerrechazar la hipótesis nula frente a la alternativa de raíz explosiva. Lo mismo sucede para el término independiente y el parámetro de dispersión. Sus es#imaciones divergen, así como el pseudo t-ratio del prirnero, conduciendo al investigador a admitir como válido el modelo M^^. Esta circunstancia lleva emparejada una segunda cuestión tan importante como la anterior. Ya que para el invesiigador ^, ^ 0, esta errónea información le Ilevará a utilizar los valores críticos de la normal, por cuanto en ausencia de otra información este investígador supone que el pseudo t-ratio converge sobre esta distribución. Si aplica esta incorrecta convergencia, es evidente que el contraste de la hipótesis de raíz unitaria queda ciertamente sesgado a favor de la hipótesis alternativa, no dando prácticamente opción a su aceptación. La incorrecta determinación del proceso generador de datos produce una clara desviación tanto en las estimaciones como en sus respectivos estadísticos de contraste. Afgo similar ocurre cuando el verdadero proceso generador sigue siendo el modelo M^ pero el investigador plantea el modelo más simple de los considerados, es decir, aquel en el que no aparecen elementos determinísticos. Su estudio lo efectuaremos a partir del siguiente teorema. ESTAUISTICA F:SPAfVULA ?4 Teorema 2 Si el proceso generador de datos de la variable Y^ contiene una tendencia determinística (Mt) pero el investigador omite su efecto considerando que el modelo correcto es un paseo aleatorio puro (M ), entonces se cumple que: a) T(p-1)^ 5 2 b) T -2 48 c) T-'^2t^^Í15 Demostración: Ver apéndice. Como se deduce de la comparación de los dos primeros teoremas, se mantienen las mismas características del caso anterior. En primer lugar, los valores del estimador del parámetro p toman valores superiores a la unidad simulando un comportamiento explosivo en la variable que no se corresponde con la realidad. Estos valores son incluso superiores a los detectados en el teorema anterior. La segunda de estas características es la divergencia tanto de la estimación del par^metro de dispersión como del estadístico ^. Debido a esta circunstancia, el contraste favorece el rechazo de la hipótesis de raíz unitaria, pero no frente a la alternativa de estacionariedad, sino frente a la de raíz explosiva, distorsionando en gran rnedida los resultados. EI último caso de error de especificación que vamos a tratar es el cometido al no ser capaces de detectar la existencia de una media en la variable endógena. Ahora el proceso generador de datos no es M^, como en las ocasiones anteriores, sino Mµ . EI modelo planteado por el investigador es, por contra, M. Teorema 3 Si el proceso generador de datos de la variabie Yt contiene un término independiente (M µ) pero el investigador omite su efecto considerando que el modelo correcto es un paseo aleatorio puro (M ), entonces se cumple que: a) T^P^-1)^ 32 b) Q2^Q2+ µ ^ 4 ERR(7RF,5 DF: ESPECIFICACIC)N EN L.OS CONTRA5TES DE RAtl l'NITARIA c} T -, ^2 i ^ ^5 3 µ2 4 a 2 + µ2 Demostracián: Ver apéndice. De nuevo aparece una raíz explosiva generada por el sesgo en la estimación del paramétro p. Este sesgo, sin embargo, es el menor de los observados en este apartado. Igualmente, su correspondiente pseudo t-ratio díverge, conduciendo al investigador al rechazo de la hipótesis nula, nuevamente a favor de una alternativa explosiva. Por último, y al contrario que sucedía en los dos teoremas precedentes, la estimación del parámetro de dispersián no diverge, aun cuando continúa siendo sesgada. A modo de resumen de los tres teorernas anteriores, podemos indicar que una incorrecta especificación del modelo que genera