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EXAMEN A1. FORESTALES. CURSO 2010/2011
APELLIDOS
Y NOMBRE
Instrucciones para la realización del ejercicio. El tiempo total es de 2 h. Comience por las preguntas, que
deben contestarse en la hoja coloreada que se entrega con el examen sin consultar libros ni apuntes, sólo
puede usarse la calculadora. Una vez terminadas y entregadas las preguntas, puede utilizar libros y apuntes
para la resolución de los problemas.
Para las respuestas se requieren argumentos fundados. No serán válidas afirmaciones gratuitas.
Consigne su nombre y apellidos en cada hoja que utilice. Esta hoja debe entregarse al final del examen.
PREGUNTA 1 (2 p)
Al medir las dimensiones de un cilindro recto con un calibre que aprecia 0.05 mm se obtienen
los siguientes valores: altura h = 22.35 mm; diámetro D = 5.80 mm. Calcular el volumen del
cilindro y su error, expresando el resultado en cm3.
PREGUNTA 2 (2 p)
Un punto material describe la trayectoria indicada en la figura
de manera que el módulo de su velocidad permanece constante.
Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:
(a) ¿Existe aceleración en los puntos A, B, C?. En caso
afirmativo, dibujar sobre el diagrama la dirección y sentido
de las aceleraciones.
(b) En caso de que se haya contestado afirmativamente al
apartado anterior, ordene de mayor a menor las
aceleraciones, explicando las razones de la ordenación
propuesta..
Y (m)
2,0
C
1,5
A
1,0
B
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X (m)
1
PROBLEMAS
PROBLEMA 3 (3 p)
r
r
r
El vector de posición de una partícula es r (t ) = 4 t i + 30 t − 5 t 2 j
donde t está dado en s y r está dado en m. Se pide:
(
)
(a) Calcular la ecuación de su trayectoria. ¿Qué clase de curva es?
(b) Determinar la velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 3 s.
(c) ¿Cuál es la componente tangencial de la aceleración cuando t = 1 s?.
PROBLEMA 4 (3 p)
Una partícula que se encuentra inicialmente en reposo en el punto A
de la pista circular de la figura resbala hasta el punto B (suponemos
ausencia de fricción). Se pide:
(a) Dibujar su diagrama de sólido libre cuando la partícula se
encuentra en un punto intermedio entre A y B.
(b) Calcular su velocidad en un punto intermedio antes de llegar al
punto B, cuando la línea que une la partícula con el punto O forma
con la vertical un ángulo de 5º.
(c) Calcular el valor de la reacción normal cuando se encuentra en el
punto intermedio al que se refiere el apartado anterior.
Situación inicial
r
O
θ0
A
B
Datos numéricos
r = 2 m θ 0 = 30º
Masa de la
−2
m = 5 ⋅10
kg
2
partícula
EXAMEN A1. FORESTALES. CURSO 2010/2011
APELLIDOS
Y NOMBRE
Instrucciones para la realización del ejercicio. El tiempo total es de 2 h. Comience por las preguntas, que
deben contestarse en la hoja coloreada que se entrega con el examen sin consultar libros ni apuntes, sólo
puede usarse la calculadora. Una vez terminadas y entregadas las preguntas, puede utilizar libros y apuntes
para la resolución de los problemas.
Para las respuestas se requieren argumentos fundados. No serán válidas afirmaciones gratuitas.
Consigne su nombre y apellidos en cada hoja que utilice. Esta hoja debe entregarse al final del examen.
PREGUNTA 1 (2 p)
Al medir las dimensiones de un cilindro recto con un calibre que aprecia 0.05 mm se obtienen
los siguientes valores: altura h = 38.35 mm; diámetro D = 10.80 mm. Calcular el volumen del
cilindro y su error, expresando el resultado en cm3.
PREGUNTA 2 (2 p)
Un punto material describe la trayectoria indicada en la figura
de manera que el módulo de su velocidad permanece constante.
Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:
(a) ¿Existe aceleración en los puntos A, B, C?. En caso
afirmativo, dibujar sobre el diagrama la dirección y sentido
de las aceleraciones.
(b) En caso de que se haya contestado afirmativamente al
apartado anterior, ordene de mayor a menor las
aceleraciones, explicando las razones de la ordenación
propuesta..
