Tópico: Fluidos Tema: Estática de Fluidos Unidad Básica: Variación

Tópico: Fluidos
Tema: Estática de Fluidos
Unidad Básica: Variación de la presión en un fluido en
reposo.
Variación de la presión con la profundidad en un fluido en reposo.
Recordemos que un fluido ejerce fuerzas perpendiculares al envase que lo
contiene. De igual manera si se introduce un cuerpo en un fluido, el fluido
ejerce fuerzas perpendiculares a la superfice de dicho cuerpo
independientemente de la forma y tipo de material de dicha superficie.
Por lo cual para el estudio de la variación de la presión en un fluido en
reposo podemos considerar un elemento dentro del fluido y estudiar las
fuerzas que ejerce sobre él, el fluido que lo rodea.
Tenemos que cuando un fluido se encuentra en reposo cada una de sus
partes se encuentran en equilibrio. Para que un elemento se encuentre en
equilibrio la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser nula.
El estudio de la variación de la presión con la profundidad en un fluido en
reposo, se realizará analizando un elemento de ese fluido.
Por conveniencia se elige un
elemento de fluido que tiene
forma de una moneda.
Se
considera
que
este
elemento tiene un área A y un
espesor que se ha denominado
"y .
!
A
y
Este elemento corresponde a un elemento inmerso en el fluido y el cual
experimenta un conjunto de fuerzas perpendiculares a su superficie de parte
del fluido que lo rodea.
Las fuerzas que actúan sobre ese elemento de fluido se detallan a
continuación.
1
Fuerzas radiales que actúan
sobre la superficie vertical del
elemento de fluido, de parte del
fluido que lo rodea.
Fuerzas verticales que actúan
sobre las superficies horizontales
del elemento de fluido, de parte
del fluido que lo rodea.
Otra fuerza que actúa sobre el
elemento de fluido es la fuerza de
atracción gravitacional representada por el peso.
Peso
Tenemos por lo tanto que todas las fuerzas que actúan sobre el elemento
de fluido son las que aparecen en la siguiente fig. Las fuerzas verticales
r
r
ejercidas porrel fluido que rodea al elemento se han designado por F1 y F2 , y
el peso por W .
!
!
F2
!
W
F1
Tenemos por la tanto que el elemento de fluido se encuentra en reposo si
la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él se anulan.
2
Podemos distinguir en este caso un conjunto de fuerzas radiales que se
encuentran en un plano horizontal. Para que el elemento de fluido se
encuentre en equilibrio en dicho plano estas fuerzas deben anularse entre sí.
De igual forma las fuerzas verticales que actúan sobre el elemento de
fluido que estamos analizando, deben anularse.
Tenemos por lo tanto que
r r
v
F1 = F2 + W
(1)
Puesto que nuestro objetivo es analizar la variación de la presión con la
profundidad en un fluido en reposo, introducimos un sistema de coordenadas,
el cual está representado en la !
siguiente fig.
y
F2
y
W
F1
y
1
y2
Donde y1 es la coordenada del superficie inferior del elemento de fluido y
y2 la coordenada de la superficie superior de ese elemento.
Sabemos que ese elemento se encuentre en reposo si la suma de todas
las
! fuerzas que actúan sobre él es nula.
!
Por lo tanto
F1 = F2 +W
(2)
donde W es el peso de ese elemento de fluido que tiene un área A y una
densidad "
!
(3)
W = "Vg = "gA(y2 # y1 )
!
!
Puesto que deseamos establecer una relación entre presiones
!
consideramos que
3
F = pA
(4)
Utilizando las expresiones (2), (3) y (4) tenemos que
!
lo que podemos escribir como
!
p1 " p2 = #g(y2 " y1 )
(5)
p2 " p1 = "#g(y2 " y1 )
(6)
que expresa la diferencia de presión entre la parte superior e inferior del
!
elemento de fluido considerado.