los valores muestrales de la variable Yt tiene las siguientes consecuencias: a) EI estimador del párametro p tiende a tomar valores superiores a la unidad, creando una raiz explosiva espúrea. Asimismo, los respectivos pseudo t-ratios utilizados para e! contraste de fa hipótesis de raíz unitaria divergen, determinando un sobrerrechazo generalizado de la misma, pero no a favor de una alternativa de estacionariedad, sino de raíz explosiva. b) Otro tanto ocurre con la estimación del término independiente. Su estimación resulta sesgada, dependiendo su magnitud de los valores del parámetro omitido (^3). Este hecho genera un crecimiento in#inito en su pseudo t-ratio, rechazando cualquier tipo de hipótesis nula planteada. Esto tiene una segunda lectura también muy importante. Dado que vamos a admitir la existencia de un término independiente en el modelo, esto es tanto como decir que el proceso generador de datos es el modeio M µ. Más aún, como µ^ 0, suponemos que la verdadera distribución del estadístico tµ converge hacia una normal, circunstancia totalmentP errónea, como hemos tenido la oportunidad de comprobar. Hasta el momento hemos estudiado teóricamen#e el comportamiento de los contrastes Dickey-Fuller ante errores en la especificación del modelo donde se contrasta hipótesis nula de interés, demostrando la importancia de este tipo de efectos. Sin embargo, desconocemos todavía cuél es el impacto real de la omisión de uno de estos elementos determinísticos del modelo sobre ef resultado final del contraste. Para ello vamos a estudiar el modo de actuar de dos tipos de contrastes de raíz unitaria que se fundamentan en la correcta determinación de estos elementos determinísticos. Como se puede comprender muy fácilmente, los resultados de los teoremas anteriores tienen plena vigencia en este marco, por lo que este análisis nos va a proporcionar una medida fiel de la importancia relativa de los estud^os teóricos presentados en los teoremas 1-3. ESTADISTICA ESPAIVOLA 3. CONTRASTES POR ETAPAS DE RAIZ UNITARIA: UN ESTUDIO DE MONTE CARLO Ya hemos comentado a lo largo del trabajo que una de las principales limitaciones de los contrastes de raíz unitaria es su baja potencia. Esta deficiencia ha impulsado la búsqueda de nuevos estadísticos con mejores propiedades. Una aportación reciente son los contrastes que en la introducción hemos denominado por etapas. Estos estudian la hipótesis nula de raíz unitaria en especificaciones que van desde lo general a lo particular. En este marco de trabajo resultan de especial relevancia los pasibles errores en la correcta selección del modelo a partir del cual se construyen los estadísticos para el contraste de hipótesis. La finalidad de este apartado es estudiar el efecto que sobre el tamaño y la potencia de estos contrastes por etapas tiene la omisión de un elemento determinístico en el modelo estimado. Los dos tipos de contrastes que vamos a considerar son el de Dickey-Fuller, en su versión por etapas (DFE), y el propuesto en Dolado, Jenkinson y Sosvilla (1990) (DJS). La principal diferencia entre ambos contrastes reside en que el contraste DJS intenta aprovechar la convergencia de los contrastes de raíz unitaria sobre distribuciones normales en el caso de que se quiebren las hipótesis mantenidas de estos contrastes [ver, al respecto, Banerjee et al. (1993)]. Los fundamentos de ambas tócnicas se presentan en los esquemas 1 y 2. En ellos se comprueba la existencia de diversos estadios (de ahí su nombre) en los que se contrasta, en primer lugar, la existencia de una raíz unitaria en el modelo más general para, en segundo lugar, cuestionarse si la selección del modelo