Dinámica de Cohetes

Dinámica de Cohetes
Luis A. Aguilar
28 de febrero de 2007
lo rodea a través de sus turbinas y alas, etc. En
cambio, un cohete que se mueve en el espacio no
tiene un medio sobre el cual ejercer fuerza alguna. El cohete se mueve como resultado de la
fuerza de reacción que resulta de expeler parte
de su masa en dirección opuesta a su movimiento. Ası́ pues, el movimiento de un cohete implica
necesariamente un cambio de su masa.
2.
La ecuación de movimiento
Empezaremos encontrando la ecuación de movimiento de un cohete que se mueve libremente
en el espacio1 . Esta será una derivación sencilla
basada en la comparación del sistema a dos intervalos de tiempo diferentes y haciendo uso de la
conservación del momento lineal. Posteriormente
haremos una derivación más general que incluye
fuerzas externas.
2.1.
1.
Introducción
Cohete sin fuerza externa
Sea un cohete que se mueve libremente. Al
tiempo t tiene una masa m + dm y se mueve con
velocidad v con respecto a un observador externo inercial. Un instante dt después, el cohete se
mueve a una velocidad v + dv, habiendo expelido
una masa dm de gases a una velocidad −ve con
respecto a si mismo (ver figura 1).
En esta sección estudiaremos en detalle la
dinámica del movimiento de cohetes. En general, un vehı́culo avanza impulsado por la fuerza
de reacción que resulta del mismo ejerciendo una
fuerza sobre su entorno: un automovil ejerce una
fuerza sobre el pavimento a través de sus llantas, un avión ejerce una fuerza sobre el aire que
1
1
Es decir, sin estar sujeto a fuerzas externas
2
2
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
que el cohete se acelere. Es claro que para incrementar el empuje es necesario aumentar la tasa
de cambio de masa y/o usar algún combustible
que produzca una velocidad de emisión de gases
muy alta.
Figura 1: Un cohete libre de fuerzas externas.
El observador inercial vera la masa dm de gases moverse a una velocidad v−ve . Los momentos
lineales pi y pf al tiempo t y t + dt, son:
Solución:
La ecuación (2) puede ser escrita como:
pi = (m + dm) v = mv + dm v
pf
Ejemplo 1: Solución del movimiento
Supongamos que un cohete se mueve libremente
consumiendo su combustible a una tasa fija y arrojando los gases que resultan a una velocidad constante ve . La masa inicial del combustible es mc y la
masa útil es mo . ¿Cuál es su velocidad y la distancia
recorrida como función del tiempo?
= m (v + dv) + dm (v − ve )
dv
1 dm
= ve
dt
m dt
= mv + mdv + dm v − dm ve
(3)
La masa del cohete como función del tiempo esta
Como no hay fuerzas externas, la 2a ley de
dada por,
Newton dice que el momento lineal se conserva :
m(t) = mo + mc (1 − t/tf ),
mv + dm v = mv + mdv + dm v − dm ve
Nótese que los dos términos del momento inicial son cancelados por términos que aparecen en
el momento final:
m dv = dm ve
(1)
El último paso es dividir entre dt para obtener2 :
mv̇ = ve ṁ
(2)
Esta es la ecuación fundamental que describe
el movimiento de un cohete en movimiento libre.
Nótese que la pérdida de masa del cohete implica ṁ > 0, porque una dm positiva en la ecuaci
ón (1), representa una pérdida para el cohete.
El término de la derecha se le denomina empuje,
tiene unidades de fuerza y es el responsable de
2
El sı́mbolo “ ˙ ” indica derivación temporal
donde hemos incluido el hecho de que la tasa de consumo de combustible es constante. Esta expresión es
válida para 0 < t < tf , donde tf es el tiempo en el
que se agota el combustible.
Es claro que la tasa de pérdida de masa es ṁ =
(mc /tf ), por lo que la ecuación (3) puede ser escrita:
dv
ve mc 1
=
dt
tf m
Aquı́ nos conviene definir un tiempo adimensional
τ ≡ t/tf , la ecuación anterior queda entonces:
1
dv
= ve mc
dτ
m
Integrando esta ecuación,
Z
v(τ )
0
Z
dv = ve mc
vo
0
τ
dτ 0
mo + mc (1 − τ 0 )
donde vo es la velocidad inicial del cohete.
