8.- programación lineal - Centro Concertado Juan XXIII Cartuja

8.-
PROGRAMACIÓN LINEAL
0.- Introducción
En las actividades económicas resulta de gran interés analizar y prever en la medida de
lo posible los beneficios, así como los costes de cualquier tipo de inversión.
Estos análisis se realizan a partir de una función que se pretende maximizar
(beneficios) o minimizar (costes, tiempo, …).
Este tipo de problemas en los que se trata de optimizar (maximizar o minimizar) una
función sujeta a unas determinadas restricciones (dinero disponible, material, personal, …)
que vienen expresadas por inecuaciones lineales, se resuelven con técnicas de programación
lineal.
Sus orígenes se sitúan en el siglo XX, cerca de la Segunda Guerra Mundial. En un
principio, las investigaciones fueron fundamentalmente con fines militares, pero pronto se le
encontraron infinidad de aplicaciones en el campo civil. Fue en Inglaterra donde se inició el
estudio de la búsqueda de un método que permitiera tomar ciertas decisiones de tipo
estratégico en relación con la defensa del país.
Al terminar la guerra, las industrias situadas en Estados Unidos y en Europa
comenzaron a desarrollar programas de investigación que incorporaban a su cuadro de
decisiones de producción los métodos utilizados por este novedoso método de optimización.
Así se formularon por primera vez los “problemas del transporte” o el “de la dieta”.
El problema de la dieta consiste en determinar la mejor combinación de alimentos que
debe incluir una dieta con el mínimo coste, el problema del transporte trata sobre la
distribución de mercancías minimizando los costes de distribución y los tiempos empleados
en la misma y el problema de la producción consiste en combinar recursos que maximicen
beneficios o minimicen costes.
En los años cuarenta, el matemático ruso Leonid Kantorovich (1912-1986), premio
Nóbel de Economía en 1975, sentó las bases de la programación lineal, la cual fue
desarrollada posteriormente por el matemático norteamericano George Dantzig (1914-2005).
En 1947, Dantzig ideó un algoritmo para la resolución de los problemas del transporte,
denominado “método simplex”.
En 1984, el matemático de origen indio Narendra Karmarkar, ideó un nuevo método
más efectivo que el del simplex, llamado “Algoritmo Karmarkar” en su honor.
En general, los problemas de programación lineal pueden llegar a ser bastante largos y
complejos. En esta unidad nos centraremos únicamente en un caso muy concreto de ellos, que
es el caso de problemas con dos variables y en regiones acotadas.
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Programación Lineal
1
1.- Programación lineal. Métodos de resolución
Resolver un problema de Programación Lineal (o Programa Lineal) con dos variables
x e y, consiste en optimizar, es decir, encontrar el valor máximo y/o mínimo que alcanza una
expresión algebraica: f ( x, y ) = mx + ny , llamada función objetivo, condicionada a que se
cumplan una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales:
a1 x + b1 y ≤ c1 ⎫
a2 x + b2 y ≥ c2 ⎪
⎪
⎬
⎪
an x + bn y ≥ cn ⎪⎭
La solución de un problema de Programación Lineal, en el supuesto de que exista,
debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta zona delimitada por
todas las restricciones recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.
Por ejemplo:
5x + 3 y
x − y
x
y
≤ 15⎫
≤ 1⎪
≥ 0⎬
⎪
≥ 0⎭
5x + 3 y
x − y
x
y
≥ 15⎫
≥ 1⎪
≥ 0⎬
⎪
≥ 0⎭
La solución óptima es aquella que maximiza o minimiza la función objetivo. El valor
que toma la función objetivo en la solución óptima recibe el nombre de valor del Programa
Lineal.
Para resolver un problema de Programación Lineal utilizamos las siguientes
propiedades:
¾ Si existe una única solución óptima, esta se encuentra siempre en uno de los
vértices de la región factible, llamado punto extremo.
¾ Puede ocurrir que haya dos vértices donde la función objetivo se maximiza (o
minimiza). Cuando esto ocurre, la solución óptima se da en cualquiera de los
puntos del segmento que los une, es decir, tendremos infinitas soluciones.