fue correcta. EI contraste se detiene en el momento en el que se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria o bien los estadísticos de significatividad individual de los parámetros determinísticos incluidos en la especificación del modelo indican la correcta selección del modelo estimado. En estos esquemas, los valores denominados ^^ , ^µ y ^ representan, respectivamente, el número de ocasiones en las que se rechaza la existencia de una raíz unitaria en los modelos [1 ], [2] y[3], respectivamente. Del mismo modo, las cOlumnas zt , zµ recogen el número de rechazos que se produce al comparar los valores de los pseudo t-ratios ^^ y zµ na con los valores críticos tabulados en Fuller (1976), sino con los procedentes de una distribución t-student. Por último, las columnas A ^, A µ y A significan el número de ocasiones en las que la hipótesis nula se acepta, respectivamente, en los tres modelos alternativos considerados. Como es obvio, el contraste DJS aumentará la potencia obtenida por el DFE, pero a costa de presentar un mayor tamaño. Esta ganancia en la capacidad de rechazo de este método nos la dan los valores recogidos en las columnas denominadas z^ y zµ . En cualquier caso, debemos señalar que la propia naturaleza de estos dos tipos de contraste implica un pequeño sesgo en su tamaño. 27 ERRORES DE ESPECIFICACION EN LOS CONTRASTES DE RAI?_ UNITARIA T ^ á Q ^ ^ N L______J ^-. 0 i L______J w ^ r 0 Ñ .-1 O É^ ^ ^ ^ U ....^ ^ ^ ^ Q ]. ^-. Ú Q ^^ W Z O U r L______J ^ a ^ ^^ Ú Q avi V L______J ^ n. Ú a ^------J ^ ESTAUISTI('A ESPAÑULA `.- f f c>s .r ,-^ ,-. Ñ ~ ^ d ^ Q ^ L______J ,^.. 1 L______J ^ ^ a ^ ó ^ ^ N ^ ^0 ^ ^^ r i cd r^ ^ .C a^i U N ^ Q ^ A i--' t^ WZ T r c^ c^ ^ Ú Ú ^ ... .-, n^ ^i Q ...^ T r c^S cd Q Q ^ s O U L______J ^ L______J ^a^i Ó G n. © r r r ^ ^ ^ ^ r^ L ^ ^ ^ á ^ Q L__----J ^ ^^ ^ ^ ^ ^ á N Q L______J ^------^ ERRORES DE ESPEC'IFICAC: IC)N EN LOS CONTRASTES DE RA[Z UNITARIA 29 Los diversos ejercicios de simulación presentan las siguientes características: T={25, 50, 100}, µ-{0, 0'S, 1, 3, 5}, ^_{0, 0'S, 1, 3} y p={1, 0'99, 0'95, 0'9, 0'85}. De esta forma quedan representados un amplio espectro de posibles modelos de generación de datos. Para cada combinación de valores se generaron 10.00o realizaciones de un ruido blanco. Los prograrnas fueron diseñados en GAUSS. Los resultados que pasamos a comentar se encuentran en los cuadros 1-5. En éstos se presentan, en primer lugar, los valores de los parámetros del praceso generador de los datos. Seguidamente aparecen los resultados de la aplicación del contraste DJS, relacionándose cada una de las columnas de los cuadros con las claves del esquema 2. En el caso de estar interesados en analizar e! comportamiento del contraste DFE tan sólo es preciso surnar, por un lado, las columnas z^ y AZ y, por otro lado, hacer lo propio con zµ y A µ. Estos dos nuevos agregados suponen el número total de aceptaciones para, respectivamente, los modelos Mt y Mµ, mientras que el número total de rechazos en estos modelos vendrá dado ahora por las columnas ^z y-cµ . Por último, comentar que dentro del número de aceptaciones incluidas en las columnas At , Aµ y A se incluyen tanto las aceptaciones de la hipótesis nula de raíz unitaria como el rechazo de ésta frente a una alternativa explosiva. Por consiguiente, el término rechazo se refiere al rechazo de la hipótesis de raíz unitaria frente a una alternativa estacionaria. 