Analisis de Figuras Moiré Empleando Grillas Interferométricascon

Revista Brasileira de Física, Vol. 9, NP 1, 1979
Analisis de Figuras Moiré Empleando Grillas
Interferométricas con Perfiles de Airy
H. J. RABAL* y M. GARAVAGLIA*"
Laboratorio de Espectroscopia, Optica y láser Departamento de Física Universidad Nacional de La plata La plata Argentina
Recebido em 1º de Setembro de 1976
Empleando un interferómetro de Fabry
- Perot
y un espectrõ-
g r a f o a red de d i f r a c c i õ n plana montaje Ebert, iluminados con l u z blanca, se han obtenido espectros acanalados. De acuerdo con el t i p o de óp
-
t i c a empleada para proyectar I a l u z emergente del Fabry
Perot sobre
l a ranura del spectrógrafo, se obtienen espectros acanalados de
nentes rectas o paraból icas de diferentes parâmetros
Las
compo-
componentes
no son equidistantes entre s í y I a d i s t r i b u c i õ n de intensidad cumple l a
l e y de A i r y .
Se han realizado experiencias preliminares para determinar s i
Ias figuras de moiré generadas por l a interacciõn de espectros acanalados permite mensurar desplazamientos, rotaciones, e t c . Estos resultados
experimenta les han sido anal izados con e l o b j e t o de obtener informaciõn
sobre las característ icas de Ias f i g u r a s de moiré y con e1 Ias def i n i r e l
campo de posibilidades a p l i c a t i v a s .
las f r a n j a s de moi r é aparecen cuando se suman
dos f i g u r a s que poseen parecidas variaciones de amplitud.
*
o
mul t i p l ican
En
general,
~ e t r o l o g í aMecánica, Laboratorio de Ensayos de Materiales e I n v e s t i
gaciones Tecnológicas, M i n i s t e r i o de Obras Püblicas de l a
-
Provincia
de Buenos A i res , Argent i na.
**
Carrera de1 Investigador ~ i e n t Í f i c ode1 Consejo Nacional de I n v e s t i gaciones C i e n t í f i c a s y Técnicas, Argentina.
l a s f i g u r a s empleadas para provocar I a visua! i z a c i õ n de l a s e s t r u c t u r a s
de moiré son g r i l l a s cuya v a r i a c l õ n de amplitud es s i n u s o i d a l o rectang u l a r . Las primeras san obtenidas mediante e1 uso de1 i n t e r f e r k t r o de
Michel son, mientras que I a s o t r a s se construyen mecânica o f o t o g r á f i c a mente.
E1 p r o p ó s i t o de e s t e t r a b a j o es e1 de c o m u n i c a r e 1 u s o de
g r i l l a s i n t e r f e r o m é t r i c a s con v a r i a c i ó n de amplitud de acuerdo
con
la
l e y de A i r y . Estas g r i 1l a s son obtenidas empleando e1 i n t e r f e r k t r o de
Fabry
-
Perot iluminado con l u z blanca y f o t o g r a f i a n d o l a que emerge de
é1 con un espectrógrafo e s t i g m á t i c o .
2. OBTENCION DE GRILLAS INTERFEROMETRICAS CON PERFIL DE AIRY
Si un i n t e r f e r o m é t r o de Fabry
-
Perot es iluminado por un haz
colimado de l u z blanca y l a que emerge de 61 es analizada por un espect r õ g r a f o e s t i g k t i c o de s u f i c i e n t e d i s p e r s i õ n y poder resolvente, seobservará e1 1lamado espectro acanal adol. E1 espectro acanalado forma una
g r i i l a cuyas componentes r e s u l t a n ser i a s envolventes de I a s f i g u r a s de
i n t e r f e r e n c i a producidas por I a sucesiÕn de I a s l i n e a s espectrales, com b i e n puede considerarse a1 espectro contínuo o l u z blanca.
componentes t i e n e n forma p a r a b ó l i c a . Para cada una de e l l a s ,
Di chas
e1
orden
i n t e r f e r e n c i a l P es e n t e r o ( i n t e r f e r e n c i a c o n s t r u c t iva) y constante
en
toda su extensión. E1 orden i n t e r f e r e n c i a l P se d e f i n e , para e1 v é r t i c e
de l a s parábolas, cano P = 2t/A, donde t es l a separaciõn e n t r e l a s p l a -
cas de1 i n t e r f e r k t r o y X es l a l o n g i t u d deonda de l a r a d i a c i ó n .