2.1
Cohete sin fuerza externa
Efectuando las integrales, obtenemos,
(mi /mc )
β(τ ) = βo + ln
(mi /mc ) − τ
3
Definiendo una distancia adimensional ζ ≡
x/(ve tf ), e integrando la ecuación anterior, obtene(4) mos:
Z ζ
Z τ
dζ 0 =
β(τ 0 )dτ 0 ,
Β#Βo
0
0
donde hemos introducido la velocidad adimensional
β ≡ v/ve , y mi ≡ mo + mc es la masa inicial del lo cual nos da (τ < 1):
cohete3 .
Nos conviene introducir fc ≡ mc /mi , la fracción
1 − fc
ζ(τ ) = (βo + 1)τ +
ln(1 − fc τ ) (6)
inicial de combustible. En este caso la solución queda
fc
4
finalmente ,
La figura (3) muestra las soluciones correspondienβ(τ ) = βo − ln(1 − fc τ )
(5) tes a los casos mostrados en la figura (2), para el caso
en que el cohete parte del reposo. Vemos que ha medida que la masa útil disminuye (fc → 1), aumenta
la distancia adimensional recorrida por el cohete, sin
2
embargo, debemos tener cuidado pues el factor de
conversión entre ζ y x varı́a con la tasa de consumo
1.5
de masa y la velocidad de escape.
1
0.5
0
0.2 0.4 0.6 0.8
Τ
1
Figura 2: Incremento en la velocidad adimensional
de un cohete libre como función del tiempo adimensional. Las curvas corresponden a soluciones con
fracciones de masa fc = 0.1, 0.3, . . . , 0.9, yendo de
la curva inferior a la superior.
La figura (2) muestra varias soluciones. Es claro
que para lograr cambios de velocidad significativos es
necesario que la mayorı́a de la masa inicial del cohete
este en forma de combustible.
El último paso es encontrar la distancia recorrida
por el cohete. Esta puede encontrase de la siguiente
manera:
dx = v(t)dt = ve β(τ ) tf dτ
3
Esta solución es válida solo para τ < 1.
Nótese que el argumento del logaritmo es menor a
uno, por lo que el segundo término de la solución es positivo.
4
0.8
0.7
0.6
0.5
Ζ 0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.2 0.4 0.6 0.8
Τ
1
Figura 3: Distancia adimensional recorrida por un
cohete libre que parte del reposo, como función del
tiempo adimensional. Las curvas corresponden a las
mismos casos presentados en la figura anterior y en
el mismo orden.
Para ver cual es realmente el comportamiento de
las soluciones debemos regresar a las variables de velocidad y distancia originales del problema: v, x y t.
La conversión entre estas variables y sus contrapartes
adimensionales esta dada por:
t = tf τ,
v = ve β,
x = ve tf ζ.
4
2
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Según hemos visto, tf = mc /ṁ. Aquı́ debemos es3
coger los parámetros que usaremos para definir de
2.5
manera única el problema: tf es una consecuencia de
2
la tasa de consumo de combustible, por lo que no es
buena elección.
!v!ve 1.5
Los parámetros que definen el problema son la ve1
locidad de escape ve que caracteriza el combustible,
0.5
la tasa de consumo de combustible normalizada a la
cantidad inicial µ ≡ ṁ/mc que caracteriza al motor,
0
y la fracción inicial de masa en forma de combustible
0
1
2
3
4
fc , que nos da la fracción de masa útil en el cohete
t
(1 − fc ).
