Mathcad - Ejemplo L de I 2016 MIE (Momento Tramo)VC E izquierdo

EJEMPLO LINEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO FLEXOR EN EL TRAMO CENTRAL DE
VIGA CONTINUA CON EXTREMO IZQUIERDO EMPOTRADO, PARA CARGAS
VERTICALES , CÁLCULO ANALÍTICO POR METODO MIE:
A) Cálculo Analítico por Método MIC (Procedimiento de Cálculo)
Resolvemos el problema a través de la solución de la ecuación matricial de
Compatibilidad (matriz de flexibilidad): Unidades homogeneas KN, m
IPN 160
L := 3 (m)
J := 0.00000935 (m4)
E := 210000000
3
E⋅ J = 1.963 × 10
(KN/m2 )
(KN.m2 )
Cálculo de flexibilidades en la dirección de las Incógnitas estáticas:
f11 :=
1
L
−4
⋅ 1⋅ 1⋅
= 5.093 × 10
3
E⋅ J
1
L
−3
f33 := 2⋅ ⋅ 1⋅ 1⋅
= 1.019 × 10
3
E⋅ J
1
L
−3
f22 := 2⋅ ⋅ 1⋅ 1⋅
= 1.019 × 10
3
E⋅ J
1
L
−4
⋅ 1⋅ 1⋅
= 2.546 × 10
6
E⋅ J
1
L
−4
f23 := ⋅ 1⋅ 1⋅
= 2.546 × 10
6
E⋅ J
f21 :=
B) Esquemas de Superposición:
f12 := f21
f32 := f23
f31 := 0
f13 := f31
Determninación de los desplazamientos en el fundamental para el esquema de
cedimiento de vínculo correspondiente a un giro relativo -1: Vecto [F0]
f20 :=
1
2
f30 :=
1
2
f10 := 0
⎛⎜ f10 ⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎟⎞
F0 := ⎜ f20 ⎟ = ⎜ 0.5 ⎟
⎜ f30 ⎟ ⎜ 0.5 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−4
−4
⎛
2.546 × 10
0
⎟⎞
⎛⎜ f11 f12 f13 ⎞⎟ ⎜ 5.093 × 10
F := ⎜ f21 f22 f23 ⎟ = ⎜ 2.546 × 10− 4 1.019 × 10− 3 2.546 × 10− 4 ⎟
⎟
⎜ f31 f32 f33 ⎟ ⎜
−4
−3⎟
⎝
⎠ ⎜
0
2.546 × 10
1.019 × 10 ⎠
⎝
⎛⎜ X1 ⎟⎞
X = ⎜ X2 ⎟
⎜ X3 ⎟
⎝ ⎠
F⋅ X + F0 = 0
⎛⎜ 226.558 ⎟⎞
−1
X := −F ⋅ F0 = ⎜ −453.115 ⎟
⎜ −377.596 ⎟
⎝
⎠
X1 := 226.558
X3 := −377.596
X2 := −453.115
En el Cálculo de la superposición de elásticas (Principio de Superposición de
Efectos), en el fundamental debido a la causa deformante cedimniento de vínculo
mas las debidas a las Incognitas Estáticas nos basamos en los resultados de las
elásticas de BARRAS ELEMENTALES OBTENIDAS POR INTEGRACIÓN DE LA
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA LINEA ELÁSTICA DE LA BARRA RECTA,
CORRESPONDIENTES A MOMENTOS EN EXTREMOS SEGÚN LAS INCOGNITAS
ESTÁTIOCAS. (Tablas)
Para identificar las elásticas de cada tramo usamos el primer subindice para indicar
el sistema (deformaciones en el fundamental debido a causas y/o incógnitas), y el
segundo para indicar el tramo.
Por otro lado cuando representemos la L de I total podemos referirla a un sistema de ejes
con origen movil es decir trasladamos el origen según convenga en función de las ecuaciones
analiticas de las elásticas elementales ya resueltas para barras simples. (tablas)
Ver las correspondiente soluciónes desarrolladas de los casos que se presentan en este
ejemplo y que son vigas simples para momentos extremos M=+1 según corresponda.
Ver archivo de Elásticas. (Agregar si falta alguna).