Y (m)
2,0
1,5
A
B
1,0
C
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X (m)
3
PROBLEMAS
PROBLEMA 3 (3 p)
r
r
r
El vector de posición de una partícula es r (t ) = 2 t i + 12 t − t 2 j
donde t está dado en s y r está dado en m. Se pide:
(
)
(a) Calcular la ecuación de su trayectoria. ¿Qué clase de curva es?
(b) Determinar la velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 6 s.
(c) ¿Cuál es la componente tangencial de la aceleración cuando t = 3 s?.
PROBLEMA 4 (3 p)
Una partícula que se encuentra inicialmente en reposo en el punto A
de la pista circular de la figura resbala hasta el punto B (suponemos
ausencia de fricción). Se pide:
(a) Dibujar su diagrama de sólido libre cuando la partícula se
encuentra en un punto intermedio entre A y B.
(b) Calcular su velocidad en un punto intermedio antes de llegar al
punto B, cuando la línea que une la partícula con el punto O forma
con la vertical un ángulo de 15º.
(c) Calcular el valor de la reacción normal cuando se encuentra en el
punto intermedio al que se refiere el apartado anterior.
Situación inicial
r
O
θ0
A
B
Datos numéricos
r = 2 m θ 0 = 30º
Masa de la
m = 5 ⋅10 −2 kg
partícula
4
FORESTALES. SOLUCIONARIO EXAMEN 8/11/2010
PREGUNTA 1 (2 p) MODELO A
Al medir las dimensiones de un
cilindro recto con un calibre
que aprecia 0.05 mm se
obtienen los siguientes valores:
altura h = 22.35 mm; diámetro
D = 5.80 mm. Calcular el
volumen del cilindro y su error,
expresando el resultado en cm3.
D
∆D
h
∆h
(mm) =
(mm) =
(mm) =
(mm) =
A
5,80
0,05
22,35
0,05
V (mm3) = 590,50
∆V (mm3) =
11,50
V (cm3) = 0,5905
∆V (cm3) = 0,0115
Ajustando decimales según los
criterios de la teoría de errores:
V = (0.591 ± 0.012 ) cm 3
PREGUNTA 1 (2 p) MODELO B
Al medir las dimensiones de un
cilindro recto con un calibre que
aprecia 0.05 mm se obtienen los
siguientes valores: altura h =
38.35 mm; diámetro D = 10.80
mm. Calcular el volumen del
cilindro y su error, expresando
el resultado en cm3.
D
h
D
∆D
h
∆h
1
A = π D2
V = A⋅ h
4
1
V = π ⋅ D2 ⋅ h
4
V (mm3) = 3513,20
∆V (mm3) =
∂V
∂V
∆V =
∆D +
h
∂D
∂h
(
1
∆V = π ⋅ 2 D ⋅ h ∆D + D 2 ∆h
4
(mm) =
(mm) =
(mm) =
(mm) =
B
10,80
0,05
38,35
0,05
)
37,11
V (cm3) = 3,5132
∆V (cm3) = 0,0371
Ajustando decimales según los
criterios de la teoría de errores:
3
V = (3.51 ± 0.04 ) cm
5
FORESTALES. SOLUCIONARIO EXAMEN 8/11/2010
PREGUNTA 2 (2 p) MODELO A
Un punto material describe la trayectoria indicada en la figura
de manera que el módulo de su velocidad permanece constante.
Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:
(a) ¿Existe aceleración en los puntos A, B, C?. En caso
afirmativo, dibujar sobre el diagrama la dirección y sentido
de las aceleraciones.
(b) En caso de que se haya contestado afirmativamente al
apartado anterior, ordene de mayor a menor las
aceleraciones, explicando las razones de la ordenación
propuesta..
(a) Puesto que el módulo de la velocidad es constante, no
existe aceleración tangencial en ningún punto; pero en los
dos puntos en los que la trayectoria es curvilínea, si existe
aceleración normal dirigida hacia el centro de curvatura.
Estos puntos son B y C, mientras que la aceleración en A es
cero porque se trata de un tramo rectilíneo recorrido con
velocidad constante.
(b) La aceleración normal es inversamente proporcional al
radio de curvatura, por lo tanto su módulo es mayor en el
punto C (curva más cerrada) que en el punto B (curva más
abierta). De esta forma se ha dibujado en el esquema.