La expresión (5) la podemos escribir como
"p = #$g"y
la cual se puede expresar en forma diferencial como
dp
= "#g
dy
!
(7)
El signo menos indica que a medida que crece y la presión decrece.
La cantidad "g se llama a menudo peso específico del fluido.
!
Con la finalidad de encontrar una expresión para la presión en función de
la profundidad, consideremos un líquido! contenido en una vasija como se
muestra
! en la fig.
y
p =p
2
y
0
h
2
p
y
1
Puesto que la presión ejercida en la superficie del líquido es la presión
atmosférica tenemos p2 = p0 , si llamamos p a la presión en el punto que
tiene como coordenada y1 y y2 " y1 = h podemos escribir la expresión (5)
como
!
!
!
!
4
p0 " p = "#gh
de donde obtenemos para la presión en un punto cualquiera dentro del
!
líquido
(8)
p = p0 + "gh
donde h corresponde a la profundidad a la cual se está considerando la
!
presión.
Todos los puntos que se encuentran a la misma profundidad en un fluido
en
! reposo tienen la misma presión.
Para los gases la densidad " es relativamente pequeña y por lo tanto se
puede considerar que la presión es la misma para todo el gas contenido en un
envase. Pero no es así si h es grande, en este caso la presión del aire varía
continuamente cuando nos elevamos a grandes alturas.
!
!
Variación de la presión con la altitud en la atmósfera terrestre
La presión atmosférica no es uniforme varía con la altitud, además también
existen variaciones debido al movimiento de corrientes de aire y tormentas.
Las variaciones de los cambios en la presión del aire son importantes para los
meterólogos en la predicción del tiempo.
En este punto analizaremos la variación de la presión con la altitud.
Para encontrar la variación de la
presión en función de la altura
utilizaremos la expresión (6)
dp
= "#g
dy
p
(6)
En este desarrollo vamos a
considerar la variación de g con la
altura !insignificante y la densidad "
del aire en la atmósfera proporcional a
la presión " # p .
!
Tenemos entonces que !
" = cte p
!
por lo tanto
y
p
0
Nivel del mar
" 0 = cte p0
p
!" = " o p
o
!
!
5
Atmósfera
terrestre
(9)
reemplazando (9) en (6) y haciendo separación de variables tenemos
dp
g#
= " o dy
p
po
Integramos esta expresión desde el valor p0 en y = 0 hasta el valor p en y
p
g#
ln ! = " o y
po
po
!
p
= e"g( #0 / p0 )y
po
!
p = po e"g( #0 / p0 )y
Considerando
!
g = 9.80 m / s 2
!
" 0 = 1.20 kg / m 3 a 20° C
!
Podemos escribir (10) como
!
!
p = po e"ay
(11)
!
!
!
!
(10)
p0 = 1.01"10 5 N / m 2
con a = 0.116 km "1
Medida!de la presión
!
Torricelli ideó un método para medir la
presión atmosférica el inventar el barómetro
de mercurio en 1643.
p =o
2
Aplicando a la situación representada en
la fig. la ecuación
(5T)
p2 " p1 = "#g(y2 " y1 )
tenemos que
h
y
p0 = "gh
!
donde h es la altura de la columna de
mercurio (76 cm).
!
La mayoría de los aparatos que miden
presiones utilizan la presión atmosférica
como nivel de referencia.
2
p=p
o
1
y
1
Se define como presión manométrica a la diferencia entre la presión real
y la atmosférica.
pm = p " p0
La presión real se denomina presión absoluta.
Unidades de presión
!
6
En la práctica la presión se mide en milímetros de mercurio llamados
también Torr en honor del Físico Torricelli. Otra unidad común de presión es
la atmósfera (atm) que es la presión del aire al nivel del mar y el Pascal (Pa)
donde 1 Pa = 1 N/m 2 .
1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr = 1.013 x 10 5 N / m 2 = 1.013 x 10 5 Pa
!
1 bar = 10 3 milibar = 10 5 N/m 2 = 10 5 Pa
!
!
7