Expresando todo en términos de estos parámetros
Figura 4: Incremento en la velocidad de un cohete
obtenemos,
libre como función del tiempo. Las curvas verdes son
tf = 1/µ, t = (1/µ)τ, v = ve β, x = (ve /µ)ζ
para el caso en que la masa útil es un 20% de la
masa inicial. Las curvas anaranjadas corresponden a
La solución final es entonces:
un 5%. Cada conjunto de curvas de un mismo color
vo − ve ln(1 − fc µ t), para 0 < t < 1/µ
v(t) =
corresponde a diferentes tasas de consumo de comvo − ve ln(1 − fc ),
para t ≥ 1/µ
bustible, desde µ = 0.1 (curva inferior) a 0.9 (curva

superior) en incrementos de 0.2.
ve
(1 − fc µt)
(vo + ve )t + µf


c


 × ln(1 − fc µ t),
0 < t < 1/µ
x(t) =
2.2. Cohete sujeto a fuerzas externas



x(1/µ) + v(1/µ)


×(t − 1/µ),
t ≥ 1/µ
Encontraremos ahora la ecuación de moviLa figura (4) muestra las soluciones para el incremento en la velocidad como función del tiempo. Se
muestran dos conjuntos de soluciones: las curvas verdes corresponden al caso en que la masa útil es de un
20 % (fc = 0.8), mientras que las curvas anaranjadas
corresponden a una masa útil de un 5 % (fc = 0.95)
de la masa inicial.
Hay varios resultados que es importante resaltar:
• El incremento total en la velocidad se escala directamente con la velocidad ve de escape de los gases.
• El incremento total en la velocidad depende de
la fracción inicial de combustible, o si se prefiere, de
la masa útil. Entre mayor (menor) es la cantidad de
combustible (carga útil), mayor es el incremento en
la velocidad.
• La tasa de consumo de combustible no afecta el
cambio total de la velocidad, pero si la aceleración y,
por tanto, el tiempo en el que se alcanza el cambio
final en la velocidad.
miento de un cohete que se mueve sujeto a fuerzas externas. Podemos encontrar esta ecuación
usando el método empleado en la sección anterior, en la que comparamos la situación del cohete a dos tiempos distintos. Sin embargo, aqui
emplearemos directamente la 2a ley de Newton y
no estaremos restringidos a movimiento en una
dimensión.
Sea un cohete que se mueve sujeto a fuerzas
externas. Sea v la velocidad del cohete con respecto al suelo, vg la velocidad de los gases expelidos al tiempo t con respecto al cohete y m la
masa de éste.
El cambio temporal del momento lineal del cohete pc con respecto al suelo es,
dpc
d
= (mv) = mv̇ + ṁv
dt
dt
5
Esta ecuación es idéntica a la que encontramos para el cohete libre (ecuación 2), solo que
ahora aparece la fuerza total externa aplicada al
cohete. En este caso, el movimiento del cohete
esta determinado por la suma del empuje y la
resultante de las fuerzas externas.
3.
La ecuación de Tsiolkovski
Regresando a la ecuación (1), ésta puede ser
escrita como
dv = ve (dm/m),
Figura 5: Cohete sujeto a una fuerza externa.
cuya solución es,
El cambio que corresponde a los gases es:
dpg
= −(v + vg )ṁ,
dt
donde hemos usado el hecho de que la velocidad
de los gases con respecto al suelo es v+vg y el signo negativo aparece porque lo que es una pérdida
de masa para el cohete, representa una ganancia
para los gases eyectados. También hacemos notar que en esta expresión no hemos considerado
el término (v̇ + v̇g ) m, ya que cada parcela de
gas que es expelida a una cierta velocidad cuyo
cambio subsecuente ya no afecta el movimiento
del cohete.
La 2a ley de Newton nos dice que el cambio
en el momento lineal total del sistema es igual a
la fuerza externa total F:
d
F =
(pc + pg )
dt
= mv̇ + ṁv − (v + vg )ṁ
= mv̇ − vg ṁ
La ecuación de movimiento del cohete sujeto
a fuerzas externas es entonces:
mv̇ = ve ṁ + F
(8)
(7)
∆v = ve ln(mi /mf )
(9)
∆v es el cambio total en la velocidad del cohete al pasar de una masa inicial mi a una masa
final mf , necesariamente menor5 . Esta ecuación
fue derivada por vez primera por el ruso Konstantin Tsiolkovski (1857–1935) y, por tanto, lleva
su nombre6 .