Y (m)
2,0
C
1,5
A
1,0
B
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X (m)
Y (m)
2,0
normal
1,5
tangente
C
r
a NB
A
1,0
tangente B
0,5
r
a NC
0,0
normal
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X (m)
6
FORESTALES. SOLUCIONARIO EXAMEN 8/11/2010
PREGUNTA 2 (2 p) MODELO B
Un punto material describe la trayectoria indicada en la figura
de manera que el módulo de su velocidad permanece constante.
Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:
(a) ¿Existe aceleración en los puntos A, B, C?. En caso
afirmativo, dibujar sobre el diagrama la dirección y sentido
de las aceleraciones.
(b) En caso de que se haya contestado afirmativamente al
apartado anterior, ordene de mayor a menor las
aceleraciones, explicando las razones de la ordenación
propuesta..
(a) Puesto que el módulo de la velocidad es constante, no
existe aceleración tangencial en ningún punto; pero en los
dos puntos en los que la trayectoria es curvilínea, si existe
aceleración normal dirigida hacia el centro de curvatura.
Estos puntos son C y A, mientras que la aceleración en B es
cero porque se trata de un tramo rectilíneo recorrido con
velocidad constante.
(b) La aceleración normal es inversamente proporcional al
radio de curvatura, por lo tanto su módulo es mayor en el
punto A (curva más cerrada) que en el punto C (curva más
abierta). De esta forma se ha dibujado en el esquema.
Y (m)
2,0
1,5
A
B
1,0
C
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X (m)
Y (m)
2,0
normal
1,5
A
r
a NC
B
1,0
tangente
tangente
0,5
0,0
r
a NA
C
normal
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
X (m)
7
FORESTALES. SOLUCIONARIO EXAMEN 8/11/2010
PROBLEMA 3 (3 p) MODELO A
r
r
r
El vector de posición de una partícula es r (t ) = 4 t i + 30 t − 5 t 2 j
donde t está dado en s y r está dado en m. Se pide:
(
)
(a) Calcular la ecuación de su trayectoria. ¿Qué clase de curva es?
(b) Determinar la velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 3 s.
(c) ¿Cuál es la componente tangencial de la aceleración cuando t = 1 s?.
(a) Ecuación de la trayectoria
r
r
r
→
r (t ) = 4 t i + 30 t − 5t 2 j
(
)
x(t ) = 4 t
y (t ) = 30 t − 5t →
2
x
t=
4
⇒
5x 2
y = 7.5 x −
16
Trayectoria
parabólica
(b) Velocidad y aceleración de la partícula.
constante
r Aceleración
r
r
r
r
r
dv (t )
r
dr (t )
a (t ) =
= − 10 j (m/s 2 )
v (t ) =
= 4 i + (30 − 10t ) j (m/s)
dt
dt
48
Posición
r
44
r
en
t=1s
Cuando t = 3 s → v(t =3 ) = 4 i (m/s)
40
36
32
(c) Componente tangencial de la aceleración.
Módulo de la velocidad: v(t ) = 4 2 + (30 − 10t )
2
dv (t )
at (t ) =
=
dt
4 + (30 − 10t )
Para t = 1 s
a N (t =1) (No se pide
su cálculo)
24
20
r
r
a(t =1) = − 10 j (m/s 2 )
16
10 (30 − 10t )
2
Y (m)
at (t =1) = 9.28
81 m/s 2
12
8
2
at (t =1) =
200
= 9.81 m/s 2
416
4
0
0
4
8
12
X (m)
16
820
24
FORESTALES. SOLUCIONARIO EXAMEN 8/11/2010
PROBLEMA 3 (3 p) MODELO B
r
r
r
2
El vector de posición de una partícula es r (t ) = 2 t i + 12 t − t j
donde t está dado en s y r está dado en m. Se pide:
(
)
(a) Calcular la ecuación de su trayectoria. ¿Qué clase de curva es?
(b) Determinar la velocidad y aceleración de la partícula cuando t = 6 s.
(c) ¿Cuál es la componente tangencial de la aceleración cuando t = 3 s?.
