Estudio de las Propiedades de Enfoque de Placas Zonales

Estudio de las Propiedades de Enfoque
de Placas Zonales Generalizadas
Sampallo, Guillermo1 - González Thomas, Arturo1 - Rabal, Héctor2 - Lugo, Jorge Osmar3
1.Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
2.CIOp – Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de La Plata.
3.Facultad Regional Resistencia - Universidad Tecnológica Nacional.
RESUMEN
En este trabajo se presentan y analizan las propiedades de enfoque de las Placas Zonales
Generalizadas (P.Z.G.) en función de los parámetros que definen sus propiedades ópticas, cuando son
iluminadas por una onda plana monocromática. Los radios de las PZG son generados mediante la expresión
R(n, ε , α ) = λ ⋅ r0 ⋅ [2 ⋅ n ⋅ ε − 1]α
Se empleó la teoría escalar de la difracción de Fresnel - Kirchhoff para obtener un modelo teórico de
la propagación de la onda para campo cercano, y se simuló por computadora la formación de los patrones de
intensidad en planos perpendiculares al eje óptico y en el plano que contiene al eje óptico aprovechando la
simetría radial del diagrama de difracción.
INTRODUCCIÓN
La difracción en campo cercano y lejano es un tema ampliamente tratado para pupilas tradicionales,
no así cuando la geometría de las mismas causa dificultades en las aproximaciones que propone la teoría
escalar de la difracción con la aproximación de Fresnel – Kirchhoff 1,2,3,4..
Las Placas Zonales de Fresnel (PZF) son conocidas y ampliamente usadas en sistemas de formación de
imágenes. Presentamos en este trabajo, una generalización de las PZF, a partir de una modificación
importante en la ley de formación de sus radios.
Se han realizado trabajos (que estudian propiedades y aplicaciones) sobre pupilas no tradicionales, entre otras,
placas zonales elípticas, cilíndricas e hiperbólicas, algunas de las cuales encuadran en la definición de PZG
propuesta, en los que se ha adaptado las aproximaciones de Fresnel - Kirchhoff.
El estudio de las propiedades de enfoque del campo difractado por pupilas es de interés para el diseño de
hologramas generados por computadora.
Este trabajo está organizado en cuatro secciones. La sección 2 presenta la definición y características
funcionales de las PZG. La sección 3 presenta el método de cálculo y el análisis de los patrones de difracción
para campo cercano a lo largo del eje óptico y finalmente en la sección 4 se exponen las conclusiones y se
dan algunas perspectivas de aplicación.
LA PLACA ZONAL GENERALIZADA (PZG)
En una P.Z.F los radios de los anillos responden a la ley de formación
R(n) = λ ⋅ r0 ⋅ n
(1)
donde r0 es el foco principal, λ la longitud de onda de la luz incidente y n el orden del radio. Por lo tanto, la
Placa puede ser construida mediante la función transmitacia
N
PZF ( N , r ) = ∑ ( H (r − R(2n − 1)) −H (r − R(2n − 2)))
n =1
donde H es la función Heaviside y N es el número de anillos.
(2)
Esta placa y sus propiedades ha sido ampliamente estudiadas y tiene múltiples aplicaciones, entre las
cuales se pueden mencionar su uso en microscopía x, óptica y acústica utilizando sus propiedades de enfoque,
como apertura codificada en la generación de hologramas por computadora, etc. En metrología son empleadas
en alineación de componentes.Se puede generalizar el concepto de PZF a PZG mediante la siguiente ley para
la generación de los radios:
R(n,α,ε ) = λr0 [F(ε , n)]α
(3)
donde ε y α son números reales, n número entero , r0 un parámetro de escala y F una función arbitraria.
Los anillos de la PZG para el caso particular F(ε, n) = n ε que estudiaremos en el presente trabajo, pueden
definirse como
R1 (n, ε , α ) = λ ⋅ r0 ⋅ [2nε − 1]α
(4)
α
R2 (n, ε , α ) = λ ⋅ r0 ⋅ [2nε − 2]
(5)
Para α = ½ y ε = 1 coincide con la placa zonal clásica y para α = 1 y ε = 1 con la placa de paso constante.
Teniendo en cuenta (4) y (5) la función transmitancia de la PZG se puede expresar como
PZG ( N , r , ε ,α ) =
N
∑ ( H (r − R (n, ε ,α )) −H (r − R (n, ε ,α )))
n =1
1
2
( 6)
Cualquier representación física de la pupila sufrirá algún tipo de alaising.
CÁLCULO DE LOS PATRONES DE DIFRACCIÓN
Si iluminamos la PZG con una onda plana de longitud de onda λ ( fig.1) la amplitud de haz difractado en
campo cercano de acuerdo con la teoría escalar de la difracción, expresado en coordenadas cilíndricas está
dado por
j ⋅ ⋅r 2
j⋅ ⋅ρ 2 N
R1 ( n ,ε ,α )
k
 krρ 
⋅ e j ⋅k ⋅ z ⋅ e 2 z ∑ ∫
r ⋅e 2 z J o 
dr
(
)
R
n
,
,
ε
α
2
j⋅z
 z 
n =1
k
U ( N , ρ , z, ε ,α ) =
k
(7)
Para analizar la intensidad a lo largo del eje z, tomamos ρ =0. La expresión ( 7 ) se reduce entonces a
k
N  j ⋅ k ⋅λ ⋅r ⋅( 2⋅n⋅ε −1)2⋅α
j ⋅ ⋅λ ⋅ro ⋅( 2⋅n⋅ε − 2 )2⋅α
o
2z
U ( N , z , ε , α ) = e j⋅k ⋅ z ∑  e 2 z
e
−
n =1 




