pauta segunda prueba parcial

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 2
Profesor: Hugo S. Salinas.
Segundo Semestre 2011
1. RESOLVER. 30 puntos.
a) En una gran ciudad se producen 2 incendios anuales por término medio. ¿Cuál es la
probabilidad de que el próximo año se produzcan más de dos?
Solución:
Sea X número de incendios anuales. En este caso X se puede modelar con la distribución
de Poisson con λt = 2. La probabilidad que se pide es
P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2)
= 1 − e−2 − 2e−2 − 2e−2
= 0.3233.
(6 ptos.)
b) Una caja con 12 artı́culos tiene 4 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, en un caso
sin reemplazamiento, ¿cuál será la probabilidad de no incluir artı́culos defectuosos en
la muestra?
Solución:
Sea X el número de artı́culos defectuosos en la muestra de tamaño tres. Aquı́ X sigue
una distribución hipergeométrica con parámetros N = 12, k = 4 y n = 3. Se pide
calcular
4 8
P (X = 0) =
0
3 = 0.2545.
12
3
(6 ptos.)
c) Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece dos 6. Si sabemos que no
salió en la primera tirada, ¿cuál es la probabilidad de necesitar más de 3 lanzamientos?
Solución:
Sea X el número de lanzamientos necesarios hasta que aparece dos 6. En este caso X se
distribuye binomial negativa con probabilidad de éxito p = 1/6, k = 2 y X ∈ {2, 3, . . .}.
Se pide calcular
P (X > 3)
P (X > 3|X > 1) =
= P (X > 3)
P (X > 1)
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porque seguro que se necesitan más de un lanzamiento para conseguir dos veces 6. Como
mı́nimo se necesitan dos lanzamientos. Por lo tanto:
1
2
2
0
P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 −
(1/6) (5/6) −
(1/6)2 (5/6)1 = 0.9259.
1
1
(6 ptos.)
d ) Si se contesta sin pensar (al azar) un test de 10 preguntas en las que hay que contestar si
es verdadero o falso. ¿Cuál es la probabilidad de acertar más del 70 % de las preguntas?
Solución:
Primero, el test posee 10 preguntas y el 70 % del test son 7 preguntas. Sea X el número
de respuestas correctas del test. La v.a. X se distribuye binomial con parámetros n = 10
y probabilidad de éxito p = 0.5. Se pide calcular
10 X
10
P (X ≥ 8) =
(0.5)10 = 0.0546.
x
x=8
(6 ptos.)
e) Una agencia de arriendo de automóviles en un aeropuerto tiene disponibles cinco Hyundai, siete Chevrolet, cuatro Kia, tres Honda y cuatro Toyota. Si la agencia selecciona al
azar nueve de estos autos para transportar delegados del aeropuerto al centro de convenciones de una Universidad, calcular la probabilidad de que se utilicen dos Hyundai,
tres Chevrolet, un Kia, un Honda y dos Toyota.
Solución:
Sean los siguientes eventos:
E1
E2
E3
E4
E5
=
=
=
=
=
se
se
se
se
se
utiliza
utiliza
utiliza
utiliza
utiliza
un
un
un
un
un
auto
auto
auto
auto
auto
Hyundai
Chevrolet
Kia
Honda
Toyota
Las probabilidades correspondientes para cada evento son p1 = 5/23, p2 = 7/23, p3 =
4/23, p4 = 3/23 y p5 = 4/23, respectivamente. Estos valores permanecen constantes para
todas las selecciones. En este caso caso se trata de una v.a. (X1 , X2 , X3 , X4 ) multinomial
con parámetros n = 9, p1 = 5/23, p2 = 7/23, p3 = 4723, p4 = 3/23 y p5 = 4/23.
Entonces se pide calcular
2 3 1 1 2
9
5
7
4
3
4
5 7 4 3 4
=
f 2, 3, 1, 1, 2, 9, , , , ,
23 23 23 23 23
2, 3, 1, 1, 2
23
23
23
23
23
2 3 1 1 2
9!
5
7
4
3
4
=
2! 3! 1! 1! 2! 23
23
23
23
23
24893568000
=
= 0.0138.
1801152661463
(6 ptos.)
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2. 27 puntos. Un ingeniero desea seleccionar, entre los dos diseños de circuitos que se muestran
en la Figura, aquel que brinda una mayor probabilidad de que la corriente circule entre el
punto A y el punto B. Si las componentes (resistencias) funcionan de forma independiente y
cada una tiene una probabilidad p de funcionar. ¿Cuál de los dos diseños debiera escoger el
ingeniero?. Justifica tu respuesta haciendo los cálculos que correspondan.
Solución:
Del enunciado se tiene que P (i) = p para todo i = 1, 2, 3 y 4. Sean los eventos
Fj : el Circuito j funciona, j = 1, 2.
Con esto tenemos que la probabilidad de que funcione el Circuito 1 es igual a
P (F1 ) = P ((1 ∪ 2) ∩ (3 ∪ 4)) = P (1 ∪ 2)P (3 ∪ 4),
(6 ptos.)
porque los Circuitos 1 y 2 son independientes de los Circuitos 3 y 4, según las especificaciones
(ver Figura). Luego:
P (F1 ) = [P (1) + P (2) − P (1 ∩ 2)][P (3) + P (4) − P (3 ∩ 4)]
= [P (1) + P (2) − P (1)P (2)][P (3) + P (4) − P (3)P (4)], 1 y 2 (3 y 4) son indep.
