9 TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

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PA R A
E M P E Z A R
Señala cómo son los triángulos que aparecen en estas figuras según sus ángulos y sus lados.
1
a)
b)
c)
d)
60o
90o
60o
2
a) Rectángulo y escaleno.
c) Acutángulo y escaleno.
b) Obtusángulo y escaleno.
d) Acutángulo y equilátero.
Calcula el ángulo señalado con una xq.
a)
b)
x
90o
33o
90o
a) qx 33 90 ⇒ qx 57
3
x
61o
b) qx 61 90 ⇒ qx 29
Pitágoras nació en el año 569 a. C. y murió en Metaponto hacia el año 500 a. C. ¿Cuántos años vivió
Pitágoras?
Pitágoras vivió aproximadamente 69 años.
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T R I Á N G U L O S
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9.1 Razona si son verdaderas o falsas estas frases.
a) Un triángulo equilátero tiene dos lados iguales y otro desigual.
b) Un cuadrado es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales.
c) Un trapecio tiene solo dos lados paralelos.
a) Falso, los tres lados son iguales.
b) Falso, también el rombo tiene 4 lados iguales. El cuadrado además debe tener los 4 ángulos iguales.
c) Verdadero.
9.2 Identifica los triángulos y los cuadriláteros que aparecen en esta fotografía.
En la fotografía aparecen multitud de triángulos y cuadriláteros.
Cada una de las piezas que forman el mosaico es uno de ellos.
9.3 Tenemos un cuadrado construido con cuatro varillas
de igual longitud; si lo deformamos como muestra la
figura, ¿qué figura se obtiene?
Al deformar un cuadrado se obtiene un rombo, pues mantiene los 4 lados iguales, pero los ángulos dejan de ser iguales.
9.4 Se diseñan un triángulo isósceles, un triángulo rectángulo y un triángulo escaleno. Se traza una paralela a cada base y se obtiene un trapecio en cada figura.
¿Cómo se llama cada uno de los trapecios obtenidos?
Trapecio isósceles, trapecio rectángulo y trapecio escaleno.
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9.5 Dibuja, si es posible, los siguientes tipos de triángulos.
a) Rectángulo escaleno.
e) Obtusángulo escaleno.
b) Acutángulo isósceles.
f) Acutángulo equilátero.
c) Acutángulo escaleno.
g) Obtusángulo equilátero.
d) Obtusángulo isósceles.
c)
a)
e)
b)
f)
d)
Es imposible dibujar un triángulo obtusángulo equilátero, ya que si es equilátero, cada uno de los ángulos mide 60º y, por tanto, no
puede tener un ángulo obtuso.
9.6 Dibuja un cuadrado, un rombo, un rectángulo y un trapecio.
a) Traza las diagonales en los cuadriláteros anteriores.
b) Justifica en qué casos las diagonales se cortan perpendicularmente.
a)
b) Las diagonales se cortan perpendicularmente en el cuadrado y en el rombo. En el resto no se cortan perpendicularmente.
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9.7 Laura tiene dos varillas de 32 y 18 centímetros, respectivamente.
¿Puede construir un rombo, de forma que las varillas sean sus diagonales? En caso afirmativo, dibújalo.
18 cm
32 cm
Sí es posible.
9.8 Un terreno tiene forma de cuadrilátero, siendo tres de sus lados iguales, y el otro, doble de cada uno
de los anteriores.
Contesta si es posible que sea:
a) Un rectángulo.
b) Un trapecio.
c) Un trapezoide.
Es posible que sea un trapecio y un trapezoide, pero es imposible que sea un rectángulo, ya que tiene los lados iguales dos a dos.
9.9 ¿Existen varios trapecios con las medidas indicadas
en este anuncio?
Justifica tu respuesta con un dibujo.
BREVES
Parcela
con form
a de
trapecio
, de bas
es
25 y 20
metros
y
altura 10
metros.
Esos datos no dan lugar a un trapecio único. Veamos algunos ejemplos.
20 cm
10 cm
10 cm
20 cm
25 cm
25 cm
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Ejercicio resuelto
9.10 Dibuja un triángulo que tenga dos lados de 8 y 9 centímetros, respectivamente, y el ángulo comprendido
entre ellos mida 60.
Dibujamos sobre q
B 60 los lados de 8 y 9 centímetros. Uniendo los puntos que hemos obtenido, A y C, construimos el triángulo.
10 cm
20 cm
10 cm
20 cm
25 cm
25 cm
9.11 Construye un triángulo igual al ABC que tenga el lado a sobre la recta r.
cm
A
12
r
60o
B
a = 15 cm
C
Se elige un punto cualquiera de la recta r, sea el punto B, y se construye el punto C, siendo BC 15 cm.
Con un transportador en B llevamos un ángulo de 60.
