TEOREMA DE LIOUVILLE (clsico)

1 CONCEPTOS BÁSICOS. PROBABILIDAD, EQUILIBRIO Y ENTROPÍA
6 TEOREMA DE LIOUVILLE. SEGUNDO POSTULADO
Considere una situación general en la que un sistema no está en equilibrio, en estas circunstancias las
probabilidades de ocupación deben depender del tiempo; en el caso clásico se tiene: ρ=ρ(q,...,p,....;t).
Considere, en un instante t0, el conjunto estadístico correspondiente (de no equilibrio) en el que hay un
total de N réplicas del sistema distribuidas en los microestados accesibles en proporción a la probabilidad
de ocupación, ρ(q,...,p,....;t), de acuerdo con la definición de conjunto estadístico. Así en el instante t0
hay N puntos en el espacio de las fases y estos se distribuyen conforme a ρ(q,...,p,....;t0); habrá más
puntos donde ρ sea mayor y menos donde sea menor. Observe que el número N no puede cambiar con el
tiempo, es decir cada una de estas réplicas evoluciona en el tiempo y se iran distribuyendo conforme a los
nuevos valores de ρ(q,...,p,....;t). Cada microestado de los N evolucionará, su localización en el espacio
de las fases cambiará pero el número total N será necesariamente siempre el mismo. Recuerde que
cualquier sistema en el que estemos interesados junto con el resto del universo es un sistema aislado.
Tomemos un elemento de volumen, un hipercubo, del espacio de las fases dΓ=dq...dp... localizado en la
posición fija (q,...,p,...). En el instante t0 habrá algunos de los N puntos dentro dΓ, digamos dN puntos
(observe que como dΓ es un diferencial también debe serlo el número de puntos en su interior). Pero
estos puntos evolucionan moviéndose en el espacio de las
fases acabaran yéndose de dΓ, sin embargo podrán entrar
dΓ
otros
en su interior, así el número de puntos en el interior
[p]
de
dΓ
cambia con el tiempo: dN=dN(t). dN se puede
dN
expresar en función del valor que tenga la densidad de
puntos en que cada instante (tenga en cuenta que la
N
•
•
densidad de puntos o densidad de probabilidad está
•
• • • • •
normalizada a la unidad de ahí que aparezca el factor N en
•
•
la siguiente expresión):
•
•
•
dN(t)=Nρ(q,...,p,...t)dΓ
de donde
[q]
∂N
∂ρ
∂ρ
dt = N
dtdΓ = N
dtdq1dq2 ....dp fN
∂t
∂t
∂t
que expresa la variación de puntos que entran y salen de dΓ en un tiempo dt. Esta variación es debida a
puntos que entran y salen por cada cara del hipercubo dΓ:
dΓ1 = da
⎡ ∂q
⎤
∂ ∂q1
'
dΓ1 = da ⎢ 1 +
dq1 ⎥ dt
⎣ ∂t ∂q1 ∂t
⎦
∂q1
dt
∂t
•
•
•
• •
•
• •
• •
• • • • •
•
∂q1
dt
∂t
G. NAVASCUÉS
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
dΓ
Hiperplano
perpendicular a q1
Diferencial de
da = dq2 dq3 ...dp1dp2 ....
