Definición matemática de Relación y de Función

GUÍA DE APRENDIZAJE
INDICADOR DE DESEMPEÑO
DOCENTE:
Fecha: 05/2013
Versión: 1
ANTONIO ELI C ASTILLA
Definición matemática de Relación y de Función
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado
Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y
sólo un valor del Recorrido.
El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que for man parejas
ordenadas.
Cuando se for mula una expres ión que liga dos o más objetos entre s í, postulamos una relación (no necesariamente
matemática) Por ejemplo: Samuel es padre de Ir ma. (Samuel, Ir ma)
Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que: S ---> I
Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado
por un solo par ordenado, varios o todos los que for man parte de A x B. Si establecemos una r elac ión entre los
elementos de un mis mo conjunto.
Ejemplo de dominio y rango
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”,
encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4,
7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es pre imagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
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En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Un ejemplo de una representación sagital es:
El plano cartesiano
está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un
punto. La r ecta hor izontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las
yes, (y); el punto donde se cortan r ecibe el nombre de origen. El eje horizontal se le llama x por defecto y el eje
vertical se llama y, por defecto.
Cualquier punto en el plano se identifica por dos valores, la distancia al eje y, llamada abscisa, y la distanc ia al eje x,
llamada ordenada, estos dos valores se llaman coor denadas (x, y).
El Par Ordenado (a, b) Satisface la Relación
Es para comprobar relac iones. Se dice que (a, b) satisface una relación si al sustituir x=a y y=b en ésta, el enunciado
resultante es verdadero. Si el par or denado satisface la relación se dice que el punto correspondiente a las
coordenadas (a, b) en el sistema de coordenadas cartesianas pertenece a la gráfica de la relación.
Pasos para determinar si (a, b) pertenece a la gráfica de una relación
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En un plano cartesiano.
Paso 1: Sustituir x=a y y=b en la relación.
Paso 2: Simplificar
Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta.
En caso afirmativo, el punto (a, b) pertenece a la gráfica de la relación.
Si la expresión es falsa, entonces el punto (a, b) no pertenece a la gráfica de la relación.
Ejemplo:
Dada la relación y = 1 – 2x, determine si el punto (2,-3) pertenece a la relación.
Paso 1: Sustituir x=2 y y=-3 en la relación
-3= 1 - 2(2)
Paso 2: Simplificar.
-3 = 1 - 4
-3=-3
Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta?
Sí.
Conclusión: El punto (2, -3) pertenece a la gráfica de la relación.
Pasos para Encontrar la Gráfica de una relación.
Paso 1: Construir una tabla de valores para x .
x-2-1012
y
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.
Paso 3: Completar la tabla.
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy
Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?
En caso afirmativo, dibuja la gráfica (ubicar la curva de forma adecuada a través de los puntos dados).
Si no, vuelva al paso 1 y añada más valores x en la tabla.
Ejemplo 1: Construir la gráfica de: y =-2 x -1
Paso 1: Construir una tabla de valores para x .
x-2-101
y
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.
Si x=-2, entonces y=-2 (-2) - 1=3
2
Si x=-1, entonces y=-2 (-1) - 1=1
Si x=0, entonces y=-2 (0) - 1=-1
Si x=1, entonces y=-2 (1) - 1=-3
Si x=2, entonces y=-2 (2)-1=-5
Paso 3: Completar la tabla.
x
y
-2
3
-1
1
0
-1
3
1
-3
2
-5
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Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy
Pasó 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?
Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una recta con intercepto en x igual a -0.5 y intercepto
en y igual a -1.
Ejemplo 2
Construir la gráfica de: y = 2x - 2
Paso 1: Construir una tabla de valores para x.
x-2-1012
y
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.
Si x=-2, entonces y= 2(-2) – 2 = 2
Si x=-1, entonces y=(-1) – 2 = - 1
Si x=0, entonces y= 2(0) – 2 = - 2
Si x=1, entonces y= 2(1) – 2 = - 1
Si x = 2 , entonces y = (2)2 – 2 = 2
Paso 3: Completar la tabla.
x-2
y2
-1
-1
0
-2
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy
4
1
-1
2
2
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Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?
Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una parábola con interceptos
en x igual a 2 y -2 y intercepto en y igual a -2.
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
Propiedad Reflexiva:
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Propiedad Simétrica
Diremos que R es simétrica si
a, b A: a R b
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b R a.
