Ejercicios de cónicas. 1. Demuéstrese que un rayo lanzado en

Ejercicios de cónicas.
1. Demuéstrese que un rayo lanzado en cualquier dirección desde un foco de
una elipse y que se refleje en la cónica pasa por el otro foco.
2. Demuéstrese que un rayo lanzado paralelamente al eje de una parábola y
que se refleje en la cónica pasará por el foco.
3. Calcúlense la o las cónicas que pasan por los puntos A(1, 2, 1), B(−1, 2, 1),
C(1, 0, 1), D(−3, 2, 0) y E(0, 1, 3).
4. Escrı́base las siguientes cónicas degeneradas como producto explı́cito de
rectas, usando un procedimiento razonado: S1 = 9x2 + 136xy + 54xz +
140y 2 + 176yz + 45z 2 = 0. S2 = 4x2 − 48xy − 8xz + 144y 2 + 48yz + 4z 2 = 0.
5. Encuéntrese la ecuación de la cónica correspondiente a las dos rectas tangentes a la cónica 8x2 − 7xz + xy − 7z 2 + 8yz − 9y 2 = 0 desde el punto
(2, 1, −1). Encuéntrese las rectas y los puntos de contacto.
6. Demuéstrese que la cónica cuya dual es 2λu2 −(2λ+λ2 )v 2 −w2 +2λuw = 0
pasa por el punto de coordenadas (1, 1, 1) y por otros tres puntos fijos más
para todosA los valores de λ.
7. Encuéntrese los puntos de corte de las siguientes cónicas: (a) 24 x2 −53 xy+
29 y 2 − 315 xz − 422 yz + 891 z 2 = 0 y 34 x2 + 12 xy − 46 y 2 − 265 xz +
718 yz − 369 z 2 = 0. (b) 67 x2 + 30 xy − 10 y 2 − 221 xz − 6 yz + 154 z 2 = 0
y 14 x2 + 70 xy − 15 y 2 + 18 xz − 77 yz − 32 z 2 = 0.
8. Demuéstrese que las rectas ux + vy + wz = 0 y u0 x + v 0 y + w0 z = 0 se
cortan en un punto de la cónica (a, b, c, f, g, h)(x, y, z)2 = 0 si y sólo si
a h g u u0 h b f v v0 g f
c w w0 = 0
u v w 0 0 0
u v 0 w 0 0 0 (Indicación: la recta tangente en el punto de corte de la cónica debe ser
combinación de u y u0 .)
9. Encuéntrese el centro, ası́ntotas y ejes principales de las cónicas cuyas
ecuaciones en coordenadas euclı́deas son
2X 2 − 13XY + 15Y 2 + 5X − 11Y + 7 = 0
√
√ 60 + 3 Y 2 + 5 X 2 − 2 X 3Y + 2 2 + 9 3 X + 2 2 3 − 9 Y = 0
√
√
7/2 2X + 9/2 2Y − 2 − 2 X 2 − 4 XY − 2 Y 2 = 0
√
Escrı́base su ecuación canónica en un sistema de coordenadas euclı́deas
compatible con el dado.
10. Calcúlense la o las cónicas que pasan por los puntos A(−1, 1, 1), B(3, 1, −1),
C(1, 0, 1), D(3, 2, −1) y E(1, 2, 3).
11. Escrı́base las siguientes cónicas degeneradas como producto explı́cito de
rectas, usando un procedimiento razonado: S1 = x2 + yx − 15 zx − 12 zy +
36 z 2 = 0. S2 = x2 + 2 yx − 6 zx + y 2 − 6 zy + 9 z 2 = 0.
12. Encuéntrese la ecuación de la cónica correspondiente a las dos rectas tangentes a la cónica −x2 − 3xz + xy + 2z 2 + yz − 4y 2 = 0 desde el punto
(0, 0, −1). Encuéntrese las rectas y los puntos de contacto.
13. Encuéntrese la ecuación de la cónica para la que el triángulo formado por
los puntos (2 : 1 : 0), (−3 : 0 : 1) y (−1 : 1 : 1) es autopolar y que además
es tangente a las rectas x = z y x + y + z = 0.
14. Encuéntrese el centro, ası́ntotas y ejes principales de las cónicas cuyas
ecuaciones en coordenadas euclı́deas son
√ √ √
−3 − 3 Y 2 − X 2 + 2 X 3Y + −4 − 1/2 3 X + −1/2 + 4 3 Y = 0
√
√
√ −15 − 11/4 Y 2 − 1/4 X 2 − 5/2 X 3Y + − 3 + 8 X + 1 + 8 3 Y = 0
√
√
3 X 2 + 2 XY + 10 2X + 3 Y 2 + 30 2Y + 150 = 0
Escrı́base su ecuación canónica en un sistema de coordenadas euclı́deas
compatible con el dado.
