Respuestas de la tarea 13 en formato pdf

1
Corrección Tarea 13
1. Los campos son
~ = (Ex , Ey , Ez )
E
~ 0 = (E 0 , E 0 , E 0 )
E
x
y
z
~ = (Bx , By , Bz )
B
~ 0 = (B 0 , B 0 , B 0 )
B
x
y
z
Supongamos que el referencia prima se mueve en la dirección ı̂ con velocidad v relativa
al sistema no primado, con sus ejes paralelos a los del sistema no primado; entonces las
ecuaciones para las transformaciones del campo son
Ex0 = Ex
Ey0 = γ(Ey − βBz )
Ez0 = γ(Ez + βBy )
Bx0 = Bx
By0 = γ(By + βEz )
Bz0 = γ(Bz − βEy )
Las componentes de los campos en el sentido del movimiento son iguales en los dos
sistemas de referncia debido a que la contracción del espacio se compensa exactamente
con la dilatación del tiempo en esa dirección. Entonces
a)
~0 · B
~ 0 = Ex0 Bx0 + Ey0 By0 + Ez0 Bz0
E
= Ex Bx + γ 2 (Ey − βBz )(By + βEz ) + γ 2 (Ez + βBy )(Bz − βEy )
= Ex Bx + γ 2 (1 − β 2 )Ey By + γ 2 (1 − β 2 )Ez Bz
= Ex Bx + Ey By + Ez Bz
Que es igual a
~0 · B
~0 = E
~ ·B
~
E
b)
~ 0 |2 − |B
~ 0 |2 = E 0 2 + E 0 2 + E 0 2 − B 0 2 − B 0 2 − B 0 2
|E
z
y
x
z
y
x
= Ex2 + γ 2 (Ey − βBz )2 + γ 2 (Ez + βBy )2 −
− Bx2 − γ 2 (By + βEz )2 − γ 2 (Bz − βEy )2
= Ex2 + γ 2 (1 − β 2 )Ey2 + γ 2 (1 − β 2 )Ez2 −
− Bx2 + γ 2 (−1 + β 2 )By2 + γ 2 (−1 + β 2 )Bz2
= Ex2 + Ey2 + Ez2 − Bx2 − By2 − Bz2
Lo que es igual a
~ 0 |2 − |B
~ 0 |2 = |E|
~ 2 − |B|
~ 2
|E
2
Si el sistema de referencia se moviera en otra dirección, por ejemplo k̂, las ecuaciones
de transformación cambiarı́an (en este caso Ez = Ez0 y Bz = Bz0 ) pero los dos escalares
siguen siendo invariantes.
2.
a) El momento dipolar de la primera distribución (el triángulo) es,
Z
p~ =
r~0 ρdv 0
En este caso tenemos cargas puntuales, luego la integral pasa a ser una sumatoria,
p~ =
X
~ri ρi
Si colocamos el origen del sistema de coordenadas en el centro del triángulo se tiene,
√
d
d
3d
p~ = qx̂ − qx̂ −
2q ŷ
2
2
2
Finalmente el momento dipolar es,
√
p~ = − 3dq ŷ
3. Para la segunda distribución, hacemos lo mismo que en el caso anterior, eligiendo esta
vez, el origen del sistema de coordenadas en el centro del cuadrado y en forma diagonal.
√
√
√
√
2d
2d
2d
2d
p~ = −
2q ŷ +
2q ŷ +
2qx̂ −
2qx̂
2
2
2
2
Finalmente el momento dipolar del cuadrado es,
p~ = 0