A partir de B construimos el punto A, siendo BA 12 cm.
Uniendo los vértices A y C, obtenemos el triángulo ABC pedido.
A’
A
15
cm
r
60o
cm
12
12 cm
C’
60o
C
B’
B
a = 15 cm
9.12 Construye triángulos con los siguientes datos, teniendo en cuenta que el ángulo es el que está comprendido entre los lados.
a) 7 cm
b) 9,5 cm
c) 12 cm
75
120
60
b)
c)
75o
11
m
6c
4 cm
cm
a)
4 cm
6 cm
11 cm
120o
60o
9,5 cm
7 cm
12 cm
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9.13 Construye un triángulo igual al ABC que tenga el lado a sobre la recta r.
r
b
=
m
7c
8
c=
cm
A
a = 9 cm
C
B
Se elige un punto cualquiera de la recta r, sea el punto B, y se construye el punto C, siendo BC 9 cm.
Con un transportador en B trazamos un arco de circunferencia de radio 7 cm. Con un transportador en C trazamos un arco de
circunferencia de radio 8 cm. Uniendo los vértices A y C obtenemos el triángulo ABC pedido.
B’
A
A’
8 cm
B
a = 9 cm
C
C’
m
b
=
7c
8
9 cm
c=
cm
7 cm
9.14 Dibuja, con regla y compás, un triángulo cuyos lados midan 10, 8 y 9 centímetros, respectivamente.
Construimos el segmento AB 10 cm.
Haciendo centro en A y con un radio de 9 cm construimos un arco.
Haciendo centro en B y con un radio de 8 cm construimos un arco.
Sea C el punto de corte de los dos arcos.
El triángulo ABC es el triángulo pedido.
C
9 cm
A
8 cm
B
10 cm
9.15 Construye triángulos con los siguientes datos.
a) 8 cm
5 cm
8 cm
b) 11 cm
12 cm
13 cm
c) 4,5 cm
2,3 cm
3,9 cm
a)
b)
8 cm
5 cm
c)
12 cm
11 cm
2,3 cm
3,9 cm
4,5 cm
8 cm
13 cm
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9.16 Dibuja un triángulo que tenga un lado de 10 centímetros y los ángulos contiguos midan 40° y 60°.
Construimos el segmento BC 10 cm.
Haciendo centro en B llevamos un ángulo de 60.
Haciendo centro en C llevamos un ángulo de 40.
Unimos los lados de estos ángulos.
El triángulo ABC es el triángulo pedido.
A
60o
B
40o
C
10 cm
9.17 Construye un triángulo igual al ABC que tenga el lado a sobre la recta r.
A
r
C
60o
30o
a = 13 cm
B
Se elige un punto cualquiera de la recta r, sea el punto B, construimos el segmento BC 13 cm.
Haciendo centro en B llevamos un ángulo de 60.
Haciendo centro en C llevamos un ángulo de 30.
Unimos los lados de estos ángulos.
El triángulo ABC es el triángulo pedido.
C’
A
30o
A’
r
13
cm
60o
C
60o
30o
a = 13 cm
B
B’
9.18 Construye triángulos con los siguientes datos.
a) 12 cm
30
60
b) 10 cm
45
45
c) 9,2 cm
110
30
a)
b)
30o
c)
60o
45o
12 cm
45o
110o
30o
10 cm
9,2 cm
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9.19 Un equipo de jóvenes arqueólogos ha acotado una zona en la que han aparecido restos arqueológicos
romanos. Dibuja un plano del recinto triangular acotado, cuyos lados midan 7,5; 9 y 10,2 centímetros,
respectivamente.
7,5 cm
9 cm
10,2 cm
9.20 Una antena de telefonía móvil tiene 15 metros de altura y está fija al suelo perpendicularmente. Su
sombra mide 10 metros. Construye un triángulo que tenga las mismas medidas expresadas en centímetros.
15 cm
10 cm
9.21 En la descripción de un terreno se indica que tiene forma triangular y que la medida de sus lados es
2,3; 3,5 y 7 kilómetros, respectivamente. ¿Es posible que un triángulo tenga estas medidas? Si es así,
construye un triángulo que represente el terreno y cuyos lados midan 2,3, 3,5 y 7 centímetros, respectivamente.
No es posible, ya que en un triángulo cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos, y en nuestro caso: 7 2,3 3,5.
A
B
7 cm
2,3 cm
3,5 cm
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Rectas y puntos notables de un triángulo
9.22 Copia el triángulo ABC y traza sus alturas.
¿En qué punto se cortan las alturas?
B
C
A
El punto de corte de las alturas de un triángulo se llama
ortocentro.
B
C
A
B
9.23 Copia el triángulo ABC y traza sus medianas.
¿En qué punto se cortan las medianas?