3.1. Tamaño de los contrastes Para ^ distinto de cero, el contraste DJS mantiene un número de rechazos ligeramente superior al 5%, destacando el alto número de veces que se identifica correctamente el modelo M^ . En caso contrario, ^= 0, el cuadro 1 nos proporciona una idea aproximada del comportamiento de ambos contrastes. Cuadro 1 POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 25 {en %) DJS p µ ^ z^ z^ Az zµ z^, Aµ ^ A 0,21 3,75 1,17 0,18 3,98 83,55 DFE ACEP RECH ACEP RECH 1 0,0 0 4,95 2,21 1 0,5 0 4,89 4,05 0,06 1,57 3,24 0,45 0,01 85,73 86,24 1 1,0 0 4,88 5,65 0,00 0,80 4,81 2,04 0,00 82,82 84,86 1 3,0 0 5,01 4,95 0,00 0,51 5,57 50,03 0,00 33,66 83,96 16,04 94, 48 5, 52 1 5,0 0 5,50 4,71 0,00 0,38 5,27 82,73 0,00 1,41 84,1 a 15,86 94,12 5, 88 83,94 $7,32 12,68 13,76 93,53 6,47 15,14 94, 32 5, 68 16,06 ^U ES"I°A[)ISTIC^A ESPAÑC)l.A Sólo cuando ^^ es mayor que 3(tres veces la desviación típica de la perturbación), el coniraste selecciona correctamente el proceso generador, mientras que para valores menores identifica incorrectamente el modelo M. En consecuencia, se acepta la no estacionariedad de la variable porque el estadístico correspondiente diverge hacia valares mayores que la unidad (teorerna 3). Este resultado no se manifiesta con valores medios de ^, ya que en estos casos el estadístico ^^^ funciona correctamente. Para ^ pequeños se produce una traslación de AT a A µ, recogiéndose así la divergencia del estadístico ^µ . La circunstancia descrita en el párrafo anterior es sumamente frecuente cuando los valores de los parámetros µ y^ se aproximan a cero. Por ello debemos destacar que, aunque el tamaño del contraste se aproxima a su valor teórico, este hecho se ve favorecido por la divergencia de tos estadísticos ^µ y ^ cuando se eliminan de la especificación empírica elementos no nulos en el proceso generador. 3.2. Potencia de los contrastes Como característica más importante debemos destacar la dependencia con respecto a^, sobre todo cuando p toma valores próximos a la unidad (con p= 0'99, ^= 3 y µ= 0, el contraste DJS presenta una potencia del 84'23%, y el DFE de 24'42%). También se produce un hecho sorprendente como es la pérdida de potencia del contraste cuando nos situamos en valores de p relativamente alejados de uno, debido a la influencia de los errores de especificación. 3.2.1. Valores de p muy próximos a la unidad: (p = 0'99) En general, la ganancia en potencia del contraste DJS con respecto al DFE resulta espectacular, sobre todo para valores altos de ^(en ocasiones esta mejora se sitúa alrededor del 60%: por ejemplo, si p= 0'99, ^= 3, µ= 1). Este comportamiento se fundamenta en la capacidad del contraste DJS para captar la existencia de una tendencia determinística en el modelo M t. Esto nos permite contrastar la presencia de una raíz unitaria utilizando las valores críticos de distribuciones estándares, lo que supone una menor amplitud de las intervalos de confianza y, por consiguiente, aumentar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. Entonces, podemos indicar que si el contraste es capaz de detectar la presencia de términos deterministas no nulos en el proceso generador, la potencia aumenta considerablemente. EI comportarniento respecto al parámetro µ resulta similar, tal y como lo podemos observar en el cuadro 2. EI incremento de la potencia para valores de µ superiores a la unidad se debe, nuevamente, a la capacidad de detectar correctamente la existencia de un elemento determinístico distinto de cero. En este caso, la columna zµ puede Ilegar a tomar valores próximos al 30%. ^RRC)RES UE EtiPECIFIC'AC'IC)N EN 1_C)S C(7NTRASTES DE RAIL l1NITARIA 31 Cuadro 2 POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 25 (en %) DFE DJS p µ 0,99 0,0 0,99 0,0 0,99 0,0 0,99 0,0 0,99 0,5 0,99 1,0 0,99 3,0 ^i it 0,0 5,33 0,5 0,48 1,0 1,88 3,0 24,42 0,0 5,10 0,0 5,19 0,0 4,77 