15. Clasifı́quense euclı́deamente las cónicas: 10 X 2 − 4 X + 10 Y 2 − 8 Y + 1,
−8 X 2 + 32 X + 3 Y 2 − 18 Y − 6, 28 X − 15 Y − 5 − 24 X 2 + 24 XY − 6 Y 2 ,
encontrando todos sus elementos geométricos.
16. Clasifı́quense euclı́deamente las cónicas: 25 X 2 + 82 X + 36 XY + 40 Y 2 +
188 Y + 220, −7 X 2 − 142 X − 60 XY − 32 Y 2 − 148 Y − 172, 9 X 2 − 38 X −
12 XY + 4 Y 2 + 8 Y − 4, encontrando todos sus elementos geométricos.
17. Encuéntrese la ecuación de una parábola cuya directriz es la recta x −
1 = 0 y cuyo foco es (2, 3). Encuéntrese la ecuación de una elipse con
excentricidad 1/2 y con esta misma directriz y foco.
18. Encuéntrese la ecuación de una hipérbola con excentricidad 2, directriz la
recta 4x − 3y + 2 = 0 y foco en (1, −1).
19. Encuéntrese la ecuación de una cónica con directriz ax + by + c = 0, foco
(h, k) y excentricidad e. Escrı́base su matriz.
20. Encuéntrese la ecuación de las tangentes con pendiente 3 a la parábola
y 2 = 8x. Encuéntrese la ecuación de las tangentes a dicha parábola desde
los puntos que satisfacen x = 2.
21. Encuéntrese la ecuación de la tangente a la parábola y 2 = 5x que es
perpendicular a la recta 3x + 2y − 1 = 0, y las coordenadas del punto de
contacto.
22. ¿Para qué valor de c la recta 2x + 3y + c = 0 es tangente a la parábola
x2 = −6y?
23. Encuéntrese las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 5x2 −4y 2 −10 =
0 que son perpendiculares a la recta x + 3y = 0.
24. Encuéntrese las ecuaciones de la recta tangente y normal a 3x2 −4y 2 −8 = 0
en el punto (2, −1).
25. Encuéntrese los extremos del diámetro de x2 + 2y 2 = 4 que es conjugado
al diámetro a través del punto (1, 1).
26. Encuéntrese las dos tangentes a la elipse 5x2 + 9y 2 = 45 desde el punto
(2, −2).
27. Encuéntrese unas ecuaciones paramétricas de la elipse análogas a las de
la circunferencia.
28. Consideremos la rama de la hipérbola equilátera de ecuación x2 − y 2 = 1
con x > 0. Dado un punto de la hipérbola P0 (x0 , y0 ), si el área del triángulo
curvilı́neo OPo V , siendo V = (1, 0), es A/2 (entendiendo que el signo
del área es positivo si x0 > 0 y negativo en caso contrario) diremos que
x0 = cosh A, y0 = sinh A. Demuéstrese que cosh A = (et + e−t )/2 y
sinh A = (e2 − e−t )/2.
29. Encuéntrese la relacion entre las longitudes de dos diámetros conjugados
de una elipse o una hipérbola. Estúdiese cuándo dichas longitudes pueden
ser iguales.
30. Dada la cónica x2 /a2 ± y 2 /b2 = 1, demuéstrese que la dirección conjugada
2
de la recta y = mx es la recta y = ∓ ab2 m x.
31. Demuéstrese que dos diámetros y = mx e y = m0 x son conjugados respecto
de la cónica de ecuación x2 /a2 ± y 2 /b2 = 1 si y sólo si mm0 = ∓b2 /a2 . ¿A
qué corresponde dicha relación si la cónica es una circunferencia?
32. Encuéntrense el centro, vértices, focos y directrices de la hipérbola 4y 2 −
3x2 = 12.
33. Dada la hipérbola de ecuación x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 y su hipérbola conjugada
y 2 /b2 − x2 /a2 = 1, demuéstrese que ambas tienen las mismas ası́ntotas.
34. Demuéstrese que, girando los ejes coordenados, se puede transformar la
ecuaciones de la hipérbola x2 − y 2 = 2a2 en la ecuación xy = a2 .