A
B
C
A
C
El punto de corte de las medianas de un triángulo se llama
baricentro
Ejercicio resuelto
N
9.24 Dibuja una circunferencia que pase por tres puntos no alineados M, N y P.
Si unimos los puntos M, N y P, obtenemos el triángulo MNP. Las mediatrices de cada lado se cortan
en C, que es el centro de la circunferencia circunscrita. El radio será, por ejemplo, CM.
C
•
P
M
9.25 Copia el triángulo ABC y dibuja la circunferencia circunscrita.
B
A
C
B
A
C
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9.26 Halla el baricentro y el circuncentro en un triángulo equilátero. ¿Qué ocurre?
En un triángulo equilátero, las alturas y las mediatrices coinciden; en consecuencia, el baricentro y el circuncentro también coinciden.
9.27 Copia estos triángulos rectángulos y dibuja el ortocentro de cada uno de ellos.
a)
b)
c)
90o
d)
90o
90o
90❏
¿Dónde se encuentra el ortocentro en un triángulo rectángulo?
a)
b)
c)
90o
d)
90o
90o
El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.
90o
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9.28 Tres pueblos, A, B y C, están unidos por carreteras como muestra la figura. Se quiere construir un repetidor de televisión para mejorar la recepción de la señal.
¿Dónde deberá situarse para que se encuentre a la misma distancia de cada vértice?
O
El repetidor se deberá construir en el circuncentro O del triángulo ABC. Por tanto, se trazan las mediatrices de dos lados; el punto de corte de dichas mediatrices es el circuncentro, punto que equidista de los vértices del triángulo.
9.29 En un campamento con forma triangular se quiere construir un depósito de agua que se encuentre a
igual distancia de sus lados. ¿Dónde deberá situarse el depósito de agua?
El depósito de agua se deberá construir en el incentro del triángulo ABC. Trazamos las bisectrices de dos ángulos del triángulo;
el punto de corte de dichas bisectrices es el punto D incentro del triángulo. Este punto equidista de los lados del triángulo.
Teorema de Pitágoras
Ejercicio resuelto
9.30 Calcula cuánto mide la hipotenusa de este triángulo rectángulo.
Los catetos miden: b 6 cm
c 8 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras resulta:
a2 62 82 → a2 100 → a La hipotenusa mide 10 centímetros.
100
10
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9.31 Sobre los lados de un triángulo rectángulo se construyen cuadrados de áreas A1, A2 y A3.
a) Halla A3 si S1 60 cm2 y A2 91 cm2.
b) Calcula A1 si A2 64 cm2 y A3 80 cm2.
A3
a) A3 A1 A2 60 91 151 cm2
A1
b) A3 A1 A2 80 A1 64 ⇒ A1 = 16 cm2
A2
Ejercicio resuelto
9.32 Completa la siguiente tabla si a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y b y c, los catetos.
a
26
29
b
c
12
5
24
21
Si aplicamos el teorema de Pitágoras, resulta:
a2 122 52 → a 144 25 13
262 242 c2 → c 676 576 10
292 b2 212 → b =
841 441 20
9.33 Calcula la longitud de la hipotenusa en los siguientes triángulos.
a)
b)
6,4 cm
cm
4,8 cm
cm
54
72
a
a
a) a2 4,82 6,42 ⇒ a 64
8 cm
b) a2 722 542 ⇒ a 8 100 90 cm
9.34 Halla la medida del cateto desconocido en estos triángulos rectángulos.
a)
b)
1,5 mm
x
cm
cm
mm
72
54
2,2
a
a) x 2 2,22 1,52 ⇒ x 2,59
1,61 mm
b) x 2 3,52 2,82 ⇒ x 4,41
2,1 dm
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9.35 Calcula cuánto mide el lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos.
b)
5
2,
a)
65 cm
x
a) x 2 62 2,52 ⇒ x 39
x
cm
mm
6
mm
29,75
5,45 mm
b) x 2 652 392 ⇒ x 2 704 52 cm
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9.36 Aplicando el teorema de Pitágoras, comprueba si el triángulo ABC es equilátero.
C
AC 2 62 42 ⇒ AC 52
7 cm
Como la base mide 8 cm, el triángulo ABC no es equilátero.
6 cm
Calculamos la hipotenusa AC.
B
8 cm
A
9.37 ¿A qué distancia está el barco del faro?
x 2 2602 582 ⇒ x 70 964 266,39
El barco está a 266,39 metros del faro.
9.38 Una antena de telefonía móvil de 9,5 metros de altura produce una sombra de 5,7 metros. Halla la distancia desde el extremo superior de la antena al extremo de la sombra.
A
Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo ABC para hallar la hipotenusa a.
a2 9,52 5,72 ⇒ a 122,74
11,08
La distancia es de 11,08 metros.