La ecuación de Tsiolkovski nos dice que el
cambio en velocidad varı́a con el logaritmo del
cociente de la masa final a la masa inicial7 (ver
figura 6). Esto implica que cambios grandes de
velocidad requieren que la mayor parte de la masa inicial del cohete sea combustible. La única
5
Al realizar la integral del lado derecho, recordemos
que una pérdida de masa implica dm > 0 (ver discusión
después de la ecuación 2) por lo que es necesario invertir
los lı́mites de la integral.
6
Recientemente se ha descubierto que el inglés William
Moore la menciona en 1813.
7
De hecho, la solución obtenida en el ejemplo de el
movimiento del cohete libre (ecuación 4) es igual a esta
ecuación, basta con multiplicar por mc tanto el numerador como el denominador del argumento del logaritmo en
aquella ecuación.
6
3
LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKI
4
3
!v!ve
2
1
0
0
20
40 60
m i!m f
80
100
Figura 6: La ecuación de Tsiolkovski: cambio en la
velocidad de un cohete como función del cambio en
la masa del mismo.
manera de aumentar la masa útil8 del cohete dado un cambio dv fijo, es usar un combustible que
resulte en una velocidad de eyección ve lo más
grande posible.
Es importante señalar que la ecuación de
Tsiolkovski no dice nada sobre el tiempo: es
una condición que relaciona cambios en velocidad con cambios en masa. Por ejemplo, si se requiere un cambio en velocidad igual a 3 veces la
magnitud de la velocidad de escape de los gases, se necesita un cambio en masa que resulte
en (mf /mi ) = e3 ∼ 20. Sin embargo, como la
ecuación de Tsiolkovski no impone condiciones
sobre el tiempo necesario para realizar la maniobra de cambio de velocidad, la aceleración puede
ser muy pequeña.
Ejemplo 2: Cohetes de varias estapas
Para alcanzar una órbita baja, como la que emplea
el transbordador espacial (a una altura de 200 a 300
km), se requiere una velocidad de ∆v ∼ 10 km/s. El
keroseno, un combustible muy usado para impulsar
cohetes, produce una velocidad de salida de gases de
ve ∼ 5 km/s. La ecuación de Tsiolkovski nos dice
8
es decir la masa de la carga útil: (1 − fc ).
Figura 7: A diferencia de un cohete de una etapa
(izquierda), un cohete de dos etapas descarta parte
de su masa (derecha).
que en este caso, el cociente de la masa final a la
inicial es de e−2 = 0.135, esto implica que la masa
útil, una vez que hemos descontado la masa de los
tanques de combustible, el motor del cohete y los
mecanismos de navegación y control, será de solo un
5%, o menor, de la masa total inicial. Esta es una
situación poco satisfactoria y es deseable encontrar
alguna alternativa que permita obtener una mayor
carga útil.
En este ejemplo exploraremos las ventajas de usar
un cohete de etapas, es decir, un cohete formado por
varios cohetes, montados uno encima de los otros, que
se van descartando una vez que han sido usados, con
lo que no es necesario que etapas subsecuentes tengan
que acarrear el peso muerto de la etapa anterior. Por
simplicidad consideraremos un cohete de dos etapas
y despreciaremos la acción de la gravedad (figura 7).
Para lograr un cambio ∆v de velocidad con un cohete de una etapa, la ecuación de Tsiolkovski no dice
que el conciente de masa final a masa inicial es:
mf /mi = e−∆v/ve
7
Supongamos ahora que usamos un cohete de dos etapas, diseñado de tal manera que cada etapa proporciona la mitad del cambio en velocidad deseado:
q
p
(i)
(i)
mf /mi = e−∆v/2ve = e−∆v/ve = mf /mi ,
En el caso de un cohete de una sola etapa, se tiene
que:
donde el superı́ndice en paréntesis indica que se refiere a la i–ésima etapa y las masas sin superı́ndice se
refieren al caso del cohete de una etapa.
La cantidad que nos interesa es la razón de masa final de la segunda etapa a la masa inicial de la
primera etapa:
Lo cual implica que la fracción de masa útil esta dada
por:
fo (∆v/ve , fv ) = e−∆v/ve − fv
(10)
(2)
(2)
mf
(1)
mi
=
mf
(2)
mi
(1)
mi
Fo ≡
Es claro que con la inclusión de mv no se cumple
que la masa final de la primera etapa sea igual a la
masa inicial de la segunda etapa, pues al descartar la
primera etapa, su masa vehicular es eliminada:
(1)
(2)
mi
= m(1)
o
(1)
mv
representa un lastre que un cohete de etapas
elimina, y le permite por tanto, impulsar una carga
útil mayor.