35. Demuéstrese que las excentricidades de una hipérbola y de su conjugada
satisfacen la relación e−2 + e0−2 = 1.
36. Encuéntrese los puntos en los que el diámetro de x2 − 2y 2 = 2 que es conjugado del diámetro que pasa por (−2, 1) corta a la hipérbola conjugada.
37. Encuéntrense las tangentes con pendiente +1 a la hipérbola 4x2 − 3y 2 +
12 = 0 y sus puntos de contacto con la misma. ¿Para qué valores de la
pendiente hay tangentes a la hipérbola?
38. Identifı́quese a qué objeto corresponde la ecuación k1 x2 /a2 +k2 y 2 /b2 = k3 ,
donde los ki toman valores en el conjunto {0, 1, −1}. Dibújense para los
valores a = 1 y b = 2.
39. Encuéntrese el eje, el vértice y la tangente en el vértice de la parábola de
ecuación
4x2 − 12xy + 9y 2 − 3x − 2y + 4 = 0.
Mostrar un sistema de coordenadas en el que tenga ecuación canónica y
encontrar la misma.
40. Demuéstrese que los ejes de una hipérbola bisecan las ası́ntotas. Encuéntrese
las ası́ntotas de la hipérbola 2x2 − 3xy − 2y 2 + 3x − y + 8 = 0 y, a partir
de ellas, sus ejes. Sabiendo las ecuaciones de los ejes, dar las ecuaciones
de un cambio de coordenadas que la reduzca a su forma canónica.
41. Escrı́base la ecuación de todas las hipérbolas que tienen como ası́ntotas
los ejes coordenados.
42. Demuéstrese que una hipérbola está completamente determinada por sus
ası́ntotas y un punto de la misma. Encuéntrese la ecuación de la hipérbola
que tiene por ası́ntotas 2x − 3y + 1 = 0 y x + y − 3 = 0 y pasa por el punto
(1, −2).
43. Demuéstrese que los centros de las hipérbolas cuyas ası́ntotas son paralelas
a los ejes coordenados y que pasan por los puntos (2, 5) y (3, 2) están sobre
la recta 3x − y − 4 = 0. Encuéntrese la ecuación de la hipérbola de dicho
conjunto que pasa por el punto (−2, 3).
44. Demuéstrese que los centros de las cónicas de ecuaciones ax2 + 2dxy +
by 2 + 2etx + 2f ty + c = 0 se encuentran sobre una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
45. ¿Para qué valores de c es x2 − 3xy + 2y 2 + x − y + c = 0 la ecuación de un
par de rectas que se cortan? Encuéntrese dichas rectas.
46. Demuéstrese que toda hipérbola se puede escribir de la forma (ax + by +
c)(a0 x + b0 y + c0 ) = k, y que entonces ax + by + c = 0 y a0 x + b0 y + c0 = 0
son sus ası́ntotas.
47. Demuéstrese que si P0 es centro de una cónica de matriz A y P y P 0 son
simétricos respecto a P , entonces P T AP = P 0T AP 0 .
48. Encuéntrese los ejes, centro (si existe), vértices, focos y ası́ntotas (si son
reales) de las siguientes cónicas: 8x2 − 4xy + 5y 2 − 36x + 18y + 9 = 0,
2x2 − 4xy − y 2 + 7x − 2y + 3 = 0., 5x2 − 4xy + 8y 2 + 18x − 36y + 9 = 0,
x2 − 4xy + 4y 2 + 5y − 9 = 0, 2x2 + 3xy − 2y 2 − 11x − 2y + 12 = 0,
x2 + 2xy + y 2 − 2x − 2y − 3 = 0, x2 − 4xy − 2y 2 − 2x + 7y − 3 = 0.
Compruébese que los ejes son perpendiculares. Mostrar un sistema de
coordenadas en el que tengan ecuación canónica y encontrar las mismas.
49. Discutir, para los distintos valores de k, la naturaleza de la cónica representada por
k(x2 + y 2 ) − 2(xy − x + y) + 3 = 0.
50. Clasificar la cónica y 2 + mxy + x2 − 1 = 0, para los distintos valores de m.
51. Hallar las ecuaciones de la hipérbola de ası́ntotas
x + y − 1 = 0,
2x − y + 2 = 0.
52. Encontrar, en cada caso, las condiciones para que la ecuación dada represente una hipérbola: (a) (ax + by + c)(αx + βy + γ) = k, k 6= 0, (b)
(ax + by + c)2 − (αx + βy + γ)2 = k, k 6= 0.