9,5 m
B
a
5,7 m C
9.39 Para evitar la caída de un árbol enfermo de 17 metros,
se ha sujetado con dos cables de 25 y 21 metros, respectivamente, como muestra la figura.
a) Copia la figura y sitúa sobre ella los datos del enunciado.
b) ¿Cuál es la distancia de A a B?
a)
m
21
m
25
17 m
M
b) AM 2 252 172 336 m2 ⇒ AM 18,33 m
MB 2 212 172 152 m2 ⇒ MB 12,33 m
Por tanto, la distancia de A a B es: AB AM MB 18,33 12,33 30,66 m
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Reconocimiento de triángulos
Ejercicio resuelto
9.40 Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 11 centímetros, respectivamente. Averigua qué tipo de triángulo
es y dibújalo.
m
8c
6c
m
a 11 cm
b 6 cm
c 8 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras, resulta:
a2 112 121
b2 c2 62 82 100
Como 121 100, el triángulo es obtusángulo.
11 cm
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9.41 ¿Qué tipo de triángulos son los siguientes?
5
b)
8
12
cm
3 cm
cm
cm
a)
13
cm
m
7c
a) a2 132 169
52 122 169
El triángulo es rectángulo.
b) a2 82 64
72 32 55
El triángulo es obtusángulo.
Ejercicio resuelto
9.42 A partir del teorema de Pitágoras, reconoce los triángulos cuyas medidas son las siguientes.
a) 21, 72, 75 centímetros.
b) 32, 60, 69 metros.
c) 21, 28, 33 centímetros.
a) 752 5 625
b) 692 4 761
c) 332 1 089
722 212 5 184 441 5 625
602 322 3 600 1 024 4 624
212 282 441 784 1 225
Como 752 722 212, el triángulo es rectángulo.
Como 692 602 322, el triángulo es obtusángulo.
Como 332 212 282, el triángulo es acutángulo.
9.43 Reconoce el tipo de triángulo sabiendo que las medidas de sus lados, expresadas en metros, son las siguientes.
a) 102, 90, 48
b) 51, 68, 87
c) 60, 100, 91
a) Como 1022 902 482, se deduce que el triángulo es rectángulo.
b) Como 872 512 682, se deduce que el triángulo es obtusángulo.
c) Como 1002 602 912, se deduce que el triángulo es acutángulo.
9.44 El lado de un cuadrilátero mide 10 metros y su diagonal mide 13 metros. ¿Es un cuadrado?
Será un cuadrado si se verifica que 102 102 132
102 102 200
Como 102 102 132, no es un cuadrado.
132 169
9.45 Un alumno ha dibujado un triángulo cuyos lados miden 21, 72 y 74 centímetros, respectivamente. ¿Es
un triángulo rectángulo? Si no es así, ¿qué tipo de triángulo es?
Será rectángulo si se verifica que 742 722 212
742 5 476
Como 742 722 212, se deduce que el triángulo no es rectángulo y, en cambio, es acutángulo.
722 212 5 625
9.46 Las medidas del rombo vienen expresadas en metros.
Sabiendo que sus diagonales se cortan perpendicularmente, comprueba si, en efecto, son correctas las medidas de la figura.
59
32
Serán correctas las medidas si se verifica que 342 162 29,52
34
342 1 156
162 29,52 1 126,25
Como 342 162 29,52, se verifica que el triángulo ABC no es rectángulo; por tanto, las diagonales no se cortan perpendicularmente y, en consecuencia, el cuadrilátero dado no es un rombo.
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9.47 En una imprenta han impreso unas postales que miden 12 centímetros de largo y 9 centímetros de ancho. Si la diagonal mide 16 centímetros, ¿son rectangulares las postales?
Las postales serán rectangulares si se verifica que 162 122 92
162 256
122 92 225
Como 162 122 92, se deduce que el triángulo ABC no es rectángulo y, en consecuencia, el cuadrilátero ABCD no es rectángulo.
9.48 Una puerta mide 202 centímetros de alto y 72,5 centímetros de ancho. Al instalarla, el carpintero ve que
no encaja correctamente en el cerco. Mide la diagonal y obtiene 212 centímetros.
a) ¿Son posibles esas medidas?
b) ¿Cuánto debería medir la diagonal?
a) Serán posibles las medidas si se verifica que 212 2 2022 72,52
2122 44 944
2022 72,52 46 060,3
Como 2122 2022 72,52, se deduce que el triángulo ABC no es recto y, en consecuencia, el cuadrilátero ABCD no es rectángulo.
b) La diagonal debería medir: d 2 2022 72,52 46 060,3 ⇒ d 46 060,3
214,62 cm.
