a(h - -n-:-I

Istudio de
tranqno
un
bOvoda de radio variablo para el ombalso do las
an
laguoas do londaca
POlt
LUIS
EYQUEM
(GoncIUliwn)
VerUleaeloD del traDque
Sea A 0 B la seccion transversal de
go (fig. 10).
Este muro esta sometido
-P deb ida al peso
propio
a
las
del
eOJllQ
mara
lanza de tranque de I
una
m.
de lar-
eiguientee fuerzas:
muro.
P, debida al peao A C B de agua que gravita sobre el,
Q
Iraeeion del
Para
empuje
del agua
poder determinar
reeojida por
el
muro,
las tensiones desarrolladas
cion cualquiera, neeesitamos
eonoeer
en
este
muro
el valor de estas tres fuerzas y
en una
su
see­
punto de
aplicaclon.
Sea 0 la
la del agua,
superficie
A0
B; {It la de A C B; .I 18 deneidad del
concreto
entonces
P
8
=
Vimoa que la ecuacion de A B
0; p.= o.
ea
0-1
D
Y
=
a
(h
xl
-
; dy
=
n a
(h
-
x)
h
n
=
/:Y =/:a
dx
(h
-
x)» dx
=
-
-n-:-I-/(b-X)Q
o
+ t
y 0'
=,
126
EBTUDIO DE UN
TRANQUE
D
P
(6)
P,
=
fl,
=
0+
Jb
=
&fl
=
+ ,
b
&a--
(b
-
d y
xl
=
0 a
-
1
Jb
D
(b
-
x) d
x
0
0
D+'
h
(1)
P,=
oa--.....,..­
n + J
x
I
I
I
h
I
I
I
I
I
I
,
l
£�,
-+�
__
I
I
P
��L-�y
I
I
I
1.-----[,
---->I
Fig. to
Para determinar el valor de
Q,
neeesitamos determinar
a
las distlntas alturas
presion del agua resistida por el muro valiendonos de los coefieien­
tes m". El empuje recojido por el muro a una altura x de la base, es p. = m. (b
x).
el valor de la
-
Aplicando
eata formula para las diatintas alturas se tiene:
127
LUIS EYQUEM
0,00 (h
=
40
p.
X
=
35
p.
=
•
x
=
30
p.
=
•
x
=
25
p.
=
0,111 (h
»
x
=
20
p.
=
0,37 (h
•
x
=
15
p.
=
•
x
=
Para,"
»
=
10
p.
=
•
x=
5
p.
=
•
x=
0
p.
=
La superficie A 0 B
por el muro.
0,14 (h
0,23 (h
-
-
-
-
-
40)
35)
30)
20)
20)
10)
0,46 (h
0,58 (h
10)
0,70 (h- 0)
0,76 (h- 0)
-
-
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,00
0,7
2,3
4,60
7,40
11,00
17,30
24,00
30,40
pues la fracci6n de
(fig. 11) representa
empuje recojida
x
A
..
--------------,
I
I
...
I
I
I
I
h
-,.-----
IS
---2.,$---
0
•
s
I
I
,
,...
-
-
-
-
.]0 ....
FIg.
La
curva
A B
se
-
-
_
...
II
puede interpretar
analiticamente por
forma:
u'
y
=
a'
(h
-
x)
una
parabola
de la
128
en
la cual
ESTUD]O DE UN
determinan a' y n' por el sistema de la
se
mOB como se
hizo para la
Siguiendo
resultando
TRANQUE
un
de los euadros
mini­
del trail que.
procedimiento analogo
a'
=
u'
=
obtuvo:
ee
0,019
2
queda muy cerca de la eurva real AD.
empuje Q contrarrestado por el muro es la superficie A 0 D,
una curva
EI valor del
eurva
Burna
que
luego:
x
----d,.---""I
I
,
C
--1--
I
I
I
:
eG,
J� : I===o!=�_
-
-
-
-
-
Y:>
I
�
1I
I
I
--'f
I
:
I
I
G
-
I
--4
l
I
I,
d
I
Y
__
I
'0
L�
B
I
I
I
�y
�=-_L
�.�
__
,
,.
d,
I..-d--o+
(H) :::.Q
=
}h/
d
x
=
/h0'"
n'
(h
-
Conocemos la intensidad de 108 esfuerzos
estudiada;
n08
falta determiuar el punto de
x)
dx
=
a'
que solieitan la
aplicacion de cada
uno
lonja
de
de ellcs.
muro
LUIS EYQUEl!
Para los dlatintos
cases Be
reduce
a
determinar el centro de
gravedad 1e
un
D
segmento de
parabola
de
H, cuya eeuacion
grado
es:
=
y
a
(h
-
XI (fig.
