Investigacion teoria de la dualidad y METODO DUAL SIMPLEX

TEORIA DE LA DUALIDAD.
Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con él. Uno se
denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera
que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución
óptima para el otro.
Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de cómputo en
ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución
óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto
se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad.
DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL.
Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma
canónica de la siguiente forma:
Maximizar
Sujeto a:
El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente
manera:
1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro.
2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los
coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro.
3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar.
4. El problema de maximización tiene restricciones
tiene restricciones que.
5. Las variables en ambos casos son no negativas.
que y el problema de minimización
EJEMPLO:
Considere el problema primal siguiente:
Maximizar
Sujeto a:
Elaborar el dual a partir del primal.
Minimizar
Sujeto a:
Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes para
poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son:
1. Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo de
maximizar de la siguiente forma:
Minimizar
Maximizar
2. Una restricción mayor o igual que se transforma en una restricción menor o igual que de
la siguiente manera:
3. Una restricción de igualdad se transforma en 2 inecuaciones.
EJEMPLO: (PRIMAL).
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Dual
Miminizar
Sujeto a:
Encuentre el problema dual a partir del primal siguiente:
EJEMPLO:
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
EJEMPLO:
Minimizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
EJEMPLO:
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Maximizar
Sujeto a:
Encuentre el problema dual asociado al problema primal siguiente:
Minimizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
SOLUCION OPTIMA PRIMAL (2FASES)
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
1
-5000/3
0
-500/3
0
6000
S2
0
1
0
-2
1
12
X2
0
2/3
1
-1/3
0
12
SOLUCION ÓPTIMA DEL DUAL
V. Básica
Z
W1
W2
S1
S2
Solución
Z
1
0
12
0
12
6000
S1
0
0
-1
1
-2/3
5000/3
W1
0
1
2
0
1/3
500/3
EJEMPLO:
Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada
máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir
eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas
(ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2).
La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs.
Mensuales de la operación O2.
El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la
siguiente tabla.
HORAS
REQUERIDAS
CAPACIDAD
OPERACIÓN
MANUAL
ELECTRICA
(HRS MENSUALES)
O1
3
2
2000
O2
1
2
1000
Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe
producir mensualmente para maximizar el ingreso.
OBJETIVO : Maximizar el ingreso total
RESTRICCIONES : horas mensuales de las operaciones
VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir
X1 = número de máquinas de escribir manuales
X2 = número de máquinas de escribir eléctricas
Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
V. Básica
Z
W1
W2
S1
S2
Solución
Z
1
0
0
5
25
35000
S1
0
1
0
1/ 2
-1/2
500
W1
0
0
1
-1/ 4
3/ 4
250
METODO DUAL SIMPLEX.
Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones
se expresan en forma canónica (restricciones ).
La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después
de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de
la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema
puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado
derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el
método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será
la solución óptima del problema.
CONDICION DE FACTIBILIDAD.
La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se
rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son negativas, el proceso termina y
esta última tabla es la solución óptima factible).
CONDICION DE OPTIMIDAD.
La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue. Tome los cocientes
de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes correspondientes a la
ecuación asociada a la variable que sale.
Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero.
La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de
minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización (rompa los
empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene
ninguna solución factible.
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
1
-2000
-1000
0
0
0
S1
0
-3
-1
1
1
-40
S2
0
-2
-2
0
0
-60
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
1
-1000
0
0
-500
30000
S1
0
-2
0
1
-1/2
-10
X2
0
1
1
0
-1/2
30
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
1
0
-1000
-500
-250
35000
S1
0
1
-1
-1/2
1/ 4
5
S2
0
0
-2
1/ 2
-5/4
25
V. Básica
Fuente.
http://www.itlalaguna.edu.mx/academico/carreras/industrial/invoperaciones1/UNIDAD%203.HT
ML