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Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos.
Si a es un objeto y R es un conjunto entonces por
a∈R
se entiende que a pertenece a R.
Normalmente, podremos definir a un conjunto de dos maneras:
Por extensión: Se enumeran en forma explı́cita los elementos que pertenecen al
conjunto. Por ejemplo,
A = {a, e, i, o, u}
Esta forma de definir conjuntos funciona bien si el conjunto que queremos
definir tiene un número finito de elementos.
Por comprensión: Un conjunto se define por comprensión de la siguiente manera:
{x | P (x)},
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es decir, al conjunto pertenecen todos los elementos x que cumplen con la
propiedad P .
Alternativamente, podemos usar:
{x ∈ A | P (x)}
Ejemplos:
1. {n | n ∈ N y n es par}.
2. {p ∈ N | p es primo}.
Es preciso observar que en la primera definición, la propiedad P no puede ser
cualquier cosa.
De hecho, la definición acepta definir conjuntos como el siguiente:
R = {x | x 6∈ x},
es decir, el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sı́ mismos.
Esta definición es contradictoria puesto que al hacernos la pregunta ¿R ∈ R? no
obtenemos una respuesta.
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Supongamos que la respuesta es sı́. Luego, por definición del conjunto, R 6∈ R
VW.
Supongamos que la respuesta es no. Luego, R 6∈ R, y, por la definición de R, R
debe pertenecer al conjunto R, es decir, R ∈ R! VW
Esto nos deja la lección de que hay que ser cuidadoso con las propiedades que se
escogen.
La segunda definición de conjuntos es completamente segura cuando A es un
conjunto fijo.
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Definiciones Elementales
Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B, diremos
que A está contenido en (o es subconjunto de) B. Esto se anota como
A ⊆ B,
o
B ⊇ A.
Dos conjuntos A y B (A = B) son iguales si y sólo si contienen los mismos
elementos.
Un conjunto A es subconjunto propio de B si y sólo si:
A ⊆ B y A 6= B,
que frecuentemente se escribe como:
A(B
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Operaciones Elementales
A ∪ B, es la unión de A y B, y se define por:
{x | x ∈ A o x ∈ B}
A ∩ B, es la intersección de A y B, y se define por:
{x | x ∈ A y x ∈ B}
A − B, es la diferencia de A y B, y se define por:
{x | x ∈ A y x 6∈ B}
A × B, es el producto cartesiano de A y B, y se define por:
{(x, y) | x ∈ A y y ∈ B}
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2A, es el conjunto potencia de A y define por:
{x | x ⊆ A}
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Relaciones
Una relación binaria R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto
cartesiano entre A y B, es decir, R ⊆ A × B.
Si el par (a, b) ∈ R, normalmente se acostumbra a decir que
aRb.
Si (a, b) 6∈ R, entonces decimos que (a, b) 6∈ R (o a 6 Rb).
Definición 1. Una relación binaria R sobre un conjunto A es un subconjunto
de A × A.
Nos interesarán algunas propiedades de las relaciones.
Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. R podrı́a tener alguna de las
siguientes propiedades:
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Refleja: R es refleja si y sólo si:
aRa, para todo a ∈ A.
Simetrı́a: R es simétrica si y sólo si:
aRb entonces bRa, para todo a, b ∈ A.
Asimetrı́a: R es asimétrica si y sólo si:
aRb entonces b 6 Ra, para todo a, b ∈ A.
Antisimetrı́a: R es antisimétrica si y sólo si:
aRb y bRa implica que a = b, para todo a, b ∈ A.
Transitividad: R es transitiva si:
aRb y bRc implica que aRc, para todo a, b, c ∈ A.
Una relación de equivalencia es una relación simétrica, refleja y transitiva.
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Clausuras de Relaciones
Si P representa una propiedad o una colección de propiedades de relación,
entonces, la clausura-P de una relación binaria R sobre un conjunto A, es el
subconjunto más pequeño de A × A, que cumple la propiedad y que contiene a
R.