Examinemos esto en detalle: definamos el cociente
de masa útil y de masa vehicular, a la masa total
inicial de cada etapa, como:
(i)
fo(i) ≡ m(i)
o /mi ,
(2)
(2)
,
mi = mo + mv + mc
(1)
mf = m(1)
o + mv ,
En el caso del cohete de dos etapas, el parámetro
que nos interesa es el cociente de la masa útil final a
la masa inicial del cohete:
(1)
mf
donde hemos usado el hecho de que la masa inicial de
la segunda etapa es igual a la masa final de la primera:
(2)
(1)
mi = mf . Usando el resultado que encontramos
para los cocientes de masa de cada etapa, es claro que
obtenemos exactamente el mismo cociente de masas
que en el caso de una sola etapa. ¿Cuál es entonces
la ventaja de usar un cohete de varias etapas?
La respuesta esta en un término que hemos despreciado en el cálculo simplificado que hicimos. La masa
final no es igual a la masa útil, pues hemos ignorado
la masa del vehı́culo mv que incluye los tanques de
combustible, motores y demás mecanismos que sirven para impulsar y controlar al cohete y no forman
parte de la masa útil mo :
mf = mo + mv ,
mf
mo + mv
=
= fo + fv = e−∆v/ve
mi
mi
(i)
fv(i) ≡ m(i)
v /mi
mo
(1)
mi
=
(1)
mo
mo
(2)
mi
(1)
mi
= fo(2) fo(1) ,
donde hemos usado el hecho de que la masa útil de
la primera etapa es la masa inicial de la segunda.
Como la ecuación (10) es válida para cada etapa,
se tiene entonces que,
h
ih
i
fo(2) fo(1) = e−∆v/2ve − fv(2) e−∆v/2ve − fv(1)
donde hemos incorporado el hecho de que cada etapa
produce un cambio de velocidad ∆v/2.
Un poco de álgebra nos da:
fo(2) fo(1) = e−∆v/ve −(fv(1) + fv(2) ) e−∆v/2ve +fv(1) fv(2)
Para simplificar esta expresión, supondremos que la
fracción de masa vehicular de las dos etapas es idénti(2)
(1)
ca (fv = fv ≡ Fv ):
fo(2) fo(1) = e−∆v/ve − 2Fv e−∆v/2ve + Fv2
Luego entonces, la expresión equivalente a la ecuación (10), para el cohete de dos etapas es:
Fo (∆v/ve , Fv ) = e−∆v/ve − 2Fv e−∆v/2ve + Fv2 (11)
Notamos que en el caso en que la masa vehı́cular tiende a cero, las ecuaciones (10) y (11) coinciden y nos
dan la ecuación de Tsiolkovski.
La figura (8) muestra la fracción de masa útil para
un cohete de una etapa y otro de dos etapas, que
producen un cambio de velocidad igual a ∆v/ve = 2.
Notamos que no solo la fracción de masa útil es mayor
8
3
LA ECUACIÓN DE TSIOLKOVSKI
0.14
0.12
0.1
fo ,Fo
0.08
0.06
0.1
Fo
0.05
0.04
0.02
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
fv
Figura 8: Fracción de masa útil para un cohete de
0.8
0
0
0.6
Η
0.4
0.1
0.2
fv
0.3
0.2
una etapa (lı́nea verde) y uno de dos etapas (lı́nea
anaranjada), que producen un cambio de velocidad
∆v/ve = 2.
Figura 9: Fracción de masa útil de un cohete de dos
etapas en el que la primera etapa produce un cambio
de velocidad η∆v y la segunda etapa (1 − η)∆v.
para el cohete de dos etapas para una fracción de
masa vehicular dada, sino que la fracción vehı́cular
puede ser mayor.