Gráficamente se representa as í:
Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la
diagonal principal.
Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos
direcciones.
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Propiedad Transitiva
Diremos que R es transitiva si
a, b, c A: [a R b
b R c]
aRc
Gráficamente la podemos representar así:
La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha
que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino.
FUNCION
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del
primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una
función cuando de cada elemento del primer conjunto s olamente sale una única flecha.
No estamos en presencia de una función cuando:
De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
A veces esta 'm áquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que
la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.
Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El
conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se
llama recorrido de la función.
CLASIFIC ACION DE L AS FUNCIONES
Función Inyecti va: Una función es Inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un
único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se
repiten.
Para determinar si una función es Inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados.
Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
Función Sobreyectiva: Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada
Sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un con junto de llegada.
Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.
Ejemplo:
A = {a, e, i , o , u }
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B = {1, 3, 5, 7}
f={(a,1),(e,7),(i,3),(o,5),(u,7)}
Simbólicamente: f: A B es Biyectiva Û f es Inyecti va y f es Sobreyectiva
Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B, f es una función Biyectiva , si y sólo si f es Sobreyectiva e In yectiva a la ve z .
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la
función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se
cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
Ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
f={(a,5),(e,1),(i,9),(o,3),(u,7)}
Teorema:
Si f es Biyectiva, entonces su inversa f - 1 es también una función y además Biyectiva.
Bibliografías
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/graph/graph_right.xhtml representación gráfica de relaciones
http://mdiscret.blogspot.com/p/ejercicios.html propiedades de las relaciones
EJERCICIOS FUNCIONES
Ejercic io nº 1.- Halla el dominio de definición de las funciones siguientes:
a) y
1
x2
b) y
x1
x
1
Ejercic io nº 2.- Asocia a cada gráfica su ecuación:
a) y
3x
b) y
x
c) y
d) y
I)
5
2
2
5
x
3
4x 2
II)
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III)
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IV)
3
y
Ejercic io nº 3.- Representa la gráfica de la siguiente función:
x
1
x2
4
5
Ejercic io nº 4.- Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:
y
Ejercic io nº 5.- Representa la gráfica de la siguiente función:
y
Ejercic io nº 6.- Representa gráficamente:
2x
x
2
1 si x
2si x
1
1
Ejercic io nº 7.- Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:
a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?
b) Construye la función que nos da el área del recinto.
Ejercic io nº 8.- Haz la gráfica de la función:
y
0,5 x
3,5
Ejercic io nº 9.Halla la ecuación de la recta que pasa por
1
1, 2 y cuya pendiente es
.
3
x 1 /2
x2
y
Ejercic io nº 11.-
2x
fx
Ejercic io nº 10.- Representa gráficamente la siguiente función:
Dibuja la gráfica de la función:
9
si x
si x
4x
2
1
1
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Ejercic io nº 12.- Un cántaro vac ío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da el
peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.
Ejercic io nº 13.- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y
b) y
1
x2
x
9
2
x2
2
fx
Ejercic io nº 14.- Obtén la gráfica de la función:
2x
1
2x 2si x
2 x 4 si x
y
1
1
Ejercic io nº 15.- Representa la siguiente función:
Ejercic io nº 16.- El per ímetro de un rectángulo es de 30 c m. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en
función de la longitud de la base.
Ejercic io nº 17.- Halla el dominio de definición de las funciones:
a) y
b) y
2
x
x2
3x
1
x2si x
x 1 2 si x
y
Ejercic io nº 18.- Dibuja la gráfica de la s iguiente función:
1
1
Ejercic io nº 19.- El precio por establecimiento de llamada en c ierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos
durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el prec io total de la llamada
según los minutos que estemos hablando.
Ejercic io nº 20- Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones:
1
a) y
3x x 2
b) y
x2
1
Ejercic io nº 22.- Representa gráficamente la función:
x2
y
4x
y
Ejercic io nº 23.- Representa gráficamente la siguiente función:
1
x2
3
1 si x
si x
2
2
Ejercic io nº 24.- En algunos países se utiliza un sistema de medic ión de la temperatura distinto a los grados
centígrados que son los grados Fahrenheit. Sabiendo que 10 C 50 F y que 60 C 140 F, obtén la ecuac ión
que nos per mita traducir temperatur as de C a F.
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