(a) Ecuación de la trayectoria
r
r
r
→
r (t ) = 2 t i + 12 t − t 2 j
(
)
x(t ) = 2 t
y (t ) = 12 t − t
x
t=
2
→
2
x2
y =6x−
4
⇒
Trayectoria
parabólica
(b) Velocidad y aceleración de la partícula.
constante
r Aceleración
r
r
r
r
r
dv (t )
r
dr (t )
= − 2 j (m/s 2 )
a (t ) =
= 2 i + (12 − 2t ) j (m/s)
v (t ) =
dt
dt
40
r
r
36
Posición
Cuando t = 6 s → v(t =6 ) = 2 i (m/s)
en
t=3s
32
at (t =3 ) = 128.90 m/s 2
(c) Componente tangencial de la aceleración.
Módulo de la velocidad: v(t ) = 2 + (12 − 2t )
dv (t )
at (t ) =
=
dt
2 (12 − 2t )
Y (m)
24
2
2
a N (t =3 ) (No se pide
su cálculo)
20
r
r
a(t =1) = − 2 j (m/s 2 )
16
12
2 2 + (12 − 2t )
Para t = 3 s
8
2
at (t =3 ) =
12
= 1.90 m/s 2
40
4
0
0
4
8
12
16
X (m)
20
9
24
28
FORESTALES. SOLUCIONARIO EXAMEN 8/11/2010
PROBLEMA 4 (3 p)
Una partícula que se encuentra inicialmente en reposo en el punto A de
la pista circular de la figura resbala hasta el punto B (suponemos
ausencia de fricción). Se pide:
(a) Dibujar su diagrama de sólido libre cuando la partícula se encuentra
en un punto intermedio entre A y B.
(b) Calcular su velocidad en un punto intermedio antes de llegar al
punto B, cuando la línea que une la partícula con el punto O forma con
la vertical un ángulo de 5º (MODELO A) o de 15º (MODELO B)..
(c) Calcular el valor de la reacción normal cuando se encuentra en el
punto intermedio al que se refiere el apartado anterior.
O
Posición inicial
FC
r
θ
mg
A
r
y
mg sin θ
Posición intermedia
mg cos θ
N
θ0
r cos θ
A
θ
θ
B
P
r
O
θ0
A
B
Datos numéricos
r = 2 m θ 0 = 30º
Masa de la
m = 5 ⋅10 −2 kg
partícula
Escogemos como nivel de
referencia para energía potencial
la posición inicial de la partícula
r cos θ0
DSL
O
Situación inicial
Con esta referencia la energía
mecánica
es
cero,
pues
inicialmente la partícula no se
mueve y en la posición inicial la
energía potencial es cero.
La energía mecánica se conserva
(no hay fricción). En el punto P:
B
y = r (cos θ 0 − cos θ )
(Véase que y es negativa)
E P = EC + U = 0
EP =
1
m v 2 + m g10y = 0
2
FORESTALES. SOLUCIONARIO EXAMEN 8/11/2010
PROBLEMA 4 (3 p) Continuación
1
m v 2 + m g r cos θ 0 − m g r cos θ = 0
2
O
O
θ0
A
Posición inicial
FC
A
θ
r
B
P
B
y = r (cos θ 0 − cos θ )
mg
La reacción normal N y la componente mg cos θ tienen sentidos
opuestos; la diferencia entre ellas es la fuerza centrípeta FC, que
puede calcularse una vez conocida la velocidad.
m v2
FC = N − mg cos θ
FC = N − mg cos θ =
r
2
mv
N = mg cos θ +
r
v = 2 g r (cos θ − cos θ 0 )
RESULTADOS NUMÉRICOS
A
y
mg sin θ
Posición intermedia
mg cos θ
r
r cos θ0
θ
θ
N
De esta ecuación
determinamos la velocidad
r cos θ
1
2
E P = EC + U = m v 2 + m g y = 0
g (m/s2) =
9,8
r (m) =
2
m (kg) = 5,0E-02
30
θ0 (º) =
θ (º) =
5
θ0 (rad) =
θ (rad) =
cos θ0 =
cos θ =
0,5236
0,0873
0,8660
0,9962
v (m/s) =
F C (N) =
N (N) =
2,26
0,13
0,62
B
9,8
2
5,0E-02
30
15
0,5236
0,2618
0,8660
0,9659
1,98
0,10
11 0,57