E1
espectro acanalado t i e n e e1 aspecto de una sucesión de segmentos de parábolas de e j e común, cuyos v é r t i c e s estãn distanciados, en e1 espacio
de l a s longitudes de onda i,,según e1 rango e s p e c t r a l
de1 i n t e r f e r k -
t r o , d e f i n i d o por <AA> = k2/2t. Sobre l a placa f o t o g r á f i c a e1 espaciado
e e n t r e I a s componentes parabólicas de1 espectro acanalado, queda expre-
sado por e = <AA>/d, siendo d I a d i s p e r s i õ n de1 spectrõgrafo.
La ecuaciõn de Ias parábolas es:
donde f es, l a d i s t a n c i a focal de I a l e n t e e s f é r i c a
que proyecta I a l u z
que emerge de1 interferõmetro sobre l a renura de1 espectrógrafo. La r e presentaciõn de i a s parábolas se r e a l i z a en e1 plano f o c a l de1 espectrógrafo, m a t e r i a l i z a d o por l a placa f o t o g r á f i c a ,
de modo que e1 e j e de
abscisas se d e s a r r o l I a s e g h e1 e j e de l a s longitudes de onda
A,
mien-
t r a s que e1 e j e de ordenadas representa l a v a r i a b l e espacial y. La
fi-
gura 1 m e s t r a una reproducción p o s i t i v a de una p o r c i ó n ampliada d e l e s p e c t r o acanalado sobre e1 que están superpuestas dos I íneas espectrales
de1 neón.
Fig. 1
-
Espectro acanalado de componentes paraból icas
IJno de nosotros 2 rnostrõ cõmo, u t i l i z a n d o un sistema
especial pera i l u m i n a r e l i n t e r f e r õ m e t r o de Fabry
de1 espectrógrafo estigmát ico, es posi b l e obtener
-
Perot
y
Õptico
I a ranura
espectros acanalados
cuyas componentes son rectas y p a r a l e l a s a l a s 1 íneas
espectrales,
en
l u g a r de Ias parábolas que r e s u l t a n cuando se emplea e1 sistema Ó p t i c o
convencional. Sin embargo, dicho sistema Óptico presentó dos s e r i o s i n convenientes: ser de d i f í c i 1 a1 ineación y de luminosidad extremadamente
baja.
IJn e s t u d i o p o s t e r i o r r e a l i z a d o para mejorar t a l
situación,
l l e v õ a proponer un nuevo sistema ó p t i c o simple y muy luminoso
s i s t e de una l e n t e e s f é r i c a ,
en cuyo plano f o c a l
o b j e t o se
fuente extensa de l u z blanca, de modo que un haz colimado
e1 interfei-Ómetro de Fabry
- Perot,
.
Con-
ubica l a
i n c i d a sobre
y de una l e n t e c i 1 í n d r i c a que enfo-
ca l a l u z que emerge de é1 sobre l a ranura de1 espectrógrafo e s t i g m á t i co. E l e j e de I a s u p e r f i c i e c i l í n d r i c a de l a l e n t e a s t i g m á t i c a debemantenerse p a r a l e l o a l a ranura.
La f i g u r a 2 muestra un esquema completo
de1 nuevo sistema Ó p t i c o y l a f i g u r a
3
contiene una reprodución posi t i -
va de1 espectro acanalado obtenido con un espectrógrafo e s t igmát i c o mont a j e Ebert, a red plana de d i f r a c c i ó n de 600 lineas/mrn,
de
3,4 m
de
d i s t a n c i a f o c a l , i luminado por dicho sistema Óptico4. Sobre e1 espectro
acanalado están superpues tas 1 Íneas espectrales de1 neÕn.
tig.2
-
Sistema Ó p t i c o para f o t o g r a f i a r e s p e c t r o s acanalados
de compo-
nentes r e c t i l í n e a s . R: ranura de1 e s p e c t r ó g r a f o e s t i g m á t i c o ; Lc : l e n t e
FP: i n t e r f e r ó m e t r o de Fabry - Perot; D:
Fc: f u e n t e luminosa de e s p e c t r o c o n t í n u o y
c i l í n d r i c a ; Le: l e n t e e s f é r i c a ;
diafragma; SE: semiespejo;
nie: f u e n t e e s p e c t r a l de, neón. a) V i s t a de p i a n t a y b) v i s t a l a t e r a l .