¾
Si la región factible no está acotada, el Programa Lineal puede carecer de
solución, pero si existe solución esta se encuentra en los vértices de la región
factible.
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2
Existen varios métodos para resolver este tipo de programas lineales: simplex,
analítico y gráfico. Nosotros vamos a trabajar con el método analítico.
1.
A partir del enunciado, hemos de plantear el programa lineal. Lo primero es
nombrar las variables y determinar la función objetivo y después, escribir las
restricciones que determinarán la región factible en forma de sistema de
inecuaciones lineales.
2.
Representamos el recinto limitado por las restricciones del problema (Región
Factible).
3.
Hallamos los vértices de la Región Factible resolviendo los distintos sistemas de
ecuaciones que se pueden formar con las restricciones.
4.
Calculamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices.
5.
La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el
valor máximo o mínimo, dependiendo si se quiere maximizar o minimizar la
función objetivo.
Si la solución óptima se alcanza en más de un vértice tendríamos lo que se
denomina solución múltiple o de arista.
Ejemplo resuelto
Si la función objetivo fuese maximizar f ( x, y ) = 2 x + y , su máximo para
la región acotada del ejemplo anterior estaría entre los puntos extremos A
(0, 0), B (1, 0), C (9/4, 5/4) y D (0, 5).
Para calcular la solución óptima sustituimos los valores de estos puntos en la función
objetivo. La solución óptima se obtiene en el punto C que hace a f (x, y) máximo.
⎛9 5⎞
⎝4 4⎠
En el ejemplo anterior el valor del programa lineal es f ⎜ , ⎟ =
23
4
En los siguientes ejemplos vamos a ver los distintos tipos de soluciones que se pueden
presentar.
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3
Ejemplos resueltos
1.- Dado el recinto limitado por las siguientes restricciones:
2 x + 3 y ≤ 24 ⎫
⎪
2 x + y ≤ 12 ⎬
x ≥ 1 ; y ≥ 2 ⎪⎭
a) Halla los valores máximo y mínimo de la función f ( x, y ) = 3 x + 2 y en
este recinto e indica dónde se alcanzan.
b) Razona si el punto (4, 5) pertenece al recinto anterior.
c) Razona si hay algún punto del recinto donde la función f valga 22.
a)
Primer Paso: Representar la Región Factible
Para representar la solución de cada inecuación representamos cada recta tomando
dos puntos de ella y determinamos cuál de los semiplanos es la solución:
Vamos, por tanto, a representar las rectas asociadas a cada inecuación:
x y
” Recta 2 x + 3 y = 24 pasa por los puntos 0 8
12 0
Tomamos un punto cualquiera, para comprobar cuáles son los puntos que cumplen la
desigualdad propuesta; por ejemplo el (0, 0) estaría en el semiplano solución ya que:
0 + 0 ≤ 24 .
x y
” Recta 2 x + y = 12 pasa por los puntos 0 12
6 0
Sustituyendo de nuevo el (0, 0), comprobamos que cumple la desigualdad propuesta, ya
que: 0 + 0 ≤ 12 ; por lo que estaría en el semiplano solución.
” x ≥ 1 sería el semiplano situado a la derecha de la recta x = 1 .
” y ≥ 2 sería el semiplano superior a la recta y = 2 .
Representamos ahora los semiplanos y obtenemos la Región Factible como la
intersección de todos ellos:
La Región Factible es el polígono de vértices A, B, C, D.
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4
Segundo Paso: Calcular los vértices
Los vértices se obtendrían resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones:
}
}
2 x + 3 y = 24
⎛ 22 ⎞
→ A ⎜1, ⎟
x = 1
⎝ 3 ⎠
2 x + 3 y = 24
→ B (3, 6)
2 x + y = 12
}
2 x + y = 12
→ C (5, 2)
y= 2
}
x=1
→ D(1, 2)
y=2
Tercer Paso: Evaluar la Función Objetivo en los vértices de la Región Factible
El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función objetivo
f(x,y) alcanza su máximo y mínimo absoluto en la región acotada, y que este extremo
debe estar situado en algún vértice del recinto ( o en un segmento, si coincide en dos
vértices consecutivos), por lo que evaluamos la función objetivo f ( x, y ) = 3 x + 2 y en
los vértices anteriores:
22 53
⎛ 22 ⎞
A : f ⎜1, ⎟ = 3 ⋅1 + 2 ⋅
=
= 17,67
3
3
⎝ 3 ⎠
B : f (3, 6) = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 = 21
C : f (5, 2) = 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2 = 19
D : f (1, 2) = 3 ⋅1 + 2 ⋅ 2 = 7
El máximo se alcanza en el punto B(3, 6) y vale 21.