(8)
Y la intensidad será
I ( N , z, ε ,α ) = e
k
j ⋅ ⋅λ ⋅ro ⋅( 2⋅n⋅ε − 2 )2 ⋅α
 j⋅ 2kz ⋅λ ⋅ro ⋅( 2⋅n⋅ε −1)2⋅α
2z

−e
∑
e
n =1 
j ⋅k ⋅ z N




( 9)
En las figuras 2, 3, 4, 5 y 6 se muestra la distribución de la intensidad a lo largo del eje óptico para distintos
casos de α, ε = 1 y el número de anillos N = 30. En todos los casos, la distribución de la intensidad presenta
un máximo principal que puede ser interpretado como foco principal, que indicaremos con f. La Fig. 9
muestra la distribución de intensidad dada por U(N=30, ρ=x, z, ε=1, α=0.4) en el plano z-x (ver Fig. 1), en
la que se observa el máximo correspondiente a f en el eje principal.
Para valores del parámetro α < 0.5, la intensidad del campo difractado presenta, a lo largo del eje óptico,
desde la propia placa y hasta cierta distancia (que aumenta al aumentar α ) variaciones muy pronunciadas. Al
aproximarnos al foco principal esta variación se suaviza, tomando la forma de una rampa creciente modulada
por una función tipo senoidal, hasta alcanzar el máximo (foco principal), luego se produce un decrecimiento
continuo con pendiente relativamente menor. El foco principal y los secundarios se desplazan hacia la placa.
Para valores de α > 0.5 la intensidad presenta las mismas características, pero la pendiente de las rampas se
invierte y los focos se alejan de la placa.
RELACIONES ENTRE LOS PARÁMETROS DE LA PZG.
Para ro constante se encuentra una relación (ver figura 7) entre α, la distancia al plano focal principal f y el
número de anillos N, de la forma
f ( N ,α ) = a ⋅ ( 2 ⋅ N − 1)
b⋅α
( 10 )
donde a y b son constantes.
Analizando la dependencia de f con ro con α como parámetro se encuentra una relación que define una
familia de rectas de la forma (ver figura 8)
( 11 )
f α ( ro ) = cα ⋅ ro + d α
donde cα y dα son constantes que dependen del parámetro α. Para α=0.5 es cα=1 (PZF).
Las gráficas (7) y (8) nos permiten, dado el diámetro D de un haz, determinar el α de la PZG para enfocar a
una distancia f deseada.
Para un dado f, la gráfica (8) nos permite obtener pares (α, ro). El par que reemplazado en (4) (con ε =1, n=N
), que da como resultado Rmax = R1(N, ε =1, α) = D/2, nos da los parámetros de la PZG buscada.
CONCLUSIONES
Hemos definido una nueva familia de pupilas, a las que denominamos Placas Zonales Generalizadas (PZG), y
encontramos que poseen interesantes propiedades de enfoque. Esta familia contiene como casos particulares a
la PZF (α =1/2 ) y la placa zonal de paso constante ((α =1).
El patrón de difracción producido por estas pupilas fue analíticamente obtenido a lo largo del eje de
propagación y en planos perpendiculares.
Se establecieron dos relaciones funcionales entre la distancia focal f y α, y entre f y r0 dadas por (10) y (11).
Con la relaciones antes mencionadas es posible diseñar una PZG con propiedades de enfoque especiales, lo
que constituye una importante posibilidad para los sistemas ópticos, porque a partir de una distancia focal y el
diámetro del haz es posible seleccionar los parámetros constructivos de la pupila.
Al igual que para la placa zonal clásica, un cambio de escala (el cambio de valor de ro no afecta la ''forma'' de
la distribución de intensidad, pero sí modifica las posiciones de los focos).
BIBLIOGRAFÍA
1
J.W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, Mc Graw Hill, 1968.
Born y Wolf, Principles of Optics, Oxford Pergamon Press, 1970.
3
N.M.Ceglio y D.W. Sweeney. ''Zone Plate Coded Imaging: Theory and Applications.
4
Progress in Optics, XXI, Edited by E.Wolf, 1984, pag. 289-354.
5
A.W. Lohmann, J. Ojeda-Castañeda, G. Ramírez. Optics Comm. 114 (1995) 30.
6
S. Bara-Viñas, Z. Jaroszewicz, A. Kajolodziejczyk, M. Sypec, Appl. Optics 31 (1992) 192
7
J. Ojeda-Castañeda, P. Andrés, M. Martínez-Corral, Appl. Optics 31 (1992) 4600
8
J. Ojeda-Castañeda, G. Ramírez. Optics Lett. 18 (1993) 87
9
N.R. Heckenberg, R. McDuff, C.P. Smith, A.G. White, Optics Lett. 17 (1992) 221
10
G. Sampallo, A. Gonzalez-Thomas, A. Fedrigo, H. Rabaal, Optics Comm. 151 (1998) 5-11
11
G.L. Rogers, Non-Coherent Optical Processing, Wiley, New York, 1977.
12
H. Rabal, R. Henao, R. Torroba, Optics Comm. 126 (1996) 191.
13
E. Hecht, A. Zajaac, Optics, Addison-Wesley, 1974.
2