Método de factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Método de factorización
Ahora utilizaremos la factorización que estudiamos en la sección Factorización.
Recuerda que una ecuación cuadrática se obtiene, algunas veces, debido a la multiplicación de un
monomio por un binomio.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 1
x2 − 2 x = 0
• Aquí podemos aplicar la ley distributiva, porque la literal x aparece en ambos términos:
x 2 − 2 x = x ( x − 2) = 0
• Ahora tenemos el producto de dos cantidades: x es la primera y la segunda es ( x − 2).
• Cuando multiplicamos estas cantidades, el resultado es igual a cero.
• Esto nos indica que al menos una de esas cantidades debe ser cero.
• Entonces, tenemos dos casos:
3 Bien x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primera solución
3 Bien x − 2 = 0, que sugiere: x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segunda solución
• Entonces, las raíces de la ecuación son: x = 0, y x = 2.
• Verificación:
x2 − 2 x = 0
x2 − 2 x = 0
⇒
⇒
(0)2 − 2 (0) = 0
(2)2 − 2 (2) = 0
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 2
12 x2 − 21 x = 0
• En este caso, el factor común es: 3 x.
• Aplicamos la ley distributiva factorizándolo:
12 x2 − 21 x = 3x (4 x − 7) = 0
• Observa que si multiplicas 3x (4 x − 7) obtienes el binomio que forma parte de la ecuación
original.
• Para que el resultado de esta multiplicación sea cero, cualquiera de los factores debe ser
cero, bien 3 x = 0, bien 4 x − 7 = 0.
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• En el primer caso, es fácil concluir que x = 0.
• Para el segundo caso, tenemos que despejar x:
4x−7 = 0
⇒
x=
7
4
• Entonces, las raíces de la ecuación cuadrática son: x1 = 0, y x2 = 7/4.
• Verificación:
12 x2 − 21 x = 0
⇒
12 x2 − 21 x = 0
⇒
12 (0)2 − 21 (0) = 0
2
7
7
12
− 21
=0
4
4
Otras veces la ecuación se originó con la multiplicación de dos binomios.
Cuando sabemos qué binomios se multiplicaron para obtener la ecuación cuadrática, podemos
fácilmente resolverla.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 3
x2 + 12 x + 35 = 0
• Empezamos observando que ahora tenemos un trinomio cuadrado del lado izquierdo de la
igualdad.
• Así que tenemos que probar primero si se trata de un trinomio cuadrado perfecto.
• Para eso sacamos la mitad de 12 y lo elevamos al cuadrado: 62 = 36 6= 35.
Si no recuerdas
la
factorización
es una buena
idea
estudiar
extra-clase
la
• Esto nos indica que el trinomio cuadrado no es perfecto.
• Ahora tenemos que encontrar dos números que sumados den 12 y multiplicados den 35.
• Esos número son 5 y 7.
sección ??.
5+7
= 12
5 × 7 = 35
• Entonces, la ecuación puede escribirse como:
x2 + 12 x + 35 = ( x + 5)( x + 7) = 0
• Para que el resultado de la multiplicación sea igual a cero, al menos uno de los factores debe
ser cero:
x+5 = 0
x+7 = 0
⇒
⇒
x = −5
x = −7
• Así hemos encontrado las soluciones.
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• Ahora hacemos la verificación:
x2 + 12 x + 35 = 0
(−5)2 + 12 (−5) + 35 = 0
(−7)2 + 12 (−7) + 35 = 0
⇒
⇒
2
x + 12 x + 35 = 0
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 4
x2 + 8 x + 16 = 0
• Vamos a factorizar el trinomio cuadrado.
• Primero verificamos si se trata de un trinomio cuadrado perfecto.
• La mitad de 8 es 4 y 42 = 16.
• Esto nos indica que sí se trata de un cuadrado perfecto.
x2 + 8 x + 16 = ( x + 4)2 = 0
• Ahora despejamos el valor de x:
( x + 4)2 = 0
x+4 = 0
x = −4
• En este caso, las dos raíces de la ecuación son la misma raíz: x = −4.
• Verificación:
x2 + 8 x + 16 = 0
⇒
(−4)2 + 8 (−4) + 16 = 0
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 5
x2 − 2 x − 24 = 0
• Es evidente que el trinomio x2 − 2 x − 24 no es cuadrado perfecto.
• Para factorizar el trinomio cuadrado debemos encontrar dos números que sumados den −2
y multiplicados den −24.
• Como el producto de los números es negativo, los números que buscamos tienen signos
cambiados: uno es positivo y el otro negativo.
• Y como la suma de esos números es −2, el mayor debe ser negativo.
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Observa que la
mitad de −2 es
−1, pero (−1) 6=
−24
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• Empezamos factorizando 24:
24 = 23 · 3
• Podemos usar 6 y 4.
• Como el mayor de los números es positivo, tenemos −6 y 4.
• Estos números son los que estamos buscando, porque:
−6 + 4 = −2
(−6)(4) = −24
• Entonces, la ecuación puede reescribirse como:
x2 − 2 x − 24 = ( x − 6)( x + 4) = 0
• Y las raíces son: x = 6 y x = −4.
• Verificación:
x2 − 2 x − 24 = 0
x2 − 2 x − 24 = 0
⇒
⇒
(6)2 − 2 (6) − 24 = 0
(−4)2 − 2 (−4) − 24 = 0
Recuerda, la factorización es una base importante.
Si no recuerdas la factorización, tendrás más problemas cuando tengas que resolver una ecuación
cuadrática.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 6
2 x2 − x − 15 = 0
• En este caso, debemos factorizar un trinomio con coeficiente del término cuadrático distinto
de 1.
