Definición de fracciones

Prof. Freddy Unda
RESUMEN Y EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS (2).
Obj. 02 Resolver problemas en los que se utilicen operaciones definidas en “Q”.
Definición de fracciones. Si a y b son dos números Numerador  a
enteros y b  0 la expresión: a/b es una fracción:
Denominador b
Fracciones
especiales:
Fracción Nula
Fracción Unidad
son términos de la fracción.
Fracción con denominador (1)
0
a
a
Se identifica con el 0
se identifica con el 1
se identifica con el N° Entero
b
a
1
Fracción Impropia y la fracción mixta: Fracción
5
Impropia, es aquella cuyo numerador es mayor que Ejemplo (A) La Fracción 2 es equivalente a
el denominador, su valor es mayor que la unidad. La
1
1
notación generalmente usada para representar una 2  y se expresa 2 (Fracción mixta)
2
2
fracción Impropia se llama fracción mixta.
Llevemos una fracción Impropia a fracción mixta
7
7
 2
5
5
1

Ejercicios A: Llevar a
fracción mixta o
impropia según el caso
A.1)
7
2
2
 1  1
5
5
5
5
17
A.2) 3
3
8
Llevemos una fracción mixta a una Impropia
2
A.3)
9
5
A.4)
4
4 10  4 14
 2 

5
5
5
5
2
10
A.5)
5
7
9
Igualdad de fracciones: Dos fracciones son iguales (idénticas) si y solo si
sus numeradores y denominadores son iguales. Es decir:

A.6)
11
6
a c
 a cb d
b d
Equivalencia y relación de orden entre fracciones: dos fracciones son Ejemplo:
equivalentes si sus valores son iguales. Y se cumple que sus productos 12 6
  12.(5)  10.(6)
cruzados son iguales. (Estas representan a un mismo número racional).
10 5
a c
a c
 60  60
y son equivalentes y se expresa  , si (a.d) = (c.b)
b d
b d
a
c
a
c
será menor que
si (a.d) < (c.b)
De igual manera
será mayor que
si (a.d) >( c.b) O bien
b
d
d
b
Es decir:
Notablemente: “En fracciones con igual denominador a mayor numerador corresponde mayor fracción”
Ejercicios B: Determinar si las fracciones dadas son equivalentes, en caso contrario indica cual es mayor.
1)
7
56
y
40
5
2)
6
18
y
75 25
3)
3 20
y
8 72
4)
16 24
y
3
12
5)
5
60
y
9 108
6)
8
2
y
20
5
Ejercicios C: Aplica la equivalencia entre fracciones para resolver los siguientes problemas planteados.
1. Un tanque tarda 3min en vaciar 120lt de agua, cual es su capacidad si tarda 8min en vaciarse completamente,
2. Una tienda deportiva vende 15 balones en cuatro días, mientras que otra tienda B, vende 60 balones en 20 días.
Cuál de las tiendas en esa proporción logra vender más balones.
Amplificación de fracciones: Si multiplicamos el numerador y el Ejemplo:
denominador de una fracción por un mismo número entero y diferente de
3 3.7
3 21
cero, se obtiene una fracción equivalente por amplificación.

 
Es decir:
5
a a.c
, se verifica la igualdad de los productos cruzados.

b b.c
5.7
5
35
por amplificación.
Simplificación de fracciones: Si dividimos el numerador y el Ejemplo:
denominador de una fracción por un mismo número entero divisor
60 60  15
60 4



común y diferente de cero, obtenemos una fracción equivalente
90 90  15
90 6
por simplificación. Es decir:
a a c
.

b bc
Por reducción
o simplificación
Fracción Irreducible: Es aquella que no puede ser Ejemplo:
simplificada. Es decir, no existe para ella entero alguno 8
, es irreducible
que sea divisor del numerador y el denominador.
9
Ejercicios D:
C.1)
96
56
ya que sus términos no
tiene divisor común.
(8 y 9 son primos relativos)
Llevar a fracción irreducible cada una de las siguientes fracciones:
C.2)
75
90
C.3)
44
60
C.4)
32
50
C.5)
20
25
C.6)
16
32
Conjunto de números racionales. Es la unión del conjunto de los números enteros ampliado con


7
5
todas las fracciones y se denota con la letra “Q”. Q   ..., ,...  1,... 
1
1
7