Fig.3
-
Espectro acanalado de componentes r e c t i l í n e a s .
La ó p t ima d e f i n i c i õ n o contras t e de 1as componentes de1 espect r o acanalado r e s u l t a de un compromiso e n t r e v á r i o s
parãmetros e x p e r i -
mentales: Poder r e f l e c t o r de 10s depósitos m e t ã l i c o s o d i e l é t r i c o s
de
l a s placas de1 i n t e r f e r ó m e t r o , separaciõn e n t r e l a s rnismas, diâmetro de
i a pupi l a de entrada a1 i nterferõmetro, ancho de l a ranura de1 espectrõg r a f o , c a r a c t e r í s t i c a s de l a red de d i f r a c c i õ n y t i p o de m a t e r i a l f o t o -
g r á f i c o . S i e1 espectrógrafo empleado posee elevado poder resolvente, e1
ancho de l a ranura a f e c t a fundamentalmente e1 c o n t r a s t e delespectroacanalado. Le c u a n t i f i c a c i ó n de1 c o n t r a s t e puede r e a l i z a r - s e m e d i a n t e l a
determinac. ión de l a v i s i b i lidad de I a s componentes de1 espectro
acana-
lado. S i l a ranura se ensancha demasiado, dichas componentes seengrosan
hasta confundi r s e y formar e1 1lamado
I'
espectro casi -cont i nuol',No
obs-
tante, variando e1 diãmetro de l a p u p i l a de entrada mediante e T d i a f r a g ma D, se aifecta l a v i s i b i l i d a d de1 espectro acanaladoyde manera opuest a a1 de I a ranura. Es d e c i r , puede mantenerse una v i s i b i l i d a d constant e en e1 espectro acana lado, cerrando o abr iendo l a ranura de1 espectrõ-
4 muestra
g r a f o s i se.abre o c i e r r a l a p u p i l a de entrada. La f i g u r a
s e r i e de f o t o s de1 espectro acanalado y sus respectivos trazos
densitométricos, obtenida con anchos de ranura desde 40 pm a 100 pm
diâmetros de1 diafragma desde 0,s cm a 4 cm. Se observa
una
micro-
claramente
y
la
r e l a c i ó n e x i s t e n t e e n t r e l a s variaciones de l a s dimensiones de l a ranur a y diafragma sobre l a v i s i b i l i d a d de1 espectro acanalado.
De l a s reproducciones de I a s f i g u r a s 1,
3 y
4 se
i n f i e r e que
l a s componentes de1 espectro acanalado son de p e r f i l extremadamenteagudo. En realidad, haciendo excepción de l a s c a r a c t e r i s t i c a s de1 m a t e r i a l
f o t o g r á f i c o que en 10s casos mencionados es de b a j a resoluciÓn,
p e r f i 1 se corresponde con e1 d e f i n i d o por l a f u n c i ó n de Ai r y
. La
di cho
figura
5 g r a f i c a una p o r c i õ n de l a f u n c i ó n de A i r y , d e f i n i d a como:
donde 0 es e1 ãngulo que forman 10s rayos de l u z con e1 e j e Ôptico
de1
i n t e r f e r õ m e t r o y F es un parãmetro relacionado con l a r e f l e c t i v i d a d R d e
sus placas, que v a l e F = 4R/(1 - R ) ~ .En l a f i g u r a
5
se ha designado con
6 a l argumento de1 denominador d i v i d i d o por n .