Hiperplano perpendicular a q1+dq1
⎡ ∂q1
⎤
∂ ∂q1
+
dq1 ⎥ dt
⎢
⎣ ∂t ∂q1 ∂t
⎦
10 de Noviembre de 2004, última revisión 23/10/2005
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1 CONCEPTOS BÁSICOS. PROBABILIDAD, EQUILIBRIO Y ENTROPÍA
Puntos que entran (y salen) de dΓ a través de la cara da en q1:
ρ (q1 )dq1 da = ρ (q1 )
∂q1
dtda
∂t
Puntos que entran (y salen) de dΓ a través de la cara da en q1+dq1:
⎛
⎛ ∂ρ
⎡ ∂q1
⎤
⎡ ∂q
⎤⎞
⎡ ∂q
⎤⎞
∂ ∂q1
∂ ∂q1
∂ ∂q1
+
dq1 ⎥ dtda = ⎜⎜ ρ (q1 )⎢ 1 +
dq1 ⎥ ⎟⎟dtda + ⎜⎜
dq1 ⎢ 1 +
dq1 ⎥ ⎟⎟dtda =
⎣ ∂t ∂q1 ∂t
⎦
⎣ ∂t ∂q1 ∂t
⎦⎠
⎣ ∂t ∂q1 ∂t
⎦⎠
⎝
⎝ ∂q1
⎛
⎛
⎛ ∂ρ
⎡ ∂q
⎤⎞
⎡ ∂q
⎤ ∂ρ
∂q ⎞
∂ ∂q1
∂ ∂q1
⎡ ∂q ⎤ ⎞
dq1 ⎥ ⎟⎟dtda + ⎜⎜
dq1 ⎢ 1 ⎥ ⎟⎟dtda = ⎜⎜ ρ (q1 )⎢ 1 +
dq1 ⎥ +
dq1 1 ⎟⎟dtda
= ⎜⎜ ρ (q1 )⎢ 1 +
∂t ⎠
⎣ ∂t ⎦ ⎠
⎝ ∂q1
⎣ ∂t ∂q1 ∂t
⎦⎠
⎣ ∂t ∂q1 ∂t
⎦ ∂q1
⎝
⎝
ρ (q1 + dq1 )⎢
El balance de puntos balance que entran (y salen) de dΓ a través de las dos caras:
⎛
⎛ ∂ ∂q1 ∂ρ ∂q1 ⎞
∂ ∂q1 ∂ρ ∂q1 ⎞
⎟⎟dtdadq1 = −⎜⎜ ρ
⎟⎟dtdΓ
− ⎜⎜ ρ (q1 )
+
+
q
t
q
t
q
t
q
t
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
1
1
1
⎠
⎠
⎝
⎝
El balance de puntos balance que entran (y salen) de dΓ a través de todas las caras (tipo q y p):
fN
⎛ ∂ ∂qi ∂ρ ∂qi
∂ρ
∂ ∂pi ∂ρ ∂pi ⎞
⎟dtdΓ
dtdΓ = − ∑ ⎜⎜ ρ
+
+ρ
+
∂t
∂qi ∂t ∂qi ∂t
∂pi ∂t ∂pi ∂t ⎟⎠
i ⎝
Teniendo en cuenta las ecuaciones de movimiento:
∂qi ∂H
=
∂pi
∂t
∂pi
∂H
=−
∂qi
∂t
⇒
∂ ∂qi
∂ ∂pi
∂2H
∂2H
+
=
−
=0
∂qi ∂t ∂p i ∂t
∂qi p i ∂pi ∂qi
fN
⎛ ∂ρ ∂qi ∂ρ ∂pi ⎞
∂ρ
⎟dtdΓ que escribo como:
+
dtdΓ = − ∑ ⎜⎜
∂pi ∂t ⎟⎠
∂t
i ⎝ ∂q i ∂t
∂ρ fN ⎛ ∂ρ ∂q i ∂ρ ∂p i ⎞
dρ
⎟⎟ = 0 o lo que es lo mismo:
= 0 que es TEOREMA DE LIOUVILE
+ ∑ ⎜⎜
+
dt
∂t
∂p i ∂t ⎠
i ⎝ ∂q i ∂t
∂ρ fN ⎛ ∂ρ ∂qi ∂ρ ∂pi ⎞ ∂ρ fN ⎛⎜ ∂ρ ∂H ∂ρ ∂H ⎞⎟ ∂ρ
⎟=
+ ∑ ⎜⎜
+
+∑
−
Observe que
=
+ {ρ , H } = 0
⎜
∂t
∂pi ∂t ⎟⎠ ∂t
∂pi ∂q q ⎟⎠ ∂t
i ⎝ ∂q i ∂t
i ⎝ ∂q i ∂p i
∂ρ
dρ
= −{ρ , H } es otra forma de escribir
= 0 . Recuerde que una variable mecánica verifica:
∂t
dt
∂f
= −{ f , H } , y si es una constante de movimiento “conmuta” con H, es decir su corchete de Poisson es
∂t
∂ρ
cero: { f , H } = 0 . En mecánica cuántica el Teorema de Liouville se escribe: ih
= −[ρ , H ] , donde ρ es la
∂t
el balance global es:
matriz densidad. El resultado final es que la distribución N de puntos se mueve en el espacio de las fases
como un líquido incompresible. Otra manera de ver esto es comprobando que se cumple la ecuación de
continuidad. Si al vector posición en el espacio de la fases lo llamo x=(q1,...,qfN,p1,...,pfN) y v=dx/dt es la