(η = 1/2). Sin embargo, hay otros parámetros que
Cuando tomamos en cuenta la masa vehicular del podemos cambiar en un cohete de dos etapas que
cohete, es claro que usar dos etapas incrementa la pueden aumentar la carga útil. De hecho, una estratecarga útil. Esto no debe extrañarnos, ya que al des- gia que puede ser empleada es el uso de combustibles
cartar la etapa que ya ha sido usada se evita el tener diferentes para cada etapa. En general, los combustique acarrear esta masa.
bles que mayor ve producen deben emplearse en las
En este ejemplo nosotros hemos usado un cohete etapas finales, ya que entonces la fracción de masa de
de dos etapas en el que cada etapa produce el mismo combustible de estas etapas disminuirá, combustible
cambio en velocidad y en el que la fracción vehicu- que debe ser impulsado por las etapas anteriores.
lar de cada etapa es idéntica. Variando la fracción de
Otro hecho que no hemos tomado en cuenta es
cambio en velocidad producido por cada etapa es po- que la fracción de masa vehicular sera distinta pasible aumentar la carga útil. Supongamos que el cam- ra cada etapa. La razón es que primera etapa debe
bio en velocidad de la primera etapa es ∆v1 = η∆vo , acarrear como masa útil a toda la segunda etapa, lo
y por consiguiente el cambio en velocidad produci- que requiere una estructura más robusta que la de
do por la segunda etapa es ∆v1 = (1 − η)∆vo . La la segunda etapa. El peso de una estructura escala
ecuación (11) queda entonces:
como el volúmen, o su tamaño al cubo: peso ∝ l3 ,
mientras que su capacidad de carga se escala como la
h
i
Fo (η, ∆v/ve , Fv ) = e−η∆v/ve − Fv ×
sección recta de sus elementos: carga ∝ l2 . Por tanh
i
to, es de esperarse que la fracción vehicular se escale
e−(1−η)∆v/ve − Fv (12) como peso/carga ∝ l3/2 . Esto nos dice que a mayor
tamaño, menor capacidad de carga (relativa). Es por
La figura (9) muestra esta función. En este caso ve- esto que una hormiga puede cargar facilmente a otra
mos que la masa útil se maximiza cuando cada etapa hormiga, mientras que un elefante no puede cargar a
contribuye de igual manera al cambio en velocidad otro elefante.
9
Visto de esta manera, el impulso especı́fico es
algo ası́ como el “octanaje” del combustible usado como propulsor: el cambio producido en el
momento lineal del cohete por unidad de peso
de combustible empleado. El impulso especı́fico
se expresa en segundos y, de hecho, otra manera de entender este concepto es que es igual al
4. El impulso especı́fico
tiempo que durarı́a el combustible si pudieramos
La ecuación de Tsiolkovski es el precio ineludi- mantener un empuje constante e igual al peso
ble que debe pagar un cohete para impulsarse en inicial del combustible.
el vacı́o. El cohete no sólo debe proporcionarse
Es importante entender que el impulso esla energı́a necesaria para acelerar, sino también
pecı́fico es una medida de la eficiencia propulsosu propio momento lineal, expeliendo parte de
ra y no de la eficiencia energética. Entre mayor
su masa. De la forma de esta ecuación es claes el impulso especı́fico, menos es el combustible
ro que un parámetro de gran importancia es la
que es necesario emplear para lograr un cambio
velocidad de escape de los gases producidos por
dado en momento lineal. Sin embargo, como veel quemado del combustible. Este parámetro deremos más adelante, por lo general, los combuspende en gran medida del combustible empleado
tibles con mayor impulso especı́fico son también
y en menor grado del diseño del motor.
los que menor energı́a producen (por unidad de
Existe un parámetro equivalente a ve que es
peso).
