Estructuras articuladas

EU
AT
I-
Práctica 2
2.1.
AD
AI
Estructuras articuladas
Objetivos conceptuales
2.2.
PL
IC
Profundizar en el estudio de la Estática mediante el análisis de una estructura articulada.
Fundamento teórico
(a) Plana.
CA
A
Se llama estructura articulada, armadura, cercha o viga en celosı́a, a una
estructura rı́gida compuesta por barras rectilı́neas unidas mediante articulaciones, capaz de recibir cargas exteriores y transmitirlas a los apoyos. Los
puntos de unión de las barras con las articulaciones se llaman nudos.
En esta práctica estudiaremos una estructura
TO
.F
ISI
(b) Formada por barras cuyos pesos son despreciables frente al de las cargas
exteriores, y articuladas a los nudos.
(c) En la que las cargas exteriores actúan sólo sobre los nudos.
DP
Nuestro objetivo es investigar qué relación existe entre la carga aplicada sobre un punto de la estructura articulada y las tensiones que sufren las
barras que forman la estructura. Primero haremos un estudio teórico, suponiendo que en cada nudo de la estructura se cumplen las ecuaciones de la
estática del punto material y que las barras actúan como bielas que conectan
a los nudos1 . Después comprobaremos experimentalmente si las relaciones
que hemos obtenido se verifican.
1
Recordemos que la biela es una ligadura que responde a las fuerzas activas mediante
fuerzas de reacción vincular en sus extremos que son paralelas a la biela. Ello se debe a
1
2
2
I-
1
EU
AT
PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
AD
AI
3
Figura 2.1: Estructura articulada triangular que usaremos en esta práctica.
Montaje experimental
IC
2.3.
TO
.F
ISI
CA
A
PL
Dispondremos de un estructura tipo tejado con forma de triángulo isósceles como la de la fig. 2.1. Está formada por seis varillas metálicas huecas
ensambladas mediante medidores de deformaciones y articuladas a tres piezas metálicas circulares con agujeros. Una de estas tres piezas está, además,
empotrada al exterior (es decir, si suponemos que tal pieza es puntual, el
punto permanecerá fijo). Otra de las piezas está, además, unida mediante
una biela al exterior (es decir, si suponemos que tal pieza es puntual, el punto estará obligado a permanecer en el arco de circunferencia que describe
el extremo de la biela). Los medidores de deformaciones 1, 2 y 3 sirven como dinamómetros. Supondremos que se comportan como muelles ideales de
constantes elásticas k1 = 250 N/mm, k2 = 250 N/mm y k3 = 236 N/mm.
Miden los esfuerzos de compresión (los dinamómetros 1 y 2) y tracción (el
dinamómetro 3) que sufren las varillas de la estructura.
2.4.
Método experimental
Una vez delante de la estructura,
Pon a cero los medidores de deformaciones.
DP
tener en cuenta los supuestos anteriores (b) y (c) en las ecuaciones de equilibrio de la
P~
~ 1 = −φ
~2 ; P M
~1 y φ
~2
~ 0 (F~i ) = ~0 ⇒ φ
propia biela como un sólido rı́gido:
Fi = ~0 ⇒ φ
colineales con la biela, pues sino formarı́an un par con momento de par no-nulo.
EU
AT
PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
AI
I-
A
3
B
AD
C
IC
Figura 2.2: Esquema de la estructura articulada triangular.
CA
A
PL
Aplica en el vértice superior del triángulo un peso P = 10 N. Anota las correspondientes deformaciones registradas en 1, 2 y 3, y (teniendo en cuenta que las constantes elásticas son k1 = 250 N/mm,
k2 = 250 N/mm y k3 = 236 N/mm) calcula los correspondientes esfuerzos que miden los dinamómetros. Llámalos φ1 , φ2 y φ3 . Repite estas
operaciones aplicando pesos de 20 N (retira el de 10 N y añade uno de
20 N), 30 N, 40 N y 50 N al vértice superior.
TO
.F
ISI
Construye una tabla con siete columnas: la variable independiente, el
peso aplicado P , en newtons (N), en la primera columna, y las variable
dependientes, las deformaciones d1 , d2 y d3 , en milı́metros (mm), y los
esfuerzos φ1 , φ2 y φ3 , en newtons (N), en las siguientes columnas. No
olvides indicar las unidades correspondientes a cada magnitud en la
parte superior de la tabla.
Representa en una misma hoja de papel milimetrado tres gráficas con
los pares de puntos (P, φ1), (P, φ2) y (P, φ3 ). No olvides poner las unidades que estás usando en cada eje. Por ejemplo: P (N), en el eje
horizontal.
DP
Queremos averiguar cuál es la relación teórica entre φi (donde i = 1, 2, 3)
y P . Para ello supondremos que los pesos de las barras de la estructura
articulada son despreciables frente a los pesos aplicados, de modo que se
comportan como bielas y sólo producen en los nudos fuerzas (de reacción
vincular) que son paralelas a las barras. Con esa información podemos dibujar
f2
f1
A
q
q
4
I-
P
fBy
C
B
fBx
q
-f2
IC
-f1
-f3
AD
f3
AI
fC
q
EU
AT
PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
PL
Figura 2.3: Diagramas de fuerzas de los tres nudos de la estructura articulada.
CA
A
los tres diagramas de fuerzas correspondientes a cada uno de los nudos A, B
y C de la estructura, que supondremos son puntos materiales: Ver la fig. 2.3.
Supondremos que en cada uno de los puntos A, B y C se cumplen las
condiciones necesarias y suficientes para que un punto material esté en equilibrio. Ası́, la suma de todas las fuerzas (activas y de reacción vincular) que
están aplicadas en el punto A tiene que ser el vector nulo:
~1 + φ
~ 2 + P~ = ~0.