correspondiente velocidad (velocidad del microestado a lo largo de su trayectoria en el espacio de las
r
∂ρ
+ div( ρv ) = 0 . Otra forma de verlo: si dN es un número fijo
∂t
de puntos que va ocupando distintos volúmenes dΓ a lo largo del tiempo entonces: δN = δNρdΓ y
dρ
dδN dδN
dΓ
,
=
ρdΓ + δN
dΓ + δNρ
= 0 como δN es constante y dρ/dt=0 ⇒ dΓ/dt=0.
dt
dt
dt
dt
fases), el teorema de Liouville se rescribe:
Es decir el volumen dΓ se podrá deformar pero mantiene su extensión a lo largo del tiempo.
G. NAVASCUÉS
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1 CONCEPTOS BÁSICOS. PROBABILIDAD, EQUILIBRIO Y ENTROPÍA
2º POSTULADO
Las probabilidades de ocupación de un sistema en equilibrio no pueden depender del tiempo, es la única
manera de que los promedios estadísticos se mantengan constantes como corresponde al equilibrio. Por lo
tanto la densidad e probabilidad ρ no puede depender del tiempo si el sistema está en equilibrio, es decir
ρ=ρ(q,….,p,….). El Teorema de Liouville en estas condiciones queda:
∂ρ
= −{ρ , H } = 0
∂t
es decir ρ es una constante de movimiento y por tanto será una función de las constantes de movimiento
del sistema, es decir de la energía, el momento lineal y el momento angular totales: E, P y L. Como la
densidad de probabilidad ρ es una función de las coordenadas y los momentos conjugados resulta que
DEBE SER función de estas variables a través de las constantes de movimiento:
ρ = ρ(E,P,L) = ρ(E(q,….,p,….),P(q,….,p,….),L(q,….,p,….))
Eligiendo adecuadamente el sistema de referencia en donde P y L sean cero queda finalmente que:
ρ = ρ(E) = ρ(E(q,….,p,….))
que nos lleva a la siguiente conclusión: la densidad de probabilidad de un sistema aislado SÓLO depende
de la energía y puesto que en un sistema aislado todos los microestados accesibles tienen la misma
energía, todos tienen la misma probabilidad. Vamos a generalizar este resultado estableciendo el segundo
postulado:
LA PROBABILIDAD (Y LA DENSIDAD DE PROBABILIDAD) DE ENCONTRAR UN SISTEMA EN SUS
ESTADOS ACCESIBLES DEPENDE EXCLUSIVAMENET DE LA ENERGÍA
Observe que no se exige que el sistema esté aislado. Ahora voy a sacar las consecuencias del postulado.
7 CONJUNTO ESTADÍSTICO MICROCANÓNICO. DISTRIBUCIÓN
MICROCANÓNICA
Conjunto microcanónico:
[a partir de ahora (q,p) significa (q,….,p,….) y dqdp significa dq…dp…. Es decir un elemento de volumen
del espacio de las fases; ¡creo que esto ya lo he mencionado varias veces!]