• Así que posiblemente aplicaremos el caso: ( a x + b)(c x + d).
• Sabemos que a · c = 2, así que a = 2 y c = 1.
• Ahora nos falta solamente encontrar los números b y c.
• Sabemos que el coeficiente del término lineal en este caso es: bc + ad.
• Y que el término independiente es: bd = −15.
Si c = 2 y a =
1 obtendremos los
factores en el otro
orden, pero el or-
• Así que tenemos dos opciones,
3 Bien b = 3, d = 5, con alguno de ellos negativo,
den de los factores no altera el
producto.
3 Bien b = 5, d = 3, con uno de ellos negativo.
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• Probamos el primero de los casos:
(2 x + 3)( x − 5) = 2 x2 + (−10 + 3) x − 15
= 2 x2 − 7 x − 15
• Siguiente caso: cambiamos solamente el signo de lugar:
(2 x − 3)( x + 5) = 2 x2 + (10 − 3) x − 15
= 2 x2 + 7 x − 15
• Tampoco funcionó.
• Siguiente caso:
(2 x − 5)( x + 3) = 2 x2 + (6 − 5) x − 15
= 2 x2 + x − 15
• Observa que la única diferencia está en el signo del coeficiente del término lineal.
• Esto indica que solamente hay que cambiar los signos de posición en los binomios:
(2 x + 5)( x − 3) = 2 x2 + (−6 + 5) x − 15
= 2 x2 − x − 15
• Eso debimos saberlo del hecho de que el mayor era el negativo, dado que el resultado de la
suma es un número negativo.
• Entonces, la ecuación queda:
2 x2 − x − 15 = (2 x + 5)( x − 3) = 0
• Ahora es fácil encontrar las raíces: alguno de los factores se debe hacer cero para que el
producto indicado sea igual a cero:
2x+5 = 0
⇒
x=−
x−3 = 0
⇒
x=3
5
2
• Verificación:
2
5
−
2
2
5
− −
2
2 x − x − 15 = 0
⇒
2
− 15 = 0
2 x2 − x − 15 = 0
⇒
2 (3)2 − (3) − 15 = 0
Eunice compró cierto número de docenas naranjas por $200.00 pesos. Si hubiera pagado $5.00
pesos más por cada docena, hubiera recibido dos docenas menos por la misma cantidad de
dinero. ¿Cuánto le costó cada docena?
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Ejemplo 7
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• Para resolver este problema aplicado empezamos definiendo variables
3 n va a representar el número de docenas de naranjas que compró, y
3 p va a representar el precio que pagó por cada docena.
• Ahora sabemos que pagó en total $200.00 pesos por las n docenas que compró, es decir,
• Si multiplico el precio de cada docena por el número de docenas de naranjas que compró,
debo obtener 200:
p · n = 200
• A nosotros nos piden encontrar el precio de cada docena de naranjas, así que vamos a
despejar la otra variable:
200
n=
p
Así, cuando sustituyamos, obtendremos una ecuación en términos de p, que es lo que
deseamos calcular.
• Por otra parte, si hubiera pagado p + 5 (cinco pesos más por cada docena), hubiera recibido
n − 2 (dos docenas menos) por la misma cantidad de dinero, es decir:
(n − 2)( p + 5) = 200
• En esta ecuación tenemos dos incógnitas.
• Para reducirla a una incógnita sustituimos el despeje de la primera ecuación que encontramos:
200
(n − 2)( p + 5) = 200
⇒
− 2 ( p + 5) = 200
p
• Ahora vamos a simplificar la ecuación.
• Para eso, multiplicamos ambos lados de la ecuación por p:
200
p
− 2 ( p + 5) = 200 p
p
(200 − 2 p)( p + 5) = 200 p
200
p
200
p + 1 000 − 2 p2 − 10 p = 2
−2 p − 10 p + 1 000 = 0
2 p2 + 10 p − 1 000
2
p + 5 p − 500
= 0
= 0
• Ahora debemos factorizar esta ecuación cuadrática.
• Buscamos dos números que sumados den 5 y multiplicados den 500.
• Esos números son: 25 y −20:
p2 + 5 p − 500
= 0
( p + 25)( p − 20) = 0
• Nosotros sabemos que el precio de cada docena debe ser un número positivo, por eso:
p = 20.
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• Entonces, compró: n = 200/20 = 10 docenas de naranjas.
• Vamos a comprobar el resultado:
3 Si compró n = 10 docenas de naranjas a $20.00 pesos cada una, pagó (10)(20) = 200
pesos.
3 Si hubiera pagado $5.00 pesos más por cada docena hubiera pagado $25.00 pesos
por cada una, y hubiera recibido n − 2 = 8 docenas de naranjas.
Comentario
3 Por eso hubiera pagado: (8)(25) = 200 pesos.
Recuerda que no todos los trinomios cuadrados pueden factorizarse usando números enteros.
Algunas veces se requieren de números irracionales. Esos casos requieren de otro método para su
solución.
Este otro método de solución es el caso más general de ecuación cuadrática, porque incluye todos
los posibles casos de raíces para este tipo de ecuaciones.
Con este nuevo método podremos clasificar las raíces de las ecuaciones cuadráticas en tres casos.
Cada uno de esos casos está relacionado con un número que se conoce como discriminante, porque
de cierta manera discrimina entre las distintas raíces de la ecuación cuadrática.
El discriminante es parte de una fórmula que ya debes conocer, si es que pudiste resolver el último
reto.
...y si no la conoces, de cualquier manera la deberás aprender.
Se trata de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, es decir, la fórmula
«mágica» que resuelve cualquier ecuación cuadrática.
Eso es lo que estudiaremos en la siguiente sección.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
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Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 22 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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