φ
(2.1)
TO
.F
ISI
Análogamente, la suma de todas las fuerzas aplicadas en el punto B también
tiene que ser el vector nulo:
~2 − φ
~3 + φ
~ B = ~0.
−φ
(2.2)
Y análogamente en el punto C:
~1 + φ
~3 + φ
~ C = ~0.
−φ
(2.3)
DP
Es importante darse cuenta de que las fuerzas entre dos puntos aparecen por
pares iguales y de sentido contrario. Ası́, la fuerza que ejerce la varilla AC
~ 1 en la fig. 2.3, es igual y de
sobre el punto A, fuerza a la que hemos llamado φ
sentido contrario a la que ejerce sobre el punto C. De ahı́ que a esta última
~ 1 . Además, debido a la simetrı́a de la estructura, las
la hayamos llamado −φ
EU
AT
PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
5
~ 1 y de φ
~ 2 son iguales y de sentido contrario,
componentes horizontales de φ
mientras que sus componentes verticales son iguales. Teniendo esto en cuenta,
de la ec. (2.1) obtenemos la relación entre el peso aplicado P y el esfuerzo (de
compresión) φ1 que mide el dinamómetro 1 (y que coincide con el módulo de
~ 1 que la barra AC ejerce sobre los nudos A y C):
la fuerza φ
1
P.
2 senθ
I-
φ1 =
(2.4)
φ2 =
AD
AI
Análogamente, obtenemos la relación entre el peso aplicado P y el esfuerzo
(de compresion) φ2 que mide el dinamómetro 2 (y que coincide con el módulo
~ 2 que la barra AB ejerce sobre los nudos A y B)
de la fuerza φ
1
P.
2 senθ
(2.5)
CA
A
PL
IC
Por tanto, al representar φ1 (o φ2 ) frente a P en una gráfica, la predicción
teórica es que ha de salir una recta cuya pendiente es 1/(2 senθ).
Teniendo en cuenta lo anterior, de la ec. (2.3) obtenemos la relación entre
el peso aplicado P y el esfuerzo (de tracción) φ3 que mide el dinamómetro 3
~ 3 que la barra BC ejerce sobre
(y que coincide con el módulo de la fuerza φ
los nudos B y C):
1
P.
(2.6)
φ3 =
2 tan θ
Es decir, al representar φ3 frente a P en una gráfica, la predicción teórica es
que ha de salir una recta cuya pendiente es 1/(2 tan θ).
TO
.F
ISI
Comprueba en el papel milimetrado que los puntos obtenidos experimentalmente en las tres gráficas se pueden ajustar, aproximadamente,
por sendas rectas. Halla las rectas de mejor ajuste por el método de
los mı́nimos cuadrados y represéntalas gráficamente junto a los puntos
experimentales.
A partir de la pendiente de la recta que mejor se ajuste a los puntos de
cada gráfica, calcula el ángulo θ, el que forman las varillas AB y AC
respecto a la horizontal, que se obtiene a partir de cada una de las tres
gráficas.
DP
Mide el ángulo θ en la estructura con ayuda de un transportador de
ángulos. Compara el resultado de esta medida con la obtenida en el
apartado anterior.
EU
AT
PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
Cuestiones
6
I-
~ B tiene
Cuestión 1: Demuestra que, en la situación de equilibro estudiada, φ
componentes horizontales nulas. Si se sustituye la ligadura que hay en B (el punto
B está fijo) por un apoyo simple sobre una superficie horizontal ¿B permanece
en equilibrio?
AD
AI
Cuestión 2: Si se sustituye la ligadura que hay en B por un apoyo simple
sobre una superficie horizontal y, además, se suprime la barra horizontal BC, ¿B
permanece en equilibrio? Si la respuesta es no, indica dos maneras distintas de
restaurar el equilibrio.
PL
IC
Cuestión 3: ¿Dependen los resultados teóricos de la escala de la armadura?
¿Ocurre esto en la realidad? ¿Por qué? ¿Está esto relacionado con el ajuste a
cero inicial de los dinamómetros?
Apéndice: el método de los mı́nimos cuadrados
CA
A
Dadas dos magnitudes fı́sicas, X e Y , entre las que se supone existe una
relación lineal, es decir, una relación de la forma
Y = mX + b,
(7)
TO
.F
ISI
donde m y b son constantes (es decir, m es la pendiente de una recta y b su ordenada en el origen), el método de los mı́nimos cuadrados (también llamado
regresión lineal) proporciona los valores de m y b que mejor ajustan un conjunto de n pares de valores experimentales, (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . , (Xn , Yn ),
obtenidos al medir Y para n valores de X.
Sin entrar en detalles, el método de los mı́nimos cuadrados establece que
los valores de m y b que mejor ajustan los valores experimentales son:
m =
b
nSXY − SX SY
,
2
nSXX − SX
SY − mSX
,
=
n
(8)
(9)
DP
donde
SXY
=
n
X
i=1
Xi Y i ,
(10)
SX
SY
SXX
=
n
X
Xi ,
=
i=1
n
X
Yi ,
=
i=1
n
X
Xi2 .
EU
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PRÁCTICA 2. ESTRUCTURAS ARTICULADAS
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(11)
(12)
(13)
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i=1
DP
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La mayorı́a de las calculadoras cientı́ficas tienen pre-programadas estas
fórmulas y basta con introducir los pares de valores experimentales (X1 , Y1 ),
(X2 , Y2), . . ., (Xn , Yn ) y pulsar “LR” para obtener los valores de m y b.
Consulte las instrucciones de su calculadora.