En e1 caso de espectros acanalados cuyas componentes son
pa-
rábol icas, se f i j a e1 parámetro h y se v a r í a e1 ângulo de i n c i d e n c i a 8 ,
e1 p e r f i 1 que r e s u l t a también es de Ai r y , aunque ahora 10 es en f u n c i ó n
de 8. En e s t e sentido, se reproduce para l a l o n g i t u d de onda X s e l e c c i onada una f i g u r a de i n t e r f e r e n c i a t a l como o c u r r e para una 1 Ínea espectral.
Fig.4
-
Relaciõn entre el ancho de ia ranura de1 espectrõgrafo R
diãmetro de1 diafragma D y Ia visibilidad de1 espectro acanalado.
y e1
Fig.5
-
Funciõn de Airy p a r a dos órdenes interferenciales consecutivos.
En cambio, en e l caso de d e j a r constante e l ângulo 9 deobservación y v a r i a r l a l o n g i t u d de onda de1 espectro A , e1 p e r f i l de1
sis-
tema de componentes i n t e r f e r e n c i a l e s de1 espectro acanalado r e s u l t a ser
t a m b i i n una función de A i r y de l a frecuencia v de l a r a d i a c i ó n o d e l nÜmero de onda 1 / A .
3. FIGURAS DE MOIREOBTENIDAS CON ESPECTROS ACANALADOS
Se ha obtenido una var iedad muy ampl i a de f i g u r a s de moi r é empleando técnicas diversas que, en general, pueden agruparse en l a s dos
formas s i g u i e n t e s , de acuerdo con e1 r e s u l t a d o de l a a m p l i t u d t o t a l
de
l a s franJias, moiré suma y moiré producto. La f i g u r a 6 i l u s t r a a l g u n a s
tecnicas de l a s u t i l i z a d a s en 10s experimentos.
E1 empl eo de espectros acanalados de componentes
parãbol icas
de d i s t i n t o parámetro p o rectas, dan por r e s u l t a d o una v a r i e d a d
muy
generales
que
grande de! geometrias de f i g u r a s de moiré. Los casos más
a q u i se c:onsiderarãn,
son 10s s i g u i e n t e s : a) moiré obtenido por e1 des-
plazamiento t r a n s v e r s a l de1 m i smo espectro acanal ado de componentes paraból icac,; b) moi r é obtenido por desplazamiento l o n g i t u d i n a l
de1 mismo
espectro acanalado de componentes rectas o paraból icas , y c) moi r é
ob-
t e n i d o por una r o t a c i õ n de1 mismo espectro acanalado de componentes paraból icas.
Fig.6
-
Técnicas para observar f r a n j a s de moiré suma o producto. a) Ob-
s e r v a c i õ n p o r doble exposi c i õ n . Se f o t o g r a f i a n suces ivamente 10s espect r o s acanalados EA1 y E A p . A I procesar I a p l a c a se o b t i e n e e1
moire M
suma de 10s e s p e c t r o s acanalados. b) E l e s p e c t r o acanalado EA2 se f o t o g r a f í a p r e v i o f i l t r a d o a t r a v é s de I a g r i l l a f o t o g r á f i c a
gl que c o n t i e -
ne e1 e s p e c t r o acanaldo EAI. Una vez procesada I a p l a c a se observa
m o i r é M producto. c) Se i l u m i n a n I a s g r i l I a s gl y g 2 ,
a 10s e s p e c t r o s acanalados EAI y EAZ
correspondíentes
La l e n t e L produce una imagen de1
moi r é M producto por f i l t r a d o . d) Se observa simul táneamente
g ' , imagen de I a g r í l l a o r i g i n a l g , y l a g r i l l a g
P,
imagen
la g r i l Ia
perturbada
de I a o r i g i n a l , dando como r e s u l t a d o un m o i r 6 M suma. E: espejos;
semiespejo;
e1
SE :
P: p e r t u r b a c i ó n a p l i cada y Ob: observador.
Caso a)
E1 moi r é obtenido por desplazamiento transversal de1 mismoespect ro acanalado de componentes paraból i cas es t i cons t i t u i do por fami
1 i a s de r e c t a s , cuya expresión más g e n e r a l , es l a s i g u i e n t e :
-
En e s t a ecuación, r es e l rndice que i d e n t i f i c a cada una de I a s f r a n j a s
de l a f a m i l i a de1 moiré, y o es e1 desplazamiento v e r t i c a l , y es i a
r i a b l e espacial en e1 s e n t i d o de1 desplazamiento, p es e1 parámetro
vade
l a s componentes parabõl icas de1 espectro acanalado y e su espaciado.