0,99 5,0 0,0 z^ AT i^ z^ Aµ t 2,12 15,43 24,56 59,81 3,14 3,67 3,47 0,18 39,80 73,92 15,77 0,04 0,00 0,00 3,44 0,00 0,00 0,00 2,75 1,64 3,00 0,94 0,00 0,00 0,00 2,03 5,10 18,54 0,40 44,29 0,44 0,00 0,16 0,37 24,70 5,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,0o A ACEP RECH ACE^P 82,85 83,17 0,00 84,09 0,00 74,36 0,00 15,77 85,97 86,17 84,03 84,40 a5,52 70,22 3,84 2,98 0,00 7,08 28,08 52,61 0,00 5,41 58,02 0,99 3,0 3,0 22,97 0,99 5,0 3,0 23,16 60,91 60,08 16,12 16,76 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 16,12 16,76 3.2.2. RECH 16,83 15,91 25,64 86,23 99,52 98, 92 13,77 0,48 1, 08 84,27 75,58 24,42 92,14 93,17 29,78 92,23 41,98 89,08 83,85 77,03 83,24 76, 70 7,86 6,83 7,77 10,92 21,97 23,16 13,83 15,60 Valores de p cercanos a la unidad: 0'95 s p s 0'85 Pese a situarnos más alejados de la raíz unitaria, aparecen casos en los que la potencia total ernpeora, por ejemplo cuando (i = 0'S. A pesar de ser ciertamente sorprendente, en realidad se trata de un resultado lógico, ya que el contraste es incapaz de detectar la existencia de una tendencia deterministica y pasa a estimar el modelo Mµ, donde se sobreacepta la hipótesis de proceso no estacionario porque, según el teorema 1, ^µ diverge. EI efecto global lo podemos observar en el cuadro 3, Cuadro 3 POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 25 (en %) DJS p µ ^ ^j 0,99 0,95 0,9 0,85 0,99 0,95 0,9 0,85 0,99 0,95 0,9 0,85 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,5 0,5 5,0 5,0 5,0 5,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,48 3,52 5,65 7,13 0,45 3,75 5,66 7,23 0,56 2,90 5,35 7,09 zT A^ 15,43 39,80 15,76 0,02 6,99 0,00 6,51 0,00 16,07 33,49 14,05 0,00 6,99 0,00 7,12 0,00 12,87 4,18 6,43 0,00 6,13 0,00 6,62 0,00 ^µ zµ Aµ z A 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,10 0,45 0,00 0,00 0,00 0,40 0,00 0,00 0,11 0,99 44,29 80,70 87,35 85,90 49,99 82,20 87,35 85,24 82,39 90,65 88,41 84,49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,80 DFE ACEP RECH ACEP RECH 84,09 80,72 87,35 85,90 83,48 82,20 87,35 15,91 19,28 12,65 14,10 16,52 17,80 12,65 99,52 96, 48 94, 35 92,87 99, 55 96, 25 94, 34 85, 24 14, 76 92, 76 7, 24 86,57 90,67 13,43 9,33 88,41 11,59 85, 29 14, 71 99,44 97,10 94,65 92,90 0,56 2, 90 5,35 7,10 0,48 3, 52 5, 65 7,13 0, 45 3, 75 5, 66 ESTADISTICA E:SPAÑOL.A Estos resultados se comprenden si t+enemos en cuenta que ahora ya no se cumple la hipótesis mantenida de los estadísticos ^µµ y ^^t , esto es, el proceso generador no presenta una raíz unitaria. Por tanto, las distribuciones de estos estadísticos son distintas a las tabuladas en Dickey y Fuller (1981). Esto nos canduce a aceptar su no significatividad y a contrastar la existencia de una raíz unitaria en modelos mal especificados, con los efectos perniciosos estudiados en la seccián anterior. En estas circunstacias se produce una «especie» de lucha entre dos fuerzas: por un lado, la proxirnidad del parámetro p a la unidad hace que su distribución tienda a la tabulada por Dickey y Fuller; por otro, al ir alejándonos de !a hipótesis nula empieza a dominar la distribución teórica tradicional. Esto provoca un efecto de «ida y vuelta» tanto en la distribución del estadístico ^t coma en la de zµ . En las figuras 3-8 podemos comprobar esta circunstancia. En ellas se observa cómo la distribución de estos estadísticos se aleja de la tabulada en Fuller (1976) conforme el valor del parámero p disminuye. Sin embargo, para valores de p inferiores a 0'9 el movimiento de la distribución de los estadísticos sufre un claro cambio de sentido y se aproxima al caso p= 1. Las consecuencias de este vaivén explican en buena medida