9.49 Luis está construyendo la maqueta de un avión. Una de las piezas tiene forma de triángulo isósceles y
en las instrucciones de construcción se indica que la medida de sus lados iguales es 15 centímetros.
a) ¿Cuánto debe medir el lado desigual para que el triángulo sea rectángulo?
b) Si el triángulo es obtusángulo, ¿cuánto medirá el lado mayor de la pieza?
a) Sea a el lado desigual, entonces se verifica que: a2 152 152 450 ⇒ a 21,21 cm.
b) Para que el triángulo sea obtusángulo, el lado mayor deberá ser mayor que el valor obtenido para a en el apartado anterior,
es decir, a 21,21 cm.
Cálculo de distancias
Ejercicios resueltos
9.50 Las medidas de las diagonales de un rombo son 16 y 12 metros, respectivamente. Calcula la medida del lado.
l 2 82 62 64 36 100
l 100
⇒ l 10
El lado del rombo mide 10 centímetros.
l
6m
8m
9.51 Halla la medida del lado que falta en el trapecio rectángulo de la figura.
El lado que falta mide lo mismo que el cateto b del triángulo rectángulo ABC.
Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene:
A
b2 52 32 25 9 16 ⇒ b El lado que falta mide 4 centímetros.
m
6 cm
5c
b
C 3 cm
B
16
4
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9.52 Los lados de un rectángulo miden 40 y 9 metros, respectivamente.
Halla la longitud de su diagonal.
d 2 402 92 ⇒ d 2 1 681 ⇒ d 41 m
9.53 Halla la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 7 metros.
Sea b la longitud del lado del cuadrado: b2 b2 72; 2b2 49; b2 24,5 ⇒ b 24,5
4,95 m
Ejercicio resuelto
9.54 El lado de un rombo mide 78 decímetros, y una de sus diagonales, 60 decímetros. Calcula la medida de
la otra diagonal.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC, se tiene:
782 302 b2
6 084 900 b2
b2 6 084 900
b2 5 184
B
78
30 dm
A
dm
C
b
b 5 184 72
Por tanto, la medida de la otra diagonal es: d 2 b 2 72 144
La otra diagonal mide 144 decímetros.
9.55 La diagonal de un rombo mide 24 metros, y su lado, 13 metros. Calcula la medida de la otra diagonal.
132 b2 122 ⇒ b2 25 ⇒ b 5
La diagonal mide 10 metros.
C 12 m
b
A
13
B
m
9.56 Averigua cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de 10 centímetros de lado.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:
h 10 5 75 ⇒ h 2
2
2
B
75
8,66 cm
h
10 cm
A 5 cm C
9.57 Los lados de un triángulo isósceles miden 5, 5 y 8 centímetros, respectivamente.
¿Cuánto mide su altura?
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:
h2 52 42 9 ⇒ h 3 cm
9.58 ¿Cuánto mide la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 12 centímetros?
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:
a2 122 62 108 ⇒ a 6 cm
9.59 ¿Cuál es la medida del lado a de este trapecio isósceles?
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:
a2 52 42 41 ⇒ a 41
6,40 cm
cm
a
12
108
10,39 cm
B
h
10 cm
A 5 cm C
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9.60 Las medidas de una piscina que tiene forma rectangular son 40 metros de largo y 9 metros de ancho.
En unos entrenamientos de natación sincronizada, un equipo ha nadado 1 312 metros recorriendo varias veces la diagonal de esa piscina.
¿Cuánto veces ha recorrido la diagonal?
Calculamos la diagonal de la piscina aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC.
d 40 9 1 681 ⇒ d 2
2
2
40 m
B
1 681 41 m
9m
1 312
Como han recorrido 1 312 metros, resulta: 32. Por tanto, han recorrido 32 veces la
41
diagonal.
C
d
A
9.61 La tapa de un envase tiene forma de hexágono regular cuyo lado mide 5 centímetros.
Calcula la apotema de la tapa del envase.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:
a2 52 2,52 18,75 ⇒ a B
18,75
4,33 cm
5 cm
a
A
2,5 cm
C
9.62 Las diagonales de un espejo con forma de rombo miden 34 y 21 centímetros, respectivamente. Se le va
a colocar un marco de madera, ¿cuántos centímetros se necesitan?
Calculamos el lado a aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC:
a2 10,52 172 399,25 ⇒ a B
a
399,25
19,98 cm
10,5 cm
C
17 cm
A
Por tanto, el borde del espejo mide:
b 4a 4 19,98 79,92 cm
9.63 Las dimensiones de un parque rectangular son 1 700 metros de largo y 1 250 metros de ancho. Pedro se
encuentra en el punto P y quiere ir a la salida, que está situada en el punto B.
¿A qué distancia se encuentra de la salida?
Calculamos la medida de la diagonal del rectángulo aplicando el
teorema de Pitágoras al triángulo ABP.