Recuerde que un conjunto estadístico es un conjunto de réplicas del sistema repartidos en los
microestados accesibles y distribuidos en estos según la probabilidad de ocupación. Como en un sistema
aislado todos sus microestados accesibles tienen la misma energía, digamos E0, tienen por tanto la misma
probabilidad de ocupación según el 2º postulado; el conjunto microcanónico es simplemente el conjunto
de replicas del sistema en cada UNO de los microestados accesibles (o el mismo número de replicas de
cada uno de los estados accesibles).
a
b
c
Conjunto estadístico
microcanónico:
a
G. NAVASCUÉS
b
c
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E(q,p)=E0
• •
•
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1 CONCEPTOS BÁSICOS. PROBABILIDAD, EQUILIBRIO Y ENTROPÍA
DISTRIBUCIÓN MICROCANÓNICA CLÁSICA
La densidad de probabilidad podríamos tratar de escribir de acuerdo con el 2º postulado como:
E = E0
E ≠ E0
⎧C
⎩0
ρ ( E (q, p )) = ⎨
E(q,p)=E0
Es decir el sistema tiene acceso a todos los puntos del
espacio de las fases (q,p) cuya energía sea E0 pero no
a otros puntos de energías distintas (Ojo: no toda la
hipersuperficie podría ser accesible si por ejemplo el
sistema estuviera confinado por paredes que limitan el
acceso del sistema a un cierto volumen).
Naturalmente por el 2º postulado todos los puntos,
que tienen la misma energía, tienen igual probabilidad
de ser ocupados. Pero hay una pequeña sutiliza en la
forma en que debemos escribir esta densidad de
probabilidad. Todos los puntos que cumplen el requisito de ser microestados del sistema aislado son los
que tienen la energía E0, es decir los que cumple la condición:
E ( q, p ) = E 0
que es la ecuación de un hipersuperficie en el espacio de las fases. Supongamos que queremos normalizar
la densidad de probabilidad, lo que debemos hacer es integrar en el espacio de las fases y el resultado
debe ser 1, pero esto no es posible ya que esta integral es idénticamente nula:
∫ ρ ( E (q, p))dqdp = 0
!!!!
Este resultado es completamente lógico ya que la hipersuperficie no tiene “volumen”. El problema se
corrige fácilmente escribiendo:
ρ ( E ( q, p )) = Cδ ( E ( q, p ) − E 0 )
La constante C se puede obtener forzando la normalización a la unidad:
1=
∫ ρ ( E (q, p))dqdp =
espaciofasico
∫ Cδ ( E ( q , p ) − E
0
)dqdp = C
espaciofasico
∫ δ ( E ( q, p ) − E
0
)dqdp
espaciofasico
con lo que finalmente se obtiene:
ρ ( E ( q, p )) =
δ ( E ( q, p ) − E 0 )
∫ δ ( E (q, p) − E 0 )dqdp
DISTRIBUCIÓN MICROCANÓNICA CLÁSICA
Ahora se puede evaluar el promedio de cualquier variable clásica f(q,p):
⟨ f ( q, p )⟩ = ∫ f ( q, p ) ρ ( E ( q, p )) dqdp =
∫ f (q, p)δ ( E (q, p) − E )dqdp
∫ δ ( E (q, p) − E )dqdp
0
0
CALCULO DEL VALOR MEDIO EN LA DISTRIBUCIÓN MICROCANÓNICA CLÁSICA
G. NAVASCUÉS
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1 CONCEPTOS BÁSICOS. PROBABILIDAD, EQUILIBRIO Y ENTROPÍA
Una alternativa que puede ser práctica consiste en
considerar el sistema no estrictamente aislado (la
realidad) donde la energía está en un intervalo
prácticamente infinitesimal: (E0,E0+δE). Como las