= (2p − p2 )2 = p2 (2 − p)2 .
(6 ptos.)
La probabilidad de que funcione el Circuito 2 es igual a
P (F2 ) = P ((1 ∩ 2) ∪ (3 ∩ 4)) = P (1 ∩ 2) + P (3 ∩ 4) − P ((1 ∩ 2) ∩ (3 ∩ 4)),
(6 ptos.)
Usando los mismos argumentos anteriores, se tiene que,
P (F2 ) = P (1)P (2) + P (3)P (4) − P (1 ∩ 2)P (3 ∩ 4)
= P (1)P (2) + P (3)P (4) − P (1)P (2)P (3)P (4)
= p2 + p2 − p4 = p2 (2 − p2 ).
(6 ptos.)
2
Por lo tanto, el ingeniero debe seleccionar el Circuito 1, porque (2 − p) ≥ 2 − p2 .
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Prueba:
Sabemos que, por definición 0 ≤ p ≤ 1, entonces (1 − p)2 ≥ 0. Desarrollando este binomio se
llega al resultado. En efecto,
(1 − p)2
1 − 2p + p2
2 − 4p + 2p2
2 − 4p + p2
4 − 4p + p2
(2 − p)2
≥
≥
≥
≥
≥
≥
0,
0,
×2,
0,
−p2 ,
+2
2
2−p ,
2 − p2 .
(3 ptos.)
3. (27 ptos.) En una regulación de calles por semáforos, la luz verde está encendida durante 15
segundos, la luz amarilla 5 segundos y la luz roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de tráfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de
forma que llegar cuando el semáforo está verde es un suceso aleatorio. Para cinco automóviles
que lleguen en tiempos diferentes e indeterminados, calcular la probabilidad de que:
Primero, sea p la probabilidad de que un automóvil cualquiera encuentre luz verde. La luz
15
verde está encendida durante 15 segundos de un total de 75, por lo tanto p = 75
= 0.2. Sea
X el número de automóviles que encuentran la luz verde. Entonces X ∼ b(n = 5, p = 0.2).
a) solo tres encuentren la luz verde,
Solución:
5
P (X = 3) =
(0.2)3 (0.8)2 = 0.0512.
3
(9 ptos.)
b) a lo más cuatro encuentren la luz verde
Solución:
5
P (X ≤ 4) = 1 − P (X = 5) = 1 −
(0.2)5 (0.8)0 = 1 − (0.2)5 = 0.9996.
5
(9 ptos.)
c) más de uno encuentre la luz verde.
Solución:
5
5
0
5
P (X > 1) = 1−P (X = 0)−P (X = 1) = 1−
(0.2) (0.8) −
(0.2)1 (0.8)4 = 0.2627.
0
1
(9 ptos.)
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4. (16 ptos.) Supongamos que se desea estudiar la temperatura máxima de una reacción en un
proceso quı́mico durante un determinado perı́odo. Para esto se lleva a cabo una investigación
durante varios dı́as y se concluye que la temperatura máxima de dicho proceso, se puede
modelar por la v.a. T con función de densidad:

t ≤ −1
 0,
−α
t,
−1 < t < 0
f (t) =
 −6t
αe , t ≥ 0
a) Sabiendo que f (t) es la función de densidad de la v.a. T , determinar α.
Solución: R
∞
Se sabe que −∞ f (t)dt = 1 por definición. Entonces
Z ∞
Z 0
Z −1
Z ∞
e−6t dt = 1
tdt + α
0dt − α
f (t)dt =
−1
−∞
−∞
0
Resolviendo la integral,
2 0
−6t ∞
t
e
−α
+α −
=1
2 −1
6 0
Evaluando, resulta la ecuación
α
2
+
α
6
= 1. Por lo tanto la solución es α = 32 .
(4 ptos.)
b) ¿Cuál es la temperatura máxima esperada?
Solución:
Se pide calcular la esperanza de la distribución f (t). En efecto:
Z ∞
tf (t)dt
E(T ) =
−∞
Z
Z
3 0 2
3 ∞ −6t
= −
t dt +
te dt
2 −1
2 0
0
3 t3
3 1
= −
+
ver formulario.
2 3 −1 2 36
31 3 1
1
1
11
= −
+
=− +
= − = −0.4583.
2 3 2 36
2 24
24
(4 ptos.)
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura máxima esté entre −0.5 y 2?
Solución:
P (−0.5 < T < 2) = P (−0.5 < T < 0) + P (0 < T < 2)
Z 0
Z 2
3
3 −6t
e dt
=
− tdt +
2
−0.5
0 2
0
−6t 2
3 t2
3
e
= −
+
−
2 2 −0.5 2
6 0
31 1
=
+ (1 − e−12 ) = 0.4374.
28 4
(4 ptos.)
PAUTA DE CORRECCIÓN: PRUEBA PARCIAL No 2
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d ) Probar que P − 12 < T < 2 | T > 1 = 1 − e−6 .
Solución:
Utilizando la definición de probabilidad condicional se tiene que,
h −6t i2
R 2 3 −6t
−e 6
e
dt
P (1 < T < 2)
P (−0.5 < T < 2 | T > 1) =
= R 1∞ 23 −6t = e−6t ∞1
P (T > 1)
e dt
− 6 1
1 2
−e−12 + e−6
e−6
= 1 − e−6 .
=
(4 ptos.)
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