B
1250
d 2 1 7002 1 2502 4 452 500
4 452 500
2 110,09 m
Pedro se encuentra a 2 110,09 metros de la salida.
m
d
P
1700 m
9.64 Calcula la medida de los lados del triángulo ABC. ¿Qué tipo de triángulo es según sus ángulos?
Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:
c 2 1,52 32 11,25 ⇒ c 3,35 cm.
a2 32 62 45 ⇒ a 6,71 cm.
3 cm A 3 cm
1,5 cm
C
b2 4,52 62 56,25 ⇒ b 7,5 cm.
Como b2 c 2 a2, el triángulo ABC es recto en B.
6 cm
B
A
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M AT E M Á T I C A S
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C O T I D I A N A S
A P L I C A R
9.65 ¿Qué pendiente tiene esta montaña rusa entre los puntos A y B si la distancia entre ambos es de 26
metros?
Aplicando el teorema de Pitágoras:
262 h2 152 ⇒ h2 676 225 451
h
451
21,24 m
15
La pendiente es: p 0,71
21,24
Es decir, es del 71 %.
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C Á L C U L O
F I N A L E S
M E N TA L
9.66 Indica entre qué dos números se encuentra la raíz cuadrada entera de los siguientes números.
a) 6
a) 2 b) 38
6 3
b) 6 c) 69
38
7
c) 8 d) 115
69
9
d) 10 115
11
9.67 ¿Entre qué dos números está la raíz cuadrada de las siguientes sumas de números?
a) 10 16
a) 5 26
6
b) 4 26
b) 5 30
6
c) 16 80
c) 9 96
10
d) 25 14
d) 6 39
7
9.68 Indica entre qué dos números está la raíz cuadrada de las siguientes diferencias de números.
a) 24 12
a) 3 12
4
b) 38 16
b) 4 22
5
c) 110 64
c) 6 46
7
d) 90 40
d) 7 50
8
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P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
9.69 Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.
a) Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene todos los ángulos iguales a 90.
b) Un rombo es un paralelogramo que tiene los 4 lados iguales.
c) Un cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4 lados iguales.
d) Un trapezoide es un cuadrilátero que no es paralelogramo.
a) Falso, el cuadrado también verifica esta condición.
b) Falso, el cuadrado también verifica esta condición.
c) Falso, el rombo también verifica esta condición.
d) Falso, el trapezoide es un cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo.
9.70 Se quiere construir un triángulo con tres varillas, cuyas medidas son las siguientes.
a) 15 cm
12 cm
2 cm
b) 9 cm
8 cm
7 cm
c) 16 cm
16 cm
16 cm
¿Son todos triángulos? Justifica la respuesta.
Las medidas del apartado a no dan lugar a un triángulo, ya que en todo triángulo se ha de verificar que cada lado es menor
que la suma de los otros dos, y en este caso: 15 12 2.
9.71 Construye un triángulo cuyos lados midan 14, 10 y 9 centímetros, respectivamente.
9 cm
10 cm
14 cm
9.72 Determina la medida de la hipotenusa de estos triángulos, sabiendo que sus catetos miden lo siguiente.
a) 5,6 y 4,3 centímetros.
b) 11,2 y 7,5 decímetros.
a) a 2 = 5,62 4,32 ⇒ a 49,85
7,06 cm
b) a 2 = 11,22 7,52 ⇒ a 181,69
13,48 dm
c) a 2 = 17,42 6,32 ⇒ a 342,45
18,5 m
c) 17,4 y 6,3 metros.
9.73 Decide si los siguientes triángulos son rectángulos, acutángulos u obtusángulos.
a) 15, 36 y 40 metros.
b) 18, 24 y 30 centímetros.
a)
402 1 600
Como 402 152 362, el triángulo es obtusángulo.
152 362 1 521
b)
302 900
182 242 900
c)
272 729
202 212 841
Como 302 182 242, el triángulo es rectángulo.
Como 272 202 212, el triángulo es acutángulo.
c) 20, 21, 27 metros.
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9.74 La suma de los lados de un triángulo equilátero mide 24 centímetros, lo mismo que la suma de los lados
de un cuadrado.
a) ¿Cuánto mide la altura del triángulo?
b) ¿Cuál es la medida de la diagonal del cuadrado?
a) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:
h2 82 42 48 ⇒ h 48
6,93 cm
B
8 cm
h
A
4 cm
C
b) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC resulta:
d 2 62 62 72 ⇒ d 72
8,49 cm
A
6 cm
B
D
d
C
6 cm
9.75 Una parcela tiene forma de trapecio rectángulo.
Se rodea con una malla de alambre. Si el metro de malla cuesta 30 euros, ¿cuánto costará cercar la parcela?