Normalmente, la clausura refleja y transitiva de una relación R sobre un conjunto
cualquiera A, se anota como R∗ y se puede construir a partir de R siguiendo las
siguientes reglas:
•
•
•
•
Si (a, b) ∈ R, entonces (a, b) ∈ R∗
(a, a) ∈ R∗, para todo a ∈ A.
Si (a, b) ∈ R∗ y (b, c) ∈ R∗, entonces (a, c) ∈ R∗.
Nada más pertenece R∗
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Sea
R = {(1, 3), (1, 1), (1, 4), (3, 2)},
definida sobre S = {1, 2, 3, 4}. Siguiendo las reglas de construcción de arriba se
obtiene que:
R∗ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3),
(1, 2), (1, 4), (3, 2)}.
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Conjuntos Infinitos
No tiene mucho sentido hablar del “tamaño” de un conjunto infinito.
Sin embargo, es razonable cuestionarse algunas cosas. Como por ejemplo:
¿Hay más racionales que naturales?
¿Son más los múltiplos de 2 que los de 4?
¿Quienes son más, los reales o los naturales?
Para poder comparar tamaños de conjuntos infinitos se de define la noción de
equinumeroso, con la idea intuitiva que dos conjuntos equinumerosos tienen “la
misma” cantidad de elementos.
Definición 2. [Conjuntos equinumerosos] Dos conjuntos A y B son equinumerosos si es que es posible definir una función biyectiva
f :A→B
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Ejemplo: El conjunto de múltiplos de 2 y el de múltiplos de 4 son equinumerosos.
La función biyectiva está dada por:
f (2k) = 4k.
Ejercicio: Demuestre que Z y N son equinumerosos.
Ejercicio: Demuestre N y N × N son equinumerosos.
Si A es un conjunto infinito, entonces se dice que A es contable si es que A y
N son equinumerosos.
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Conjuntos incontables
Hay muchos conjuntos que son incontables.
El ejemplo más clásico es el caso de 2N (Teorema de Cantor).
Demostración: En efecto, supongamos que 2N es contable. Esto significa que
los elementos de 2N pueden ser enumerados como:
2N = {S0, S1, S2, . . .}
Si esta construcción es válida entonces podrı́amos formar el siguiente conjunto:
D = {n ∈ N | n 6∈ Sn}
Debido a que D es un conjunto de naturales entonces deberı́a ser igual a Sk para
algún k.
La pregunta que nos hacemos es ¿k ∈ D?
Sólo hay dos posibilidades:
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1. Supongamos que la respuesta es sı́. Entonces k ∈ Sk , pero por la definición de
D, k 6∈ D, es decir k 6∈ Sk . VW
2. Supongamos que la respuesta es no. Entonces k 6∈ Sk y luego, dado que la
propiedad de D se verifica, tenemos que k ∈ D y por lo tanto k ∈ Sk . VW.
Podemos concluir que tal enumeración para 2N no existe y por lo tanto 2N es
incontable.
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Inducción
El principio de inducción matemática es esencial para demostrar propiedades de
los números naturales.
Sin embargo, este principio se puede usar en general para demostrar cualquier
propiedad de conjuntos de elementos que se pueden construir inductivamente.
Nos referiremos al principio de inducción en los naturales y a definciones inductivas.
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Inducción en los Naturales
Sea P (n) una propiedad acerca de un número natural arbitrario n, por ejemplo:
n
X
i=0
i=
n(n + 1)
2
Si se logra establecer:
1. P (0). (caso base)
2. Si se cumple P (n) implica que se cumple P (n+1), para n ≥ 1 (paso inductivo).
Una vez demostrados estos dos puntos, es posible concluir que la P (n) se cumple
para cualquier natural n.
Ejercicio: Demuestre que
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Pn
i=0 i =
n(n+1)
.
2
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El principio de inducción completa establece que para demostrar una propiedad
P sobre los naturales, basta con demostrar:
1. P (0). (caso base)
2. Si se cumple P (0), P (1), . . . , P (n) implica que se cumple P (n+1), para n ≥ 1
(paso inductivo).
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Definiciones Inductivas
Las definiciones inductivas están inspiradas en el principio de inducción.
Para definir una función (o propiedad) en forma inductiva se definen los casos
básicos y luego los casos inductivos.
