Clase 16

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 16
(19 mar. 2012)
Circulación en el espacio y el Teorema de Stokes
1.– Circulación de un campo en el espacio. 2.– Campos conservativos y el Teorema Fundamental de las integrales de
lı́nea. 3.– Condición necesaria para que un campo en el espacio sea un gradiente. 4.– Cálculo de la función potencial
usando integrales de lı́nea. 5.– Cálculo de la función potencial por cálculo de primitivas. 6.– Rotacional de un campo
en el espacio. 7.– Teorema de Stokes.
1 Circulación de un campo en el espacio.
Las integrales de lı́nea en el espacio se definen igual y se calculan igual que en el plano, excepto que en el
espacio tenemos una coordenada más. La mayor diferencia que encontraremos respecto al plano será en la
condición necesaria para que un campo sea un gradiente.
Supongamos que tenemos un campo F = (M, N , P), y queremos calcular su circulación a lo largo de
un camino C. Entonces tenemos que calcular la integral
Z
F · dr.
C
En esta expresión, dr es un vector de componentes
dr = (dx, dy, dz)
y por tanto tenemos que calcular
Z
C
F · dr =
Z
C
M dx + N dy + P dz.
Pero esto es aún una integral de lı́nea y por tanto aún tenemos que convertirla en una integral definida
corriente. Para ello usamos el mismo método que en el plano, es decir:
1. Buscar alguna forma de parametrizar el camino C, lo cual significa expresar las coordenadas x, y, z
en términos de una única variable,
2. Calcular dx, dy, dz,
3. Expresar M, N , P, en términos de esa única variable, y finalmente
4. Integrar respecto a esa única variable.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 1
Supongamos que queremos calcular la circulación del campo F = (yz, x z, x y) a lo largo de la curva C:
x = t 3 , y = t 2 , z = t para t variando entre cero y uno, lo cual nos llevará desde el origen hasta el punto
(1, 1, 1). Entonces:
1.
2.
3.
4.
La parametrización ya nos la dan.
Calculamos dx = 3t 2 dt, dy = 2t dt, dz = dt.
Expresamos M = yz = t 2 t = t 3 , N = t 3 t = t 4 , P = t 3 t 2 = t 5 , y finalmente
Integramos:
Z
C
F · dr =
Z
C
M dx + N dy + P dz =
Z
1
0
1
t 3 · 3t 2 dt + t 4 · 2t dt + t 5 dt =
Z
0
1
6t 5 dt = 1.
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Si el camino nos lo dan descrito geométricamente o de otra forma, entonces la parametrización tenemos
que buscarla nosotros. Por ejemplo, el camino del ejemplo anterior se podrı́a haber dado como la curva de
ecuaciones x = z 3 , y = z 2 . Entonces nosotros elegirı́amos como parámetro la variable z y expresarı́amos
la curva como x = t 3 , y = t 2 , z = t.
Ejemplo 2
Supongamos que queremos calcular la circulación del mismo campo desde el origen hasta el punto (1, 1, 1)
pero yendo a lo largo del camino compuesto por los segmentos rectilı́neos C1 , C2 y C3 que van: C1 de
(0, 0, 0) a (1, 0, 0), luego C2 de (1, 0, 0) a (1, 1, 0), y finalmente C3 de (1, 1, 0) a (1, 1, 1).
En este caso tenemos que calcular una integral de lı́nea a lo largo del camino C 0 = C1 + C2 + C3 y por
tanto tomará la forma
Z
Z
Z
Z
=
+
+
C0
C1
C2
C3
En C1 es y = 0, con lo cual dy = 0, y también z = 0 y dz = 0 con lo cual:
Z
Z
M dx + N dy + P dz =
yz dx = 0.
C1
C1
En C2 es x = 1, con lo cual dx = 0, y z = 0, dz = 0 con lo cual:
Z
Z
M dx + N dy + P dz =
x z dy = 0.