105 65 40; el triángulo BCM es rectángulo isósceles.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo BCM se obtiene:
BC 2 402 402 3 200 ⇒ BC 3 200 56,57 m
Por tanto, la suma de los lados de la parcela mide:
65 40 105 56,57 266,57 m.
266,57 30 7 997,10
Cercar la parcela costará 7 997,10 euros.
C
B
M
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9.76 Se va a construir una planta marítima para la extracción de petróleo, de modo que se encuentre a la
misma distancia de las tres islas. ¿Dónde se deberá construir?
La planta marítima se debe construir en el circuncentro del triángulo ABC que forman las tres islas. Por tanto, trazaremos las
mediatrices de dos lados, y el punto de corte será el circuncentro O.
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9.77 Dibuja los siguientes polígonos.
a) Un triángulo equilátero.
b) Un trapezoide.
a)
a)
R E F O R Z A R
c) Un rombo.
d) Un trapecio isósceles.
b)b)
c)c)
d)
d)
9.78 Construye un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 9 centímetros, respectivamente.
6 cm
8
cm
9 cm
9.79 Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.
a) En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa.
b) En un triángulo isósceles, la hipotenusa es el doble del cateto.
c) En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado mayor es mayor que la suma de los cuadrados de
los lados menores.
d) El teorema de Pitágoras se puede aplicar a cualquier tipo de triángulo.
a) Falsa, en un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
b) Falsa.
c) Cierta.
d) Falsa, solo se puede aplicar a triángulos rectángulos.
9.80 Comprueba si estas ternas de números cumplen el teorema de Pitágoras.
a) 20, 48, 52
b) 33, 56, 65
c) 36, 49, 60
d) 39, 52, 65
a)
522 2 704
202 482 2 704
⇒ 20, 48 y 52 es una terna pitagórica.
b)
652 4 225
332 562 4 225
⇒ 33, 56 y 65 es una terna pitagórica.
c)
602 3 600
362 492 3 697
⇒ 36, 49 y 60 no es una terna pitagórica.
d)
652 4 225
392 522 4 225
⇒ 39, 52 y 65 es una terna pitagórica.
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9.81 Conocidos los lados de los siguientes triángulos, aplica el teorema de Pitágoras para saber si son rectángulos, acutángulos u obtusángulos.
a) 6, 7, 9 metros.
c) 21, 28, 32 centímetros.
b) 12, 16, 20 metros.
d) 24, 32, 43 centímetros.
a)
92 81
62 72 85
b)
202 400
122 162 400
c)
322 1 024
212 282 1 225
⇒ Como 32 21 28 ⇒ Triángulo acutángulo.
d)
432 1 849
242 322 1 600
⇒ Como 43 24 32 ⇒ Triángulo obtusángulo.
⇒ Como 92 62 72
⇒ Triángulo acutángulo.
⇒ Como 202 122 162 ⇒ Triángulo rectángulo.
2
2
2
2
2
2
9.82 Calcula la distancia indicada por una letra en las siguientes figuras.
d)
cm
8 cm
h
x
24 cm
4 cm
9,2 cm
a) d 2 9,22 9,22 169,28 ⇒ d b) x 2 102 82 36 ⇒ x cm
9,2 cm
c)
2
6,
d
x
15 cm
b)
10
a)
169,28
13,01 cm
36
6 cm
c) h 2 6,22 42 22,44 ⇒ h 22,44
4,74 cm
d) x 2 122 7,52 87,75 ⇒ x 87,75
9,37 cm
9.83 Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 18 y 24 centímetros, respectivamente, y calcula la medida de
su lado.
a 225
15
El lado del rombo mide 15 metros.
a
19 cm
B
a2 92 122 225
C 12 cm A
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9.84 En Caltagirone (Sicilia) existe una escalinata decorada en cerámica que tiene 250 peldaños. Si cada escalón tiene 20 centímetros de alto y 80 centímetros de ancho, halla la longitud desde el punto más bajo
hasta el más alto de la escalinata.
Calculamos la diagonal de cada escalón: a2 802 202 6 800 ⇒ a 6 800 82,46
Como la escalinata tiene 250 peldaños, la longitud pedida será: 250 82,46 20 615 cm.
La longitud pedida es de 206,15 metros.
9.85 ¿Cuántos cuadrados diferentes se pueden construir sobre un geoplano como el de la figura?
N.º de cuadrados de lado 1 16
N.º de cuadrados de lado 2 9
N.º de cuadrados de lado 3 4
N.º de cuadrados de lado 4 1
N.º de cuadrados de lado
2 9
N.º de cuadrados de lado
8 1
N.º de cuadrados de lado
5 8 (4 4 obtenidos por simetría)
N.º de cuadrados de lado
10
2
Por tanto, el número de cuadrados diferentes que se pueden construir en un geoplano de 5 5 son 50.
