SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
UNIDAD TEMÁTICA 1: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
Ejercicio de Aplicación 1.1 (Potencias y Raíces)
En la cubierta de un portacontenedores, se sitúan un cierto número de contenedores
iguales de base cuadrada de manera que forman el mayor cuadrado posible y sobran
15. Si hubiera 12 contenedores más al menos, se podría formar un cuadrado mayor.
¿Cuántos contenedores hay?
Solución:
Tenemos x contenedores y formamos un cuadrado de y cuadrados de lado y sobran
15, luego x = 15 + y 2 . Si hubiera 12 contenedores más, podríamos formar un cuadrado
mayor, es decir, de lado y + 1 .
Se trata de resolver el siguiente sistema:
 x = 15 + y 2
 x = 15 + y 2
 y = 13
⇒
⇒ 


2
 x = 184
27 = 2 y + 1
 x + 12 = ( y + 1)
El número de contenedores es 184
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Ejercicio de Aplicación 1.2 (Informática)
Se quiere ordenar una lista de n datos, por ejemplo n números reales, [r1,...,rn]
que deben colocarse de menor a mayor. Para ello usamos el algoritmo
conocido como método de la burbuja que consiste en lo siguiente:
En primer lugar se compara el último elemento con el anterior. Si rn<rn-1 se
intercambian y en caso contrario se dejan como estaban.
Después se compara rn-1 con su predecesor y se actúa de la misma manera.
Tras n-1 comparaciones de este tipo, el número más pequeño figura en primer
lugar.
A continuación se aplica el mismo proceso a la lista de n-1 números [r2,...,rn] y
se continúa hasta que toda la lista esté ordenada.
Si suponemos que se quiere ordenar una lista que tiene 540000 números por
este procedimiento, ¿cuántas comparaciones son necesarias?
Solución
Definimos
una sucesión (an ) de modo que an sea el número de comparaciones
necesarias para ordenar con el método descrito una lista de n datos. Es evidente que
a1=0, porque una lista con un único dato se ordena sin hacer ninguna comparación.
La sucesión (an ) se puede definir de modo recurrente: Por la descripción del
algoritmo, sabemos que dada una lista de n datos, con n-1 comparaciones se
consigue colocar el más pequeño en primer lugar y luego hay que aplicar el mismo
proceso a la lista resultante que tendrá n-1 elementos y por lo tanto requiere an-1
comparaciones.
Es decir se verifica que
podemos obtener que:
. Así, como sabemos que
,
Y, así sucesivamente:
Es decir se trata de la suma de los n-1 primeros números naturales. Con la fórmula de
la suma de una progresión aritmética se obtiene que:
Por lo tanto, el número de comparaciones necesarias para ordenar la lista de 540000
datos es
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Ejercicio de Aplicación 1.3 (Ecuaciones diofánticas)
Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar. Las
primeras le costaban a 5000 euros, las segundas a 1000 y las terceras a 50. Compró
100 unidades en total gastando 100000 euros. Sabiendo que compró de los tres tipos
de productos, averiguar cuántas unidades de cada compró.
Solución
x= unidades de tijeras, y=unidades de sierras, z= unidades de máquina corta césped
x+y+z = 100
50x+1000y+5000z = 100000
Resulta un sistema compatible pero indeterminado equivalente a:
x+y = 100-z
x-20y = 2000-100z
Si z=α, y= 100 −
99
80
α ,x= α
19
19
Estudiemos los posibles valores de para que se compren de todos los productos y
además los resultados sean números enteros (no tiene sentido comprar, por ejemplo,
media máquina corta césped)
Para que los valores sean números naturales α debe ser múltiplo de 19.
Si α=0 no se comprarían corta césped.
Si α=19, z=19, y=1, x=80
Para cualquier otro múltiplo de 19 la incógnita y sale negativa, algo que no puede ser.
Así el único resultado posible es:
z=19, y=1, x=80
Nota: Buscar información sobre
las ecuaciones diofánticas, ecuaciones cuyos
resultados deben ser números enteros.
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Ejercicio de Aplicación 1.4 (Circuitos eléctricos)
Determinar las intensidades del circuito de la figura:
Nota: Las leyes de Kirchhoff establecen que:
- La suma de intensidades en un nudo es cero
-
La suma de las fuerzas en cada malla es cero
Solución
Son necesarias 3 ecuaciones independientes para resolver las 3 incógnitas (i1, i2, i3). Se
aplican las leyes de Kirchhoff:
- A los nudos:
•
•
Nudo A:
Nudo C:
i1-i2-i3=0
i2+i3-i1=0 (es equivalente a la del nudo A.
Los otros nudos no aportan ecuaciones relevantes
- A las mallas:
•
•
•
ABCA:
ACDA:
ABCDA:
4i2-2i3-2=0
i1+2i3-11=0
4i2+i1-13=0 (es equivalente a las dos anteriores)
El sistema es compatible y determinado al resolverlo resulta:
i1-i2-i3=0
4i2-2i3-2=0
i1+2i3-11=0
La solución es:
i1= 5, i2=2, i3=3
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Ejercicio de Aplicación 1.5 (Cadena de Markov)
Un equipo de investigadores de mercado está realizando una investigación controlada
para saber las preferencias de la población con respecto a unas pastas dentales. La
muestra de la población es de 200 personas a las que se les solicita probar dos marcas
de dentífricos durante un mes.
Los investigadores comprueban que de las 120 personas que utilizan al comienzo de la
investigación la marca A al cabo del mes, el 70% sigue usándola otro mes más,
mientras que el 30% cambia a la marca B. Por otro lado de las 80 personas que
prefieren la marca B al cabo del mes el 80% continúa usándola otro mes más y el 20%
cambia a la marca A. ¿Cuántas personas están utilizando cada marca un mes después?
¿Cuántas personas están utilizando cada marca 2 meses más tarde? ¿Existe una
fórmula que pronostique lo que ocurrirá al cabo de k meses?
Solución
La formulación del problema para las marcas A y B mediante ecuaciones es
0.70 (120 ) + 0.20 (80 ) = 100
0.30 (120 ) + 0.80 (80 ) = 100
Matricialmente se expresa
 0.70 0.20  120 100

  =  
 0.30 0.80   80  100
La matriz
M
se llama de transición. Los vectores
x0
inicial y
x1
al cabo de un mes,
tienen de coordenadas el número de usuarios de la marca A y B respectivamente.
 0.70 0.20 
120
M =
x0 =  

 0.30 0.80 
 80 
100
x1 =  
100
Mx0 = x1
Observamos que al cabo de un mes hay 100 usuarios de cada marca.
Al cabo de dos meses:
 0.70 0.20  100  90 
x2 = Mx1 
  =  
 0.30 0.80  100 100
Hay 90 usuarios de la marca A y 110 usuarios de la marca B.
En general se verifica que
xk = Mxk −1
x2 = Mx1 = M ⋅ ( Mx0 ) = M 2 x0
k = 1, 2,3,L
por tanto
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xk = M k x0