12).
(hX
(\dX
Y d Y
•
d=
0
�--
0
•
d'
=
n
y
Reernplazando
=
a
y y
(h
x)
-
dy
por
n
; d Y
SUB
=
(h
n a
-
valores
en
xl
-
las
'expresiones
resulta:
_
d
•
=
,
0
(hx
J.ho,h-X)dX
II
n a
x
_
I'
dx
0
---�--
D
n
-
d!
=
fhOX
fhr::
(t,-x,I
dx
0-'
n
d
x
de
d,
d' Y
,/,
,
130
ESTUDIO DE UN
TBANQUE
..
fbo(h
fl'o(b-X)
nat
dx
X)
-
n
dx
na
Resolviendo estas
integrales,
I
lIega al siguiente resuleado:
se
(n
d=
IIi
Disponemos de
punto cualquiera
n
a
h
�(l!n+ 1)
(III)
d'
(11 )
d,
h
II
+
n
1
----h
a
=
�
+
n
un
1)
T
�
11
+ 1
tOdOB lOB datos para ealcular las tenstones desarrolladae
de la
Ionia
de
muro
estudiada
ell
(fig, 13).
Las fuerzas verticales P y P, desarrollan una eompresion Begun el eje del
debidas a la deaeentraeicn del esfuerzo.
muro y los momentos M y M"
EI
empuje Q desarrolla un momento
sigulente:
M' .-La
expresion
mentos solicitantes es la
I
M
=Qd
M=PI
LaB teneiones
en
las flbras extremas, Beran:
P
t=-
V
+ PI
±-I-
Q
!l
=Ib
(M
+
YI
+ Y'
)
de estos tres
me­
LUIS
131
l!:YQUl!:M
entonces
(13)
PtP,
t=-
(I � I
I
±
,PI+P,h+Qd,)
b
=
-
�
d ;
It
n
b
=
d,
-
�
; b
=
a
h
x
t
A
C
--------
r----
I
I
I
----,
,
I
I
I
I
I
h
I
I
H
I
__
.'"
t
I
i
-
-
-
-{-61
I
I
1
I
1
J'
I
'iP
I
I
I
I
-
-t-
I
-
i 6._...,
I
I
J,-
y
•
,
'
r--i &.
I
.1
',1,-1
.
1
I
__
,-+---,...Q
I
1
I
l;
,_.----".-----'
-
-
-
-
"
•
-
-
--_"
•
F,g.13
En la base del tranque fue necesario aurnentar
los esfuerzos de tension.
algo el
espesor para lirnitar
ESTUDIO DE UN
132
Para esta
zona se
12'
-I,.
n
=
3� n'
b
bi
-.-
_
d
�
-
=
e
2
_--
-
sigue
Be
_
ha
dl
a
a'
n
-
2
=
a
h
M_
__
�
en
=
-Q-I
=
0.019;
2.
=
:l
n
bi
:!
"
d1
=
�
_--
las expresiones de b- p_ P,
-n' por BUS cautidades a
I.U6; a'
reemplazado
-
V'
-
d
�
h
I,
d': los valores de
-
e
tiene:
/1
\
En 10 que
TBANQUE
1,06.jh'
+ (g)
11+1
-r
,g)
3
h
1,,,9h �
P=da---
11+1
3
O,-!�"
11'
-
0,1 KI1)3 h'
._­
ll'+ 1
u
(ll+I)"
-
:!(:!
B
I,
=
.jW-
+ 1
h
Q=a'
h
n
+
1-)
n+1
---c"-
:!
2n+l
h
n
h
-2-,\
(!(
-
(
g)
-l-,2
.,'_
=
0,,,,3 ..I h'
3
=
U,,,3
..I ht
O.Z" h
133
LUIS EYQUEM
..
+'.....
$.
R.
46.80
;
I
,
-
-
-
-r -.-t::��_�"'-"'-"'-�_=......����
-,­
,
I
5-
I
,
I
,
It
47.5o
-
:.-
I
Io-==-�
__
,
I
,
I
,
I
I
S�
I
I
-
R.
� 7-
-
50
I
_
f-
I
1---'+,",.9",,0,---.\
__
I
I
I
1
,
�
Rw
45.70
-
I
I
.
;._
Io-_----'ii'--"�;:.J__
__
I
,..
H•• /f.Z. Go
-J,.,
1--_--'--"=_-<\
__
I
�
R.
_
39. 50
-
.
,,_
__
--=9. 05
-0&1
I
5"
,
_.
R. =36.00
I
",.