53. Encontrar las condiciones para que la ecuación
(ax + by + c)2 + (αx + βy + γ)2 = k 2 ,
con k 6= 0, represente una elipse.
54. Se considera la cónica C de ecuación
5x2 + 5y 2 + 6xy − 4x + 4y + 2 = 0.
¿Qué tipo de cónica es?. Encuentra su forma canónica un sistema de referencia euclı́deo en el que la ecuación de la cónica sea su forma canónica.
Describe la isometrı́a del plano afı́n euclı́deo que transforma la cónica C
en una cónica que tenga por ecuación la forma canónica de C.
55. Las mismas cuestiones del ejercicio anterior para cada una de las cónicas
siguientes: x2 − 2xy + y 2 + 4x − 6y + 1 = 0, x2 + 2xy − y 2 − 6x + 4y − 3 = 0,
x2 + 4xy + 4y 2 − 2x − 4y − 3 = 0, 2x2 − 2xy + 2y 2 + 4x − 6y + 1 = 0,
x2 + 2xy − y 2 + 4x + 4y + 4 = 0, x2 − 2xy + 2y 2 + 4x − 6y + 5 = 0.
56. Para cada una de las cónicas de los dos ejercicios anteriores encuentra,
cuando sea elipse, hipébola parábola o par de rectas concurrentes, su eje
o ejes; cuando sea elipse o hipébola, sus focos, y cuando sea parábola, su
vértice.
57. Clasifica, para los distintos valores de los parámetros α, β, las cónicas del
plano afı́n de ecuaciones
αx2 + 2βxy + αy 2 + (α + β)(x + y) + 1 = 0.
Si las consideramos en el plano afı́n euclı́deo, encuentra, si los hay, los
valores de α, β ∈ R2 para los que la cónica es una circunferencia.
58. Dada la cónica
17x2 + 17y 2 + 16xy − 225 = 0,
escrı́banse las ecuaciones del movimiento que transforma la cónica C en
una cónica que tenga por ecuación la forma canónica de C.
59. Dada la cónica cuya parametrización es x = a1 t+b1 /t+c1 , y = a2 t+b2 /t+
c2 , demuéstrese que se trata de una hipérbola y encuéntrese su centro y
ası́ntotas. Demuéstrese que la ecuación de la cónica dual es
(c1 u + c2 v + w)2 − 4(a1 u + a2 v)(b1 u + b2 v) = 0.
60. Encuéntrese la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (1, 0, 1),
(2, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 2, 1), (λ, λ, 1) y la ecuación de la cónica dual determinada por las cinco rectas con estas mismas coordenadas. ¿Para qué valores
de λ la cónica es un par de rectas o la cónica dual es un par de puntos?
61. Encuéntrese la ecuación de la cónica dada por el par de rectas tangentes
desde el punto (1, 1, 1) a la cónica x2 + 2y 2 + z 2 + yz + 3zx + xy = 0.
62. Demuéstrese que la cónica cuya ecuación dual es
2λu2 − (2λ + λ2 )v 2 − w2 + 2λuw = 0
pasa por el punto (1, 1, 1) y por otros tres puntos fijos. Encuéntrese dichos
puntos.
63. Encuéntrese la ecuación de la cónica para la cual los puntos (1, 0, 1),
(0, 1, 1), (1, 1, 1) forman un triángulo autopolar y que es tangente a las
rectas x = 2z e y = 2z.
64. Encuéntrese el centro, ası́ntotas, ejes principales y focos de la hipérbola
2x2 − 13xy + 15y 2 + 5x − 11y + 7 = 0.
65. Encuéntrese las coordenadas del centro de la cónica de ecuación x2 +
4λxy + 4y 2 − 2λx + 4y − 3 = 0 según λ varı́a. Discutir la naturaleza de la
cónica para los distintos valores de λ.
66. Demuéstrese que la cuerda de la cónica ax2 + by 2 = 1 cuyo punto medio
es (x0 , y0 ) está dada por la ecuación axx0 + byy0 = ax20 + by02 . Obténgase
un resultado similar para una cónica de ecuación general.
67. Demuéstrese que las cuerdas que unen cualquier punto de una cónica con
los extremos de un diámetro son paralelas a diámetros conjugados de la
cónica.
68. Demuéstrese que la cónica dual de una cónica que tiene como uno de los
focos el origen O de coordenadas es de la forma
A(u2 + v 2 ) + 2F vw + 2Gwu + Cw2 = 0.
Encuéntrese la ecuación de la directriz asociada al foco O.
