t tF

¿Qué utilidad tiene el uso de la Transformada de
Fourier en espectroscopía?
¿Cuáles son algunos espacios físicos que se relacionan
por medio de la Transformada de Fourier?
¿Cómo
se
calculan
matemáticamente
las
Transformadas de Fourier?
¿Cuáles son las diferencias entre las descripciones
obtenidas
a
partir
de
Transformada de Fourier?
una
función
y
su
En espectroscopía los conceptos de señal y espectro están
íntimamente relacionados, pero NO son iguales.
La señal es lo que se
GENERA
durante
un
fenómeno
físico.
Por
ejemplo: Una onda de sonido
genera cambios en la presión
que se detectan en un
micrófono.
El
espectro
es
la
REPRESENTACIÓN de las
variaciones de la señal en
función de algún parámetro
físico: frecuencia, vector de
onda, etc.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Sawtooth-td_and_fd.png
Como se vio anteriormente, una onda puede descomponerse en
una superposición de componentes armónicos con diferentes
amplitudes (Series de Fourier).
Una nota producida por un violín genera variaciones en la
presión (señal) que pueden representarse como una función del
tiempo: P  P(t )
El espectro de sonido de la nota representa la amplitud de la
onda sonora en función de la frecuencia del armónico que la
compone: A  A( )
La función A(ω) es la
TRANSFORMADA DE FOURIER
de la función P(t).
Y en general, el espectro es la
Transformada de Fourier de la
señal.
http://www.intmath.com/Fourier-series/6_Line-spectrum.php
En la física aparecen de manera natural pares de variables
conjugadas:
Posición y momento: x y p
Tiempo y frecuencia: t y f
Longitud de onda y
número de onda: λ y k
Apertura y ángulo de
difracción, etc.
Estas variables se relacionan
matemáticamente por medio
de
las
Transformadas
Integrales.
Se dice que una corresponde
al ESPACIO RECÍPROCO de
la otra.
http://www.nims.go.jp/AEMG/recent/Asaka-NSMO/asaka-3/asaka-3.html
Recordemos que una Serie de Fourier aproxima a cualquier

función periódica como:
a0 
F (t ) 
  an cosnt    bn sin nt 
2 n 1
n 1
Para funciones NO periódicas, se debe tomar una serie infinita
donde las amplitudes de los armónicos que componen la serie
sea infinitesimal: a( f ) df
y la suma se transforma en una integral:

i 2 f t
F (t )   G ( f ) e
df

donde el seno y el coseno se reemplazan
por una exponencial compleja (Fórmula
de Euler).
La función G( f ) es la TRANSFORMADA
DE FOURIER de F(t) y la exponencial es
el NÚCLEO de la transformada.
http://www.camyna.com/images/matematica.jpg
Para calcular matemáticamente la Transformada de Fourier
de una función F(t) se tiene la siguiente ecuación:

1
 i 2 f t
G( f ) 
F
(
t
)
e
dt

2 
La transformada de Fourier generalmente es una función
COMPLEJA. Sin embargo, está relacionada con magnitudes
REALES a través del “cuadrado”:
2
*
S ( f )  G( f )  G ( f )  G( f )  S(υ): espectro de potencia.
La transformada de Fourier tiene
muchas aplicaciones en:
Espectroscopía
Cristalografía
Microscopía Electrónica
Telecomunicaciones
Análisis de Imágenes
Algunas funciones y su transformada de Fourier son:
http://www.cv.nrao.edu/course/astr534/FourierTransforms.html
Una función extendida en el espacio será estrecha en el espacio
recíproco y viceversa.
1. Calcule la transformada de Fourier
de la siguiente función y grafíquela:
0    t  2

F (t )  5  2  t  2
0 2  t  

2. Calcule la transformada de Fourier
de la función que se muestra en la
figura y grafíquela.
F (t )  exp(  t )