los resultados del cuadro 3. Por ejemplo, si p= 0'9 el estadístico ^^ rechaza siempre la hipótesis nula (figura 3). Sin embargo, para p= 0'8 (figura 4) el número de aceptaciones es sensiblemente distinto de cero. Por tanto, vemos cómo un mayor alejamiento del parámetro autorregresivo con respecto a su valor bajo la hipótesis nula no supone una mejora en la potencia del contraste, sino que, por el contrario, el número de rechazos disminuye. Este comportamiento de los pseudo t-ratios nos proporciona una vez más una clara idea de lo importante que resulta detectar la presencia de elementos determinísticos en este tipo de contrastes, ya que si fuésemos capaces de hacerlo usaríamos los intervalos de las distribuciones estándares y la potencia del contraste sería casi perfecta. Este efecto también aparece en los casos en los que la tendencia determinística es nula y estamos realizando el contraste Mµ , aunque al tratarse de un contraste por etapas su importancia es menor. ERRORES DE ESPECIFICAC[C)N EN LUS CONTRASTES DE RAI"L UN ^TAR1A 33 Figura 3 DISTRiBUCION DE ^^ (PGD: M^ , µ= 0, ^3 = 3, T= 25) _._._ p = 1 Figura 4 DISTRIBUCION DE ^^ (PGD: M^ , µ= 0, ^= 3, T= 25) Figura 5 DISTRIBUCION DE ^t (PGD: M,^ , µ= 0, ^= 3, T= 25) 34 ESTAUISTICA ESPAÑOLA ^igura 6 DISTRIBUCION DE ^µ (PGD: Mµ , µ= 3, T= 25} Figura 7 DISTRIBUCION DE ^µ (PGD: Mµ , µ= 3, T= 25} Figura 8 DISTRIBUCION DE zµ (PGD: Mµ , µ= 3, T= 25) ERRORES DE ESPECIFICAC'IC^ N EN LOS CONTRASTES UE RAIZ UNITARíA 3.2.3. 3S Tamaños muestrales mayores: T= 50 y T= 100 EI aumento del tamaño muestral incrementa la potencia de los contrastes, en algunos casos de manera muy importante. Las conclusiones cualitativas referidas a tamaños muestrales menores se mantienen, aunque resulta más difícil detectarlas. Como circunstancia más sorprendente, destacar que se mantiene la pérdida de potencia al alejarse el parámetro autorregresivo de la unidad, aunque parece producirse un traslado del efecto de valores mayores de ^ a Otros menores, como podemos observar en IOS cuadros 4 y 5. Cuadro 4 POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 50 (en %) DFE DJS p µ ^3 ij zL AS -c^ zµ Aµ i A ACEP RECH ACEP RECH 0,95 0,95 0,9 0,9 0,85 0 0 0 0 0 0,5 3,0 0,5 3,0 0,5 66,98 100,00 18,10 100,00 14,15 29,30 0,00 15,15 0,00 11,98 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,03 3,72 0,00 66,75 0,00 73,84 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3,72 96,28 0,00 100,00 66,75 33,25 33,02 73,84 26,16 81,90 18,10 0,00 100,00 85, 85 14,15 0,85 0 3,0 68,40 13,73 0 0 0,00 17,84 0 0 17,87 82,13 31,60 0,00 100,00 66,98 o,o0 1 ao,oo 68,40 Cuadro 5 POTENCIA DE LOS CONTRASTES DJS Y DFE, T= 100 (en %) DJ S DFE p µ ^i t^ zi A^ iµ zµ A^ t A ACEP RECH ACEP RECH 0,95 0,95 0,9 0 0 0 0,5 3,0 0,5 100,00 100,00 64,70 0,00 0,00 16,86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00 0,00 18,44 0 0 0 0 0 0 0,00 100,00 0,00 100,00 0,00 100,00 0,9 0 3,0 100,00 0,00 0 0 0 0,00 0 0 0,85 0,85 0 0 0,5 3,0 43,72 98,99 20,34 0,81 0 0 0 0 0 0 35,94 0,20 0 0 0 0 4. 18,44 81,56 0,00 100,00 35,94 64,06 0,20 99,8 0,00 100,00 35,30 64,70 0,00 100,00 56,28 43,72 1,01 98,99 CONCLUSIONES En el presente trabajo hemos investigado las propiedades de los contrastes de raíz unitaria en el caso de que sean omitidos en la especificación empí rica ciertos elementos determinísticos que sí aparecen en el proceso generador de datos. Como hemos demostrado en los teoremas 1-3 de la sección 2, los estimadores del parámetro p tienden a tomar valores superiores a la unidad, esto es, aparentan ser explosivos cuando en realidad no lo son. Asimismo, los pseu- ESTADISTICA ESPAÑl7LA 3b do t-ratios utilizados