0.0.1 Funciones de Correlacion Funcion de correlacion de 2 puntos g

0.0.1
Funciones de Correlacion
Funcion de correlacion de 2 puntos
g (2) (i; j) = hsi sj i
donde i; j son las posiciones de los spines i; j
Si el sistema es isotropico g (2) (i; j) = g (2) (ji jj)
En general se puede de…nir para sistemas isotropicos
g (2) (r) = h
Donde para el caso de Ising
i
ji
i
= si y para un ‡uido seria la densidad, etc.
Se de…ne tambien
gc(2) (r) = h (0)
(r)i
2
jh ij
(2)
Para T > Tc , vale jh ij = 0 =) gc (r) g (2) (r)
(2)
Para T < Tc , será jh ij 6= 0 =) gc (r) 6= g (2) (r) como se remueve el
"ordenamiento" se "rescatan" las ‡uctuaciones.
A partir de experimentos de scattering se obtiene que para
r grande comparado con la "distancia intermolecular y T = Tc
1
gc(2) (r)
r(d
2+ )
con 0
0:1
Lejos de Tc es una funcion complicada
Para = jT Tc j =Tc
1 y r grande
gc(2) (r)
exp
r
Donde es la distancia de correlacion
Esto signi…ca que la magnitud relevante ‡uctua en bloques de todos los
tamaños hasta y ‡uctuaciones mas grandes son muy raras
Experimentalmente se veri…ca que
jT
Tc j
con (jT Tc j =Tc
1)
En suma:
Por encima o debajo de Tc correlaciones de largo rango son
exponencialmente improbables
En Tc , son potenciales.
1
0.0.2
Construcción de Kadano¤
Sea un sistema de Ising con un Hamiltoniano
(en unidades de kT )
X
X
H= J
si sj h
si
fi;jg
i=1
Kadano¤ considera la siguiente situación:
1) Sea a la "distancia" entre dos spines vecinos (constante de la red).
De…nimos celdas de tamaño La con L
1:
N
.
2) El número de celdas es n = La
2
3) Sea jT Tc j =Tc
1 y por lo tanto
jT Tc j como
3 =)
muy grande
La
Cada celda contiene Ld spines ( d es la dimension)
Como 1
celdas.
L
es
=a en un cluster de spines correlacionadas habrá muchas
2
3
Rotulamos las celdas con = 1; 2; 3; :::
A cada celda le asociamos un momento magnetico se
Suponemos ahora que se se comporta como un spin si i.e. estara " o #
. Como las celdas estarán muy correlacionadas los spines individuales estaran
"apuntando basicamente en la misma dirección"
De esta forma podemospensar en reformular nuestro problema en termino
de las celdas (y sus spines efectivos).
Al ser "equivalentes" es de esperar que el hamiltoniano del sistema resultante
sea de la misma forma (pero con coe…cientes diferentes)
Entonces, si tenemos dos sistemas con hamiltonianos de la misma forma,
esperamos que las funciones termodinamicas de ambos sistemas sean similares
(a menos de diferencias en parametros).
Proponemos entonces para la energia libre de Gibbs
G(e; e
h) = Ld G( ; h)
h) ! es el Gibbs por celda
donde G(e; e
donde G( ; h) ! es el Gibbs por spin
Relacionamos ahora (e; e
h) con ( ; h)
Es de esperar que
e
h = H(L)h
donde H(L) es una constante de proporcionalidad dependiente de L
Del mismo modo
e = T (L)
Kadano¤ propone
H(L) = Lx
T (L) = Ly
con x ; y numeros arbitrarios.
(con esto tomamos en cuenta que no todos esten alineados, etc.)
De esta forma
G(Ly ; Lx h) = Ld G( ; h)
y esto es una función homogenea generalizada!!!!!!
De donde
G(Ly=d ; Lx=d h) = LG( ; h)
Pero esta es la hipotesis de escaleo estatica con
p=
y
d
q=
4
x
d
0.0.3
Kadano¤ y la función de correlación
Sea g (2) (r; )
h(si
Sea g (2) (e
r;e)
con re = r=L
Sea
D
hsi)(sj hsi)i = si sj
D
E
2
= si sj hsi
h(e
s
he
si)(e
s
L
si hsi
he
si)i
d
X
i2
si = Le
s
Con se = 1
h
P
P
hsi sj i
g (2) (e
r;e) = L2d1L2 i2
j2
h
i
2
1
2d
= L2d L2 L
hsi sj i hsi
Luego
g (2) (r; ) = L2 g (2) (e
r;e)
2
hsi
i
Nos …jamos ahora en el acoplamiento
Para las celdas
n
X
^ cell = e
H
h
se
=1
Para los nodos
^ nodo
H
=
h
=
h
n X
X
Entonces
si
=1 i2
n
X
=1
se Ld L
e
h = Ld Lh
Proponemos ahora que L solo depende de L de la forma Lz
como
Entonces
e
h = H(L)h
H(L) = Lx
z=x
de donde recordando que
g (2) (r; ) = L2 g (2) (e
r;e)
y
5
d
2
sj hsi + hsi
L = Lz
E
e = Ly
g (2) (r; ) = L2(x
y
d) (2)
g
re = r=L
(e
r;e) = L2(x
d) (2)
g
(L
1
r; Ly )
Suponiendo que esto es valido 8L obtenemos otra función homogenea.
1=y
Si tomamos L = 1
, entonces
g (2) (r; ) = 2( x+d)=y g (2) (r 1=y ; 1) = 2( x+d)=y f (r 1=y )
Si tomamos L = 1r , entonces
g (2) (r; ) = 2(x d) f ( ry )
Pero entonces como
y g (2) (r; = 0) r (d 2 ) se obtiene
(d
2
) = 2(x
d)
= 1=y
Usando este tipo de argumentos se obtiene
d =2
("desigualdad" de Josephson)
d
2
=
2
("desigualdad de Fisher")
ademas
(2
)
=
Que son desigualdades transformadas en igualdades!
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