I.-
__
,
':..:0,.,.-'2"'5'--
".,..,._
__
--'.\
I
I
,
.._
R.
-
3/.
SD
"'01
I
,:_
,_
I
I
J
-
R. -25,5D
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I
5
...
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I
-.500_-1-
_
S�n
__
...
I
i-------i'
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,
I
I
I
I<-2..Go+
I
...
,
,
,.,.
-
-_
-
-12. �
Fzg. 14
-----
....
134
EIlTUDIO DE UN
Haciendo variar h entre U y 40,
TRANQUE
obtiene el
se
siguiente cuadro para
los
va­
Iores anteriorea;
I
P
b,
I
i
I
I
g=O
g=O
g=O
�=O
g-=O
0,41l
g
I(
II,HIl
=
=
g
g
=
=
I.:m
2,m61)
I
Para
Para
Pam
Para
Para
Para
Para
Para
Para
b
h
h
h
h
h
h
h
h
En este cuadro
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
n
10
I
I
'rollelada.e
23,2
12,0;>
Ii'>
I
74
l-ln
235
:�-lO
41i0
n\!i)
74n
II,K
6,3
21,2
15\-1
50
!JK
170
270
21)()
41"'
!lI.5
123
los facto res
cualquiera
0
U
1\J,7
3H,7
62l)
aeccion
en una
I,
d,
----
Toneladas metros
0
1)9
,"
I}
3,1
1
Q
--
estun ealeulados todos
determinar las tensiones
cion
I
0
4,9
11\
fi,-Ifl
til
7,KO
2b
9,-1:;
311 11,11:;
35
411
Toneladas
metros
p,
metros
metros
(I
0
0,44 -0,67
0,70 -1,07
O,!JI -1,40
I, III -1,70
I,OK -2,IK
1,25
s.so
3,70
5,ti.:?f>
7,flO
1,lln -2,62
1,1�1 -3,U7 �,7f>
0,4[> -4,00 10,-
que
necesitan
para
aplicando 1a
eCU3-
se
del muro,
03).
t
±
=-
b;-
IP I
+ P, h + Q d, )
un
trabajo
,
Se fijaron las dimensiones
3 k por
c
aceptando
a
la
traecion
hasta
de
m,'
Aplicaremos
la formula anterior para las dlatintas
alturas, variando de 5
en
5 metros.
La base del tranque esta
el
empuje Q correspondiente
a
4 metros
empotrada
los 40 mts,
es
en
la roca,
inferior al
por consiguiente
Q del cuadro anterior,
10 mismo las tensiones que resulten.
Para h
40
=
m.
k
94fl
t
=-
Ii'>
±
0,0267 >; 3535
J
•
I
Para h
t
t
=
-
+
3fl
=
=
-
-
6,3
-
9,4
6,3 + 9,4
=
=
In,7 clm'
+ 3,1 elm'
-
m,
k
7i\4
t
=-
12.nn
± 0,03!l X 2430
J
t
I
t T
-
=-=
-
�
-
6,0
-
9,1
6,0 + !1,1
=
-
=..j..
12,2 clm�
3, I elm'
130
LUIS EYQUEM
Para h
30
=
m.
It
!'l�3
t
=-
::I::
11,00
t
f
0,0480 X 1430 1
-
+
t
Para h
25
=
=
_.
=
-
!'l,3
6,!!
03+ 6,9
12,2 elm!
+ 1,6 e,m'
=
-
-
=
m.
It
t
=
_
__:l31.5
::I:: 0 067 X 7HO f
l
9,45'
t
-
t
+
Para h
=
=
-
=
-
20
f:>,2
4,6 + o,:!
4,6
-
=
9,8 clm�
-
+ 0,6
=
e, m'
m.
k
297,0
1,1l
{
::I:: 0098
,
X 403
t
-
t
+
Para h
�
=
3.9
=
3,1'1 + 3,9
=
3,H
-
-
-
7,1 elm'
0,1 elm'
-
-
10 m.
=
k
t
=
-
11'13,7
6,40
::I::
� :+
0,14 X 161
Para h
=
lO
=
�:: �:: : = �,�� :;::
=
+
m.
It
t
93,7
=_
4,\1
::1::0"",�"
x
444
,
J
l
t_=_1,9_1,1=_3,Oe'm!
t
+
Para h
=
=
-
1,9 + 1,1
=
-
0,8 elm'
0 m.
k
t
=
_
2;'\4
,
::I::
0,61
x
5,1l
{
t
-
t
+
=
=
-
_
0,\10
0,39
+
0,90
0,39
-
=
-
=
-
1,:�4 elm'
0,:'>6 elm!