La ecuación (3) es en r e a l idad una aproximaciõn de I a
expre-
siÕn exacta, en razÓn de que p y e se han considerado constantes. Dicha
aproximación no i n f l u y e en 10s resultados, por 10 que puede considerársela s a t i s f a c t o r i a .
Estas f r a n j a s de moiré t i e n e n un espaciado i g u a l a:
La f i g u r a 7 e j e m p l i f i c a e1 caso d i s c u t i d o , obtenido por doble
Fig.7
-
F i g u r a de m o i r é suma o b t e n i d a p o r desplazamiento t r a n s v e r s a l de1
mismo e s p e c t r o acanalado de componentes paraból i c a s .
Caso b)
E l moirê obtenido por desplazamiento l o n g i t u d i n a l
de1
mismo
espectro acanalado de componentes rectas o paraból icas, es t ã c o n s t i t u i
do por farni 1 ias de rectas o parábolas, respectivamente
.
-
La expresiõn ma-
temática más general, aproximada, que l a s gobierna es l a s i g u i e n t e :
en I a que se puede reconocer I a ecuácion ( I ) de l a s parábolas
de1
es-
pectro acanalado. De tal modo que, en esta oportunidad,r juega el papel de P y el "separador efectivo local" de1 interferõmetro de Fabry - Perot es:
E1 espaciado entre 10s vértices de las franjas parabõlicasdel
moi r6, queda expresada por:
La figura 8 muestra cuatro registros de moi ré real izados según la técnica de doble exposiciõn i lustrada en la figura 6 a) . En cada
una de ellas e1 desplazamiento de1 espectro acanalado fue logrado mediante la rotaciõn progresiva de Ia red de difracciõn de1 espectrõgrafo.
Fig. 8 - Hoiré suma obtenido por distintos desplazamientos longitudinales
de1 mismo espectro acanalado.
E1 resultado de esta experiencia permite calcular d i c h o ángulo de rotaciõn y, en consecuencia, determinar rotaciones. En caso de
producirse un desplazamiento relativo entre 10s dos espectros acanalados de 1 pm (10-l2 m) , en e1 espacio de las longitudes de onda, o de 2
vm, en e1 espacio de las longitudes determinadas sobre la placa fotográfica, en la regiõn verde de1 espectro (~=500nm), ia figura de moiré
que se genera permite determinar la rotaciõn de la red de difracciõn en
un ángulo de 0,6".
Caso c)
E1 moiré obtenido por una r o t a c i õ n de1 mismo espectro acanalado de ccmponentes parabõl icas segün e1 ángulo $, e s t á c o n s t i t u i d o por
f a m i l i a s de cõnicas, cuya expresiõn matemática mãs general,
es
la si-
guiente:
p = -
2Pe
By2-X2)sen2 $ +
Xy sen 2$
+
2ph (cos
++
1)
+
2py seri+]
(7)
La f i g u r a 9 muestra una reproducción de1 moi r é obtenido superponiendo dos espectros acanal ados de componentes paraból icas
Fig.3
-
.
M o i r é producto o b t e n i d o por superposición de dos g r i l l a s de es-
p e c t r o s acanalados de componentes parabõl i c a s que forman un ángulo
La observación de 10s ejemplos de moiré dados en i a s
7,
8
4.
figuras
y 9, i l u s t r a n sobre e1 r e s u l t a d o de moi r é suma, 10s dos primeros, y
de moiré producto, e1 Último. Dicha observación i n d i c a que e1 grado de
c o n t r a s t e en l a s f r a n j a s de moirê producto es mucho mayor que en l a s de
rnoiré suma.