Elásticas a Utilizar en la resolución:
Mi=+1 en el apoyo izquierdo sentido horario:
⎞
1 ⎛ x
2 2
⋅⎜
− x + ⋅ L⋅ x⎟
2⋅ E⋅ J ⎝ 3⋅ L
3
⎠
3
v ( x) :=
Md=+1 en el apoyo derecho sentido antihorario:
⎞
1 ⎞ ⎛x
⋅
⎜
−
L
⋅
x
⎟
⎟
⎝ 6⋅ E⋅ J ⎠ ⎝ L
⎠
3
v ( x) := −⎛⎜
A partir del segundo tramo, se traslada el origen de coordenadas a L, 2L
Las elásticas correspondientes a los diferentes estados y tramos son:
SISTEMA 0: Multiplicamos las elástica por el momento (rigidez x desplazamiento)
Tramo1(0-L)
v01 ( x) := 0
Tramo2 (L-3/2L)
v02i ( x) :=
Tramo2 (3/2L-2L)
1
−1
⋅ ( x − L) v02d ( x) :=
⋅ ( x − 2⋅ L)
2
2
Tramo3(2L-3L)
v03 ( x) := 0
SISTEMA 1:
Tramo1
Tramo2
⎞
1 ⎛ x
2 2
v11 ( x) :=
⋅⎜
− x + ⋅ L⋅ x⎟
2⋅ E⋅ J ⎝ 3⋅ L
3
⎠
3
v12 ( x) := 0
Tramo3
v13 ( x) := 0
SISTEMA2:
Tramo1
Tramo2
⎤
1 ⎡ ( x − L)
2 2
v22 ( x) :=
⋅⎢
− ( x − L) + ⋅ L⋅ ( x − L)⎥
2⋅ E⋅ J ⎣ 3⋅ L
3
⎦
3
3
⎞
1 ⎞ ⎛x
⎛
v21 ( x) := −⎜
⋅
⎜
−
L
⋅
x
⎟
⎟
⎝ 6⋅ E⋅ J ⎠ ⎝ L
⎠
Tramo3
v23 ( x) := 0
SISTEMA3:
Tramo2
Tramo1
v31 ( x) := 0
Tramo3
3
⎤
1 ⎞ ⎡ ( x − L)
⎛
v32 ( x) := −⎜
⋅
⎢
−
L
⋅
(
x
−
L
)
⎥
⎟
⎝ 6⋅ E⋅ J ⎠ ⎣ L
⎦
⎤
1 ⎡ ( x − 2⋅ L)
2 2
v33 ( x) :=
⋅⎢
− ( x − 2⋅ L) + ⋅ L⋅ ( x − 2⋅ L)⎥
2⋅ E⋅ J ⎣ 3⋅ L
3
⎦
3
Linea de Influencia en intervalos: 0-L (tramo 1)
v1 ( x) := v01 ( x) + v11 ( x) ⋅ X1 + v21 ( x) ⋅ X2 + v31 ( x) ⋅ X3
Linea de Influencia en intervalos: L-3/2L (tramo 2i)
v2i ( x) := v02i ( x) + v12 ( x) ⋅ X1 + v22 ( x) ⋅ X2 + v32 ( x) ⋅ X3
Linea de Influencia en intervalos: 3/2L-2L (tramo 2d)
v2d ( x) := v02d ( x) + v12 ( x) ⋅ X1 + v22 ( x) ⋅ X2 + v32 ( x) ⋅ X3
Linea de Influencia en intervalos: 2L-3L (tramo 3)
v3 ( x) := v03 ( x) + v13 ( x) ⋅ X1 + v23 ( x) ⋅ X2 + v33 ( x) ⋅ X3
Grafica completa de la Linea de Influencia del Esfuerzo MD para cargas verticales:
v ( x) :=
0 if 0 < x
Eje de Viga:
EjeViga := 0
v1 ( x) if 0 ≤ x ≤ L
v2i ( x) if L ≤ x ≤
v2d ( x) if
3
⋅L
2
3
⋅ L ≤ x ≤ 2⋅ L
2
v3 ( x) if 2⋅ L ≤ x ≤ 3⋅ L
− 0.2
2⋅ L
L
− 0.115
v ( x)
EjeViga
0.25
0.51
0.7
0
4.5
9
x
Tabla de Coeficientes de Influencia para distintos valores de abcisas (m):
v ( 0) = 0
v ( 3.25) = 0.05
−3
v ( 0.25) = −3.305 × 10
v ( 0.50) = −0.012
v ( 0.75) = −0.024
v ( 1) = −0.038
v ( 1.25) = −0.053
v ( 1.50) = −0.065
v ( 1.75) = −0.074
v ( 2) = −0.077
v ( 2.25) = −0.073
v ( 2.50) = −0.06
v ( 2.75) = −0.036
v ( 3) = 0
v ( 6.25) = −0.042
v ( 6.50) = −0.073
v ( 3.50) = 0.115
v ( 3.75) = 0.194 v ( 6.75) = −0.095
v ( 4) = 0.286
v ( 7) = −0.107
v ( 4.199) = 0.37
v ( 4.20) = 0.37
v ( 7.25) = −0.111
v ( 4.25) = 0.392
v ( 4.50) = 0.512 v ( 7.50) = −0.108
v ( 4.75) = 0.395 v ( 7.75) = −0.099
v ( 8) = −0.085
v ( 5) = 0.291
v ( 5.25) = 0.199 v ( 8.25) = −0.068
v ( 8.50) = −0.047
v ( 5.50) = 0.12
v ( 5.75) = 0.054 v ( 8.75) = −0.024
v ( 9) = 0
v ( 6) = 0
Ejercicio3: puntoa) para p= 30 KN/m Momento Flexor en B
p := 30
Máximo Positivo:
3
⌠2
⎮
MB := p⋅ ⎮
⌡L
⋅L
2⋅ L
⌠
v2i ( x) dx + p⋅ ⎮
⎮
⌡3
2
v2d ( x) dx = 19.471
⋅L
Máximo Negativo:
L
3⋅ L
⌠
⌠
MB := p⋅ ⎮ v1 ( x) dx + p⋅ ⎮
v3 ( x) dx = −10.385
⌡0
⌡2⋅ L