muy usado en la Astronáutica llamado ImpulDe la derivación que hemos hecho, es claro que
so Especı́fico (Isp ). Para ver que significa este
el
impulso
especı́fico es equivalente a la velocidad
parámetro, volvamos a la ecuación (2) que nos
de
escape
de
los gases ve . De hecho, un inconvedice que el empuje Fe es igual a,
niente con la definición tradicional del impulso
Fe = ve ṁ
especı́fico es que es el impulso por unidad de peEste empuje aplicado durante un cierto tiempo so del combustible y se entiende que es el peso
produce un impulso, o cambio de momento li- medido en la superficie terrestre. Aunque esta
definición es conveniente para el caso de cohetes
neal, igual a:
Z
que parten de la superficie de nuestro planeta,
I = Fe dt
este no es el caso cuando se trata de lanzamienEl impulso especı́fico se define como el impulso tos desde otros planetas o satélites, o cuando se
que se obtiene por unidad de peso consumido de realizan maniobras en el espacio. Por esto a vecombustible:
ces se emplea el impulso especı́fico definido como
dI
ve ṁ dt
ve
el impulso por unidad de masa de combustible
Isp ≡
=
= ,
empleado. Pero de lo que hemos visto, esto es
d(mgo )
ṁgo dt
go
donde mg es el peso del combustible, g es el exactamente la velocidad ve .
En el caso de cohete de varias etapas, la maximización de la carga útil es un problema dificil de optimización en el que intervienen muchos parámetros.
En general se resuelve etapa por etapa, empezando
con la última etapa y continuando hacia la primera.
o
o
La tabla 1 presenta los valores de ve , Is y la
valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y hemos usado la definición densidad energética de algunos combustibles empleados como propulsores de cohetes.
de impulso y empuje.
10
6
Tabla 1
Sistema de propulsión
ve
(m/s)
Combustible sólido
1,000
Combustible lı́quido
5,000
Ion Drive
30,000
Tripropulsor
5,320
Transbordador espacial
453
5.
Is
(s)
100
500
3,000
542
4.5
E/m
M J/kg
3.0
9.7
430
9.7
Energı́a
En la sección 4 enfatizamos que la ecuación
de Tsiolkovski resulta de la conservación de momento lineal. Examinaremos ahora la cuestión
energética. El incremento en la energı́a especı́fica del cohete, es decir, su energı́a cinética9 por
unidad de masa, esta dado por:
dm
1
,
dE = d ( v 2 ) = v dv = v ve
2
m
(13)
donde en el último paso usamos la ecuación (8).
Esta expresión puede ser escrita como:
1
dE = (dm/m) [(ve2 + v 2 ) − (v − ve )2 ]
2
(14)
Esto nos dice que la ganancia en energı́a del
cohete es la diferencia de dos términos: la energı́a
contribuida por el combustible y la que se lleva
la parcela dm de combustible al ser expelida.
La energı́a especı́fica ganada por el cohete por
unidad de tiempo, o potencia especı́fica P, se
obtiene de la ecuación (13):
dE
ṁ
P≡
= v ve
dt
m
grande. El primer camino requiere tiempos de
encendido de motor largos, pero con bajo consumo de propulsor; esta es la opción usada por
sondas en viajes interplanetarios, o por satélites
para hacer correciones a sus órbitas. La segunda
opción solo requiere que los motores esten encendidos poco tiempo, pero requiere una gran
cantidad de propulsor; como esta opción produce aceleraciones mayores, este es el camino usado
por los cohetes que lanzan cargas útiles al espacio desde la superficie de la Tierra.
6.
Problemas propuestos
1. Se tiene un cohete de dos etapas que se
mueve libremente. La primera etapa tiene
una masa de combustible de 120, 000 kg y
una masa vehicular de 9, 000 kg. La segunda etapa tiene una masa de combustible de
30, 000 kg y una masa vehicular de 3, 000 kg.
El impulso especı́fico del combustible usado
en la primera etapa es de 260 s y el de la
segunda etapa es de 320 s.
Encontrar el cambio en velocidad producido
por cada etapa y el cambio total, en función
de la masa útil final mo . Graficar el resultado y de ahi determinar para que masa útil
las contribuciones de cada etapa son iguales.
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Una potencia dada puede ser lograda con un
propulsor que resulte en una velocidad de escape elevada, o con una tasa de variación de masa
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PROBLEMAS PROPUESTOS
Supondremos en esta sección que el cohete se mueve
libremente y, por tanto, su única energı́a es cinética.
2. ¿Cómo debe variar la tasa logarı́tmica de
quemado de combustible en un cohete que
asciende verticalmente, si deseamos que la
carga útil experimente una aceleración constante e igual a α veces la aceleración de la
gravedad? (tomar la aceleración de la gravedad go constante).