2
1
3
4
etc.
etc.
2
5
8
5
10
etc.
etc.
9.86 Dibuja un triángulo y construye el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Comprueba que los tres
puntos están alineados.
O
O
O
CB
C
B
C
B
En los dibujos podemos observar que los tres puntos se encuentran alineados independientemente del tipo de triángulo .
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PA R A
I N T E R P R E TA R
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Y
R E S O LV E R
9.87 La valla
Dolores está interesada en vallar su parcela con un tipo de seto artificial. La figura muestra un croquis
de la parcela.
1m
El precio de cada metro de seto es de 12 euros.
Dolores no se quiere gastar más de la cuenta, por lo que pretende comprar la longitud de seto lo más
ajustada posible.
Calcula el perímetro de la parcela y el precio del total del seto que ha de comprar.
32 42 25
5
2
2
CD 12 5 13
AB Perímetro 5 5 13 13 8 44 m
Precio 44 12 528 euros.
1m
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9.88 Cortando madera
En un hipermercado donde se vende material de bricolaje ofrecen tableros de madera y la posibilidad
de cortarlos a gusto del cliente.
La única condición es que los cortes sean siempre mediante líneas rectas y ángulos rectos. Es decir, sólo
se pueden cortar cuadrados y rectángulos.
Para utilizar el servicio, el cliente debe rellenar la siguiente ficha:
Tablero 210 x 120 cm
Color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Completo ❏ Mitad ❏
1)
2)
3)
4)
5)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Piezas
.. x ..
.. x ..
.. x ..
.. x ..
.. x ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
cm
cm
cm
cm
cm
Rellena la ficha para obtener de un tablero completo las siguiente piezas
1 tablero de 140 70 cm
1 tablero de 120 50 cm
2 tableros de 50 50 cm
1 tablero de 50 40 cm
Tablero de 210 X 120 cm
Color __________________
Completo X
Mitad
Piezas
1) 140 X 70 cm
2) 120 X 50 cm
3) 50 X 50 cm
4) 50 X 50 cm
5) 50 X 40 cm
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A U T O E VA L U A C I Ó N
9.A1 ¿Cómo se llaman estos cuadriláteros?
Rombo.
Trapecio rectángulo.
Cometa.
9.A2 En un pueblo hay tres colegios no alineados. El Ayuntamiento ha decidido construir un centro cultural
a igual distancia de los tres. ¿En qué punto se deberá construir el centro cultural?
El centro cultural se deberá construir en el circuncentro del triángulo ABC que forman los tres colegios.
9.A3 Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 16, 30 y 36 metros, respectivamente, es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
362 1 296
302 162 1 156
Como 36
2
302 162 ⇒ El triángulo es obtusángulo.
9.A4 Calcula la diagonal de un rectángulo si la base mide 171 centímetros y la altura mide dos tercios de la
base.
2
h 171 114 cm
d 2 1142 1712 42 237 ⇒ d 42 237
3
La raíz cuadrada entera es 205, y el resto, 212. La diagonal mide, aproximadamente, 205 centímetros.
9.A5 Halla la altura de un triángulo equilátero sabiendo que la suma de sus lados es 15 centímetros.
Si la suma de los tres lados es 15 cm, cada lado mide 5 cm.
h2 52 2,52 18,75 ⇒ h 18,75
La raíz cuadrada entera es 4, y el resto, 2,75. La altura mide, aproximadamente, 4 centímetros.
9.A6 El lado desigual de un triángulo isósceles mide 72 centímetros, y la altura, 60 centímetros. ¿Cuánto suman
los lados del triángulo?
a2 602 362 4 896 ⇒ a 4 896
La raíz cuadrada entera es 69, y el resto, 135. Los lados iguales miden, aproximadamente, 69 centímetros.
Los lados suman aproximadamente: 2 69 72 210 cm.
9.A7 Halla la suma de las medidas de los lados de este trapecio.
a2 42 32 25 ⇒ a 5 cm.
La suma de los lados del trapecio vale: S 5 7 4 4 20 cm.
4 cm
a
3 cm
4 cm
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9.A8 Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 24,5 centímetros, y el lado desigual, siete
quintos del otro lado. Halla la altura del triángulo.
7
24,5 34,3 cm.
5
h2 24,52 17,152 306,13 ⇒ h 306,13
La raíz cuadrada entera es 17, y el resto, 17,13. La altura mide, aproximadamente, 17 centímetros.
9.A9 Con un alambre de 60 centímetros de largo se construye un cuadrado. ¿Cuánto mide su diagonal?
60
Cada lado del cuadrado mide: 15 cm.
4
d 2 152 152 450 ⇒ d 450
La raíz cuadrada entera es 21, y el resto, 9. Luego la diagonal mide, aproximadamente, 21 centímetros.