C2
C2
En C3 es x = 1, con lo cual dx = 0, y también y = 1 y dy = 0 con lo cual:
Z
C3
M dx + N dy + P dz =
Z
C3
x y dz =
Z
0
1
dz = 1.
Ası́ que la circulación es
Z
C0
M dx + N dy + P dz = 0 + 0 + 1 = 1.
2 Campos conservativos y el Teorema Fundamental de las integrales
de lı́nea.
Vemos que por el camino del ejemplo 2 la circulación desde el origen hasta el punto (1, 1, 1) es igual que
por el camino del ejemplo 1. Esto no es casualidad ya que el campo dado es un gradiente:
r(x yz) = (yz, x z, yz),
ası́ que el campo es conservativo y por tanto la circulación de un punto a otro es independiente del camino.
Al igual que ocurrı́a en el plano, se cumple el siguiente teorema:
Teorema 1 (Teorema Fundamental de las integrales de lı́nea) Si C es un camino orientado desde el
punto P1 hasta el punto P2 y f (x, y, z) es un campo escalar diferenciable en todos los puntos de C
entonces:
Z
r f · dr = f (P2 ) f (P1 ).
C
3 Condición necesaria para que un campo en el espacio sea un gradiente.
La condición necesaria para que un campo vectorial en el espacio sea un gradiente es algo más complicada
que en el caso del plano porque ahora tenemos que comprobar tres condiciones.
2
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Para cada par de componentes (sean la i y la j) las derivadas parciales cruzadas deben ser iguales (la
parcial de la componente i respecto a la variable j igual a la parcial de la componente j respecto a la
variable i)
Supongamos que F = r f , entonces
F=
⇣@ f @ f @ f ⌘
,
,
@ x @ y @z
y se cumplen las siguientes identidades:
@ @f
@ @f
=
,
@x @y
@y @x
@ @f
@ @f
=
,
@ x @z
@z @ x
@ @f
@ @f
=
@z @ y
@ y @z
Esto significa que para que F = (M, N , P) sea un gradiente es condición necesaria que se cumplan:
@N
@M
,
=
@x
@y
@P
@M
,
=
@x
@z
@N
@P
.
=
@z
@y
Ejemplo 3
Averiguar para qué valores de a y b el campo F(x, y, z) = (ax y, x 2 + z 3 , byz 2
necesaria para ser un gradiente.
4z 3 ) cumple la condición
Primeramente escribimos las condiciones necesarias, lo que nos proporcionará un sistema de ecuaciones:
@(x 2 + z 3 )
@ax y
=
,
@x
@y
2x = ax ,
@(byz 2 4z 3 )
@(ax y)
=
,
@x
@z
@(x 2 + z 3 )
@(byz 2 4z 3 )
=
@z
@y
3z 2 = bz 2 .
0 = 0,
Buscamos todas las soluciones del sistema resultante, que en este caso son simplemente a = 2 y b = 3 y
esto nos permite afirmar que si a no es 2 o b no es 3, entonces el campo F no es un gradiente.
La única posibilidad para que F sea un gradiente es que sea
F(x, y, z) = (2x y, x 2 + z 3 , 3yz 2
4z 3 )
y la única cuestión que nos queda es averiguar si efectivamente existe un potencial para F, es decir, una
función f (x, y, z) tal que F = r f . Esto se puede resolver por los mismos métodos que en el caso del
plano (ver la clase 7).
4 Cálculo de la función potencial usando integrales de lı́nea.
El primer método es practicamente igual en dificultad al correspondiente método en el plano, aunque con
una coordenada más. Se deriva del Teorema Fundamental de las integrales de lı́nea ya que si F = r f
entonces para cualquier camino C desde (0, 0, 0) a (x, y, z) se cumple:
Z
Z
F · dr = f (x, y, z) f (0, 0, 0) , o f (x, y, z) = f (0, 0, 0) +
F · dr.