En el caso básico se define la función (o propiedad) para los entes u objetos más
simples1.
El (o los) casos inductivos tienen como caracterı́stica que las definiciones de la
función (propiedad) de un ente se hace en función de el valor de la función
(propiedad) para entes más sencillos.
La siguiente es una definición inductiva para la función factorial sobre los
naturales:
(
1
si n = 0
f act(n) =
n · f act(n − 1) en otro caso
1
Los que no se definen en términos de otros
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La serie de los números de Fibonacci también se puede definir de esta manera:


0
fn = 1


fn + fn−1
si n = 0
si n = 1
en otro caso
El principio de inducción es especialmente adecuado para demostrar propiedades
de funciones definidas en forma inductiva.
Ejemplo: Demuestre que
fn2 = fn−1 · fn+1 + (−1)n+1,
para todo natural n ≥ 1
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Grafos
Un grafo finito no dirigido G = (V, E) es un par formado por:
• V : Un conjunto de vértices, o nodos.
• E: Un conjunto de pares no ordenados de vértices llamados aristas, o arcos.
Ejemplo:
V = {1, 2, 3, 4}
E = {(i, j) | |i − j| = 1 o i = j}
Corresponde a la siguiente representación gráfica:
1
2
3
4
Un camino en un grafo G = (V, E) es una secuencia de vértices v1, v2, . . . , vn
tal que cada par (vi, vi+1) ∈ E para cada 1 ≤ i < n.
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Un grafo dirigido es un grado en el cual las aristas tienen un sentido.
Formalmente, es un par (V, E) donde
• V es un conjunto de vértices.
• E es un conjunto de pares ordenados de elementos de V .
Ejemplo:
V = {1, 2, 3, 4}
E = {i → j | i − j = 2 o i = j}
Si el arco u → v ∈ E, entonces se dice que u es el antecesor de v y que u es el
sucesor de v.
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Árboles
Un árbol es un tipo especial de grafo dirigido, que cumple las siguientes propiedades:
1. Hay un nodo v que no tiene predecesores y desde el cual hay un camino a cada
nodo del grafo. (Tiene una raı́z ).
2. Exceptuando a la raı́z, cada vértice tiene exactamente un predecesor. (Un nodo
tiene a lo más un padre).
En la jerga de árboles, se acostumbra decir padre en vez de antecesor e hijo en
vez de sucesor.
Adicionalmente, se puede suponer que los hijos de un mismo nodo están ordenados
de izquierda a derecha.
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Símbolos, Alfabetos y Palabras
Un sı́mbolo es una entidad abstracta que no definiremos formalmente. Una
definción del diccionario de la RAE:
Tipo de abreviación de carácter cientı́fico o técnico, constituida por signos no alfabetizables o por letras, y que difiere de la abreviatura en carecer
de punto
Los sı́mbolos que utilizaremos en este curso son dı́gitos y letras.
Un alfabeto es un conjunto finito de sı́mbolos.
Ejemplos:
Alfabeto binario = {0, 1}
Alfabeto romano = {a, b, c, d, e, . . .}
Alfabeto griego = {α, β, γ, δ, . . .}
Frecuentemente, usaremos la letra Σ para referirnos a alfabetos.
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Una palabra es una secuencia finita de sı́mbolos yuxtapuestos de algún alfabeto.
La palabra ε es una palabra con 0 sı́mbolos. Se acostumbra llamarla palabra
vacı́a
El conjunto de las palabras sobre un alfabeto Σ puede ser definido por:
• ε es una palabra.
• Si w es una palabra, entonces wa es una palabra, para todo a ∈ Σ.
Ejercicio: Demuestre que aba es una palabra sobre Σ = {a, b, c}.
Un lenguaje formal sobre un alfabeto Σ es un conjunto (posiblemente infinito)
de palabras sobre Σ.
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Por ejemplo, si Σ = {a, e, i, o, u}, los siguientes son lenguajes:
L1 = {auu, eae, a}
L2 = ∅
L3 = {ε, a, oa}
Es importante notar la diferencia entre los lenguajes ∅ y {ε}.