69. Al segmento determinado por una parábola y la recta perpendicular al eje
por el foco se le llama latus rectum. Demuéstrese que la recta normal a
una parábola en un punto P encuentra el eje de la misma en un punto
cuya distancia a la proyección de P sobre el eje es la mitad de la longitud
del latus rectum.
70. Demuéstrese que el punto de intersección de la tangente a una parábola
y la perpendicular a dicha tangente que pasa por el foco yace sobre la
tangente a la parábola en el vértice de la misma.
71. Demuéstrese que el segmento de tangente a una parábola entre el punto
de tangencia y la directriz subtiende un ángulo recto respecto al foco.
72. Demuéstrese que las tangentes a una parábola en los extremos de cualquier
cuerda que pasa por el foco se encuentran en un punto sobre la directriz.
73. Demuéstrese que la cuerda que une los puntos de contacto de cualesquiera
dos tangentes mutuamente perpendiculares a una parábola pasa a través
del foco.
74. Sean l1 y l2 dos segmentos que pasan por un punto P interior a una
parábola, y sean P1 y P2 los puntos de intersección de las tangentes a
la parábola en los extremos de l1 y l2 , respectivamente. Demuéstrese que
P1 P2 es la polar de P .
75. ¿En qué sentido se puede decir que un cı́rculo es una elipse con excentricidad nula?
76. Demuéstrese que la distancia de cualquier punto de una hipérbola rectangular (i.e., con ejes de igual longitud) al centro es la media de sus distancias
desde los focos.
77. Demuéstrese que cualquier tangente a una elipse encuentra las tangentes
en los vértices en puntos tales que el producto de sus distancias al eje
mayor es igual al cuadrado del semieje menor.
78. Demuéstrese que el producto de las distancias de los focos a cualquier
tangente a una elipse es igual al cuadrado del semieje menor.
79. Demuéstrese que cualquier punto en el que una perpendicular desde uno
cualquiera de los focos a cualquier tangente a una elipse encuentra a la
misma, yace en un semicı́rculo con centro el centro de la elipse y radio
igual al semieje mayor.
80. Demuéstrese que la suma de los cuadrados de los inversos de las longitudes
de dos diámetros perpendiculares de una elipse es constante.
81. Demuéstrese que todas las cónicas con ecuación x2 /(a2 − t) + y 2 /(b2 − t) =
1, con t 6= a2 , b2 , forman un sistema de cónicas confocales (i.e., con los
mismos focos).
82. Demuéstrese que por cada punto del plano que no está en ninguno de los
ejes de una elipse o hipérbola fija, pasan dos cónicas de un sistema confocal
con la misma. Además, una es una elipse y la otra es una hipérbola.
Demuéstrese que las tangentes en dicho punto a cada una de estas curvas
son perpendiculares entre sı́.
83. Considérese la circunferencia que,√teniendo el mismo centro que la hipérbola x2 /a2 − y 2 /b2 = 1, tiene radio a2 + b2 . Demuéstrese que dicha circunferencia corta al eje principal de la hipérbola y al eje de su conjugada en
los focos respectivos. Demuéstrese que además, interseca cada hipérbola
en puntos que pertenecen a la directriz de la otra.
84. Demuéstrese que si el ángulo que forman las ası́ntotas a una hipérbola es
denotado por 2θ entonces la excentricidad es sec θ.
85. Demuéstrese que la porción de ası́ntota de una hipérbola comprendida
entre dos directrices es igual a la longitud del eje principal.
86. Demuéstrese que la distancia del foco de una hipérbola a cada una de las
ası́ntotas es igual a la longitud del eje secundario.
87. Encuéntrese las bisectrices de los ángulos que forman las rectas que unen
cualquier punto de una hipérbola rectangular (es decir, con iguales longitudes de ejes) a sus vértices y determı́nese su relación con las ası́ntotas.
88. Demuéstrese que el punto de contacto de la tangente a una hipérbola es
el punto medio del segmento que la misma determina al cortarla con la
hipérbola conjugada.
89. Demuéstrese que si una recta corta a una hipérbola en los puntos P 0 y P 00 ,
y a las ası́ntotas en R0 y R00 , entonces los puntos medios de los segmentos
P 0 P 00 y R0 R00 coinciden.
90. Demuéstrese que el producto de las distancias de un punto de una hipérbola a sus ası́ntotas es constante.
91. Demuéstrese que las rectas que unen cada vértice de una hipérbola a los
extremos del eje secundario son paralelas a las ası́ntotas.