2. Trayectorias y conexidad

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Trayectorias y conexidad
Trayectorias y conexidad
Una trayectoria es una gráfica P = (V, E) no vacı́a de la forma V =
{x0 , x1 , . . . , xk } E = {x0 x1 , x1 x2 , . . . , xk−1 xk }, donde los vértices xi son distintos. Los vértices x0 y xk son conexos por P . Uno puede denotar una trayectoria
por la secuencia de sus vértices: P = x0 x1 . . . xk . P es una trayectoria de x0 a
xk de longitud k.
Si P = x0 , . . . , xk−1 es una trayectoria y k ≥ 3, entonces la gráfica C =
P + xk−1 xk es un ciclo. Los ciclos también se pueden escribir como C =
x0 . . . xk−1 x0 . La longitud de un ciclo es el número de sus aristas (o vértices).
Un ciclo de longitud k es un k-ciclo y se denota como Ck .
Si G contiene un ciclo, entonces la longitud mı́nima de un ciclo de una gráfica
G es el cuello g(G) de G; la longitud máxima de un ciclo es la circunferencia.
Una arista que junta dos vértices de un ciclo, pero no es parte del ciclo, es una
cuerda del ciclo. Un ciclo inducido de G es un ciclo de G sin cuerdas.
La distancia distG (x, y) en G entre dos vértices x, y es la longitud de una
trayectoria mas corta entre x y y; si no existe ninguna trayectoria, ponemos
distG (x, y) = ∞. La mayor distancia entre dos vértices de G es el diámetro
diam(G).
Una gráfica no vacı́a G es conexa si entre cualesquiera dos vértices existe
una trayectoria en G. Una subgráfica conexa máxima de G es una componente
de G.
Si A, B ⊆ V y X ⊆ V ∪ E son tales que cada trayectoria de A a B en G
contiene un elemento de X, entonces X separa los conjuntos A y B en G. Si X
separa dos vértices de G, entonces X separa G, y X es un conjunto separador.
Un vértice que separa (otros) dos vértices de una componente es un vértice de
corte. Una arista que separa sus vértices terminales es un puente.
G es k-conexa (para k ∈ N) si |G| > k y G − X es conexa para cualquier
conjunto X ⊂ V tal que |X| < k. Entonces una gráfica con al menos 2 vértices
es conexa si y solo si es 1-conexa, y una gráfica con al menos 3 vértices es 2conexa si y sólo si es conexa y no tiene un punto de corte. El entero máximo k
tal que G es k-conexa es la conexidad κ(G). Una subgráfica 2-conexa máxima
de G es un bloque de G.
Sea A el conjunto de vértices de corte de G, y sea B el conjunto de sus
bloques. La gráfica de bloques es la gráfica sobre A ∪ B con aristas aB si y solo
si a ∈ B.
Si |G| > 1 y G − F es conexa para cada conjunto F ⊆ E con menos de ℓ
aristas, entonces G es ℓ-conexa por aristas. El entero máximo ℓ tal que G es
ℓ-conexa es la conexidad por aristas λ(G).
Para cada gráfica con al menos dos vértices tenemos
κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G).
Árboles y bosques
a1
a2
B1
B2
B7
B2
a3
B3
B4
B5
a1
4
B7
a3
a2 B3
B1
B6
B4
B5
B6
Figura 1: Una gráfica y su gráfica de bloques
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Árboles y bosques
Una gráfica acı́clica (que no contiene ningún ciclo) es un bosque. Los componentes de un bosque son los árboles. Entonces un árbol es una gráfica conexa
acı́clica. Los vértices de grado uno de un árbol son las hojas.
Teorema 1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una gráfica T :
1. T es un árbol.
2. Entre cualesquiera dos vértices de T existe una única trayectoria.
3. T es conexa y para cualquier arista e ∈ E(T ) tenemos que T − e no es
conexa.
4. T es acı́clica y T + xy contiene un ciclo, para cualesquiera dos vértices
x, y ∈ V (T ) no adyacentes.
Figura 2: Un árbol
Demostración. Vamos a demostrar el ciclo de implicaciones (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒
(4) ⇒ (1).
Si T es un árbol, T es conexa, entonces por definición entre cualesquiera dos
vértices existe una trayectoria. Supongamos que existen dos trayectorias distintas P1 = x0 , x1 , . . . xℓ y P2 = x0 , y1 , . . . , yk , xℓ entre x0 y xℓ . Sea i + 1 el entero
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Árboles y bosques
mı́nimo tal que xi+1 6= yi+1 y sea j el entero mı́nimo tal que j ≥ i y yj+1 es un
vértice de P1 ; digamos yj+1 = xh . Entonces xi , xi+1 , . . . , xh , yj , yj−1 , . . . , yi+1 xi
es un ciclo en G, lo que es imposible. Eso demuestra (1) ⇒ (2).
Si entre cualesquiera dos vértices de T existe una trayectoria única, entonces
T es conexa. Si xy es cualquier arista de T , xy es la única trayectoria entre x y
y, entonces G − xy no es conexa. Eso demuestra (2) ⇒ (3).
Si T es conexa, entonces entre cualquier par de vértices x, y no adyacentes
existe una trayectoria P , entonces T +xy contiene el ciclo P +xy. Eso demuestra
(3) ⇒ (4).
Si T no es conexa sean x, y dos vértices en distintas componentes de T .
Entonces no existe ninguna trayectoria entre x y y, que implica G + xy no
contiene un ciclo. Eso demuestra (4) ⇒ (1).
Corolario 1. Toda gráfica conexa contiene un árbol generador.
Demostración. Sea G una gráfica conexa, y sea F ⊆ E(G) un conjunto de
aristas máximo tal que G − F es conexa. La gráfica G − F es un árbol por
Teorema 1(3).
Corolario 2. Un árbol de orden n tiene tamaño n − 1. Un bosque de orden n
con k componentes tiene tamaño n − k.
Demostración. Usamos inducción sobre el número n de vértices de T . Es trivial
para n = 1, y supongamos que n > 1. Sea xy una arista de T . T −xy no es conexa
por Teorema 1(3), y tiene 2 componentes T1 y T2 . T1 y T2 son árboles, porque
son conexas y no tienen ciclos. Por la hipótesis de inducción, V (Ti ) = E(Ti ) + 1
(i = 1, 2). Entonces
n = |V (T1 )| + |V (T2 )| = |E(T1 )| + 1 + |E(T2 )| + 1 = |E(T )| + 1,
y el resultado sale por inducción.
Si G es un bosque de orden n con k componentes T1 , . . . , Tk , entonces
|V (G)| =
k
X
i=1
|V (Ti )| =
k
X
(|E(Ti )| + 1) = |E(T )| + k,
i=1
como era necesario.
Proposición 1. La gráfica de bloques de una gráfica conexa es un árbol.
La demostración la dejamos como un ejercicio.