El mínimo se alcanza en el punto D(1, 2) y vale 7.
b)
Para comprobar si el punto (4, 5) pertenece a la región, tenemos que comprobar que
verifica las restricciones que caracterizan al recinto.
Sustituyendo en la primera inecuación, 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = 23 ≤ 24 comprobamos que se
satisface.
Sustituyendo en la segunda inecuación, 2 ⋅ 4 + 5 = 13 ≤ 12 comprobamos que no se
satisface.
Como consecuencia deducimos que el punto (4, 5) no está en la región.
c)
Como el mínimo absoluto vale 7 y el máximo absoluto vale 21, el valor 22 no se alcanza
en la Región Factible pues es mayor que el máximo absoluto de la función; por lo que
no existe ningún punto de la región factible donde la función tome ese valor.
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2.- Dado el recinto limitado por las siguientes restricciones:
x + 3 y ≤ 10 ⎫
⎪
2x + y ≤ 7 ⎬
x ≥ 1 ; y ≥ 1 ⎪⎭
Halla los valores máximo y mínimo de la función f ( x, y ) = x + 3 y en este
recinto e indica dónde se alcanzan.
Primer Paso: Representar la Región Factible
Para representar la solución de cada inecuación representamos cada recta tomando
dos puntos de ella y determinamos cuál de los semiplanos es la solución:
La Región Factible es el polígono de vértices A, B, C, D.
Segundo Paso: Calcular los vértices
Los vértices se obtendrían resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones:
}
}
}
x + 3 y = 10
→ A (1, 3)
x = 1
x + 3 y = 10
⎛ 11 13 ⎞
→ B⎜ , ⎟
2x + y = 7
⎝5 5⎠
2x + y = 7
→ C (3, 1)
y=1
x =1
→ D (1, 1)
y =1
}
Tercer Paso: Sustituir los vértices en la Función Objetivo
El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función objetivo
f(x,y) alcanza su máximo y mínimo absoluto en la región acotada, y que este extremo
debe estar situado en algún vértice del recinto ( o en un segmento, si coincide en dos
vértices consecutivos), por lo que evaluamos la función objetivo f ( x, y ) = x + 3 y en
los vértices anteriores:
A : f (1, 3) = 1 + 3 ⋅ 3 = 10
13
⎛ 11 13 ⎞ 11
B : f ⎜ , ⎟ = + 3 ⋅ = 10
5
⎝5 5⎠ 5
C : f (3, 1) = 3 + 3 ⋅1 = 6
D : f (1, 1) = 1 + 3 ⋅ 1 = 4
El máximo se alcanza en el punto A(1, 3) y en el punto B(11/5, 13/5) y en todos los
puntos del segmento AB y vale 10.
El mínimo se alcanza en el punto D(1, 1) y vale 4.
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3.- Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa
de transportes el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su
equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses
de 30 plazas. El precio de cada autobús es de 252 euros y el de cada
microbús de 180 euros. Sabiendo que la empresa sólo dispone de 28
conductores, ¿qué número de autobuses y microbuses deben contratarse
para conseguir el mínimo coste posible?, ¿cuál será el valor de dicho
coste mínimo?
1º Definimos las variables:
x = número de autobuses
y= número de microbuses.