La simulación por computadora de 10s respectivos
p e r f i l e s de
10s moi rés suma y producto, se muestran en l a s f i g u r a s 10 y 11.
muló un i n t e r f e r õ m e t r o de Fabry
-
Se s i -
Perot de F = 200 y t = 7 m, ilumina-
do con l u z blanca en i a r e g i ó n de X = 500 nm, para I a representación de
l a d i s t r i b u c i ó n de l a intensidad de1 espectro acanalado, empleando
60
50 y l a unidad v i s u a l 2250 modelo 1
computadora 1 ~ ~ 1 3 modelo
. Las
una
f i-
guras 10 a), 10 b) y 10 c) representan l a simulaciõn de l a suma de 10s
espectros acanalados cuando están perfectamente superpuestos, cuando se
h a n separado 0,01
nm y 0,02
nm,
r e s p e c t i v a m e n t e , m i e n t r a s que l a s f i g u -
r a s 11 a ) y 11 b) h a c e n 10 p r o p i o c o n I a s i m u l a c i ó n de1 p r o d u c t o d e 10s
e s p e c t r o s a c a n a l a d o s p e r f e c t a m e n t e s u p e r p u e s t o s y separados
0,01
respectivamente.
Fig. 10
- Simulaciõn
por computadora
de1 moiré suma de ios espectros
acanalados obtenidos con un interferõmetro de Fabry
- Perot
de F ~ 2 0 0y
t = 7 m, iluminado con l u z de X=SOO nm. La d i s t r i b u c i õ n de intensidad
corresponde a 10s siguientes casos:
a)
superposición perfecta
de las
componentes de 10s espectros acanalados; b) cuando Ias componentes d i s tan 0,Ol nm, y c) cuando l a s componentes d i s t a n 0,02 mn.
Fig.1 l
- Simulación por computadora de1 moiré producto de dos espectros
acanalados obtenidos con un interferómetro de Fabry
- Perot
de F =200 y
t = 7 mn, iluminado con luz de A = 5 0 0 nm. La d i s t r i b u c i ó n de intensidad
corresponde a 10s casos siguientes: a)
superposición perfecta
de Ias
componentes de 10s espectros acanalados y b) cuando Ias componentes se
han'separado 0 , 0 1 nm.
nm,
4. RESUIIAENY CONCLUSIONES
Se ha descr i p t o una técnica i nterferómetr i ca que permite const r u i r g r i l l a s con una d i s t r i b u c i õ n de i n t e n s i d a d que sigue
Ai r y
. Las
g r i 1 las, o espectros acanalados, pueden
l a l e y de
desarrol larse
segün
componentes r e c f i l í n e a s o parabólicas.
Tales g r i l l a s i n t e r f e r õ m e t r i c a s se han empleado en experienc i a s básicas de moiré. Las f r a n j a s de moiré pueden obtenerse
de
dife-
rentes maneras, por ejemplo, por doble exposic iÓn o p o r superposiciõn.
As; se logran moirés con d i s t r i b u c i ó n de c o n t r a s t e
10s moi rés suma y producto,
que corresponden
a
respectivamente.
La p e r s p e c t i v a de a p l icab i 1 i dad de es t o s moi rês se estima como
muy d i r e c t a en a q u e l l o s casos que c m p r m e t a n determinaciones dedesplazamientos transversales y l o n g i t u d i n a l e s y de rotaciones. Por o t r o lado,
t a i n c l u s i ó n de o b j e t o s de fase d e n t r o de i a cavidad de1 i n t e r f e r õ m e t r o
de Fabry
- Perot,
puede p e r m i t i r a p l i c a r e1 método de moiré a l a d e t e r -
mi naciõn de v a r iaciones de í n d i c e s de r e f racción, gradientes
térmicos,
variaciones de densidad, e t c .
Los autores desean expresar su agradecimiento a l a S e c r e t a r i a
de Estado de Ciencia y Tecnologia, a1 Consejo Nacional de I n v e s t i g a c i o nes C i e n t í f i c a s y Tecnicas, a l a Comisión de Investigaciones
Científi-
cas de l a P r o n v i c i a de Buenos A i r e s y a1 Programa M u l t i n a c i o r i a l
s i c a de l a Organización de 10s Estados Americanos, por
de F í -
l a financiaciõn
p a r c i a l de1 equipamiento de instrumental requerido en l a s tareas de i n v e s t i g a c i ó n . Además, agradecen a1 Encargado de1 Sistema
Operativo
de1
Centro de Estudios Superiores de Procesamiento de l a lnformaciõn de l a
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