C
C
Esto define una función potencial para F, pero como a una función potencial se le puede sumar cualquier
constante sin que deje de ser una función potencial, también la función
Z
g(x, y, z) =
F · dr
C
es una función potencial para F. Para calcular la integral de lı́nea podemos usar cualquier camino que vaya
desde (0, 0, 0) hasta (x, y, z), siendo los más socorridos el segmento rectilı́neo que une esos dos puntos y
la poligonal usada más arriba compuesta por los segmentos rectilı́neos C1 , C2 y C3 que van: C1 de (0, 0, 0)
a (1, 0, 0), luego C2 de (1, 0, 0) a (1, 1, 0), y finalmente C3 de (1, 1, 0) a (1, 1, 1).
3
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5 Cálculo de la función potencial por cálculo de primitivas.
El segundo método es un poco más complicado que su análogo en el plano. Veamos cómo funciona
hallando una función potencial para el campo que vimos antes:
F(x, y, z) = (2x y, x 2 + z 3 , 3yz 2
1. Integramos M respecto a x:
R
4z 3 ).
2x y dx = x 2 y .
2. Derivamos el resultado respecto a y:
@x2 y
@y
= x 2 y lo obtenido lo restamos de N : x 2 + z 3
x 2 = z3.
3. Si el resultado es 0 hay que omitir los pasos 2 y 3 e ir al paso 4 con el resultado del paso 1. Si no es
R
cero, lo integramos respecto a y: z 3 dy = z 3 y .
4. Derivamos el resultado respecto a z:
3z 2 y = 4z 3 .
@z 3 y
@z
= 3z 2 y y lo obtenido lo restamos de P: 3yz 2
5. Si el resultado es 0, hemos terminado. Si no lo es, lo integramos respecto a z:
6. El potencial es la suma de las cajas que hayamos obtenido.
f (x, y, z) = x 2 y + z 3 y
R
4z 3 dz =
4z 3
z4 .
z4
Por último, conviene calcular el gradiente como comprobación.
6 Rotacional de un campo en el espacio.
Al igual que en el plano, el rotacional es una cantidad que mide lo lejos que un campo está de ser conservativo, o también, lo lejos que está de cumplir la condición necesaria para ser un gradiente.
Como la caracterı́stica de un campo conservativo es que su circulación a lo largo de cualquier camino
cerrado es cero, la cantidad que mide en cada punto lo lejos que un campo está de ser conservativo es
justamente la circulación del campo a lo largo de una curva cerrada como, po ejemplo, una circunferencia
con centro en ese punto. Si esta circulación no es cero para una circunferencia particular cuyo radio tiende
a cero, el campo “rota” alrededor del punto dado y no es conservativo. En cambio si la circulación es cero
para toda circunferencia, el campo no rota y es conservativo. Este enfoque tiene la ventaja de darnos la idea
fı́sica e intuitiva de rotacional, aunque tiene la desventaja de ser un poco dificil de definir rigurosamente.
Otra forma de definir la cantidad que mide en cada punto lo lejos que un campo está de cumplir la condición necesaria para ser un gradiente es mediante el vector cuyas tres componentes son las tres diferencias
que tienen que ser cero cuando se cumple la condición necesaria (si ese vector es cero, el campo es un
gradiente, si no lo es, no es un gradiente), es decir:
@P
@y
@N
,
@z
@M
@z
@P
,
@x
Ası́ que definimos el rotacional como el vector:
⇣@ P
@N @M
rot F =
,
@y
@z @z
@N
@x
@M
.
@y
@M ⌘
.
@y
@P @N
,
@x @x
La forma más sencilla de recordar esta definición es utilizar el operador nabla, r, y observar que esas tres
componentes son las del “producto vectorial”
0
1
i
j
k
B
C
@
@ C
B@
rot F = r ⇥ F = det B
C.
@ @ x @ y @z A
M
N
P
Lo más importante que se debe recordar es que el rotacional está definido de tal forma que la condición
necesaria para que un campo vectorial sea un gradiente es que su rotacional sea cero:
La condición necesaria para que un campo F sea un gradiente es rot F = 0.