2º La función objetivo que indica el coste en euros y que hay que minimizar es:
f ( x, y ) = 252 x + 180 y
3º Del enunciado deducimos las restricciones:
¾ Para que todos los pasajeros tengan plaza: 50 x + 30 y ≥ 1200 ⇔ 5 x + 3 y ≥ 120
¾ Como sólo hay 28 conductores: x + y ≤ 28
¾ Como x e y representan numero de vehículos, tienen que ser números enteros
positivos:
x≥0
y≥0
Luego el problema planteado en términos de programación lineal sería:
Minimizar: f ( x, y ) = 252 x + 180 y
5 x + 3 y ≥ 120 ⎫
⎪
x + y ≤ 28 ⎬
Restricciones:
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎪⎭
4º Representamos la Región Factible:
Para representar la solución de cada inecuación representamos cada recta tomando
dos puntos de ella y determinamos cuál de los semiplanos es la solución:
Vamos, por tanto, a representar las rectas asociadas a cada inecuación:
” Recta 5 x + 3 y = 120 pasa por los puntos
x 0 24
y 40 0
Tomamos un punto cualquiera, para comprobar cuáles son los puntos que cumplen la
desigualdad propuesta; por ejemplo el (0, 0) no estaría en el semiplano solución ya que
no es cierto que: 0 + 0 ≥ 120 .
” Recta x + y = 28 pasa por los puntos
x 0 28
y 28 0
Sustituyendo de nuevo el (0, 0), comprobamos que cumple la desigualdad propuesta, ya
que: 0 + 0 ≤ 28 ; por lo que estaría en el semiplano solución.
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” x ≥ 0 sería el semiplano situado a la derecha de la recta x = 0 .
” y ≥ 0 sería el semiplano superior a la recta y = 0 .
Representamos ahora los semiplanos y obtenemos la Región Factible como la
intersección de todos ellos:
La Región Factible es el polígono de vértices A, B, C.
5º Calcular los vértices
Los vértices se obtendrían resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones:
}
5 x + 3 y = 120
→ A(18, 10)
x + y = 28
}
x + y = 28
→ B (28, 0)
y= 0
}
5 x + 3 y = 120
→ C (24, 0)
y = 0
6º Evaluamos los vértices en la Función Objetivo
Evaluamos la función objetivo f ( x, y ) = 252 x + 180 y en los vértices anteriores:
A : f (18, 10 ) = 252 ⋅18 + 180 ⋅10 = 6336
B : f (28, 0) = 252 ⋅ 28 + 180 ⋅ 0 = 7056
C : f (24, 0) = 252 ⋅ 24 + 180 ⋅ 0 = 6048
7º Conclusiones
Luego para conseguir el mínimo coste deben contratarse 24 autobuses y ningún
microbús.
Dicho coste será de 6048 €.
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Ejemplos
4.- Dado el recinto limitado por las siguientes restricciones:
x + 3 y ≤ 9⎫
⎪
2 x + y ≤ 8⎬
x ≥ 1 ; y ≥ 1 ⎪⎭
a) Halla los valores máximo y mínimo de la función f ( x, y ) = x + y en
este recinto e indica dónde se alcanzan.
b) Razona si el punto (7/2, 19/2) pertenece al recinto anterior.
c) Razona si hay algún punto del recinto donde la función f valga 5,2.
5.- Dado el recinto limitado por las siguientes restricciones:
x + y ≤ 5⎫
⎪
x − y ≤ 3⎬
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎭⎪
a) ¿Pertenece el punto (3,6; 0,5) al recinto anterior? Justifica la
respuesta.
b) Halla los valores máximo y mínimo de la función f ( x, y ) = x + y en
este recinto e indica dónde se alcanzan.
c) Razona si hay algún punto del recinto donde la función f valga 3,1.
6.- Dadas las siguientes restricciones:
x + 2 y ≤ 12 ; 2 x + y ≥ 4 ; x − 2 y ≤ 6 ; x − y ≥ 0 ; x ≤ 8
Halla en qué puntos toman valores máximos y mínimos las siguientes
funciones:
a) g ( x, y ) = 2 x − 3 y
b) h( x, y ) = x + 2 y + 20
c) Razona si los puntos (1, 2) y (5, 1) pertenecen al recinto anterior.