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Convenciones
Frecuentemente usaremos letras para designar tanto a sı́mbolos como palabras.
Para distinguirlos usamos las siguientes convenciones:
• Las letras minúsculas a, b, c y d serán usadas normalmente para designar
sı́mbolos.
• Las letras minúsculas u, v, w, x, y, z y w son usadas para designar palabras.
• Las letras mayúsculas L, R y S son usadas para designar lenguajes.
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Largo
El largo de una palabra w corresponde al número de sı́mbolos que ésta tiene y se
anota como |w|.
Ejemplo: |abaco| = 5.
Podemos definir inductivamente la función largo por:
• |ε| = 0,
• |wa| = 1 + |w|, donde w es una palabra.
Ejercicio: Usando la definición, demuestre que |abaco| = 5
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Concatenación
Es posible concatenar dos palabras a través de la operación de concatenación ◦.
De esta manera, si w1 = ca y w2 = sa,
w1 ◦ w2 = casa
La función de concatenación se puede definir inductivamente mediante:
• x ◦ ε = x, para toda palabra x.
• x ◦ wa = (x ◦ w)a, donde a es un sı́mbolo y x y w son palabras.
Ejemplo: Demuestre que ε ◦ x = x.
Hacemos la demostración por inducción en el largo de x.
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• Caso base. x = ε (|x| = 0).
ε◦x=ε◦ε
=ε
(por definición de largo)
=x
• Paso inductivo. Supongamos que la propiedad se cumple para toda palabra
w, de largo k. Demostraremos que, entonces, la propiedad se cumple para
cualquier palabra de largo k + 1.
(Hipótesis inductiva: ε ◦ w = w.)
Demostración:
ε ◦ wa = (ε ◦ w)a
(por definición de concatenación)
= wa
(por hipótesis inductiva)
Ejercicio: Demuestre que |x ◦ y| = |x| + |y|.
Ejercicio: Demuestre que (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).
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Reverso
Frecuentemente interesa obtener el reverso de una palabra w.
El reverso de una palabra w, escrito por wr , es una palabra que contiene los
mismos elementos que w, pero con los sus sı́mbolos en secuencia inversa.
La función reverso se define de la siguiente manera:
• εr = ε.
• (xa)r = axr , donde a ∈ Σ y x es una palabra sobre Σ.
Ejercicio: Demuestre que (x ◦ y)r = y r ◦ xr .
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Concatenación de Lenguajes
También es posible definir la función de concatenación para lenguajes.
De esta manera:
L1 ◦ L2 = {x ◦ y | x ∈ L1, y ∈ L2}
Por ejemplo, si L1 = {aa, bda, } y L2 = {a, bb},
L1 ◦ L2 = {aaa, aabb, bdaa, bdabb, a, bb}
Nótese que L ◦ ∅ = ∅ y que L ◦ {ε} = L (¿por qué?).
La notación Li se ocupa para denotar al lenguaje que resulta de la concatenación
de L i veces consigo mismo.
Li se puede definir inductivamente por:
L0 = {}
Li+1 = Li ◦ L
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Clausura de Kleene
La clausura de Kleene de un lenguaje L, que se anota como L∗, está definida
por,
∞
[
L∗ =
Li.
i=0
Ejemplo: Si L = {a},
L∗ = {ε, a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, . . .}
Si L = {0, 1},
L∗ = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . .}
Generalizando, si Σ es un alfabeto cualquiera, entonces Σ∗ es el conjunto de
todas las palabras sobre Σ.
Normalmente, se utiliza la notación L+ como una abreviación de L ◦ L∗.
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Sufijos, Prefijos y Subpalabras
Una palabra x es prefijo de una palabra w, si existe una palabra y tal que
xy = w.
Una palabra x es prefijo propio de una palabra w, si existe una palabra y, con
|y| > 0 tal que xy = w.
Una palabra x es sufijo de una palabra w, si existe una palabra y tal que yx = w.
Una palabra x es sufijo propio de una palabra w, si existe una palabra y, con
|y| > 0 tal que yx = w.
Una palabra y es subpalabra de una palabra w, si existen palabras x y z tales
que xyz = w.
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