,...0,... ,...1,... ,....  
2
2
5

Un número racional puede ser expresado por infinitas fracciones equivalentes entre si. Esto significa
que cada número racional es un subconjunto de “Q” formado por las infinitas fracciones
equivalentes a una dada. Ejemplo: Consideremos los conjuntos de las fracciones equivalentes a:
1
2
y
7
5
 1 1  3  4  5 
 ,
,
,
,...
2
 2 6 8 10 
;
7  4 14 21  28 
 , , ,
,...
5  5 10 15  20 
Consideramos entonces a “Q” como una colección infinita de conjuntos disjuntos, puesto que no
hay una fracción que pertenezca a dos de estos subconjuntos.
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Representante del Conjunto: Un número Q es representado por
cualquiera de las fracciones de ese conjunto. En efecto dado un
elemento podemos hallar todos los demás, bien sea por
amplificación o simplificación.
Representante Canónico: Se elige como tal, a la fracción
irreducible con denominador positivo. La fracción irreducible es el
elemento mas simple del conjunto dado.
7
es el representante
canónico
5
Ejemplo:
de:
7  7 14 21  28 
 , , ,
,...
5  5 10 15  20 
ADICIÓN Y
Si tienen igual denominador, se escribe el mismo denominador
SUSTRACCIÓN EN “Q” y se suman algebraicamente los numeradores.
a c ac
+ =
b b
b
Si tienen distintos denominadores, se busca el m.c.m de los denominadores y se toma como común
denominador. El mínimo común denominador se divide entre cada denominador y el cociente se
multiplica por su numerador respectivo, los resultados se suman algebraicamente. Ejemplos:
Igual denominador:
Ejercicios E:
A)
2 8 9 289 3
  

5 5 5
5
5
Distinto denominador:
3 2 1 15  8  10 17
  

4 5 2
20
20
Efectúa las siguientes operaciones de suma y resta de números racionales
 3 7
    =
 9 9
MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN EN “Q”
5  4
 9  4
      = C)        =
 3  6
 8  6
14 6 8
3 1 2 5

 = E)         =
9 27 3
2 4 6 2
El Producto de dos Números Racionales lo efectuamos
a c a.c
. =
multiplicando numerador con numerador y denominador con
b d b.d
B)
D)
denominador.
El Cociente de dos Números Racionales equivale a multiplicar el dividendo por el
inverso multiplicativo del divisor. En todo caso podemos efectuar este cociente
mediante el producto cruzado de las fracciones dadas.
Ejemplos:
Multiplicación de Racionales:
Ejercicios F:
A)
18
 2 9
 .    
35
7 5
División de Racionales:
a c a.d
 =
b d b.c
8
 4 3
      
15
 5 2
Efectúa las siguientes operaciones de multiplicación y división de números racionales.
 3   6
5  4
      = B)        =
9  7
 10   3 
C)
 2   1
    =
 15   6 
D)
 3  1 5
1 3 8
      = E)          =
 2  4 2
 9 7   3
Propiedades de la adición en “Q”:
Propiedades de la Multiplicación en “Q”:
a. CLAUSURA: la suma de dos números racionales a. Clausura: el producto de dos números
es siempre un número racional.
racionales es un número racional.
c
a
c
a
+
= +
b
d
b
d
e
a

a c
c
e
c. ASOCIATIVA:  +  +
= + + 
b d
d f
f
b
a
0
a
d. ELEMENTO NEUTRO:
+ =
b
c
b
a
 a
e. INVERSO ADITIVO:
+   = 0
b
 b
b. CONMUTATIVA:
* PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
RESPECTO A LA SUMA:
*
a c e
a c
a e
.  +  = . + . . (A la izquierda)
b d f 
b d
b f
a c
c a
. = .
b d
d b
e
a

a c e
c
ASOCIATIVA:  .  . = .  . 
b d f 
b d f
a 1 a
ELEMENTO NEUTRO: . =
b 1 b
a b
INVERSO MULTIPLICATIVO: . = 1
b a
a 0
ELEMENTO ABSORBENTE: . =0
b c
e a c a
e a
c
 +   =  + . . (A la derecha)
f b
d f  b d b
b. CONMUTATIVA:
c.
d.
e.
f.
*
Ejercicios G: Comprueba la propiedad distributiva en cada uno de los siguientes ejercicios:
G.1
 7  3 12 
     
 2  5 15 
G.2
 5  1 5 
     
 3  6 12 
G.3
 1  8 10 
     
 4  3 9 
G.4
 2  4 4 
      
 7  5 15 
Ejercicios H: Efectuar las siguientes operaciones combinadas:
A)
 3 1 1  3
 3 1 4 1
 11 13   7   1 
 1 7 5
  .  = B)          C)            = D) 3  1     =
 12 3   3   2 
 10 7  3 6
 4 2 5  2
 4 6 3
Ejercicios G: Resuelve los siguientes problemas mediante el planteamiento de la ecuación respectiva.
1. “Adiós mis cien gallinas”, dice el gavilán, y le responden “se equivoca, nosotras más otro tanto como nosotras, más
el doble y la cuarta parte de nosotras, incluyendo al gallo seríamos cien.” ¿Cuantas gallinas habían?.
2. Diana dijo a Juan, si a los ¾ de mi edad agrego la mitad de ella, resultará mi edad dentro de 4 años. ¿La edad es?
3. Cuatro séptimos de un número es igual 124. ¿Cuál es el número?.
4. La suma de cuatro números consecutivos es cien. Calcúlalos.
5. La suma de tres números pares consecutivos es igual a 36. ¿Cuales son los números?.
6. La suma de tres números impares consecutivos es igual a 51. Hallar los números.
7. Ana es tres veces mayor que Sonia, y dentro de cinco años será solo dos veces mayor. Hallar las edades.
8. La diferencia entre un número y el triple del mismo, es igual la doble de ese número. ¿De que número se trata?.
ii