7.- Maximizar la función f ( x, y ) = 3 x + 2 y , con las siguientes restricciones:
x + y ≥ 5⎫
⎪
2 x + y ≤ 3⎬
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎪⎭
8.- Maximizar la función f ( x, y ) = 2 x − 4 y , con las siguientes restricciones:
x − y ≥ 3⎫
⎪
x − 2 y ≤ 2⎬
x ≤ 7 ; y ≥ 2 ⎪⎭
Razona si hay algún punto del recinto donde la función f valga 5,7.
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9.- En un problema de programación lineal, la región factible es la región
acotada cuyos vértices son A(1, 1), B(3, – 1), C(6, 0) y D(4, 2) .La función
objetivo es la función f ( x, y ) = x − 5 y − k , cuyo valor mínimo, en dicha
región, es igual a 6. Calcule el valor de k e indique dónde se alcanza el
máximo y dónde el mínimo.
10.- Minimizar
la
función
f ( x, y ) = 1500 x + 2500 y ,
con
las
siguientes
restricciones:
x + 3y ≥ 6 ⎫
⎪
7 x + 3 y ≥ 21⎬
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎪⎭
Ejercicios
11.- Maximizar la función f ( x, y ) = x + y , con las siguientes restricciones:
3x
3x
3x
x≥ 0
+
+
+
;
2y
4y
y
y
≤
≤
≤
≥
30 ⎫
48 ⎪
24 ⎬
⎪
0⎭
¿Pertenece el punto (7/2, 19/2) al recinto anterior? Justifica la
respuesta.
12.- Maximiza y minimiza la función f ( x, y ) = x + 3 y , sujeta a las siguientes
restricciones:
a)
2 x + y ≤ 4⎫
⎪
x + 3 y ≤ 7⎬
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎪⎭
2 x + y ≥ 4⎫
⎪
b)
x + 3 y ≥ 7⎬
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎪⎭
13.- Halla,
si
es
posible,
el
máximo
y
el
mínimo
f ( x, y ) = 2 x + 2 y , sujeta a las siguientes restricciones:
de
la
función
}
x+ y≥3
x≥0 ; y≥0
14.- Obtén el punto en el que la función f ( x, y ) = 4 x + 5 y alcanza el máximo,
con las siguientes restricciones:
2 x + 2 y ≤ 10 ⎫
⎪
−x + 2 y ≤ 4 ⎬
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎪⎭
¿Pertenece el punto (4, 1) a la región factible?
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10
15.- En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de
mantecados que se envasan en dos tipos de cajas de la siguiente forma:
- Caja 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 3 €
- Caja 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Precio: 5 €
¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para
obtener el máximo de ingresos?
16.- Una fábrica elabora cajas de cartón de dos tipos (A y B). Para cada A,
que venderá a 2 €, necesita 2 metros de cinta adhesiva y medio metro de
rollo de papel. Cada caja B, que se venderán a 0,6 €, necesita 4 metros de
cinta adhesiva y 0,25 metros de rollo de papel. Dispone de un total de 440
metros de cinta y de 65 metros de rollo. Si suponemos que venderá todas
las cajas producidas en un día, ¿cuántas cajas interesa fabricar de cada
tipo para maximizar el beneficio?
17.- Un camión puede transportar como máximo 12 toneladas por viaje. En
cierto viaje desea transportar al menos 5 toneladas de la mercancía A y un
peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que
transporta de A. Sabiendo que cobra 4 € por cada kg de A y 3 € por cada
kg de B, ¿cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima?
18.- Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro
y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 € cada una. Para la fabricación de las
del tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 €. El
orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcular
cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio
máximo.
19.- Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de
transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50
plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar
grande cuesta 80 €, y el de uno pequeño, 60 €.
Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la
excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
Identificar, en este planteamiento, las variables, las restricciones y la
función a optimizar.
20.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones
de la temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B. La
oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se vende
a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón,
que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la
oferta A ni menos de 10 de la B.
¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
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11
21.- Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B,
para sufragarse los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A
consta de una caja de mantecados y cinco participaciones de lotería; y
cada lote de tipo B consta de dos cajas de mantecados y dos
participaciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido, los alumnos
obtienen un beneficio de 7,25 € y, por cada lote de tipo B, de 7,50 €.