para el contraste de la hipótesis de raíz unitaria (^µ y-c) divergen, favoreciendo el rechazo de la hipátesis de raíz unitaria, si bien no a favor de la alternativa de estacionariedad, sino de raíz explosiva. Otro tanto podemos decir de zµµ , estadístico que siempre Ileva al rechazo de la hipótesis nula formulada. La consecuencia última de todos estos puntos es que ciertos contrastes de car^tcter polietápico se ven muy influidos tanto por los errores en la especificación como por el incumplimiento de las hipótesis mantenidas. Para comprobarlo, estudiamos el comportamíento de dos contrastes de esta naturaleza, DFE y DJS, verificándose esta dependencia. Por tanto, cuando se Ileven a cabo contrastes de este tipo se hace imprescindible un correcto tratamiento de la determinación de los elemeritos deterministicos subyacentes en el proceso generador de datos. En otro caso, sus resultados pueden verse seriamente distorsionados. 5. APENDICE Teorema 1 a) Supongamos que el investigador se plantea el estudio de la existencia de una raíz unitaria en el modelo M µ pero en realidad el modelo presenta una tendencia determinística, es decir, ^^ 0. Entonces, bajo la hipótesis p= 1, la variable Yt se puede expresar de la siguiente forma: Yt = µ + ^ t + Yt _ ^ + ut = µ t + ^ [t {t + ^)] 2 r + ^ u; ^_^ [A.1^ y la correspondiente estimación del parámetro p resulta ser n ^ Yt Yt - ^^ T-^ ^ Yt ^ Yt -^ ^ Y^-^ _ T-^ ^^ Yt-^)2 _ µ^ Yt_^ +^^ t1^t-t +^ Yi-i +^ Yt-1 ut r ^ y2-1 .._ T-^ ^^ Yt-1)2 T-^ T µ^Yt-t+T^^^^t^Yt-^+T-^^^Yr-^]2+T-^^Yt-1^ur ^ Yf-^ _ T-^ ^^ Yt-^}2 [A.2] ERRORES DE ESPECIF^CACION EN LOS COIYTRASTFS DE RAIZ UNtTARIA ^i donde todos los sumatorios van desde 1 hasta T. En lo que sigue se mantendrá esta misma notación para todos los sumatorios, excepto en aquellos casos en los que se indiquen expresamente cuáles son los límites inferior y superior. Tomando como punto de partida el cuadro 3.3 de Banerjee et al. (1993}, se demuestra que los diversos momentos muestrales que aparecen en [A.2] tienen los siguientes ratios de convergencia: T -3 ^ rY ^ ^ 6 [A.3] ^2 T-5^ Yt ^ (A.4] 20 ^ 8 [A.5] , -t- -5iz ^ Y r u r ^ ^ r2 dW (r) . N ( , 2 f Q2 Q2 [A.6] 20 Sin más que operar con estos valores resulta inmediato demostrar que 1 T„-1 ) ^ (P ^ 2 8 ^ 2 20 ^ 6 2 ^ 15 8 [ A.7 I 36 6) De igual forma, el estimador del término independiente se puede expresar como µ= T-1 ^ Yr-p T^' ^ Yr_1 =µ+ T-' ^^ t- Ti1 (P-1)^ Yr_^ + +T-'^u^ [A.8] Realizando unas sencillas transformaciones en las expresiones anteriores, tenemos que Y_ 3^ T-' (µ-µ) = ^ T-2^ t- T^) (P 1 T^3^ 1 i T-2^ u^ r + r 6 [ A.9 ] ESTAUIS"T1C`A ESPAÑC;I_A c) EI estimadar m.c.o. del parámetro de dispersión es asimismo sesgado. Siguienda a Johnston (1987), éste se p^ede expresar de la siguiente forma: ,^ 2 2 t^ = a + 1 2 T^ t 2 Y i- ^^^ t 2^^ Yr - i^2 -^^ t)2 ^ Yt -^ T--2 + T^ y1_1 _^^ yt^^}2 ^t^t1^t_^L 1't_1--T(^tYt_,)2+^r^ Yt_,^tYt_^ + [A.10J T ^ y?-^ ` (^ Yt-1}2 Teníendo en cuenta los diferentes ratios de convergencia, tanto del numerador como del denominador, resulta que ^2 2 ^ 192 8fi40 ^ T-2c^^ ^ ^32 = ^i2 [A.1 ^J 45 d) ria es E1 correspondiente t-ratio para el contraste de la hipótesis de raiz unita^ t µ^ _ p'1 n ^ Y2_ _T__1 (^ y _ )^ t 1 t [A.12] 1 CT Aplicando las resultados [A.3J-[A.6J, es sencillo demostrar que ^ T-^^2 ^ _ T ^P ^ 1 ] T -s^z µ T_^ ^ ^ ^j,^z^ r i _ T -^ ^^ Y _ )2 ^ t ^ 15 ^ 2 8 ^ ^2 45 1 92 - ^ 15 [A .13] ERRURES DE ESF'EC'1FICAC'ION EN LOS CONTRASTES DE RAl"L I^NITARIA 39 e) Asimismo, podemos estudiar el correspondiente t-ratio de µ. En este caso se comprueba fácilmente que T-^izi µµ T -' (µ - µ ) = T-^ á T^^ 2 T -2 ^^ y^^ _ , ^2 T^^ + ^ Yi- ^ - T -^ (^ 1'r _ i)2 T i1 (µ - µ ) _ T -^ ^Q ^ T -s (^ yt- ^^2 1 + T -5 ^ Y ? - i - T ^ ^^ Yr - ^ )2 16 _^ [A . 