Principio de Reflexión de Schwarz

Principio de Reflexión de Schwarz
Rodrigo Vargas
1. Sea f analı́tica en {0 < |z| < 1} y suponga que f es real sobre el cı́rculo
unitario |z| = 1. Demuestre que
1
f (z) = f
,
∀ z ∈ C∗ .
z
Solución. Considere las dos mapeos conformes
z−i
1+z
y ϕ−1 (z) = i
.
z+i
1−z
z−i
Sea g(z) = f ◦ ϕ(z) = f
, entonces g es analı́tica en el semi-plano
z+i
superior, g es real sobre el eje real, y por el principio de reflexión de
Schwarz, g(z) = g(z). Se sigue que para todo z ∈ C∗
1+z
1+z
−1
f (z) = g ◦ ϕ (z) = g i
= g −i
1−z
1−z
!
!
1+z
−i 1+z
1
1−z − i
1−z + 1
= f
= f 1+z
=f
.
1+z
z
−i 1−z + i
1−z − 1
ϕ(z) =
2. Suponga que f es analı́tica en D y real sobre el cı́rculo unitario {|z| = 1}.
¿Es f constante?
Solución. f se puede extender a una función entera si la definimos mediante


 f (z) |z| ≤ 1 ,
g(z) =


f 1z
|z| > 1
Luego, g es entera y real sobre el cı́rculo unitario |z| = 1. Escribimos
g(z) = u(z) + iv(z). Entonces v(z) es armónica en C y v(z) = 0 sobre
|z| = 1. Luego, por el principio del máximo para funciones armónicas,
v(z) ≡ 0 en D. Luego, g es real en |z| ≤ 1. Por el teorema del mapeo
abierto, g(z) = c para alguna constante c ∈ C. Por lo tanto, f tiene que
ser constante.
1
2
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3. Sea f : C − {0} → C analı́tica y suponga que f (1/z) = f (z). Suponga
también que f (z) es real para todo |z| = 1. Pruebe que f es real para
todo z ∈ R − {0}.
Solución. Por el principio de reflexión de Schwarz para cı́rculos,
1
f (z) = f
,
∀ z ∈ C − {0} .
z
Luego, para x ∈ R − {0}, f (x) = f (1/x) = f (x). Entonces, f es real
sobre R − {0}.
4. Sea f una función analı́tica en la región |z| > 1 del plano complejo.
Pruebe que si f es real valuada sobre el intervalo (1, ∞) del eje real,
entonces f es también real valuada sobre el intervalo (−∞, −1).
Solución. Sea g(z) = f (z), entonces g es analı́tica en |z| > 1, y g(x) =
f (x) = f (x) para todo x ∈ (1, ∞). Luego, por el Teorema de unicidad, g ≡ f sobre |z| > 1. Se sigue que, para todo x ∈ (−∞, −1),
f (x) = f (x) = f (x). Por lo tanto, f es real sobre (−∞, −1).
5. Suponga que f es entera y real sobre ambos ejes el real y el imaginario.
Demuestre que f tiene que ser par, i.e., f (z) = f (−z), ∀ z ∈ C.
Solución. Por el principio de Reflexión de Schwarz sobre el eje real,
f (z) = f (z) para todo z ∈ C. También, el principio de reflexión sobre el
eje imaginario se puede aplicar de la siguiente manera: Sea g(z) = f (iz),
entonces g es entera y real sobre el eje real y luego por el principio de
reflexión, g(z) = g(z), ∀ z ∈ C. Luego,
f (z) = g(−iz) = g(iz) = f (−z) ,
∀z ∈C.
Luego, f (z) = f (z) = f (−z) para todo z ∈ C. Entonces, f (z) = f (−z)
para todo z ∈ C.
6. Sea f una función analı́tica en el plano complejo, real sobre el eje real,
0 en el origen, y no identicamente cero. Pruebe que si f mapea el eje
imaginario sobre una lı́nea recta, entonces la lı́nea recta recta tiene que
ser el eje real o el eje imaginario.
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Principio de Reflexión de Schwarz
Solución. Como f es real sobre el eje real, por el principio de reflexión
de Schwarz se tiene que f (z) = f (z) para todo z ∈ C. Como f (0) = 0,
f mapea el eje imaginario sobre una lı́nea recta que pasa por el origen.
Luego, como el eje imaginario es simétrico con respecto al eje real, la imagen debe ser simétrica con respecto al eje real. (Por simétrica, queremos
decir que es su propio reflejo). La únicas dos rectas que son su propio
reflejo, son eje real y el eje imaginario.
7. Suponga que f es entera y real sobre las rectas L1 = {z : Im z = 1},
L2 = {z : Im z = 4}. Demuestre que f es periódica y calcule su perı́odo.
Solución. Sean g1 (z) = f (z + i) y g2 (z) = f (z + 4i) para cada z ∈ C,
entonces g1 y g2 son enteras y real sobre el eje real. Luego, por el principio de reflexión de Schwarz, g1 (z) = g1 (z) y g2 (z) = g2 (z) para todo
z ∈ C. Ahora bien, observe que
f (z) = g1 (z − i) = g1 (z + i) = f (z + 2i) ,
f (z) = g2 (z − 4i) = g2 (z + 4i) = f (z + 8i) ,
∀z ∈C,
∀z ∈C.
Se sigue que f (z + 2i) = f (z + 8i) para todo z ∈ C, lo que implica que
f (z + 2i) = f (z + 8i) para todo z ∈ C, por tanto, f (w) = f (w + 6i) para
todo z ∈ C. Por lo tanto, f es periódica de perı́odo 6i.
8. Suponga que f es entera y real sobre la recta y = x y y = x − 2. Demuestre que f es periódica y calcule su perı́odo.
π
π
Solución. Sean L1 = {rei 4 : r ∈ R} (la recta y = x) y L2 = {rei 4 + 2 :
r ∈ R} (la lı́nea recta y = x − 2).
y=x
y
π
4
0
|
|
1
2
π
4
y =x−2
x
4
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π
π
Sean g1 (z) = f (ei 4 z) y g2 (z) = f (ei 4 + 2), entonces ambas funciones son
enteras, y real sobre el eje real. Por el principio de reflexión de Schwarz,
g1 (z) = g1 (z), g2 (z) = g2 (z) para todo z ∈ C. Luego, para cada z ∈ C
π
π
π
f (z) = g1 (e−i 4 z) = g1 (ei 4 z) = f (ei 2 z) = f (iz) ,
π
π
π
f (z) = g2 (e−i 4 (z − 2)) = g2 (ei 4 (z − 2)) = f (ei 2 (z − 2) + 2)
= f (iz + (2 − 2i)) ,
se sigue que f (iz) = f (iz + 2 − 2i) lo que implica que f (z) = f (z + (2 −
2i)) para todo z ∈ C. Por lo tanto, f es periódica de perı́odo 2 − 2i.