Por razones de almacenamiento, pueden disponer, a lo sumo, de 400
cajas de mantecados. Los alumnos solo cuentan con 1200 participaciones
de lotería y desean maximizar sus beneficios.
a) Determina la función objetivo y expresa, mediante inecuaciones, las
restricciones del problema.
b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de lote deben vender los alumnos
para que el beneficio obtenido sea máximo? Calcula dicho beneficio.
22.- Dibuja la región determinada por las inecuaciones:
x + y ≤ 10 ⎫
⎪
2 y ≥ 3x ⎬
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⎪⎭
y maximiza la función
f ( x, y ) = 4 x + 3 y sometida a las restricciones
dadas por estas inecuaciones.
23.- Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta
Imperial y la tarta de Lima.
La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8
huevos, y tiene un precio de venta de 7 €. La tarta de Lima necesita 1
kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 9 €.
Debido a una mala previsión, se encuentran con la imposibilidad de
realizar pedidos de huevos y azúcar, y elaborados ya todos los demás
productos que ofertan, les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y
120 huevos para la preparación de las citadas tartas.
¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener
el mayor ingreso por ventas? ¿A cuánto asciende dicho ingreso?
24.- Un cliente de un banco dispone de 18030 € para adquirir fondos de
inversión. El banco le ofrece dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A
tiene una rentabilidad del 12 % y unas limitaciones legales de 7200 €
de inversión máxima. El de tipo B presenta una rentabilidad del 8 % sin
ninguna limitación. Además, este cliente desea invertir en los fondos
tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en los fondos tipo A.
a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para
obtener un beneficio máximo?
b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Programación Lineal
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25.- Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El
doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que la
producción de confitura de albaricoque más 800 unidades. También, el
triple de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la
producción de confitura de ciruela, es menor o igual que 2400 unidades.
Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 36 € y
cada unidad de confitura de ciruela, 48 €. ¿Cuántas unidades de cada
tipo de confitura se han de producir para obtener un beneficio máximo?
26.- Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a
trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es
necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas
y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas.
En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de
la empresa por jornada es 150 € por electricista y 120 € por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el
máximo beneficio?
27.- Una fábrica de muebles produce dos tipos de sillones S1 y S2. La fábrica
cuenta con dos secciones: carpintería y tapicería. Hacer un sillón del tipo
S1 requiere 1 hora de trabajo en la sección de carpintería y 2 en la de
tapicería. Un sillón del tipo S2 necesita 3 horas de carpintería y 1 de
tapicería. El personal de carpintería suministra un máximo de 90 horas de
trabajo; en tapicería se dispone de 80 horas. Si las ganancias por las
ventas de S1 y S2 son de 36 € y 18 €, respectivamente, halla cuántos
sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar las ganancias.
28.- Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del
tipo F1 cuestan 300 € y los del tipo F2, 500 €. Solo dispone de sitio para
20 frigoríficos y de 7000 € para hacer las compras.
¿Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo para obtener
beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que en cada
frigorífico gana el 30% del precio de compra?
29.- Para abonar una parcela de huerta se necesitan por lo menos 8 kg de
nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto A cuyo precio es
de 30 €/kg que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo. Existe
en el mercado otro producto B, que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20
% de fósforo, y cuyo precio es de 40 €/kg. ¿Qué cantidades se deben
tomar de A y B para abonar la parcela con el menor gasto posible, sabiendo
que como máximo se puede llevar a la parcela 60 kg de producto agrícola?
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Programación Lineal
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30.- Disponemos de 210000 € para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de
acciones. Las del tipo A, que rinden el 10 %, y las del tipo B, que rinden el 8
%. Decidimos invertir un máximo de 130000 € en las del tipo A, y como
mínimo 6000 € en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del
tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser
la distribución (dinero) de la inversión para obtener el máximo interés anual?
31.- En una granja de pollos se da una dieta “para engordar” con una
composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 unidades
de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de
compuestos: el tipo X, con una composición de una unidad A y cinco de B,
y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El
precio del tipo X es de 10 € y el del tipo Y es de 30 €. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las
necesidades con un coste mínimo?
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Programación Lineal
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