14] Teorerna 2 Dado que en el modelo pablacional persiste ia existencia de una tendencia determinística, los ratios de convergencia anteriores siguen siendo válidos en este escenario. a) ^ p- Partiendo del estimador m.c.o. del parárnetro p: ^ Yt-i Yr µ^ Y r-^ +^^ t 1^t-^ +^ Y?-^ +^ Yr-^ ut 2 ^ Yf-1 [A.15] 2 Yr-i es inmediato demostrar que T(p-1) ^ ^ ^ 8 ^2 20 _ 5 2 [A.16] ^STADISTICA ESPAÑOLA bj AI igual que en el caso anterior, la estimación del parámetro de dispersión diverge. Operando similarmente que en [A.10]: ^{ á2=a^2+ T µ2^ 1^i_^ +2µ^^ t ^ Yt_ ^2^ t2^ Y2r-i ^ y?_^ T-1 µ2^ y2-^+2µ^^ Yr-^^ tYr_^+^2(^tYr_1)z 2 Yr- ^ 1 [A.17] Utilizando los correspondientes ratios de convergencia: ^2 1 ^2 - 2 ^2 3 20 ^ s4 ^^ [A.18] 20 c) EI estadístico t se expresa de la siguiente forma: T- -^ ^ 2 t_ T(P - 1) T-s^^ T y2 _^ A a ^ i-1 [A.19J _^ 15 [A.20] resultando inmediato demostrar que T-^i^ z^ 5 2 1 ^2 2 ^ 20 48 Teorema 3 Para su demostración debemos partir de unos ratios de convergencia distintos a los utiiizados con anterioridad, ya que el proceso generador de datos también lo es. En esta ocasión: r Yt = µ + Yr _ ^ + u ^ = µ t + ^ u; ^_^ [A.21 ] ERRORES DE ESPECIFICACION EN LOS CUNTRASTES DE RA[Z UNITARIA 41 lo que significa que T-2^ Yr µ ^ [A.22] 2 2 T -3 ^ Y 1 ^ µ 3 ^- -3f2 ^ y r u r ^^ µ a a) como [A.23] ^ µ2 ^2 ,^ rdW (r)•N 0, 0 3 1 [A.24] Si tenemos en cuenta que el estimador m.c.o. del parámetro p se define ^ ^ yr-^ Yr P= `^ 2 Yr-i µ^ Yt-^ +^ yt-^ +^ Yr-^ ur ^ [A.25] 2 Yr-^ entonces es inmediato que µ _ 2 T (p - 1) ^ µ2 [A.26] _ „ 3 b) A diferencia de los casos anteriores, la estimación m.c.o. del par^metro de dispersión no diverge, sino que converge hacia un valor finito. Partimos de la siguiente expresión: ^ a2=a2+ 1 T- ^ µ ..I rS'v2 __ i^` v r-^-^ ^ r- [A.27] ^ yz r-^ Aplicando los nuevos ratios de convergencia, vemos que µ2 µ2 á2^a2+µ2 3 4 µ2 3 = a2 + 4 [A.2s] ESTADlST1CA ESPAÑOLA c^! EI estadístico T se define como T-,^2t_ T (P-1) ^ Y 2 t-1 T -3^2 n U jA.29j Como consecuencia de los dos apartados anteriores, queda que 3 1 µ2 T -1 / 2 .t ^ 3 2 2 3µ2 - 4a 2+ µ2 [A.30] 4 6. BIBLIC)GRAFIA BANERJEE, A.; DOLADO, J.; GAL6RAITH, ,J., y F-IENDRY, D. {1993): CO-integratíon, error corection and the econometric of non-stationary data, Oxford University Press, Oxford. ^ILLINGSLEY, P. (1986): Convergence of Probability Measures, Ed. Wiley, New York. DICKEY, D., y FULLER, W. (1979): «Distribution of the estimators for autoregressive time series», Journal of the American Statistica/ Association, 74, 427-431. {1981 }: «Likelihood ratio statistics for autoregressive time series wíth a unit root» , Econornetrica, 49, 1057-1072. DICKEY, D., y PANTULA, S. (1987): «Determining the order of dífferencing in autoregressive processes», Journa! of Business and Economic Statistics, 5, 455-461. DoLADo, J. (1990): «Cointegración: Una panorámica», Estadística Españo/a, 32, 327-365. 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We show how these tests diverge when a deterministic element is omitted. This hold even asimptotically. We study the effects on two tests: a stage version of Dickey-Fuller test and the Dolado-Jenkinson-Sosvilla one. Their size and power is investigated in a misspecification model framework. The main conclusion we reach is that omission of deterministic components suppose a hard test distortion: a spurious explosive root is generated and the pseudo t-ratios diverge. Key Words: unit root, Wiener's pro^ess: misspecification, unit root stage test. AMS C/assification: 62P20, 90A20.