energías, aunque distintas, son extremadamente
próximas diremos que todos los estados con energía
en ese intervalo tienen la misma probabilidad de
ocupación:
E0+δE
E0
E ∈ ( E 0 , E 0 + δE )
E ∉ ( E 0 , E 0 + δE )
⎧C
⎩0
ρ ( E (q, p)) = ⎨
Imponiendo la condición de normalización (ahora si
se puede integrar):
∫ ρ ( E (q, p))dqdp =
1=
espacio _ fasico
de _ la _ hipercapa
∫ Cdqdp = CΓ( E , E
0
0
+ δE ) =C x Volumen de la hipercapa (E0,E0+δE)
espacio _ fasico
de _ la _ hipercapa
de donde se llega a:
⎧1 / Γ( E 0 , E 0 + δE )
⎩ 0
ρ ( E (q, p)) = ⎨
E ∈ ( E 0 , E 0 + δE )
E ∉ ( E 0 , E 0 + δE )
El promedio de cualquier variable es ahora:
⟨ f ( q, p )⟩ = ∫ f ( q, p ) ρ ( E ( q, p )) dqdp =
∫ f (q, p)dqdp / Γ( E
0
, E 0 + δE )
Γ
∫ dqdp / Γ( E
0
, E 0 + δE )
Γ
=
∫ f (q, p)dqdp
Γ
∫ dqdp
Γ
Fíjese en lo siguiente: las dos expresiones que hemos obtenido para la densidad de probabilidad no hacen
referencia al número de microestados sino a la extensión que ocupan. Cuando se busca la probabilidad
habrá que multiplicar la densidad de probabilidad por un elemento de volumen. Por ejemplo, la
probabilidad de encontrar el sistema en un elemento de volumen dqdp se escribirá, en un caso, como:
ρ ( E ( q, p )) dqdp =
δ ( E ( q, p ) − E 0 ) dqdp
∫ δ ( E (q, p) − E 0 )dqdp
o, en el otro caso, como:
⎧dqdp / Γ( E 0 , E 0 + δE )
⎩ 0
ρ ( E (q, p))dqdp = ⎨
E ∈ ( E 0 , E 0 + δE )
E ∉ ( E 0 , E 0 + δE )
Donde queda claro que estamos manejando extensiones. Si cuantizamos el espacio fásico tenemos la
misma situación que el caso cuántico
DISTRIBUCIÓN MICROCANÓNICA CUÁNTICA
Ahora todo es mucho más fácil:
⎧C
p( Ei ) = ⎨
⎩0
Ei = E 0
Ei ≠ E 0
La condición de normalización exige que
∑ p ( E ) = C × Ω( E
i
0
) =1
i
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1 CONCEPTOS BÁSICOS. PROBABILIDAD, EQUILIBRIO Y ENTROPÍA
Lo cual implica que
⎧ 1 / Ω( E 0 )
p ( Ei ) = ⎨
⎩0
Ei = E0
Ei ≠ E0
DISTRIBUCIÓN MICROCANÓNICA CUÁNTICA
Ahora ya podemos calcular el valor medio de cualquier variable:
⟨f⟩ =
∑f
E = Ei
i
p ( Ei ) =
∑f
E = Ei
i
/ Ω( E 0 ) =
∑f
E = Ei
i
Ω( E 0 )
CALCULO DEL VALOR MEDIO EN LA DISTRIBUCIÓN MICROCANÓNICA CUÁNTICA
Observe que la constante de normalización es la inversa del número de estados; en la distribución clásica
la inversa del “volumen” que ocupan estos estados. De donde se ve aprecia la necesidad aparente de
conocer el número de estados o el “volumen” que ocupan. Sin embargo, por una parte no siempre se
conoce el número de estados Ω y, por otra, ni siquiera, aún conociéndolo, interesa utilizarlo. No sólo por
la complejidad de utilizar una función extremadamente discontinua sino porque no nos hace falta tanta
información; en la mayoría de los casos es más que suficiente saber cuantos estados hay en un intervalo
δE de energías que saber cuantos estados hay para cada energía. En este caso podríamos escribir
⎧C
p( E ) = ⎨
⎩0
E ∈ ( E 0 , E 0 + δE )
E ∉ ( E 0 , E 0 + δE )
Normalizando resulta que C debe ser 1/ω(E)dE; igual que hemos hecho antes damos igual probabilidad a
los estados con prácticamente la misma energía (δE es un infinitesimal).
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