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7 Teorema de Stokes.
Teorema 2 (Teorema de Stokes) Si F es un campo vectorial definido y diferenciable en una región del
espacio y S es una superficie orientada en esa región cuyo borde es una curva cerrada C orientada de
forma compatible con la orientación de S, entonces la circulación de F a lo largo de C es igual al flujo del
rotacional de F a través de la superficie S:
I
ZZ
F · dr =
rot F · dS.
C
S
Ejemplo 4
Supongamos que queremos hallar la circulación del campo F(x, y, z) = (z, x, y) a lo largo del cı́rculo
unitario del plano x y. Podemos hacerlo calculando una integral de lı́nea:
Z
C
z dx + x dy + y dz =
Z
C
x dy =
Z
2⇡
0
cos ✓ · cos ✓ d✓ = ⇡.
El resultado es que la circulación es igual a ⇡.
Pero por el teorema de Stokes también podemos hacerlo hallando el flujo del rotacional de F a través de
una superficie cualquiera que tenga como borde la circunferencia C. Por ejemplo, podemos coger el cı́rculo
de esa circunferencia, pero por hacer más interesante el ejercicio vamos a coger la superficie definida por
z = 1 x 2 y 2 , que es la gráfica de la función f (x, y, z) = 1 x 2 y 2 .
Calculamos el rotacional: rot F =
@y
@y
@x
@z
@y
@x
, @z
@z
, @@ xx
@z
@y
= (1, 1, 1).
RR
@f
Calculamos el flujo del rotacional: S (1, 1, 1) ·
, @@ yf , 1 dx dy = S (1 + 2x + 2y)dx dy =
@
x
RR
RR
RR
RR
RR
S dx dy + 2 S x dx dy + 2 S y dx dy = ⇡ + 2 S r cos ✓r dr d✓ + 2 S r sen ✓r dr d✓ = ⇡ + 0 + 0 = ⇡.
RR
El flujo del rotacional es ⇡.
Una importante consecuencia de este teorema es que si en la región de definición de F hay dos superficies que tienen el mismo borde, entonces la integral de superficie del rotacional de F sobre una de ellas es
igual que sobre la otra (puesto que ambas son iguales a la misma circulación).
El Teorema de Green es un caso particular del Teorema de Stokes.
Consideremos el caso particular del teorema de Stokes en que la superficie S es una región del plano x y
limitada por la curva C que orientamos en sentido antihorario, lo cual hace que la orientación compatible
de S sea la dada por el vector unitario k = (0, 0, 1). Si F = (M, N , P) es un campo definido en S
entonces, por un lado, la circulación de F a lo largo de C no depende de la componente z de F ya que ésta
es perpendicular a C. Por otro lado, el flujo del rotacional de F a través de S sólo depende de la componente
z del rotacional, la cual a su vez sólo depende de las componentes x e y de F. En consecuencia, en este
caso el teorema de Stokes se reduce al teorema de Green.
La observación anterior puede usarse para, a partir del teorema de Green, demostrar el teorema de
Stokes en el caso de una superficie plana. Para ello basta hacer un cambio de coordenadas tal que en las
nuevas coordenadas la superficie esté en el plano x y.
El Teorema de Stokes se deduce de una superposición de casos planos.
Una forma de demostrar el teorema de Stokes a partir del teorema de Green, usando las observaciones
anteriores, consiste en dividir la superficie dada en pequeños rectángulos que se puedan aproximar suficientemente bien por regiones planas y aplicar en cada uno de ellos el teorema de Green. Entonces, por
un lado, por la definición de integral de superficie, la suma de todas las integrales del rotacional en los
distintos rectángulos será igual a la integral del rotacional en toda la superficie y por otro lado, debido a
las cancelaciones de circulación que tienen lugar al sumar las circulaciones en los rectángulos interiores a
la superficie, la suma de todas esta circulaciones (que es igual a la integral de superficie del rotacional) es
igual a la circulación del campo a lo largo del borde de la superficie.
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